Đề cương Hình học Lớp 9 - Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nội dung text: Đề cương Hình học Lớp 9 - Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Hình học 9 CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUƠNG Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Định lí Pi-ta-go: BC2 AB2 AC2 AB2 BC.BH ; AC2 BC.CH AH 2 BH.CH 1 1 1 AB.AC BC.AH AH 2 AB2 AC2 Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH. ĐS: BH 1,8cm , CH 3,2cm , AC 4cm , AH 2,4cm . Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH. ĐS: Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh gĩc vuơng biết 2 AB AC . 3 24 13 36 13 ĐS: AB (cm) , AC (cm) . 13 13 Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH. Biết BH = 10cm, CH = 42 cm. Tính BC, AH, AB và AC. ĐS: BC 52cm , AH 2 105 cm , AB 2 130 cm , AC 2 546 cm . Bài 5. Hình thang cân ABCD cĩ đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và gĩc A là 600 . a) Tính cạnh BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN. ĐS: Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD cĩ AB = AC = AD = 10cm, gĩc B bằng 600 và gĩc A là 900 . a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c) Tính HK. d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC. ĐS: Bài 7. Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB. Trên Ox, lấy điểm D a sao cho OD . Từ B kẽ BC vuơng gĩc với đường thẳng AD. 2 a) Tính AD, AC và BC theo a. b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường trịn. ĐS: Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC cĩ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh: AM = AN. HD: Xét ABD  ACE: AM2 AC.AD AB.AE AN 2 . AB 20 Bài 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính chu vi AC 21 tam giác ABC. ĐS: PABC 2030 . Đặt AB 20k, AC 21k BC 29k . Từ AH.BC = AB.AC k 29 . 1
2. Hình học 9 Bài 10. Cho hình thang ABCD vuơng gĩc tại A và D. Hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O. Biết AB 2 13,OA 6 , tính diện tích hình thang ABCD. ĐS: S 126,75 . Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5. II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN 1. Định nghĩa: Cho tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn . cạnh đối cạnh kề cạnh đối cạnh kề sin ;cos ; tan ; cot cạnh huyền cạnh huyền cạnh kề cạnh đối Chú ý: Cho gĩc nhọn . Ta cĩ: 0 sin 1; 0 cos 1 . Cho 2 gĩc nhọn , . Nếu sin sin  (hoặc cos cos  , hoặc tan tan  , hoặc cot cot  ) thì  . 2. Tỉ số lượng giác của hai gĩc phụ nhau: Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cơsin gĩc kia, tang gĩc này bằng cơtang gĩc kia. 3. Tỉ số lượng giác của các gĩc đặc biệt: 0 0 0 Tỉ số LG 30 45 60 1 sin 2 3 2 2 2 1 cos 3 2 2 2 2 3 tan 1 3 3 3 cot 3 1 3 4. Một số hệ thức lượng giác sin cos tan ;cot ; tan .cot 1 ; cos sin 1 1 sin2 cos2 1 ;1 tan2 ; 1 cot2 cos2 sin2 Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết BH = 64cm và CH = 81cm. Tính các cạnh và gĩc tam giác ABC. ĐS: Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của gĩc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm. b) BC = 13 cm, AC = 12 cm. c) AC= 4cm, AB=3cm. ĐS: a) sin B 0,8 ; cos B 0,6 Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 10cm và AC = 15cm. a) Tính gĩc B. b) Phân giác trong gĩc B cắt AC tại I. Tính AI. c) Vẽ AH  BI tại H. Tính AH. ĐS: Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau: a) cos2 150 cos2 250 cos2 350 cos2 450 cos2 550 cos2 650 cos2 750 . b) sin2 100 sin2 200 sin2 300 sin2 400 sin2 500 sin2 700 sin2 800 . 2
3. Hình học 9 c) sin150 sin 750 cos150 cos750 sin300 d) sin350 sin670 cos230 cos550 e) cos2 200 cos2 400 cos2 500 cos2 700 f) sin200 tan 400 cot 500 cos700 3 ĐS: a) 3,5 b) c) 0,5 d) 0 e) 2 f) 0. 4 Bài 5. Cho biết một tỉ số lượng giác của gĩc nhọn , tính các tỉ số lượng giác cịn lại của : a) sin 0,8 b) cos 0,6 c) tan 3 d) cot 2 ĐS: a) cos 0,6 b) sin 0,8 1 Bài 6. Cho gĩc nhọn . Biết cos sin . Tính cot . 5 4 ĐS: .cot 3 5 Bài 7. Cho tam giác ABC vuơng tại C. Biết cos A . Tính tan B . 13 5 ĐS: .tan B 12 Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: a) (1 cos )(1 cos ) b) 1 sin2 cos2 c) sin sin cos2 d) sin4 cos4 2sin2 cos2 e) tan2 sin2 tan2 f) cos2 tan2 cos2 ĐS: a) sin2 b) 2 c) sin3 d) 1 e) sin2 f) 1. Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau: cos 1 sin (sin cos )2 (sin cos )2 a) b) 4 1 sin cos sin .cos ĐS: Bài 10.Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. a b c a) Chứng minh: . sin A sin B sinC b) Cĩ thể xảy ra đẳng thức sin A sin B sinC khơng? BH BH ĐS: a) Vẽ đường cao AH. Chú ý: sin A ,sinC . b) khơng. AB BC 3
4. Hình học 9 III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VUƠNG Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BC = a, AC = b, AB = c. b a.sin B a.cosC ; c a.sinC a.cos B b c.tan B c.cotC ; c b.tanC b.cot B Bài 1. Giải tam giác vuơng ABC, biết µA 900 và: a) a 15cm;b 10cm b) b 12cm; c 7cm ĐS: a) µB 420, µC 480,c 11,147cm b) µB 600, µC 300, a 14cm . Bài 2. Cho tam giác ABC cĩ µB 600, µC 500, AC 35cm . Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: S 509cm2 . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC. Bài 3. Cho tứ giác ABCD cĩ µA µD 900,µC 400, AB 4cm, AD 3cm . Tính diện tích tứ giác. ĐS: S 17cm2 . Vẽ BH  CD. Tính DH, BH, CH. Bài 4. Cho tứ giác ABCD cĩ các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC 4cm,BD 5cm , ·AOB 500 . Tính diện tích tứ giác ABCD. ĐS: S 8cm2 . Vẽ AH  BD, CK  BD. Chú ý: AH OA.sin500,CK OC.sin500 . Bài 5. Chứng minh rằng: a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của gĩc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của gĩc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. ĐS: a) Gọi là gĩc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH. CH AC.sin 4
5. Hình học 9 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1. Cho tam giác ABC cĩ AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m. a) Chứng minh tam giác ABC vuơng. b) Tính sin B,sinC . ĐS: Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63. a) Tính độ dài AH. b) Tính độ dài AD. ĐS: a) AH = 84 b) AD 60 2 . Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AH = 5, CH = 6. a) Tính AB, AC, BC, BH. b) Tính diện tích tam giác ABC. 5 61 25 305 ĐS: a) AB , AC 61 , BH b) S . 6 6 12 Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25. a) Tính AB, AC, BC, CH. b) Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: Bài 5. Cho hình thang ABCD cĩ µA µD 900 và hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O. a) Chứng minh hình thang này cĩ chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy. b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD. c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. ĐS: a) Vẽ AE // BD AB = ED và AE  AC. b) S = 150 c) OA 7,2; OB 5,4; OC 12,8; OD 9,6 . Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35. ĐS: S = 210. Vẽ BE // AC (E CD) DE2 BD2 BE2 . Bài 7. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đĩ là một tam giác vuơng. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh. ĐS: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ABC vuơng tại A. b) r = 9cm. Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. SABC SOBC SOCA SOAB . Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết µA 480; AH 13cm . Tinh chu vi ABC ĐS: BC 11,6cm; AB AC 14,2cm . Bài 9. Cho ABC vuơng tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC. DE DB a) Chứng minh . b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB. DB DC c) Tính tổng ·AFB ·BCD . ĐS: a) DB2 2a2 DE.DC c) ·AEB ·BCD ·ADB 450 . Bài 10. Cho hình thang ABCD cĩ hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuơng gĩc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. sin B cos B a) Tính . b) Tính diện tích hình thang ABCD. sin B cos B 17 ĐS: a) b) 7 Bài 11. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính tan·IED, tan·HCE . c) Chứng minh ·IED ·HCE . d) Chứng minh: DE  EC . 5
6. Hình học 9 20 16 3 ĐS: a) AB 5cm , AC cm , HC cm b) tan·IED tan·HCE 3 3 2 d) ·DEC ·IED ·HEC 900 . Bài 12.Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác cĩ các cạnh a h;b c;h là một tam giác vuơng. ĐS: Chứng minh (b c)2 h2 (a h)2 . 1 Bài 13.Cho ABC vuơng tại A cĩ sinC . Tính các tỉ số lượng giác của gĩc B và C. 4cos B 1 3 1 3 ĐS: cos B ; sin B ; sinC ; cosC . 2 2 2 2 Bài 14. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ µC 150 , BC = 4cm. a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính ·AMH , AH, AM, HM, HC. 6 2 b) Chứng minh rằng: cos150 . 4 ĐS: a) ·AMH 300 ; AH 1cm ; AM 2cm ; HM 3 cm ; HC 2 3 (cm) CH b) cos150 cosC . AC Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A, cĩ µA 360 , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của D trên AC. a) Tính AD, DC. b) Kẻ CK  BD. Giải tam giác BKC. 1 5 c) Chứng minh rằng cos360 . 4 ĐS: Bài 16. Cho tam giác ABC cĩ AB = 1, µA 1050 , µB 600 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AD (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuơng gĩc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC. a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH. b) Chứng minh ·EAD ·EAF 450 . c) Tính các tỉ số lượng giác của gĩc AED và gĩc AEF. d) Chứng minh AED AEF . Từ đĩ suy ra AD = AF. 1 1 4 e) Chứng minh rằng . AD2 AF2 3 ĐS: Bài 17. Giải tam giác ABC, biết: a) µA 900, BC 10cm, µB 750 b) ·BAC 1200, AB AC 6cm . c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma 5 , đường cao AH = 4. 0 d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma 5 , một gĩc nhọn bằng 47 . Bài 18. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. a) Giải tam giác vuơng ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. c) Tính: EA.EB + AF.FC. 3 3 27 ĐS: a) AC 3 3 (cm) , µB 600 , µC 300 b) AH (cm) c) . 2 4 6