Đề cương học kỳ II môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

43 trang thaodu 7110

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương học kỳ II môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_hoc_ky_ii_mon_toan_lop_8_nam_hoc_2017_2018_truong_t.pdf

Nội dung text: Đề cương học kỳ II môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

1/ 43 Toán học là đam mê Trường THCS Ngô Sĩ Liên Đề cương ôn tập học kỳ II – Toán 8 Năm học: 2017-2018 Dạng 1: Rút gọn biểu thức x + 2 5 1 Bài 1. Cho biểu thức A = − + x+3 x2 + x − 6 2 − x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 0 c) Tìm x để A nguyên dương. 22xx2 + 1−+ 2xx 1 Bài 2. Cho các biểu thức A = và B =+ 1− x2 x2 −3 x + 2 x − 2 a) Rút gọn biểu thức A, B; b) Tính giá trị của A khi x −=2 3; c) Tính C = A – B; d) Tìm để C . 2x x+− 1 3 11 x x − 3 Bài 3. Cho biểu thức A = + + và B = với 0 x 9. x+3 x − 3 9 − x2 x +1 a) Rút gọn A; 9 b) Với P = A.B, tìm x để P = . 2 c) Tìm x để B 1 x2 +2 x x − 5 50 − 5 x Bài 6. Cho biểu thức P = + + 2x++ 10 x 2 x( x 5) a) Tìm điều kiện xác định của P; b) Rút gọn biểu thức P. 1 c) Tìm các giá trị của x để PP==0; . 4 d) Tìm các giá trị của x để P > 0; P < 0.
2/ 43 Toán học là đam mê 2x 5 2 Bài 7. Cho biểu thức P = 2 − :3 + 2x− 5 x + 3 2 x − 3 1 − x a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2x −= 1 3 c) Tìm x để P > 1 d) Tìm x nguyên để P nguyên. xx2 12 Bài 8. Cho biểu thức A = 1: +2 − 3 2 x+1 x − 1 x + x − x − 1 a) Rút gọn A. 1 b) Tính giá trị của A tại x =− . 2 c) Tìm x để A< 1 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Dạng 2: Phương trình và bất phương trình Bài 1. Giải các phương trình sau: 3xx++ 2 3 1 5 a) 5−(xx − 6) = 4( 3 − 2 ) d) − =2x + 2 6 3 2x− 2 x + 8 x − 1 b) 3− 4x( 25 − 2 x) = 8 x2 + x − 300 e) x − + =7 + 5 6 3 5x+ 2 8 x − 1 4 x + 2 23( x − ) 13x + 4 c) − = − 5 f) −x +2 = 6 3 5 7 21 Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2x( x− 3) + 5( x − 3) = 0 d) xx2 −5 + 6 = 0 b) (x2 −4) −( x − 2)( 3 − 2 x) = 0 e) 2x3+ 6 x 2 = x 2 + 3 x 2 22 11 c) (2xx+ 5) =( + 2) f) xx+ +2 + − 8 = 0. xx Bài 3. Giải các phương trình sau: 1 5 15 1 3xx2 2 a) −= d) −= x+1 x − 2( x + 1)( 2 − x) x−1 x32 − 1 x + x + 1 x−−1 x 5 x 2 7 5−−xx 1 1 b) −= e) + = + x+2 x − 2 4 − x2 8x 4 x2 − 8 x 2 x( x − 2) 8 x − 16 x+5 x − 5 x + 25 2 1 1 c) −= f) += x2−5 x 2 x 2 + 10 x 2 x 2 − 50 x2+3 x + 2 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 4 x + 3 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x −=53 c) 2xx+ 1 = − 1 b) −5xx = 3 − 16 d) 2xx+ 1 − 5 − 2 = 3
3/ 43 Toán học là đam mê Bài 5. Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 2 a) ( x−3) x2 − 5 x + 4 f) xx2 −4 + 3 0 2 b) ( x−3)( x + 3) ( x + 2) + 3 g) x32−2 x + 3 x − 6 0 4xx−− 5 7 x + 2 c) h) 0 35 5 2x+ 1 3 − 5 x 4 x + 1 x + 2 d) +3 − i) 0 2 3 4 x − 3 5x− 3 2 x + 1 2 − 3 x x −1 e) + − 5 k) 1 5 4 2 x − 3 Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi quay trở về A người đó tăng vận tốc thêm 5km/h nên thời gian về hết ít hơn thời gian đi 40 phút. Tính quãng đường AB? Bài 2. Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày. Bài 3. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Một giờ sau, một người đi xe máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp. Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km trong một thời gian nhất định. Khi đi được 1 giờ người đó dừng lại nghỉ 15 phút. Trên quãng đường còn lại người đó phải tăng vận tốc them 10 km/h để đến B đúng dự định. Tính vận tốc ban đầu của ô tô? Bài 5. Một người đi từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B trở về A người đó chọn đường khác dài hơn đường cũ 6km, và đi với vận tốc lớn hơn lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính chiều dài quãng đường AB. Bài 6. Lúc 8h30’ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h, đến 10h cùng ngày một người khác đi xe máy từ B đến A với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ, biết rằng họ gặp nhau tại chính giữa quãng đường. Bài 7. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B. Ca nô thứ nhất chạy với vận tốc 20km/h, ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại 40 phút để sửa xong vẫn đến B cùng một lúc với ca nô thứ nhất. Tính chiều dài quãng song AB. Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B về A hết 1 giờ 30 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc của dòng nước là 2km/h.
4/ 43 Toán học là đam mê Bài 9. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may them được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch. Bài 10. Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh bắt 10 tấn. Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch? Bài 11. Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ 1 đã vượt mức 10% kế hoạc của mình, tổ 2 vượt mức 5 % kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải dệt được bao nhiêu áo len? Bài 12. Hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai phải làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc. Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi 4 thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một 5 mình thì trong bao lâu mới đầy bể? Bài 14. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì 5 số sách ở giá thứ nhất bằng số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi giá. 4 Dạng 4: Bài tập hình học. Bài 1. Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm. Trên tia Ay lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm. a) CMR: ABE và ADC đồng dạng; b) CMR: AB.DC = AD.BE; c) Tính DC, biết BE = 10cm; d) Gọi I là giao điểm của BE và CD. CMR: IB.IE =ID.IC. Bài 2. Cho ABC nhọn có hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D. a) Chứng minh: AEC và AFB đồng dạng; b) Chứng minh AE.AB = AF.AC rồi từ đó suy ra AEF đồng dạng với ACB. c) Chứng minh: BDH đồng dạng BFC và BH.BF + CH.CE = BC. d) Vẽ DM⊥ AB tại M, DN⊥ AC tại N. Chứng minh MN //EF. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Cho AB = 15cm, BC = 20cm. a) Chứng minh: CHB CBA b) Chứng minh: AB2 = AH. AC c) Tính độ dài AC, BH. d) Kẻ HK⊥ AB tại K, HI⊥ BC tại I. Chứng minh BKI BCA e) Kẻ trung tuyến BM của cắt KI tại N. Tính diện tích BKN.
5/ 43 Toán học là đam mê Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. kẻ CE vuông góc với AB taị E, CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I. a) Chứng minh tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC. b) Chứng minh tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC. c) Chứng minh AB.AE + AF.CB = AC 2. d) Tia BI cắt đường thẳng CD tại Q và cắt cạnh AD tại K. Chứng minh BI2 = IK. IQ Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt DC tại E. a) Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB, từ đó suy ra DB2 = DC.; DE b) Tính DB, CE; c) Vẽ CF vuông góc với BE tại F. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Nối OE cắt CF tại I và cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm của đoạn CF. d) Chứng minh rằng: ba điểm D,K,F thẳng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB ; b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB; c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và góc AED bằng góc ACB. d) AH cắt BC tại O. Chứng minh: BE.BA + CD.CA = BC 2. HO HD HE e) Chứng minh + + =1; AO BD CE f) Chứng minh H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE. g) Cho góc ACB = 450 , gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN. h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật? Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH và trung tuyến AM. Kẻ MF vuông góc với AC tại F, FD vuông góc MC tại D. Phân giác góc C cắt FD, MF lần lượt tại I và K. Kẻ ME vuông góc với AB tại E. CD CI DI a) Chứng minh == và IF= KF ; CF CK FI b) Tứ giác AEMF là hình gì? c) Chứng minh AHC MFC và AH.EB = HB.ME; d) Chứng minh MF.AB = MF.AC; e) Chứng minh BH.BC = 4.AE 2
6/ 43 Toán học là đam mê Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại C (CA < CB). Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng AB chứa C, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Đường vuông góc với IC cắt Ax, By lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) Chứng minh AB.NC = IN.CB. c) Chứng minh góc MIN là góc vuông. d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích tam giác IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC. Bài 9. Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đường cao NI = 12cm, QI =16cm. a) Tính IP; b) Chứng minh QN⊥ NP ; c) Tính diện tích hình thang MNPQ; d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: KN2 = KP. KQ Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng và HG = 2GO. Bài 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 12cm, BC = 9cm, AE = 10cm. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng OI song song với những mặt phẳng nào? c) Chứng tỏ rằng hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình chóp d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD. Dạng 5: Một số bài tập nâng cao. Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ca 2 2) 33(a2+ b 2 + c 2 ) ( abc + +) ( abbcca + + ) \\ 2 3) (a+ b + c) 4 a( b − c) 2 xy22( xy+ ) 4) a) + (ab 0; 0) a b a+ b 2 x2 y 2 z 2 (x++ y z) b) + + (abc 0; 0; 0) a b c a++ b c 2 c) (ax+by) (a2 + b 2)( x 2 + y 2 ) 5) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+ b + c + ab + bc + ca = 6.Chứng minh rằng abc2+ 2 + 2 3.
7/ 43 Toán học là đam mê 25a−− b b a Bài 2. Cho A =+. Tính giá trị của biểu thức A, biết b > a >0 và 33a−+ b a b 10a22− 3 b + ab = 0. 2 Bài 3. Cho x, y thỏa mãn ( x+ y) =( x −2)( y + 2) .Tính giá trị biểu thức A=+ x22 y . Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: 6 −4 xx2 −+33 1) A = 2) B = 3)C = (cho x 1) 4xx2 ++ 4 3 64++xx2 xx2 −+21 1 12x + 34 4) D= x +( x 4) 5)Q = 6) E= x −1 + 2 x − 2 + x − 3 + 4 x x2 + 2 a3+ b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 Bài 5. 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của Q = + + ab bc ca 2) Tìm GTNN của A= x22 + y − xy − x +4 y + 600 Bài 6. Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương: mx+−51 x + 2 (1;) ( xx2 +1)( + 22) 0 (2) 12 2
8/ 43 Toán học là đam mê Hướng dẫn giải: Dạng 1: x + 2 5 1 Bài 1. A = − + x+3 x2 + x − 6 2 − x Ta có: x22+−=+−−= x6 x 3 x 2 x 6 x ( x +− 3) 2( x +=− 3) ( x 2)( x + 3) Điều kiện xác định: xx 2; − 3 a) Rút gọn biểu thức A x + 2 5 1 Có A = − − x+3 ( x − 2)( x + 3) x − 2 ( x+2)( x − 2) − 5 − ( x + 3) x22−4 − 5 − x − 3 x − x − 12 = = = (x+ 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) x2 −4 x + 3 x − 12( xx+−34)( ) x − 4 = = = ( x+3)( x − 2) ( x + 3)( x − 2) x − 2 x − 4 Vậy với xx 2; − 3thì A = . x − 2 b) Tìm x để A 0 x − 4 Với để => 0 x − 2 x 4 Kết hợp điều kiện x 2 x −3 x 4 Vậy với x 2 thì . x −3 c) Tìm x để A + . Với . xx−4 − 2 − 2 2 Ta có A = = =1 − . x−2 x − 2 x − 2 2 (xU− 2) (2) ( x −2)  1; 2 2 + x − 2 Để => 1− = x 2 x 2 x − 2 2 1 x 4 x 4 x − 2 Ta có bảng: x −2 −2 −1 1 2 0(chọn) 1(chọn) 3(loại) 4(loại) Vậy với x 0;1 Thì .
9/ 43 Toán học là đam mê 22xx2 + 1−+ 2xx 1 Bài 2. A = B =+ 1− x2 x2 −3 x + 2 x − 2 2 1−x =( 1 − x)( 1 + x) AB; xx 1; 2 Ta có: 2 nên điều kiện xác định của là . x−3 x + 2 =( x − 1)( x − 2) a) Rút gọn biểu thức . Với , ta có: 2x2 + 2 x21xx( + ) 2 x A === (1−x)( 1 + x) ( 1 − x)( 1 + x) 1 − x 1− 2x x + 1 1 − 2 x + x2 − 1 xx( − 2) x B = + = = = (x−1)( x − 2) x − 2( x − 1)( x − 2) ( x − 1)( x − 2) x − 1 b) Tính giá trị A khi x −=23. x−2 = 3 x = 5( tm ) Với , ta có: x −23 = x−2 = − 3 x = − 1( loai ) 2.5− 5 Thay x = 5 vào biểu thức ta được A == . 1− 5 2 c) Tính CAB=−. 2x x 2 x+ x 3 x Với , ta có CAB= − = − = = 1−x x − 1 1 − x 1 − x d) Tìm x để C . Với 3.0 Nếu xC=00 = = Vậy x= 0( tm ) . 10− 3xx− 3−3( x − 1) − 3 3 Nếu x 0 C = = = = −3 − 1−x x − 1 x − 1 x − 1 33 Để C = −−3 = = ( x − 1) U (3) = ( x − 1)  1; 3 xx−−11 Ta có bảng: x −1 −3 −1 1 3 x −2 (chọn) 0 (chọn) 2 (loại) 4 (chọn) Vậy x − 2;0;4 thì Bài 3. a) Với 09 x 2x x+− 1 3 11 x 2x x+− 1 3 11 x 2x( x− 3) +( x + 1)( x + 3) −( 3 − 11 x) A = + + = + − = x+3 x − 3 9 − x2 x+3 x − 3 x2 − 9 (xx+−33)( ) 2x22− 6 x + x + 3 x + x − 3 + 11 x 3x2 + 9 x33xx( + ) 3 x = ===. (xx+−33)( ) (x+3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3
10/ 43 Toán học là đam mê 3x x− 3 3 x b) Với 09 x , ta có: PAB= = = . x−3 x + 1 x + 1 9 3x 9 Ta có P= = =6 x 9.( x + += =− 1) 3 x 9 0 x 3 (thỏa mãn) 2x + 1 2 x − 3 c) Với thì B 1 1 x − 3 x + 1 − 3 1 (vô số nghiệm) x +1 33x 3( x +− 1) 3 d) P = = =3 − . x+1 x + 1 x + 1 Để P nguyên thì (x + 1) Ư(3) (xx +1)  1; 3  0; − 2;2; − 4 Bài 4. a) Với x 1 22 1x22− x + 3 1 x − x + 3 x+ x +13 −( x − x + ) A = − = − = x−1 x3 − 1 x − 1 ( x−1)( x22 + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) 2x − 221(x − ) 2 ===. (x−1)( x22 + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) xx2 ++1 22 2 x2 + 2 2 x+ x +12 −( x + ) b) Với thì PAB=:( 1 −) =2 : 1 − 2 = 2 : 2 x+ x +1 x + x + 1 x + x + 1 x + x + 1 2 x− 1 2 x2 + x + 1 2 =2:. 2 = 2 = . x+ x +1 x + x + 1 x + x + 1 x − 1 x − 1 2 Để P 1 1 x − 1 2 x 3 (thỏa mãn). x −1 x− 1 x 3x + 1 2x + 1 Bài 5. P:= − − 22 x+ 1 x − 1 1 − x x − 1 −1 a) Điều kiện xác định: x 1, x . 2 x−1 x 3 x + 1 2 x + 1 P = − − 22: x+1 x − 1 1 − x x − 1 2 ( x−1) x( x + 1) 31x + ( x + 1)( x − 1) = − + . ( x+1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 2 x + 1 x22−2 x + 1 − x − x + 3 x + 1 ( xx+−11)( ) = . ( x+1)( x − 1) 2 x + 1 22( xx+−11)( ) ==. ( x+1)( x − 1) 2 x + 1 2 x + 1 3 2 3 −5 b) P = = 2x1( −) = 32x1( +) 2x26x3 − = + x = ( TM) x− 1 2x + 1 x − 1 4
11/ 43 Toán học là đam mê 21 c) P 1 1 2 2 x + − 1 2 x − − 1 2 2 x − 1 x < 2x + 1 2 1 −1 Kết hợp với điều kiện x < và xx −1, . 2 2 x2 +2 x x − 5 50 − 5 x Bài 6. P = + + 2x++ 10 x 2 x( x 5) a) ĐKXĐ: xx 0, − 5 . 2 x2 +2 x x − 5 50 − 5 xx( x+ 2 x) 2( xx+− 5)( 5) 50 − 5 x b) P = + + = + + 210x+ x 2525 x( x +) x( x +) 2525 x( x +) x( x + ) x3+2 x 2 + 2 x 2 − 50 + 50 − 5 x x 3 + 4 x 2 − 5 xx( x−+15)( x ) x − 1 = = = = 2x( x+ 5) 2 x( x + 5) 2 x( x + 5) 2 x −1 c) P=0 = 0 x − 1 = 0 x = 1( TM ) 2 1x − 1 1 3 P= = 4( x −= −= = = 1) 2 4 x 4 2 4 x 6 x( TM ) 4 2 4 2 x −1 d) P 0 0 x − 1 0 x 1, kết hợp với ĐK x 1. 2 x −1 P 0 0 x − 1 0 x 1, kết hợp với ĐK x 1 và . 2 Bài 7. a) Rút gon P 3 2x 5 2 Với xx 1; , ta có: P = 2 − :3 + 2 2x− 5 x + 3 2 x − 3 1 − x 2x 5( x−− 1) 3(1 x ) 2 = −: + (2x− 3).( x − 1) (2 x − 3)(x − 1) 1 − x 1 − x 2x− (5 x − 5) 3 − 3 x + 2 = : (2x− 3)( x − 1) 1 − x −3xx + 5 − 1 − 1 =  = (2x− 3)( x − 1)3 x − 5 2 x − 3 b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2x −= 1 3 2x − 1 = 3 hoặc 2x − 1 = − 3 =24x hoặc 22x =− =x 2hoặc x =−1 −1 Với x = 2 thì P = = −1 2.2− 3 −−1 1 1 Với thì P = = = 2.(− 1) − 3 − 5 5
12/ 43 Toán học là đam mê c) Tìm x để P 1. −1 − 1 2 − 2x P 1 1 − 1 0 0 2x− 3 2 x − 3 2 x − 3 2− 2xx 0 1 TH1: 3 x  2xx− 3 0 2 2− 2xx 0 1 3 TH2: 3 1 x 2xx− 3 0 2 2 3 Vậy để P >1 thì 1 x 2 d) Tìm nguyên để P nguyên −1 Để thì: 2x −= 3 1 hoặc 2x − 3 = − 1 =24x hoặc 22x = 23x − =x 2(TMĐK) hoặc x =1(KTMĐK) Vậy để nguyên thì x = 2 Bài 8. a) Rút gọn A xx2 12 A = 1: +2 − 3 2 x+1 x − 1 x + x − x − 1 2xx2 + 1 1 2 =−22: x+1 x − 1 ( x + 1)( x − 1) 2x22++ 1 x 1 2 x =−2: 2 2 x+1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 2xx22+− 1 ( 1) = : x22+1 ( x + 1)( x − 1) 2x22+ 1 ( x + 1)( x − 1) 21x2 + = = xx22+−1 ( 1) x −1 −1 b) Tìm giá trị của tại x = 2 2 −1 21+ 2 Khi thì A = = −1 −1 −1 2 c) Tìm để A 1. 2x2+ 1 2 x 2 + 1 2 x 2 − x + 2 1 − 1 0 − 0xx 1 0 1. x−1 x − 1 x − 1
13/ 43 Toán học là đam mê Dạng 2: Phương trình và bất phương trình Bài 1. a) 5− (xx − 6) = 4(3 − 2 ) 5 −xx + 6 = 12 − 8 −xx +8 = 12 − 5 − 6 1 71xx = = 7 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S =  7 b) 34(252)−x − x = 8 x2 + x − 300 3 − 100x + 8 x22 = 8 x + x − 300 −101x = − 303 =x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3} 5x+ 2 8 x − 1 4 x + 2 c) − = − 5 6 3 5 5(5x + 2) − 10(8 x − 1) = 6(4 x + 2) − 50 25x + 10 − 80 x + 10 = 24 x + 12 − 50 −58 −79xx = 58 = 79 −58 Vậy phương trình có tập nghiệm S =  79 3xx++ 2 3 1 5 d) − =2x + 2 6 3 9x + 6 − 3 x − 1 = 12 x + 10 −5 −65xx = = 6 −5 Vậy phương trình có tập nghiệm S =  6 2x− 5 x + 8 x − 1 e) x − + =7 + 5 6 3 30x − 6(2 x − 5) + 5( x + 8) = 210 + 10( x − 1) 30x − 12 x + 30 + 5 x + 40 = 210 + 10 x − 10 =13x 130 =x 10 Vậy phương trình có tập nghiệm S= {10} 2(xx−+ 3) 13 4 5 f) −x +2 = 6x − 18 − 21 x + 42 = 13 x + 4 −28x = − 20 =x 7 21 7 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S =  7
14/ 43 Toán học là đam mê Bài 2. x = 3 x −=30 a) 2x ( x− 3) + 5( x − 3) = 0 (xx − 3)(2 + 5) = 0 −5 2x += 5 0 x = 2 −5 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 3; 2 b) (x2 − 4) − ( x − 2)(3 − 2 x ) = 0 (x − 2)( x + 2) − ( x − 2)(3 − 2 x ) = 0 x = 2 (xx − 2)(3 − 1) = 0 1 x = 3 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2; 3 c) (2xx+ 5)22 = ( + 2) (2xx + 5)22 − ( + 2) = 0 (xx + 3)(3 + 7) = 0 x =−3 x +=30 −7 3x += 7 0 x = 3 −7 Vậy phương trình có tập nghiệm S =− 3; 3 d) xx2 −5 + 6 = 0 x2 −2 x − 3 x + 6 = 0 x( x − 2) − 3( x − 2) = 0 x = 2 (xx − 2)( − 3) = 0 x = 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2;3 . e) 2x3+ 6 x 2 = x 2 + 3 x 2x2 ( x + 3) − x ( x + 3) = 0 x( x + 3)(2 x − 1) = 0 x = 0 x = −3 1 x = 2 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S =− 0; 3; 2
15/ 43 Toán học là đam mê 2 11 f) x+ +2 x + − 8 = 0( x 0) xx 1 Đặt xa+= x Khi đó phương trình trở thành: aa2 +2 − 8 = 0 a2 +4 a − 2 a − 8 = 0 a( a + 4) − 2( a + 4) = 0 (aa + 4)( − 2) = 0 a =−4 a = 2 1 +Với a = -4 x + = −4 x xx2 +4 + 1 = 0 (x + 2)2 = 3 x=+3 2( tm ) x= −3 + 2( tm ) 1 +Với a =2 x + = 2 xx2 −2 + 1 = 0 (x − 1)2 = 0 =x1( tm ) x Vậy phương trình có tập nghiệm S ={ − 3 + 1; 3 + 1;1} Bài 3. Giải PT 1 5 15 a) −= ĐK; x -1; x 2 x+1 x − 2 ( x + 1)(2 − x ) => xx−2 − 5( + 1) = − 15 x - 2 - 5x - 5 = -15 -4x = -15 + 5 + 2 -4x = -8 x = 2 (không thoả mãn ĐK) Vậy PT đã cho vô nghiệm. x−−1 x 5 x 2 b) −= ĐK: x 2; x −2. x+2 x − 2 4 − x2 => (x - 1). (x - 2) - x(x + 2) = 2 - 5x x2 - 3x + 2 - x2 - 2x = 2 - 5x 0.x = 0 Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 2; -2 x+5 x − 5 x + 25 c) −= ĐK: x 0; x -5; x 5 x2−5 x 2 x 2 + 10 x 2 x 2 − 50
16/ 43 Toán học là đam mê x+5 x − 5 x + 25 => −= x( x− 5) 2 x ( x + 5) 2( x − 5)( x + 5) 2(x + 5)2 -(x - 5)2 = x.(x + 25) 2x2 + 20x + 50 - x2 + 10x - 25 = x2 + 25x 5x = -25 x = - 5 (không thoả mãn ĐK) Vậy PT đã cho vô nghiệm. 1 3xx2 2 d) −= ĐK: x 1 x−1 x32−11 x + x + => x2 +x + 1 - 3x2 = 2x(x - 1) -2x2 + x + 1 - 2x2 + 2x = 0 4x2 - 3x - 1 = 0 (4x + 1)(x - 1) = 0 −1 = ( Đ퐾) [ 4 = 1( ℎô푛𝑔 Đ퐾) −1 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = { } 4 7 5−−xx 1 1 e) + = + ĐK: x 0; x 2 8x48xx2 − 2 x ( x−− 2) 8 x 16 =>7(x - 2) + 2(5 - x) = 4(x - 1) + x 7x - 14+ 10 - 2x = 4x - 4 + x 0.x = 0 Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 0; 2 7 1 1 f) += x2+3 x + 2 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 4 x + 3 7 1 1 += ĐK: x -1; x -2; x -3 (x+ 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 1)( x + 3) => 7(x +3) + x + 1 = x + 2 7x + 21 + x + 1 - x = 2 7x = 20 20 x = (TMĐK) 7 20 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = { } 7 Bài 4. − 5 = 1 = 6 a)| − 5| = 3 [ [ − 5 = −1 = 4 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {4; 6}
17/ 43 Toán học là đam mê 16 b) |−5 | = 3 − 16 ĐK: x ≥ 3 −5 = 3 − 16 −8 = −16 = 2 [ [ [ ( ℎô푛𝑔 Đ퐾) 5 = 3 − 16 2 = −16 = −8 Vậy PT đã cho vô nghiệm c) |2 + 1| = | − 1| 2 + 1 = − 1 = −2 [ [ 2 + 1 = 1 − = 0 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {-2;0} d) |2 + 1| − |5 − 2| = 3 −1 Khi x ≤ ta có: -2x - 1+ 5x - 2 = 3 2 3x = 6 x = 2 ( ℎô푛𝑔 Đ퐾) −1 2 Khi 7x = 4 4 x = ( ℎô푛𝑔 Đ퐾) 7 2 Khi x ≥ ta có: 2x + 1 - 5x + 2 = 3 5 -3x = 0 x = 0 ( ℎô푛𝑔 Đ퐾) Vậy PT đã cho vô nghiệm Bài 5. 2 a) ( x−3) x2 − 5 x + 4 x22 −6 x + 9 x − 5 x + 4 −6xx + 5 4 − 9 −x −5 x 5 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 5 2 b) ( x−3)( x + 3) ( x + 2) + 3 x22 −9 x + 4 x + 4 + 3 4xx 7 + 9 4 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4 4xx−− 5 7 c) 35 5.( 4xx − 5) 3.( 7 − ) 20xx − 25 21 − 3 23x 46 x 2 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 2
18/ 43 Toán học là đam mê 2x+ 1 3 − 5 x 4 x + 1 d) +3 − 2 3 4 6.( 2x + 1) + 3.12 4.( 3 − 5 x) − 3.( 4 x + 1) 12x + 6 + 36 12 − 20 x − 12 x − 3 12x + 20 x + 12 x 12 − 3 − 6 − 36 44x − 33 −3 x 4 −3 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 4 5x− 3 2 x + 1 2 − 3 x e) + − 5 5 4 2 4.( 5x − 3) + 5.( 2 x + 1) 10.( 2 − 3 x) − 100 20x − 12 + 10 x + 5 20 − 30 x − 100 20x + 10 x + 30 x 20 − 100 + 12 − 5 60x − 73 −73 x 60 −73 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 60 f) xx2 −4 + 3 0 x2 − x −3 x + 3 0 x.( x − 1) − 3.( x − 1) 0 ( xx −1)( − 3) 0 xx −1 0 1 xx−3 0 3 x 3 xx−1 0 1 x 1 xx−3 0 3 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 hoặc x 1 g) x32−2 x + 3 x − 6 0 (x32 −2 x) +( 3 x − 6) 0 x2.( x − 2) + 3.( x − 2) 0 ( xx −2)( 2 + 3) 0 ( x − 2) và (x2 + 3) phải cùng dấu, mà (xx2 +30)  xx −2 0 2 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2
19/ 43 Toán học là đam mê x + 2 h) 0 xx + 2 0 − 2 5 KL: Vây nghiệm của bất phương trình là x −2 x + 2 i) 0 x − 3 xx +2 0 − 2 −23 x xx−3 0 3 xx+2 0 − 2 (KTM) xx−3 0 3 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là −23 x x −1 k)1 x −3 x−1 x − 1 x − 3 x − 1 − x + 3 2 −1 0 − 0 0 0 x−3 x − 3 x − 3 x − 3 x − 3 2 và x −3 phải cùng dấu Mà 2>0 nên xx−3 0 3 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1. Gọi thời gian người đó đi xe máy từ A đến B là x (giờ) (x 0) . 2 2 +) Thời gian về ít hơn thời gian đi 40 phút ( 40 phút = giờ) nên thời gian về là: x − (giờ) 3 3 +) Lúc đi từ đến xe đi với vận tốc trung bình 40km / h nên quãng đường AB dài là: 40x (km) +) Lúc đi từ về , xe tăng vận tốc thêm 5km / h nên quãng đường AB dài là: 2 45 x − (km) 3 2 Ta có phương trình: 40xx= 45 x − = 6 (TMĐK) 3 Vậy quãng đường AB dài là 40.6= 240(km) 1 Bài 2. Đổi 30 phút = giờ. 2 Gọi thời gian ô tô đi từ đến là (giờ) . +) Thời gian ô tô đi từ A đến B rồi trở về A (không kể thời gian giao hàng) là: 1 7 7 10giờ −6 giờ − giờ = giờ. => Thời gian ô tô đi từ về là: − x (giờ) 2 2 2 +) Ô tô đi từ đến với vận tốc 40km / h nên quãng đường AB dài là: 40x ( km )
20/ 43 Toán học là đam mê 7 +) Ô tô đi từ B về A với vận tốc 30km / h nên quãng đường AB dài là: 30(− x )( km ) 2 73 Ta có phương trình: 40x= 30( − x) 70x = 105 x = (TMĐK) 22 3 Vậy quãng đường AB dài là: 40.= 60(km ) . 2 Bài 3. Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h), x > 0 Vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc của xe đạp Vận tốc của xe máy là 3x (km/h) Quãng đường AB dài 24 km 24 8 Thời gian xe máy đi từ A đến B là = (km/h) 3xx 24 Thời gian xe đạp đi từ A đến B là (km/h) x 1 Xe máy đi sau xe đạp 1 giờ và đến B trước xe đạp 20 phút = giờ, ta có phương trình 3 24 8 1 16 4 − =1 + = x = 12( tm ) x x33 x Vận tốc của xe máy là 12.3 = 36 (km/h) Vậy vận tôc của xe đạp là 12 km/h, vận tốc của xe máy là 36 km/h Bài 4. Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), x > 0 Quãng đường AB dài 90km 90 Thời gian dự định ô tô đi từ A đến B là (km/h) x Sau 1 giờ, ô tô đi được 1x = x (km/h) Quãng đường còn lại của ô tô sau khi đi được 1 giờ là 90 – x (km) Vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km/h Vận tốc của ô tô đi trên quãng đường còn lại là x + 10 (km/h) 90 − x Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là (giờ) x +10 1 Ô tô nghỉ 15 phút = giờ và đến B đúng dự định 4 Ta có phương trình: 90 1 90−x 90 5 90 − x 90 x + 410 2 x=−90( ktm ) =++1 =+ = +−xx 50 3600 = 0 x4 x+ 10 x 4 x + 10 x 4( x + 10) x= 40( tm ) Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h
21/ 43 Toán học là đam mê Bài 5. x Gọi chiều dài quãng đường AB là: x (x 0, km ) . Thời gian đi từ A đến B là: (giờ). 9 Quãng đường người đó đi từ B về A dài là: x +6 (km). x + 6 Vận tốc người đó đi từ B về A là: 9+= 3 12 (km/h). Thời gian đi từ B về A là: (giờ). 12 1 Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút = h nên ta có phương trình: 3 xx+ 61 − = 4x − 3x − 18 = 12 x = 30( tm d k ) 9 12 3 Vậy quãng đường AB dài 30km. Bài 6. 3 Từ 8h30’ đến 10h là 1h30’ = h. 2 3 Quãng đường người đi từ A – B đã đi được trong 1h30’ là: 40.= 60 (km) 2 Gọi thời gian xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: (x 0) (giờ) Quãng đường xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: 60x (km) Quãng đưỡng xe đi từ A đến B đến chỗ gặp là: 60+ 40x (km) Vì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB nên ta có phương trình: 60x= 40x + 60 20x = 60 x = 3( tm d k ) Vậy hai xe gặp nhau lúc: 10h+= 3 h 13 h . Bài 7. Gọi chiều dài quãng đường AB là (km, x 0 ). x Thời gian ca nô thứ nhất đi từ A đến B là: (giờ). 20 x Thời gian ca nô thứ hai đi từ A đến B là: (giờ). 24 2 xx2 Do ca nô thứ hai nghỉ 40 phút = giờ nên ta có phương trình: +=  x = 40 (thỏa) 3 24 3 20 Vậy quãng đường AB dài 40 km. Bài 8. Gọi vận tốc riêng của ca nô là: (km/giờ, ). Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: x + 2 (km/giờ). Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: x −2 (km/giờ). 7 1hh 10' = 6 Ta có: 3 1hh 30' = 2
22/ 43 Toán học là đam mê 73 Theo đề bài ta có phương trình: (x+ 2). = (x − 2).  x =16 (thỏa mãn ĐK) 62 77 Do đó quãng đường AB bằng: (x + 2). = (16 + 2). = 21 (km) 66 Vậy quãng đường AB dài 21 km. Bài 9. Gọi số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạc là x (áo) (x N * ) Số áo mà tổ đó đã may trên thực tế là: x + 20 (áo) x Thời gian tổ đó phải may theo kế hoạch là: (ngày) 30 x + 2 Thời gian thực tế tổ đó đã may là: (ngày) 40 Theo bài ra, ta có phương trình: xx+ 20 −=3 30 40 4xx 3(+ 20) 360 − = 120 120 120 4xx − 3( + 20) = 360 4xx − 3 − 60 = 360 =x 420(thỏa mãn) Vậy số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là 420 áo. Bài 10. Gọi số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là (tấn) (x 0) Số cá đội đánh cá đã đánh bắt trên thực tế là x +10 (tấn) x Thời gian đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là: (tuần) 20 xx++10 10 Thời gian thực tế đội đánh cá đã đánh bắt là: = (tuần) 20+ 6 26 Theo bài ra, ta có phương trình: xx+10 −=1 20 26 13xx 10(+ 10) 260 − = 260 260 260 13xx − 10( + 10) = 260 13xx − 10 − 100 = 260 =3x 360 =x 120 (thỏa mãn) Vậy số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là 120 (tấn)
23/ 43 Toán học là đam mê Bài 11. Gọi số áo len tổ 1 phải dệt theo kế hoạch là x (áo) (x N * ) Số áo len tổ 2 phải dệt theo kế hoạch là 140 − x (áo) 10 110 Thực tế, tổ 1 đã dệt được x+10% x = x + x = x (áo) 100 100 5 105 Thực tế, tổ 2 đã dệt được (140−x ) + (140 − x ) = (140 − x ) (áo) 100 100 Theo bài ra, ta có phương trình: 110 105 xx+(140 − ) = 150 100 100 110xx + 105(140 − ) = 15000 110xx + 14700 − 105 = 15000 =5x 300 =x 60 (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch số áo len tổ 1 phải dệt là 60 (áo) Theo kế hoạch số áo len tổ 2 phải dệt là 140−= 60 80 (áo) Bài 12. Gọi thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành xong công việc là (giờ) (x>12) 1 1giờ, người thứ hai làm được (công việc) x Vì hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong 1 công việc nên 1giờ hai người làm chung được (công việc) 12 11 4 giờ đầu hai người làm chung được 4=(công việc) 12 3 1 10 10 giờ sau người thứ hai làm được 10= (công việc) xx 1 10 10 2 10.3 Theo bài ra, ta có phương trình: +=1 = x = =15 (thỏa mãn) 3 x x 3 2 Vậy nếu người thứ hai làm một mình thì 15 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. 10 Bài 13. Ta có: 3 giờ 20 phút = giờ 3 Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là ( giờ) ( x 0 ). Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể). 10 3 Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1: = (bể), vậy trong một giờ vòi hai chảy một 3 10 31 mình được: − (bể). 10 x
24/ 43 Toán học là đam mê 4 Khi vòi thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được bể, ta có phương trình 5 1 3 1 4 1 3 4 sau: 3.+ 2. − = + = =x 5(TMĐK) x 10 x 5 x 5 5 Vậy vòi một chảy một mình trong 5(giờ) thì đầy bể. 3 1 1 Trong một giờ vòi hai chảy một mình được: −= (bể). 10 5 10 Vậy vòi hai chảy một mình trong 10 giờ thì đầy bể. Bài 14. Gọi số cuốn sách ban đầu ở giá thứ nhất là x (cuốn) ( xN *) thì số cuốn sách ở giá thứ hai ban đầu là 450 − x (cuốn). Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ nhất là x −50 (cuốn). Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ hai là 450−xx + 50 = 500 − (cuốn). 5 Vì nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng 4 5 5 số sách ở giá thứ hai nên ta có phương trình: xx−50 =( 500 − ) xx −50 = 625 − 4 4 9 xx =675 = 300(TMĐK). 4 Vậy số sách ở giá thứ nhất ban đầu là 300 cuốn. Số sách ở giá thứ hai ban đầu là 150 cuốn. Dạng 4: Các bài tập hình học. Bài 1. x C a) CMR ABE ADC 15 Xét ABE và ADC ADC có: B A chung 8 AB 82 == A I AE 12 3 10 AD 10 2 == D AC 15 3 12 E AB AD 2 y = = AE AC 3 Vậy (c-g-c) b) CMR AB DC= AD BE AB BE Vì (theo câu a) = AB DC = AD BE (đpcm). AD DC c) Tính DC biết BE=10 cm . AB BE 8 10 Ta có = = DC =12,5( cm) AD DC 10 DC
25/ 43 Toán học là đam mê d) CMR IB IE= ID IC Xét IBC và IDE Ta có BIC= DIE (đối đỉnh) BCI= IED (vì ABE ADC ) Suy ra IBC IDE (g-g) IB IC = IB IE = ID IC ID IE Vậy (đpcm). Bài 2. a) Chứng minh: AEC AFB A - Xét AEC và AFB : + A chung CE⊥ AB( gt ) CEA = 90   F +  CEA = BFA =90  BF⊥ AC( gt ) BFA = 90  E N AEC AFB (gg) M H b) Chứng minh: AE AB= AF AC rồi từ đó suy ra D C AEF ACB B AE AC - Ta có AEC AFB =(cạnh tương ứng tỉ lệ) =AE AB AF AC AF AB - Xét AEF và ACB : + chung AE AF + (cmt) = AC AB AEF ACB(c.g.c) c) Chứng minh: BDH BFC và BH BF+= CH CE BC2 - Xét ABC + BF và CE là đường cao (gt) + BF và CE cắt nhau tại H H là trực tâm của (đ/l 3 đường cao trong tam giác) AH là đương cao AD là đường cao AD⊥ BC - Xét BDH và BFC + BDH=90  = BFC (BF⊥⊥ AC; AD BC) + B chung BH BD BDH BFC (gg) = (cạnh tương ứng tỉ lệ) BC BF =BH BF BD BC (1)
26/ 43 Toán học là đam mê - Xét CHD và CBE + CEB= DHC =90  (CE⊥⊥ AB; AD BC) + B chung CHD CBE (gg) CH CD =(cạnh tương ứng) CB CE =CH CE CDCB (2) - Từ (1) và (2) ta có: BH BF+ CH CE = BD BC + CD BC = BC( BD + CD) = BC BC = BC 2 Vậy BH BF+= CH CE BC2 . d) Vẽ DM⊥ AB tại M , DN⊥ AC tại N . Chứng minh MN// EF - Ta có: +⊥) CE AB( gt)   CE//// MD HE MD (định lí từ vuông góc đến song song) MD⊥ AB( gt) +⊥) BF AC( gt)   BF//// DN HF DN ND⊥ AC( gt) - Xét AEH và AMD : HE// MD (cmt) AEH AMD (định lí Talet) AE AH =(cạnh tương ứng tỉ lệ) AM AD - Xét AFH và AND: HF// DN (cmt) AFH AND (định lí Talet) AF AH =(cạnh tương ứng tỉ lệ) AN AD AF AH AE AH AF AE - Vậy ==; thì = EF// MN ( định lí Talet đảo) AN AD AM AD AN AM Bài 3. a) Chứng minh CHB CBA. A + Ta có BH⊥ AC(gt) nên BHC vuông tại H . + Xét CHB và CBA ta có: H CHB== CBA 900 K M Chung C CHB CBA(g − g) . O 2 b) Chứng minh AB= AH.AC. N Xét BHA và ta có: B C I AHB== ABC 900 A chung AB AH BHA CBA(g − g) =(cặp cạnh tương ứng) =AB2 AH.AC(đpcm). AC AB
27/ 43 Toán học là đam mê c) Tính độ dài AC,BH. - Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABC vuông tại B ta có: AC2= AB 2 + BC 2 = 15 2 + 20 2 = 625 =AC 25cm - Ta có: AB2 = AH.AC (chứng minh trên) AB22 15 AH = = = 9cm AC 25 - Theo ý a) và ý b), ta có: CHB CBA và BHA CBA nên: CHB BHA BH BC BC.AH 20.9 = BH = = = 12cm . AH AB AB 15 d) Chứng minh BKI BCA. - Ta có: CHB BHA (chứng minh trên) =BCH ABH (1) - Tứ giác BKHI có: B= K = I = 900 nên là hình chữ nhật. =KI BH (tính chất hình chữ nhật) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo BH và IK =OB OK BOK cân tại =BKI KBH (2) Từ (1),(2) = BKI BCH - Xét BKI và BCA có: BKI= BCH Chung B BKI BCA(g.g) . e) Tính diện tích BKN . – Ta có: BM là trung tuyến của vuông tại nên: BM= AM AMB cân tại M =BAC ABM Mà: (cmt) và: BAC+= BCH 900 BKI + ABM = 900 (cmt) Suy ra: vuông tại N . - Ta có: + KI== BH 12cm BK KI + BKI BCA = BC CA BC.KI 20.12 BK = = = 9,6cm CA 25
28/ 43 Toán học là đam mê - Xét BKN và BCA có: BNK== ABC 900 BKN= BCA (cmt) BKN ACB(g.g) 22 SBKN BK 9,6 92,16 = = = SACB AC 25 625 11 Mà: S= BA.BC = .15.20 = 150cm2 ACB 22 92,16 92,16 S = .S = .150 = 22,1184cm2 . BKN625 ACB 625 Bài 4. K a) Chứng minh AIB ∽ AEC F Xét và AEC có: A là góc chung. AIB== AEC 900 D Q C Do đó: (g.g) I b) Chứng minh AIE ABC Do AI AB AI AE = = A B E AE AC AB AC Xét và ABCcó: là góc chung. Do đó: AIE (c.g.c) c) Chứng minh: AB.AE+= AF.CB AC2 AI AE Ta có: = AB.AE = AC.AI (1) AB AC Xét AFCvà CIB có: FAC= ICB (so le trong). AFC== CIB 900 Do đó: AFC CIB (g.g) AF AC AF CI = = AF.CB = AC . CI (2) CI CB AC CB Từ (1) và (2) AB. AE + AF. CB = AC . AI + AC . CI = AC .( AI + CI ) = AC2
29/ 43 Toán học là đam mê d) Chứng minh: BI2 = IK. IQ IQ IC Xét tam giác ABI có: AB/ / QC = (3) (Theo hệ quả định lí Ta-let) IB IA IC IB Xét tam giác BIC có: BC/ / AK = (4) (Theo hệ quả định lí Ta-let) IA IK IQ IB Từ (3) và (4) = IB.IB = IK.IQ IB IK Vậy BI2 = IK.IQ (đpcm) Bài 5. a) Chứng minh rằng: BDC đồng dạng với A B EDB từ đó suy ra BD2 = DC.DE . Xét và có: BDC chung O F K BCD= DBE = 90  I => đồng dạng với (g.g) D C E BD DC => = => DE BD b) Tính DB,CE . Ta có: DCB vuông tại C => BD222=+ BC DC => BD= 5( cm) BD2 25 Ta có => DE==( cm) DC 4 25 9 Mà DE=+ DC CE => CE= DE − DC = − 4 = ( cm) 44 c) Chứng minh được CE BD IF EI Xét EBO có: IF BO => = (hệ quả định lý Talet) BO EO IC EI Xét EDO có: IC DO => = (hệ quả định lý Talet) DO EO IF IC => = BO DO Mà BO= DO ( ABCD là hình chữ nhật) => IF= IC => I là trung điểm của đoạn CF . d) Chứng minh rằng ba điểm D,K ,F thẳng hàng. IK CI Xét BOK có CI BO => = (hệ quả đl Talet) OK OB
30/ 43 Toán học là đam mê OK OD Mà IC== IF;OD OB => = IK IF OK OD Xét KOD và KIF có: DOK== FIK( BD CF) ; IK IF => đồng dạng (c.g.c) => OKD= IKF => OKD+ DKE = IKF + DKE => DKF= 180 => D,K ,F thẳng hàng. Bài 6. a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB - Xét ADB và AEC , có: BAD chung BDA== CEA 900 ADB AEC (g-g) -Vì ADB AEC (chứng minh trên) AD AB AD AE = = AE AC AB AC - Xét AED và ACB , có chung AD AE = (chứng minh trên) AB AC AED ACB (c-g-c) b) Chứng minh: HE HC= HD HB - Xét BHE và CHD , có BHE= CHD (đối đỉnh) BEH== CDH 900 BHE CHD( g − g) HB HE = (tính chất) HC HD =HE HC HD HB c) Chứng minh: HMK,, thẳng hàng và AED= ACB BD⊥ AC( gt)  - Ta có  BD// CK hay BH/ / CK ( 1) (từ ⊥ đến //) CK⊥ AC( gt) CE⊥ AB( gt)  - Ta có  CE//B K hay CH/ / B K ( 2) (từ đến //) BK⊥ AB( gt)
31/ 43 Toán học là đam mê - Từ (1) và (2) BHCK là hình bình hanh BC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Mà M là trung điểm của BC M cũng là trung điểm của HK Hay H, M, K thẳng hàng d) AH cắt BC tại O. Chứng minh BE BA+= CD CA BC2 - Xét BAO và BCE , có ABC chung BEC== AOB 900 BA BO BAO BCE( g. g) =( t / c) BA . BE = BO . BC ( 3) BC BE CD CB Chứng minh tương tự ta có: CDB COA( g − g) = CD. CA = BC . CO( 4) CO CA Từ (3) và (4) BE BA + CD CA = BC BO + BC CO = BC( BO + CO) = BC BC BE BA + CD CA = BC2 (đpcm). HO HD HE e) Chứng minh: + + =1 AO BD CE 1  1 SBHC = HO. BC HO. BC 2 S BHC 2 HO - Ta có:  = = 1 S1 AO S= AO. BC ABC AO. BC ABC 2  2 1 HD.AC S HD - CMTT: AHC ==2 S1 BD ABC BD.AC 2 1 HE.AB S HE Suy ra AHB ==2 S1 CE ABC CE.AB 2 HO HD HE SSSSSSS ++ + + =BHC + AHC +AHB = BHC AHC AHB = ABC AO BD CE S S S S S ABC ABC ABC ABC ABC HO HD HE + + =1(dpcm) AO BD CE f) Chứng minh H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE - Ta có AED ACB( cmt) AED = ACB (2 góc tương ứng) BE BO - Do BA BE= BO BC( cmt) = BC BA
32/ 43 Toán học là đam mê -Xét BEO và BCA , có: ABC chung BE BO = (cmt) BC BA BEO BCA( g.6 g) BEO = ACB ( ) Từ (5) và (6) =AED BEO AED+= DEC 900  Ta có:  =DEC OEC EH là phân giác của DOE 0 BEO+= OEC 90  CMTT: OH là phân giác của EOD Vậy H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE g) Cho góc ACB = 450 , Gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN - Xét vDIP và vDCN , có: Có PDI chung vDIP vDCN( g − g) 22 S DIP DP 11 = = = . S DCN DC 24 SSS− S 13 Ta có: CPIN= DCN DIP =1 − DIP = 1 − = . SSS DCN DCN DCN 44 3 Vậy tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN bằng . 4 h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật? - Giả sử BHCK là hình thoi =HBC HCB mà ADB AEC ABD = ACE HBC + ABD = HCB + ACE =ABC ACB ABC cân tại A Vậy ABC cân tại A thì BHCK là hình thoi - Giả sử BHCK là hình chữ nhật BHC =9000 EHD = 90 Xét tứ giác: AEHD , có EHD=900 , AEH = 90 0 , ADH = 90 0 AEHD là hình chữ nhật =BAC 900 vuông tại A Vậy vuông tại A thì BHCK là hình thoi.
33/ 43 Toán học là đam mê Bài 7. a) Xét ∆ và ∆ 퐹퐾 có: ̂ = 퐹퐾̂ = 900 ̂ = 퐾 퐹̂ (vì CK là tia phân giác góc FCM) Do đó ∆ ~ ∆ 퐹퐾 (g.g) ⇒ = (1) 퐹 퐾 Xét ∆ 퐹 có CI là đường phân giác của góc ACB nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: = (2) 퐹 퐹 Từ (1) và (2) suy ra = = 퐹 퐾 퐹 Vì ∆ ~ ∆ 퐹퐾 nên ̂ = 퐾퐹̂ , mà ̂ = 퐾 퐹̂ . Do đó 퐾퐹̂ = 퐾 퐹̂ ⇒∆퐹퐾 cân tại F ⇒ FI = FK. b) Tứ giác AEMF có ̂ = 900 (Vì ˔ ) 퐹̂ = 900(Vì ∆ vuông tại A); 퐹 ̂ = 900 (Vì 퐹˔ ) Do đó tứ giác AEMF là hình chữ nhật. c) Xét ∆ và ∆ 퐹 có: 퐹 ̂ chung; ̂ = 퐹 ̂ = 900 Do đó ∆ ~ ∆ 퐹 (g.g) Xét ∆ và ∆ có: ̂ chung; ̂ = ̂ = 900 Do đó ∆ ~ ∆ (g.g) ⇒ = ⇒ . = . d) Vì ∆ ~ ∆ 퐹 nên = ⇒ 퐹. = . (3) 퐹 Vì ∆ ~ ∆ nên = ⇒ . = . (4) Vì AM là đường trung tuyến của ∆ nên M là trung điểm của BC ⇒ = (5) Từ (3), (4), (5) ⇒ . = . e) Xét ∆ có M là trung điểm của BC; ∕∕ (Vì cùng vuông góc với AB). ⇒M là trung điểm của AB. ⇒ = 2 (6). Xét ∆ 푣à ∆ có: ̂ chung; ̂ = ̂ = 900 Do đó ∆ ~ ∆ (𝑔. 𝑔) ⇒ = ⇒ 2 = . (7) Từ (6), (7) ⇒ . = (2 )2 hay . = 4 2
34/ 43 Toán học là đam mê Bài 8. a) Chứng minh CAI CBN A Ta có ACI+ ICB = 900 (do ABC vuông tại C ) I ICB+ BCN =900 (doCI ⊥ MN) M Nên ACI= BCN (1) 0 C B Ta lại có CAB+ CBA =90 (do ABC vuông tại ) x CBA+ CBN =900 (do By ⊥ AB ) Nên CAB= CBN (2) Từ (1) và (2) suy ra CAI CBN (g.g) N b) Chứng minh AB NC= NI CB . y Xét CAB và CIN , ta có: ACB== ICN 900 CA CI =(do CAI CBN) CB CN Suy ra CAB CIN (c.g.c) AB CB = IN CN Vậy c) Chứng minh góc MIN là góc vuông. Ta có CAB CIN (cmt) CAB CIN CIM MAC Mà CAB + MAC =900 +CIN CIM =900 Hay góc là góc vuông d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC . 1 S= CACB. ABC 2 11 S== IM IN IC MN IMN 22 S IM IN IC MN IMN = = S ABC CACB CACB SS IMN= 2. ABC =IM. IN 2 CACB . Suy ra I là trung điểm AB.
35/ 43 Toán học là đam mê Bài 9. a) Tính IP . M N 0 Xét NIP có NIP = 90 (NI là đường cao): 1 2 NP2=+ NI 2 IP 2 (Định lý Py – ta – go) 15222 = 12 + IP K IP2 =225 − 144 = 81 Q H E I P =IP9( cm ) b) Chứng minh QN⊥ NP Có QP= QI + IP =16 + 9 = 25( cm ) Xét QNI có QIN = 900 (NI là đường cao): NQ2=+ NI 2 IQ 2 (Định lý Py – ta – go) QN 2 =12 2 + 16 2 QN 2 =144 + 256 = 400 =QN20( cm ) Xét QNP có: QP2= QN 2 + NP 2(25 2 = 20 2 + 15 2 ) QNP vuông tại N ⊥QN NP c) Tính diện tích hình thang MNPQ Kẻ MH⊥ QP Có IH= QP − QH − IP =25 − 9 − 9 = 7( cm ) Xét QMH và PNI có: MQ= NP ( là hình thang cân) MHQ== NIP( 900 ) MQH= NPI ( là hình thang cân) QMH = PNI (ch − gn) QH = IP = 9 cm (2 cạnh tương ứng) Xét tứ giác MNIH có MN//;//() IH MH NI⊥ QP tứ giác là hình bình hành MN = IH = 7( cm ) (MN++ QP ). NI (7 25).12 S = = =192( cm2 ) MNPQ 22 d) Gọi E là trung điểm của PQ . Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt tại K . Chứng minh rằng KN2 = KP. KQ . Xét vuông tại (cmt) có là trung điểm của QP
36/ 43 Toán học là đam mê 1 NE = QE = PE = QP (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) 2 QNE cân tại E =EQN N1 (tính chất tam giác cân) (1) 0  N1 += ENP 90 Mặt khác,  =NN12(2) 0 N2 += ENP 90  Từ và =EQN N2 Xét KNQ và KPN có: K chung EQN= N2 KN KQ KNQ KPN(.) g g = =KN2 KP. KQ (đpcm). KP KN Bài 10: A * Ta có AH // OM (cùng vuông góc với BC) B' MN // AB (chứng minh được MN là đường trung bình của ABC ) H N =BAH OMN (góc có cạnh tương ứng song song) G' O * Chứng minh tương tự ta được ABH= ONM B C * Xét ABH và MNO có BAH= OMN ; A' M nên đồng dạng với AH AB AB AH = , mà = 2 ( tc đường trung bình MN) =2 OM MN MN OM * Gọi giao điểm của HO với AM là G’, ta sẽ chứng minh G’ trùng với G. - Thật vậy ta có HAG''= G MO (AH //OM); AG'H= MG ' O ( đối đỉnh) nên AHG' đồng AG'' AH HG dạng với MOG' => = = = 2 G'' M OM G O => G’ là trọng tâm , hay GG'  G’. Khi đó có H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO Bài 11. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ AB=12 cm BC= 9 cm nhật. AE=10 cm Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: 2 Stp= S xq +2. S d =( 12 + 9) .2.10 + 2.12.9 = 636( cm ) . Thể tích hình hộp chữ nhật là: V= AB. AD . AE = 12.9.10 = 1080( cm3 ) .
37/ 43 Toán học là đam mê b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng OI song song với những mặt phẳng nào? Ta có: - ABFE là hình chữ nhật suy ra AE// BF và AE= BF (1) - BCFG là hình chữ nhật suy ra BF// CG và BF= CG (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE// CG và AE= CG. Do đó ABGC là hình bình hành. Ta có: OA= OC và EI= IG OI là đường trung bình của hình bình hành AEGC . Nên OI////. AE CG Mà AE mp( AEHD) Do đó IO// mp( AEHD) Tương tự: IO// mp( BCGF ) , IO// mp( AEFB) , IO// mp( DCGH ) c) Chứng tỏ hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình chóp đều. Ta có: IO//;. AE AE⊥ AC IO ⊥ AC Tương tự ta có: IO⊥ OB. Xét IOC và IOB có: IO chung IOC== IOB 90o OC= OB (Do ABCDlà hình chữ nhật) Suy ra IOC = IOB =IC IB. Tương tự: IA= IB = IC = ID Suy ra hình chóp I. ABCD có các mặt bên là tam giác cân. Mà là hình chữ nhật có AB BC Nên hình chóp không là hình chóp đều. d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD. Xét ABC vuông tại B : AC2=+ AB 2 BC 2 Suy ra AC= AB2 + BC 2 =12 2 + 9 2 = 15( cm) AC OC = OA = = 7,5( cm) . 2 Xét OIC vuông tại O : IC2=+ OC 2 OI 2 Suy ra IC= OC2 + OI 2 =7,5 2 + 10 2 = 12,5( cm) . Kẻ IK⊥ CB . Xét ICB cân tại I có IK là đường cao suy ra là đường trung tuyến.
38/ 43 Toán học là đam mê CB 9 Nên CH= HB = = = 4,5( cm) . 22 Xét ICK vuông tại I : IK2=− CI 2 CH 2 IK =12,522 − 4,5 11,66( cm) . Diện tích xung quanh của hình chóp I. ABCDlà: 1 2 Sxq=4. S IBC = 4. IH . BC = 2.11,66.9 = 209,88( cm ) . 2 Dạng 5. Một số bài tập nâng cao. Bài 1. 1) a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ca 2a2 + 2 b 2 + 2 c 2 2 ab + 2 bc + 2 ca (a2 −2 abb + 2) +( b 2 − 2 bcc + 2) +( c 2 − 2 caa + 2 ) 0 2 2 2 (a − b) +( b − c) +( c − a) 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra abc = = 2 2) 3(a2+ b 2 + c 2 ) ( abc + +) 3( abbcca + + ) 2 Ta chứng minh: 3(a2+ b 2 + c 2 ) ( a + b + c) 3a2 + 3 b 2 + 3 c 2 abc 2 + 2 + 2 + 2 abbc + 2 + 2 ca 2a2 + 2 b 2 + 2 c 2 2 ab + 2 bc + 2 ca (luôn đúng) 2 Ta chứng minh: (a+ b + c) 3( ab + bc + ca) Theo trên ta có a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ca a2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 bc + 2 ca 3 ab + 3 bc + 3 ca 2 (a + b + c) 3( ab + bc + ca) Dấu “=” xảy ra 2 3) (a+ b − c) 4 a( b − c) a2 +24 a( b − c) +( b − c)2 a( b − c) a2 −20 a( b − c) +( b − c)2 2 (a − b + c) 0 (luôn đúng) 2 xy22( xy+ ) 4a) + (ab,0 ) a b a+ b Dùng phép biến đổi tương đương và ab,0 ta có:
39/ 43 Toán học là đam mê 22 2 xy( xy+ ) 2 + xbab22( +) + yaab( +) ( xyab + ) a b a+ b x2 ab + x 2 b 2 + y 2 a 2 + y 2 ab x 2 ab +2 xyab + y 2 ab x2 b 2 −20 xyab + y 2 a 2 2 (bx − ay) 0 (luôn đúng) xy Dấu “=” xảy ra bx = ay = ab 2 x2 y 2 z 2 ( x++ y z) 4b) + + (abc, , 0) a b c a++ b c 22 x2 y 2 z 2( x+ y) z 2 ( x + y + z) Ta có + + + (abc, , 0) a b c a+ b c a + b + c x y z Dấu “=” xảy ra = = a b c 2 4c) (ax+ by) ( a2 + b 2)( x 2 + y 2 ) a22 x +2 abxy + b 22 y a 22222222 x + a y + b x + b y 2abxy a2 y 2 + b 2 x 2 a2 y 2 + b 2 x 2 −20 abxy 2 (ay − bx) 0 (luôn đúng) 2 2 2 5) Với a,b,c là các số thực thỏa mãn a+ b + c + ab + bc + ca = 6.Chứng minh abc+ + 3 2 2 (abc++) Từ (a+ b + c) 3( ab + bc + ca) ab + bc + ca 3 (abc++)2 ab + bc + ca =6 −( a + b + c) 3 (a + b + c)2 +3( a + b + c) − 18 0 (a + b + c +6)( a + b + c − 3) 0 abc+ + 3 abc+ + −6 2 (abc++) 32 abc2 + 2 + 2 = 3 33 Dấu “=” xảy ra abc = = =1 Bài 2. Ta có: 10a2− 3 b 2 + ab = 0 10 a 2 + 6 ab − 5 ab − 3 b 2 = 0 2a( 5 a + 3 b) − b( 5 a + 3 b) = 0 (2a − b)( 5 a + 3 b) = 0 20ab − = hoặc 5ab+= 3 0
40/ 43 Toán học là đam mê =2ab hoặc 53ab=− (không thỏa mãn do b > a > 0) Thay ba= 2 vào biểu thức A, ta được: 2a−− 2 a 5.2 a a 0 9 a 9 9 A = + = + =0 + = 3a−+ 2 a 3 a 2 a a 5 a 5 5 9 Vậy A = 5 Bài 3. Từ đề bài: (x + y)2 = (x - 2).(y + 2)  x2 + 2xy + y2 = xy + 2x – 2y – 4  x2 + xy + y2 – 2x + 2y + 4 = 0  2x2 + 2xy + 2y2 – 4x + 4y + 8 = 0  (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 + 4y + 4) = 0  (x + y)2 + (x - 2)2 + (y + 2)2 = 0 (*) 2 (x+ y) 0  xy xy+=0 2 x = 2 Vì (xx− 2) 0  nên (*)  x −=20  y =−2 2 (yy+ 2) 0  y +=20 Do dó: A = 22 + (-2)2 = 8 Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức 6 6 3 3 1) A =2 = = = 2 4xx++ 4 3 223 1 1 1 1 4 x+ x + 2 x + 2. x + + 21 x ++ 4 2 4 2 2 22 1 1 3 Ta có: 2 x+  0, x 2 x + +  1 1, x2  3, x A 3 22 1 21 x ++ 2 11 Dấu “=” xảy ra xx + =0 = − 22 1 Vậy GTNN của A là 3 tại x =− 2 −4 − 4 − 4 2) B = = = 6+ 4x + x22 x + 4 x + 4 + 2 (x ++22)2 2 Ta có:( xx+2) 0,  22−4 +(x222) +  + , x( x 222,) +  x − − 2, x B 2 (x ++22)2 Dấu “=” xảy ra xx +2 = 0 = − 2 Vậy GTNN của B là -2 tại x =−2
41/ 43 Toán học là đam mê xx2 −+33 3) Cx= ( 1) xx2 −+21 2 2 ( x−2 x + 1) − x + 1 + 1 ( xx−1) −( − 1) + 1 11 = = =1 − + ( x−1)2( x − 1) 2x −1 ( x + 1) 2 2 1 22 1 1 3 1 3 Đặt = y =−+=C1 y y y − 2. y ++=− y + x −1 2 4 4 2 4 22 1 1 3 3 Ta có: y− 0  y y − +  y 2 2 4 4 1 1 1 1 Dấu “=” xảy ra −= = y0 y = −= = x 1 2 x 3( TM ) 2 2x − 1 2 3 Vậy GTNN của C là tại x = 3 4 1xx 1 15 4) Dx= + = + + xx16 16 x 1 Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương và ta có: 16 x 1x 1 15 x x 1 15 x 1 15 x 1 15 x Dx=+=++ 2 . += 2 +=+ x16 x 16 16 x 16 16 16 2 16 15x 15.4 15 1 15 17 Do x 4 nên = Suy ra D + = 16 16 4 2 4 4 x 1 x= 4( TM ) Dấu “=” xảy ra = x2 =16 16 x x=−4( KTM ) 17 Vậy GTNN của D là tại x = 4 4 22 12x+ 34 x2 + 12 x + 36 − x 2 − 2(xx++66) x 2 + 2 ( ) 5) Q = = = − = −1 x2+2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 + 2 ( xx++66)22( ) Ta có: 0 xx − 1 − 1  xx22++22 Dấu “=” xảy ra xx +6 = 0 = − 6 Vậy GTNN của Q là −1 tại x =−6 6) E= x −1 + 2 x − 2 + x − 3 + 4 E −+−+ x1 3 x 2 x −+= 2 4 2 x −+ 2 6 6 ( xx−1)( 3 −) 0 13 x Dấu “=” xảy ra x = 2 x −=20 x = 2 Vậy GTNN của E là 6 tại x = 2
42/ 43 Toán học là đam mê Bài 5. a3+ b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của Q = + + ab bc ca abbccaabbcca333333222222+ + + Q = + + = + + + + + ab bc ca b a c b a c a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 = ++++++++++b a c b a +−++ c 2( a b c) b a c b a c a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Vì abc 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. b a c b a c a2 aa22 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và b có: +b 2 . b = 2 a2 = 2 a . b bb b2 b 2 c 2 c 2 a 2 Hoàn toàn tương tự ta có: +a 2 b ; + c 2 b ; + b 2 c ; + a 2 c ; + c 2 a . a c b a c Suy ra Q 4( a ++− b c) 2( a ++= b c) 2( a ++= b c) 2.6 = 12. a2 =b a = b b Dấu ""= xảy ra abc = = = 2. Khi đó Q đạt GTNN bằng 12. a2 =c a = c c abc+ + = 6 2) A= x22 + y − xy − x +4 y + 600 4A = 4 x22 + 4 y − 4 xy − 4 x + 16 y + 2400 4A =( 4 x2 − 4 xy + y 2) −( 4 x − 2 y) +( 3 y 2 + 14 y) + 2400 2 2 7 49 49 =−−4A ( 2 x y) 2( 2 x −++ y) 1 3 y + 2. y ++ 2400 −− 1 3 9 3 2 2 7 7148 7148 4A =( 2 x − y − 1) + 3 y + + 3 3 3 7148 1787 Khi đó AA :4 33 −2 2xy− − 1 = 0 x = 3 Dấu bằng xảy ra 7 y +=0 −7 3 y = 3 1787 −−27 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi xy==; 3 33
43/ 43 Toán học là đam mê mx+−51 x Bài 6. + 2 (1) và (x2 + 1)(x + 22) 0 (2) 12 2 Ta có: x2 + 1 1, x x2 + 1 0, x (2) x + 22 0 x −22 mx +−5 6(x 1) 24 (1) + 12 12 12 mx +5 + 6 x − 6 24 mx +6 x 24 − 5 + 6 (m + 6) x 25 25 - Trường hợp 1: m+6 0 m − 6 x m + 6 25 - Trường hợp 2: m+6 0 m − 6 x m + 6 m −6 m −6 m −6 −157 (1) (2) 25 −157 m = =−22 −22(m + 6) = 25 m = 22 m + 6 22 −157 Vậy với m = thì hai bất phương trình đã cho tương đương. 22