Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Tháp

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Tháp

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x y z 1, x3 y 3 z 3 11 a) Biểu diễn zx theo y b) Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số thuộc đoạn [−2,−1] bc Bài 2: Cho a,b,c là các số nguyên dƣơng, trong đó a,b nguyên tố cùng nhau và ca là số nguyên. Chứng minh rằng a là số chính phƣơng aa01 1, 13 Bài 3: Cho dãy số (ann ) đƣợc xác định nhƣ sau an 21 14 a n a n ,  n N a) Chứng minh rằng 21an là số chính phƣơng với mọi số tự nhiên n b) Chứng minh rằng an luôn đƣợc viết dƣới dạng tổng bình phƣơng của 2 số tự nhiên với mọi số tự nhiên n Bài 4: Tìm tất cả hàm số lẻ f : thỏa mãn ffxy(() )2 xfxfy ( ()),, xy . Bài 5: Cho hai đƣờng tròn (OROR1 , 1 ),( 2 , 2 ) cắt nhau tại A,B sao cho tam giác AO12 O vuông tại A. Tia OO12 cắt đƣờng tròn (O2 ) tại E,F và cắt đƣờng tròn (O1)tại D. Điểm M thay đổi trên đƣờng tròn và không thuộc đƣờng thẳng . Kẻ đƣờng kính MP của .Tia MO2 cắt đƣờng tròn tại điểm thứ 2 là NN. Tia O2 P cắt đƣờng tròn tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh rằng : a) MD là phân giác của góc EMF b) MP,NQ,AB đồng quy hoặc đôi một song song c) NQ luôn đi qua 1 điểm cố định
2. Bài 6: Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2 viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng sau một số bƣớc có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.