Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

1. Đ3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI ➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương phỏp giải. • Để giải phương trỡnh chứa ẩn trong dấu giỏ trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tỡm cỏch để khử dấu GTTĐ, bằng cỏch: – Dựng định nghĩa hoặc tớnh chất của GTTĐ. – Bỡnh phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. • Phương trỡnh dạng f (x) = g(x) ta cú thể giải bằng cỏch biến đổi tương đương như sau ộf (x) = g(x) f (x) = g(x) Û ờ hoặc f (x) = g(x) Û f 2(x) = g2(x) ờf (x) = - g(x) ởờ 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau a) 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 . A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 3x - 2 = 3 - 2x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm c) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm d) 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ộ ờ 5 ± 45 ộ 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 ộx 2 - 5x - 5 = 0 ờx = a) Phương trỡnh Û ờ Û ờ Û ờ 2 ờ2x + 1 = - (x 2 - 3x - 4) ờx 2 - x - 3 = 0 ờ 1 ± 13 ởờ ởờ ờx = ởờ 2 5 ± 45 1 ± 13 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = và . 2 2 3 b) Cỏch 1: Với 3 - 2x ta cú VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm 2 3 Với 3 - 2x ³ 0 Û x Ê khi đú hai vế của phương trỡnh khụng õm suy ra 2 2 2 Phương trỡnh Û 3x - 2 = (3 - 2x ) Û 9x 2 - 12x + 4 = 4x 2 - 12x + 9
2. Û 5x 2 = 5 Û x = ± 1 (thỏa món) Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = ± 1 . 2 Cỏch 2: Với 3x - 2 ³ 0 Û x ³ : Phương trỡnh tương đương với 3 3x - 2 = 3 - 2x Û 5x = 5 Û x = 1 (thỏa món) 2 Với 3x - 2 < 0 Û x < : Phương trỡnh tương đương với 3 - (3x - 2) = 3 - 2x Û x = - 1 (thỏa món) Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = ± 1 . 17 c) Với 4x - 17 < 0 Û x < ta cú VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm 4 17 Với 4x - 17 ³ 0 Û x ³ khi đú hai vế của phương trỡnh khụng õm suy ra 4 2 2 2 2 Phương trỡnh Û x 2 - 4x - 5 = (4x - 17) Û (x 2 - 4x - 5) = (4x - 17) ộ ộx = 2 ộx 2 - 8x + 12 = 0 ờ ờ Û (x 2 - 8x + 12)(x 2 - 22) = 0 Û ờ Û ờ ờx = 6 ờ x 2 - 22 = 0 ờ ởờ ởờ ờx = ± 22 ởờ 17 Đối chiếu với điều kiện x ³ thấy chỉ cú x = 6 và x = 22 thỏa món 4 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 6 và x = 22 . d) Ta cú 2x - 5 ³ 0, 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 suy ra 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0. ùỡ 5 ù x = ù ùỡ 2x - 5 = 0 ù 2 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ớù Û ớù ộx = 1 Û x = . ù 2x 2 - 7x + 5 = 0 ù ờ 2 ợù ù ờ 5 ù ờx = ợù ờở 2 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = . 2 Nhận xột: Đối với phương trỡnh dạng f (x) = g(x) (*) ta cú thể biến đổi tương đương như sau
3. ùỡ g(x) ³ 0 ùỡ g(x) ³ 0 ù f (x) = g(x) Û ớù Û ớù ộf (x) = g(x) ù f 2(x) = g2(x) ù ờ ợù ù ờf (x) = - g(x) ợù ởờ ộỡù f (x) = g(x) ờớù ờù f (x) ³ 0 Hoặc f (x) = g(x) Û ờợù ờỡ ờù - f (x) = g(x) ớù ờù f (x) < 0 ởờợù Vớ dụ 2: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau 2 a) (x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) 4x (x - 1) = 2x - 1 + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 9 x 2 - 2x - 2 c) x 2 + + 1 = 2x + 7 2 (x - 1) x - 1 A.4 nghiệmB.6 nghiệmC.8 nghiệm D.10 nghiệm Lời giải: a) Đặt t = x + 1 ,t ³ 0 . ột = 1 Phương trỡnh trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û ờ ờt = 2 ởờ ộx = 0 Với t = 1 ta cú x + 1 = 1 Û x + 1 = ± 1 Û ờ ờx = - 2 ởờ ộ x = 1 Với t = 2 ta cú x + 1 = 2 Û x + 1 = ± 2 Û ờ ờx = - 3 ởờ Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = - 3,x = - 2,x = 0 và x = 1 b) Phương trỡnh tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0 Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 ị t 2 = 4x 2 - 4x + 1 ị 4x 2 - 4x = t 2 - 1 . ột = - 1 Phương trỡnh trở thành t 2 - 1- t - 1 = 0 Û t 2 - t - 2 = 0 Û ờ ờt = 2 ởờ
4. ộ 3 ộ2x - 1 = 2 ờx = Vỡ t ³ 0 ị t = 2 nờn 2x - 1 = 2 Û ờ Û ờ 2 ờ2x - 1 = - 2 ờ 1 ởờ ờx = - ởờ 2 3 1 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = và x = - . 2 2 c) ĐKXĐ: x ạ 1 2 9 3 Phương trỡnh tương đương x - 1 + = 7 x - 1- ( ) 2 (x - 1) x - 1 3 Đặt t = x - 1- x - 1 2 9 2 9 Suy ra t 2 = x - 1 + - 6 ị x - 1 + = t 2 + 6 ( ) 2 ( ) 2 (x - 1) (x - 1) ột = 1 Phương trỡnh trở thành t 2 + 6 = 7t Û t 2 - 7t + 6 = 0 Û ờ ờt = 6 ởờ 3 x 2 - 2x - 2 x 2 - 2x - 2 Với t = 1 ta cú x - 1- = 1 Û = 1 Û = ± 1 x - 1 x - 1 x - 1 ộ ộ ờ ờ 3 ± 13 ờx 2 - 3x - 1 = 0 ờx = Û ờ Û ờ 2 (thỏa món) ờx 2 - x - 3 = 0 ờ 1 ± 13 ờ ờx = ởờ ởờ 2 3 x 2 - 2x - 2 x 2 - 2x - 2 Với t = 6 ta cú x - 1- = 6 Û = 6 Û = ± 6 x - 1 x - 1 x - 1 ộ 2 ộ ờx - 8x + 4 = 0 ờx = 4 ± 2 3 Û ờ 2 Û ờ (thỏa món) x + 4x - 8 = 0 x = - 2 ± 2 3 ởờ ởờ 3 ± 13 1 ± 13 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = , x = , x = 4 ± 2 3 và x = - 2 ± 2 3 . 2 2 Vớ dụ 3: Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau a) mx + 2m = mx + x + 1 (*) 1 A. m = - phương trỡnh (*) nghiệm đỳng với mọi x . 2 1 B. m ạ - phương trỡnh (*) cú hai nghiệm là x = - 1 và x = 2m - 1 2
5. C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai b) mx + 2x - 1 = x - 1 ( ) A. m = - 1 phương trỡnh (*) nghiệm đỳng với mọi x B. m = - 3 phương trỡnh (*) cú nghiệm x = 0 2 C. m ạ - 1 và m ạ - 3 phương trỡnh (*) cú nghiệm x = 0 và x = . m + 3 D. Cả A, B, C đều đỳng Lời giải: ộ mx + 2m = mx + x + 1 a) Ta cú mx + 2m = mx + x + 1 Û ờ ờmx + 2m = - mx + x + 1 ởờ ( ) ộ x = 2m - 1 Û ờ ờ 2m + 1 x = - 2m - 1 (1) ởờ( ) Giải (1) 1 Với 2m + 1 = 0 Û m = - phương trỡnh trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi 2 x . 1 Với 2m + 1 ạ 0 Û m ạ - phương trỡnh tương đương với x = - 1 2 Kết luận 1 m = - phương trỡnh (*) nghiệm đỳng với mọi x . 2 1 m ạ - phương trỡnh (*) cú hai nghiệm là x = - 1 và x = 2m - 1 2 ộ mx + 2x - 1 = x - 1 b) Ta cú mx + 2x - 1 = x - 1 Û ờ ờmx + 2x - 1 = - x - 1 ởờ ( ) ộ(m + 1)x = 0 (2) Û ờ ờ(m + 3)x = 2 (3) ởờ Với phương trỡnh (2) ta cú m = - 1 thỡ phương trỡnh (2) nghiệm đỳng với mọi x m ạ - 1 thỡ phương trỡnh (2) cú nghiệm x = 0 Với phương trỡnh (3) ta cú
6. m = - 3 thỡ phương trỡnh (3) vụ nghiệm 2 m ạ - 3 thỡ phương trỡnh (3) cú nghiệm x = m + 3 Kết luận m = - 1 phương trỡnh (*) nghiệm đỳng với mọi x m = - 3 phương trỡnh (*) cú nghiệm x = 0 2 m ạ - 1 và m ạ - 3 phương trỡnh (*) cú nghiệm x = 0 và x = . m + 3 Vớ dụ 4: Tỡm m để phương trỡnh x 2 + x = mx 2 - (m + 1)x - 2m - 1 cú ba nghiệm phõn biệt. ùỡ 1 2 ùỹ ùỡ 1 2ùỹ A. m ẻ ớù - 1;- ;- ;0;1ýù B. m ẽ ớù - 1;- ;- ýù ợù 2 3 ỵù ợù 2 3ỵù ùỡ 1 2 ùỹ C. m = Ă D. m ẽ ớù - 1;- ;- ;0;1ýù ợù 2 3 ỵù Lời giải: Phương trỡnh tương đương với ộ ự x (x + 1) = (x + 1)(mx - 2m - 1) Û x + 1 ởx - mx - 2m - 1 ỷ= 0 ộ x = - 1 Û ờ ờx = mx - 2m - 1 (*) ởờ ộmx - 2m - 1 = x ộ(m - 1)x = 1 + 2m (1) Ta cú (*) Û ờ Û ờ ờmx - 2m - 1 = - x ờ(m + 1)x = 1 + 2m (2) ởờ ởờ Nếu m = 1 thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm khi đú phương trỡnh ban đầu khụng thể cú ba nghiệm phõn biệt. Nếu m = - 1 thỡ phương trỡnh (2) vụ nghiệm khi đú phương trỡnh ban đầu khụng thể cú ba nghiệm phõn biệt. ộ 1 + 2m ờx = ờ m - 1 Nếu m ạ ± 1 thỡ (*) Û ờ ờ 1 + 2m ờx = ở m + 1 Suy ra để phương trỡnh ban đầu cú ba nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi
7. ùỡ 1 + 2m ù ạ - 1 ùỡ m ạ 0 ù m - 1 ù ù ù 2 ù 1 + 2m ù ớ ạ - 1 Û ớù m ạ - ù m + 1 ù 3 ù ù 1 ù 1 + 2m 1 + 2m ù m ạ - ù ạ ợù 2 ợù m - 1 m + 1 ùỡ 1 2 ùỹ Vậy với m ẽ ớù - 1;- ;- ;0;1ýù thỡ phương trỡnh cú ba nghiệm phõn biệt. ợù 2 3 ỵù 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.24: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau a) | 3x 2 | x2 2x 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) x3 1 x2 3x 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: 2 3x 2 khi x 3 Bài 3.24: a) Ta cú: | 3x 2 | 2 3x 2 khi x 3 2 * Nếu x PT 3x 2 x2 2x 3 x2 x 5 0 pt vụ nghiệm . 3 2 * Nếu x PT 3x 2 x2 2x 3 x2 5x 1 0 3 5 21 2 x hai nghiệm này đều thỏa món x . 2 3 5 21 Vậy nghiệm của pt đó cho là x . 2 b) x 1, x 1 2 Bài 3.25: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau 2 a) (2x - 1) - 3 2x - 1 - 4 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm
8. x4 6x2 4 x2 2 b) x2 x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.25: a) Đặt t = 2x - 1 ,t ³ 0 . ột = - 1(l) Phương trỡnh trở thành t 2 - 3t - 4 = 0 Û ờ ờ t = 4 ởờ 5 3 Với t = 4 ta cú 2x - 1 = 4 Û 2x - 1 = ± 4 Û x = hoặc x 2 2 3 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x và x = 2 2 x 2 - 2 b) ĐKXĐ: x ạ 0 . Đặt t = , t ³ 0 x ột = - 1 Phương trỡnh trở thành t 2 - t - 2 = 0 Û ờ ờt = 2 ởờ 2 ộ x - 2 ờx = - 1 ± 3 Với t = 2 ta cú = 2 Û ờ x x = 1 ± 3 ởờ Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = - 1 ± 3 và x = 1 ± 3 . Bài 3.26: Cho phương trỡnh x2 2x 2 x 1 m 3 0 a) Tỡm số nghiệm của phương trỡnh khi m 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm b) Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm A. m 0 B. m 2 C. m 3 D. m 1 Lời giải: Bài 3.26: Phương trỡnh x 1 2 2 x 1 m 2 0 Đặt t x 1 , t 0 ta cú phương trỡnh: t 2 2t m 2 0 (1) 2 t 0 a) Khi m 2 ta cú t 2t 0 t 2 Suy ra nghiệm phương trỡnh là x 1, x 3, x 1
9. b) Phương trỡnh đó cho cú nghiệm phương trỡnh (1) cú nghiệm t 0 m t 2 2t 2 cú nghiệm t 0 Đồ thị hàm số f t t 2 2t 2 với t 0; cắt trục hoành. m 2. Bài 3.27: Giải và biện luận cỏc phương trỡnh sau a) mx + 2m = x + 1 ộm = 1 - 3 A. ờ phương trỡnh cú nghiệm là x = ờm = - 1 ởờ 2 ùỡ m ạ 1 1- 2m - 2m - 1 B. ớù phương trỡnh cú nghiệm là x = và x = ù m ạ - 1 ợù m - 1 m + 1 C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai b) mx + 2x = mx - 1 1 A. m = - 1 phương trỡnh cú nghiệm x = - 2 1 1 B. m ạ - 1 phương trỡnh cú nghiệm x = - và x = . 2 2m + 2 C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai Lời giải: ộ mx + 2m = x + 1 ộ (m - 1)x = 1- 2m (1) Bài 2.37: a) Ta cú PT Û ờ Û ờ ờmx + 2m = - x + 1 ờ m + 1 x = - 2m - 1 2 ởờ ( ) ởờ( ) ( ) Giải (1): Với m = 1 phương trỡnh trở thành 0x = - 1 phương trỡnh vụ nghiệm 1- 2m Với m ạ 1 phương trỡnh tương đương với x = m - 1 Giải (2): Với m = - 1 phương trỡnh trở thành 0x = 1 phương trỡnh vụ nghiệm - 2m - 1 Với m ạ - 1 phương trỡnh tương đương với x = m + 1 ộm = 1 - 3 Kết luận: ờ phương trỡnh cú nghiệm là x = ờm = - 1 ởờ 2 ùỡ m ạ 1 1- 2m - 2m - 1 Với ớù phương trỡnh cú nghiệm là x = và x = ù m ạ - 1 ợù m - 1 m + 1
10. ộ ộ mx + 2x = mx - 1 1 ờ ờ x = - b) Ta cú mx + 2x = mx - 1 Û ờ Û ờ 2 ờmx + 2x = - (mx - 1) ờ(2m + 2)x = 1 (*) ở ởờ Với phương trỡnh (*) ta cú m = - 1 thỡ phương trỡnh (*) vụ nghiệm 1 m ạ - 1 thỡ phương trỡnh (*) cú nghiệm x = 2m + 2 1 Kết luận: m = - 1 phương trỡnh cú nghiệm x = - 2 1 1 m ạ - 1 phương trỡnh cú nghiệm x = - và x = . 2 2m + 2 ➢ DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRèNH CHỨA ẨN Ở MẪU 1. Phương phỏp giải. Để giải phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chỳ ý cần đặt điều kiện mẫu số khỏc khụng) - Đặt ẩn phụ 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau 2x + 1 x + 1 a) = 3x + 2 x - 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 2 10 50 b) 1 + = - . x - 2 x + 3 (2 - x)(x + 3) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm x + 3 4x - 2 c) = . (x + 1)2 (2x - 1)2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm x + 1 x - 1 2x + 1 d) + = x + 2 x - 2 x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải:
11. 2 a) ĐKXĐ: x ạ - và x ạ 2 . 3 Phương trỡnh tương đương với (2x + 1)(x - 2) = (x + 1)(3x + 2) Û 2x 2 - 4x + x - 2 = 3x 2 + 2x + 3x + 2 Û x 2 + 8x + 4 = 0 Û x = - 4 ± 2 3 (thỏa món điều kiện) Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = - 4 ± 2 3 . b) ĐKXĐ: x ạ - 3 và x ạ 2 . Phương trỡnh tương đương với (2 - x )(x + 3)- 2(x + 3) = 10(2 - x )- 50 ộx = 10 Û x 2 - 7x - 30 = 0 Û ờ ờx = - 3 ởờ Đối chiếu với điều kiện ta cú nghiệm của phương trỡnh là x = 10 . 1 c) ĐKXĐ: x ạ - 1 và x ạ . 2 Phương trỡnh tương đương với x + 3 2 2 = Û (x + 3)(2x - 1) = 2(x + 1) (x + 1)2 2x - 1 Û x = 5 (thỏa món điều kiện) Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = 5 . d) ĐKXĐ: x ạ ± 2 và x ạ - 1 Phương trỡnh tương đương với 2 (x + 1) (x - 2) + (x - 1)(x + 1)(x + 2) = (2x + 1)(x - 2)(x + 2) Û (x 2 + 2x + 1)(x - 2) + (x 2 - 1)(x + 2) = (2x + 1)(x 2 - 4) Û x 3 - 2x 2 + 2x 2 - 4x + x - 2 + x 3 + 2x 2 - x - 2 = 2x 3 - 8x + x 2 - 4 ộx = 0 Û x 2 + 4x = 0 Û ờ (thỏa món điều kiện) ờx = - 4 ởờ Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = - 4 và x = 0 Vớ dụ 2: Tỡm số nghiệm của cỏc phương trỡnh sau 4 3 2 1 a) + = + . 2x + 1 2x + 2 2x + 3 2x + 4
12. A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 1 1 3 b) + + = x 2 + 5x + 4 x 2 + 11x + 28 x 2 + 17x + 70 4x - 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 4 5 c) 1 + = 2 2 (2 - x ) x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ùỡ 3 1ùỹ a) ĐKXĐ: x ẽ ớù - 2;- ;- 1;- ýù ợù 2 2ỵù Phương trỡnh tương đương với 4 2 1 3 4x + 10 - 4x - 10 - = - Û = 2x + 1 2x + 3 2x + 4 2x + 2 4x 2 + 8x + 3 4x 2 + 12x + 8 1 1 4x 10 2 2 0 4x 8x 3 4x 12x 8 4x 10 4x2 8x 3 4x2 12x 8 0 2 4x 10 0 4x 10 8x 20x 11 0 2 8x 20x 11 0 5 x 2 (thỏa món điều kiện) 5 3 x 4 5 3 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x và x = - 4 2 ùỡ 1ùỹ b) Điều kiện: x ẽ ớù - 10;- 7;- 4;- 1; ýù ợù 2ỵù Phương trỡnh tương đương với 1 1 1 3 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - 2
13. 1ổ 1 1 ử 1ổ 1 1 ử 1ổ 1 1 ử 3 Û ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ= 3ốỗx + 1 x + 4ứữ 3ốỗx + 4 x + 7ứữ 3ốỗx + 7 x + 10ữứ 4x - 2 1ổ 1 1 ử 3 ộx = - 3 Û ỗ - ữ= Û x 2 + 7x + 12 = 0 Û ờ ỗ ữ ờx = - 4 3ốx + 1 x + 10ứ 4x - 2 ởờ Đối chiếu với điều kiện thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = - 3. c) ĐKXĐ: x ạ 0 và x ạ 2 . 4x 2 Phương trỡnh tương đương với x 2 + = 5 2 (2 - x ) 4x 2 4x 2 4x 2 Û x 2 - + + - 5 = 0 2 2 - x (2 - x ) 2 - x 2 2 ổ 2x ử 4x 2 ổ x 2 ử 4x 2 Û ỗx - ữ + - 5 = 0 Û ỗ ữ + - 5 = 0 ốỗ 2 - x ứữ 2 - x ốỗ2 - x ữứ 2 - x x 2 Đặt t = , phương trỡnh trở thành 2 - x ột = 1 t 2 + 4t - 5 = 0 Û ờ ờt = - 5 ởờ x 2 ộ x = 1 Với t = 1 ta cú = 1 Û x 2 + x - 2 = 0 Û ờ (thỏa món) ờx = - 2 2 - x ởờ x 2 Với t = - 5 ta cú = - 5 Û x 2 - 5x + 10 = 0 (vụ nghiệm) 2 - x Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = - 2 và x = 1 Vớ dụ 3: Giải và biện luận phương trỡnh sau với m là tham số. x - m a) = 2 (1) x + 1 A. m ạ - 1 phương trỡnh (1) cú nghiệm là x = - m - 2 B. m = - 1 phương trỡnh (1) vụ nghiệm C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai x 2 + mx + 2 b) = 1 (2) x 2 - 1 A. m ẻ {- 3;0;3} phương trỡnh (2) vụ nghiệm
14. - 3 B. m ẽ {- 3;0;3} phương trỡnh (2) cú nghiệm x = m C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai x 2 + mx + 2 c) = 2m + 6 (3) 3 - x 5 A. m = - phương trỡnh (3) cú nghiệm là x = - 2 3 5 B. m ạ - phương trỡnh cú nghiệm là x = 2 và x = - 3m - 8 3 C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai 3x + mx + 2 d) = m (4) x + 1 A. m < 0 phương trỡnh (4) vụ nghiệm m - 1 - m - 2 B. m ³ 0 phương trỡnh (4) cú hai nghiệm x = và x = 2 2m + 3 C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai Lời giải: a) ĐKXĐ: x ạ - 1 Phương trỡnh tương đương với x - m = 2(x + 1) Û x = - m - 2 Đối chiếu với điều kiện ta xột - m - 2 ạ - 1 Û m ạ - 1 Kết luận m ạ - 1 phương trỡnh (1) cú nghiệm là x = - m - 2 m = - 1 phương trỡnh (1) vụ nghiệm b) ĐKXĐ: x 2 - 1 ạ 0 Û x ạ ± 1 Phương trỡnh (2) Û x 2 + mx + 2 = x 2 - 1 Û mx = - 3 (2')
15. Với m = 0 : Phương trỡnh (2') trở thành 0x = - 3 suy ra phương trỡnh (2') vụ nghiệm do đú phương trỡnh (2) vụ nghiệm - 3 Với m ạ 0 phương trỡnh (2') tương đương với x = m - 3 Đối chiếu điều kiện xột ạ ± 1 Û m ạ ± 3 suy ra m ạ ± 3 thỡ phương trỡnh (2') cú nghiệm m - 3 x = và là nghiệm của phương trỡnh (2). Cũn m = 3 thỡ phương trỡnh (2') cú nghiệm là x = - 1, m m = - 3 thỡ phương trỡnh (2') cú nghiệm là x = 1do đú phương trỡnh (2) vụ nghiệm. Kết luận m ẻ {- 3;0;3} phương trỡnh (2) vụ nghiệm - 3 m ẽ {- 3;0;3} phương trỡnh (2) cú nghiệm x = m c) ĐKXĐ: x ạ 3 Phương trỡnh (3) Û x 2 + mx + 2 = (3 - x )(2m + 6) Û x 2 + (3m + 4)x - 6m - 16 = 0 ộ x = 2 Û (x - 2)(x + 3m + 8) = 0 Û ờ ờx = - 3m - 8 ởờ 5 Đối chiếu điều kiện ta xột - 3m - 8 ạ 3 Û m ạ - 3 Kết luận 5 m = - phương trỡnh (3) cú nghiệm là x = - 2 3 5 m ạ - phương trỡnh cú nghiệm là x = 2 và x = - 3m - 8 3 d) ĐKXĐ: x ạ - 1 TH1: Nếu m < 0 ta cú VP(4) ³ 0, VT (4) < 0 suy ra phương trỡnh vụ nghiệm TH2: Nếu m ³ 0 phương trỡnh tương đương với ộ3x + mx + 2 = m (x + 1) 3x + mx + 2 = m x + 1 Û ờ ờ3x + mx + 2 = - m x + 1 ởờ ( )
16. ộ m - 1 ộ m - 2 ờx = ờ x = ờ 2 Û ờ 3 Û ờ ờ ờ - m - 2 ờ(2m + 3)x = - m - 2 ờx = ở ở 2m + 3 m - 1 m - 1 • Với x = ta xột ạ - 1 Û m ạ - 1(luụn đỳng) do đú với m ³ 0 thỡ phương trỡnh 2 2 m - 1 (4) luụn nhận x = là nghiệm 2 - m - 2 - m - 2 • Với x = ta xột ạ - 1 Û m ạ - 1 (luụn đỳng) do đú với m ³ 0 thỡ phương 2m + 3 2m + 3 - m - 2 trỡnh (4) luụn nhận x = là nghiệm 2m + 3 Kết luận m < 0 phương trỡnh (4) vụ nghiệm m - 1 - m - 2 m ³ 0 phương trỡnh (4) cú hai nghiệm x = và x = 2 2m + 3 Vớ dụ 4: Tỡm điều kiện của tham số a và b để phương trỡnh a b a2 - b2 - = (*) x - a x - b x 2 - (a + b)x + ab a) Cú nghiệm duy nhất ùỡ 2a ạ b ùỡ a ạ b ùỡ a ạ b ùỡ a ạ 2b ù ù ù ù A. ớù a ạ 0 B. ớù a ạ 0 C. ớù a ạ 1 D. ớù a ạ 0 ù ù ù ù ù b ạ 0 ù b ạ 0 ù b ạ 1 ù b ạ 0 ợù ợù ợù ợù b) Cú nghiệm ùỡ a ạ 0 ùỡ a ạ 0 ù ù A. ớù b ạ 0 hoặc a 2b . B. ớù b ạ 0 hoặc 2a b . ù ù ù a ạ b ù a ạ b ợù ợù ùỡ a ạ 0 ùỡ a ạ 0 ù ù C. ớù b ạ 0 hoặc 2a b .D. ớù b ạ 0 hoặc a b . ù ù ù 3a ạ b ù a ạ b ợù ợù Lời giải: ĐKXĐ: x ạ a và x ạ b a(x - b)- b(x - a) a2 - b2 Phương trỡnh tương đương với = (x - a)(x - b) x 2 - (a + b)x + ab
17. Û (a - b)x = a2 - b2 ( ) a) Phương trỡnh (*) cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trỡnh ( ) cú nghiệm duy nhất khỏc a và ỡ ù a - b ạ 0 ù 2 2 ùỡ a ạ b ùỡ a ạ b ù a - b ù ù b Û ớù ạ a Û ớù a + b ạ a Û ớù a ạ 0 ù a - b ù ù ù a2 - b2 ù a + b ạ b ù b ạ 0 ù ạ b ợù ợù ợù a - b ùỡ a ạ b ù Vậy phương trỡnh (*) cú nghiệm duy nhất khi ớù a ạ 0 ù ù b ạ 0 ợù b) Phương trỡnh (*) cú nghiệm khi và chỉ khi phương trỡnh ( ) cú nghiệm khỏc a và b Với a = b thỡ phương trỡnh ( ) trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh ( ) cú nghiệm đỳng với mọi x do đú phương trỡnh (*) cú nghiệm. a2 - b2 Với a ạ b thỡ phương trỡnh ( ) tương đương với x = = a + b a - b ùỡ a + b ạ a ùỡ a ạ 0 Suy ra phương trỡnh (*) cú nghiệm khi và chỉ khi ớù Û ớù ù a + b ạ b ù b ạ 0 ợù ợù ùỡ a ạ 0 ù Vậy phương trỡnh (*) cú nghiệm khi ớù b ạ 0 hoặc a b . ù ù a ạ b ợù 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.28: Tỡm số nghiệm của phương trỡnh sau 13 1 6 a) + = 2x 2 + x - 21 2x + 7 x 2 - 9 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 4 1 1 4 b) 2x3 3x2 8x 12 2x 3 x2 4 2x2 7x 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm x + 1 x - 2 x - 3 x + 4 c) + + + = 4 x - 1 x + 2 x + 3 x - 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải:
18. 7 Bài 3.28: a) ĐKXĐ: x ạ ± 3; x ạ - 2 13 1 6 PT Û + = (x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3) ộx = 3 Û x 2 + x - 12 = 0 Û (x - 3)(x + 4) = 0 Û ờ ờx = - 4 ởờ Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 4 . b) x 1, x 5 c) Điều kiện: x ẽ {- 3;- 2;1;4} 2 4 6 8 PT Û 1 + + 1- + 1- + 1 + = 4 x - 1 x + 2 x + 3 x - 4 5x - 8 5x + 12 Û - = 0 (x - 1)(x - 4) (x + 2)(x + 3) 16 1ổ 69 ử 2 ỗ ữ Û x + x - = 0 Û x = ỗ- 1 ± ữ 5 2ốỗ 5 ứữ 1ổ 69 ử ỗ ữ Đối chiếu với điều kiện phương trỡnh cú nghiệm là x = ỗ- 1 ± ữ. 2ốỗ 5 ứữ Bài 3.29: Tỡm số nghiệm của phương trỡnh sau 2x 13x a) + = 6 3x 2 - 5x + 2 3x 2 + x + 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm x 4 + 3x 2 + 1 b) = 3 x 3 + x 2 - x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm 1 1 c) + = 15 x 2 (x + 1)2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ùỡ 2ùỹ Bài 3.29: a) Điều kiện: x ẽ ớù 1; ýù ợù 3ỵù Với x 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh
19. 2 13 Với x 0 ta cú PT Û + = 6 2 2 3x - 5 + 3x + 1 + x x 2 2 13 Đặt t 3x phương trỡnh trở thành PT Û + = 6 x t - 5 t + 1 1 4 Từ đú ta tỡm được nghiệm của phương trỡnh là x = ;x = . 2 3 ùỡ - 1 ± 5ùỹ b) Điều kiện: x ẽ ớù 0; ýù ù ù ợù 2 ỵù x 4 + 3x 2 + 1 1 x 2 + + 3 2 2 PT Û x = 3 Û x = 3 x 3 + x 2 - x 1 x - + 1 x 2 x 1 t 2 + 5 Đặt t = x - phương trỡnh trở thành = 3 x t + 1 1 ± 5 Từ đú phương trỡnh cú nghiệm là x = ;x = 1 ± 2 . 2 c) Điều kiện: x ạ - 1;x ạ 0 2 2 ổ1 1 ử 2 ổ 1 ử 2 PT Û ỗ - ữ + = 15 Û ỗ ữ + - 15 = 0 ốỗx x + 1ứữ x (x + 1) ốỗx(x + 1) ứữ x(x + 1) 1 Đặt = t ta được phương trỡnh t 2 + 2t - 15 = 0 Û t = 3;t = - 5 x(x + 1) 1 - 3 ± 21 +)t = 3 Û = 3 Û 3x 2 + 3x - 1 = 0 Û x = x(x + 1) 6 1 - 5 ± 5 +)t = - 5 Û = - 5 Û 5x 2 + 5x + 1 = 0 Û x = x(x + 1) 10 - 3 ± 21 - 5 ± 5 Đối chiếu với điều kiện (*) thỡ phương trỡnh cú bốn nghiệm x = ;x = . 6 10 Bài 3.30: Tỡm số nghiệm của phương trỡnh sau 2 2 x 1 x 1 x 2 a) 12 x 2 x 3 x 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm
20. 2(x 1) 13(x 1) b) 6 3x2 x 3x2 7x 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.30: a) Điều kiện: x 2; x 3 x 1 x 2 Đặt u ;v ta được u 2 uv 12v 2 (u 3v)(u 4v) 0 u 3v;u 4v x 2 x 3 x 1 x 2 8 46 +)u 3v 3 x 2 4x 3 3x 2 12x 12 2x 2 16x 9 0 x x 2 x 3 2 x 1 x 2 +)u 4v 4 x 2 4x 3 4x 2 16x 16 5x 2 12x 19 0 x x 2 x 3 8 46 Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là x . 2 1 b) ĐKXĐ: x 0, x 3 Đặt u 3x2 x, v x 1,u 0,v 0 2u 13u Khi đú phương trỡnh trở thành 6 4u2 7uv 2v2 0 v v 6u 4u v (4u v)(u 2v) 0 u 2v 1 1 Từ đú ta tỡm được nghiệm của pt là x ;  2 3 ax - 1 2 a(x 2 + 1) Bài 3.31: Giải và biện luận phương trỡnh sau + = x - 1 x + 1 x 2 - 1 a + 3 A. Với a 1 và a 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = a + 1 B. Với a 1 hoặc a 2 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 3.31: ĐKXĐ: x ạ ± 1 PT Û (ax - 1)(x + 1) + 2(x - 1) = a(x 2 + 1) Û ax 2 + ax - x - 1 + 2x - 2 = ax 2 + a Û (a + 1)x = a + 3
21. a + 3 a + 3 a + 3 • Nếu a ạ - 1 thỡ x = . Ta cú ạ 1, xột ạ - 1 Û a ạ - 2 a + 1 a + 1 a + 1 • Nếu a = - 1 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. a + 3 Vậy: -Với a 1 và a 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = a + 1 -Với a 1 hoặc a 2 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm. a b Bài 3.32: Tỡm điều kiện a,b để phương trỡnh 2 cú hai nghiệm phõn biệt. x b x a A. a 2b;a 0,b 0 B. 2a b;a 0,b 0 C. 3a b;a 0,b 0 D. a b;a 0,b 0 Lời giải: Bài 3.32: Điều kiện: x a, x b : Ta cú: PT 2(x a)(x b) a(x a) b(x b) 2x 2 3(a b)x a 2 b 2 2ab 0 2x 2 3(a b)x (a b) 2 0 a b Phương trỡnh cú hai nghiệm là x a b và x 1 2 2 Ta cú x1 a b 0 , x1 b a 0 , x2 a x2 b a b a b x x a b a b 1 2 2 Vậy với a b;a 0,b 0 thỡ pt cú hai nghiệm phõn biệt