›
›
›

Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

doc 54 trang hangtran11 10/03/2022 5370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docde_cuong_on_tap_dai_so_lop_10_chuong_3_phuong_trinh_va_he_ph.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

  1. §5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN ➢ DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. Sử dụng phương pháp thế • Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. • Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. • Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì y + x2 = 4x a) íï ï îï 2x + y- 5 = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ïì 3x- 4y + 1= 0 b) íï îï xy = 3(x + y)- 9 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ïì 5- 2x + x2 = 4x a) Hệ phương trình tương đương íï ï îï y = 5- 2x ïì é = 2 ï x 1 ïì x - 6x + 5 = 0 ï ê ïì x = 1 ïì x = 5 Û íï Û íï êx = 5 Û íï hoặc íï ï ï ë ï ï îï y = 5- 2x ï îï y = 3 îï y = - 5 îï y = 5- 2x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 3) và (5;- 5) . ïì 4y- 1 ï x = ï b) Hệ phương trình tương đương íï 3 ï 4y- 1 4y- 1 ï y = 3( + y)- 9 îï 3 3 ïì 4y- 1 ï = ì ï x ì ì ï 4y- 1 ï 3 ï 11 ï x = 3 ï x = ï ï x = ï Û í Û í éy = 3 Û í hoặc í ï 3 ï ê ï 3 ï 5 ï 2 ï ï ï y = îï 4y - 22y + 30 = 0 ï ê 5 îï y = 3 îï 2 ï êy = îï ëê 2 æ11 ö æ 5ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç ; 3÷ và ç3; ÷ . èç 3 ø÷ èç 2ø÷ Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế.
  2. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x3 = xy + 2 a) íï ï îï 2x- y = 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì ï x(x + y + 1)- 3 = 0 b) ï í 2 5 ï (x + y) - + 1= 0 îï x2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: ì 3 ï x = x(2x- 3)+ 2 a) Hệ phương trình tương đương với í ï îï y = 2x- 3 ì 2 ï (x- 1)(x - x + 2)= 0 ïì x = 1 Û íï Û íï ï ï = - îï y = 2x- 3 ïî y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1;- 1). b) ĐKXĐ: x ¹ 0 ïì 3 ï x + y = - 1 ï x Hệ phương trình tương đương với í 2 ï æ3 ö 5 ï ç - 1÷ - + 1= 0 ï ç ÷ 2 îï èx ø x ì ïì 3 ï 3 ì ï = - - ï x + y = - 1 ï 3 ï y x 1 ï x ï y = - x- 1 ï x Û í Û í x Û í ï 9 6 5 ï ï éx = 1 ï - + 1- + 1= 0 ï x2 - 3x + 2 = 0 ï ê ï 2 2 îï ï ê îï x x x îï ëx = 2 ì ì ï x = 2 ï x = 1 ï Û í và í 3 (thỏa mãn) îï y = 1 ï y = - îï 2 æ 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1;1) và ç2;- ÷. èç 2ø÷ 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.54: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
  3. ïì 2x + y = 5 a) íï ï 2 2 îï 4x + y = 17 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ïì x3 y = 16 b) íï ï îï 3x + y = 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì 3 3 ï x - 8x = y + 2y c) í ï 2 2 îï x - 3 = 3(y + 1) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.54: a) Ta có y = 5- 2x thế vào phương trình hai ta được: éx = 2 Þ y = 1 2 2 2 ê 4x + (5- 2x) = 17 Û 2x - 5x + 2 = 0 Û ê 1 . êx = Þ y = 4 ëê 2 1 Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2;1),( ; 4). 2 b) Ta có y = 8- 3x thay vào phương trình đầu ta được: x3 (8- 3x) = 16 Û 3x4 - 8x3 + 16 = 0 Û (x- 2)2 (3x2 + 4x + 4) = 0 Û x = 2 . Vậy hệ có nghiệm là x = y = 2 . c) Từ phương trình 2 Þ x2 = 3(y2 + 2) (3) thay vào phương trình 1 ta được : é = 2 êx 0 3 2 x 2 x - 8x = y(y + 2) = y Û x(3x - xy- 24) = 0 Û ê 3x2 - 24 3 êy = ëê x * Với x = 0 thay vào (3) ta có: y2 + 2 = 0 vô nghiệm. 2 2 æ 2 ö 3x - 24 2 ç3x - 24÷ * Với y = thay vào (3) ta được: x = 3ç ÷ + 6 x èç x ÷ø é 2 éx = ± 3 Þ y = ± 1 êx = 9 ê Û 13x4 - 213x2 + 864 = 0 Û ê Û ê . ê 2 96 ê 96 78 êx = êx = ± Þ y = m ë 13 ë 13 13
  4. 96 78 Vậy hệ có bốn nghiệm: (x; y) = (± 3;± 1), (± ;m ) . 14 13 ïì x + y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: íï có nghiệm. ï 2 2 îï 2x - 3y = 1 1 1 1 1 A. m £ B. m ³ C. m 6 6 6 6 Lời giải: Bài 3.55: Ta có x = m- y thay vào phương trình hai ta được: 2(m- y)2 - 3y2 = 1 Û y2 + 4my + 1- 2m2 = 0 (*) . Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm 1 Û D ' = 4m2 - (1- 2m2 ) ³ 0 Û m ³ . 6 1 Vậy m ³ là những giái trị cần tìm. 6 ➢ DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG . 1. Phương pháp giải. a) Hệ đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng: ïì f (x, y) = 0 (I) íï với f (x; y)= f (y; x) và g(x; y)= g(y; x). îï g(x, y) = 0 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Cách giải • Đặt S = x + y, P = xy. • Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P. • Giải hệ (I') ta tìm được S và P. • Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0 . b) Hệ đối xứng loại 2 ïì f (x, y) = 0 (1) Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: (II) íï îï f (y,x) = 0 (2) (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). ïì f (x, y)- f (y,x) = 0 (3) • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) íï îï f (x, y) = 0 éx = y • Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) - = ê . (x y).g(x, y) 0 ê ëg(x, y) = 0 éì êï f (x, y) = 0 êí êîï x = y • Như vậy (II) ê . êïì f (x, y) = 0 êíï ï ëêîï g(x, y) = 0 • Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II).
  5. c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0 ; y0 ) thì (y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của nó. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì ï x + xy + y = 2 + 3 2 a) íï ï 2 2 îï x + y = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì 2 2 ï x y + xy = 30 b)í . ï 3 3 îï x + y = 35 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ: ì ì 2 ì 2 2 ï S + P = 2 + 3 2 ï S + 2S = 10 + 6 2 ï (S + 1) = (3+ 2) íï Û íï Û íï ï 2 ï ï îï S - 2P = 6 ïî S + P = 2 + 3 2 îï P = 2 + 3 2 - S ì é ï S = 2 + 2 ï ê ïì ïì ï ê ï S = 2 + 2 ï S = - 4- 2 Û í êS = - 4- 2 Û í hoặc í ï ë ï = ï = + ï îï P 2 2 îï P 6 4 2 îï P = 2 + 3 2 - S • Với S = 2 + 2 ; P = 2 2 ta có x, y là nghiệm phương trình: éX = 2 2 ê X - (2 + 2)X + 2 2 = 0 Û ê ëêX = 2 • Với S = - 4- 2 ; P = 6 + 4 2 ta có x, y là nghiệm phương trình: X2 + (4 + 2)X + 6 + 4 2 = 0 ( vô nghiệm). Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; 2) và ( 2; 2) . b) Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình trở thành: ïì 30 ï P = ïì SP = 30 ï S ïì S = 5 ïì x + y = 5 ïì x = 2 ïì x = 3 íï Û íï Û íï Û íï Û íï Úíï . ï 2 - = ï æ 90ö ï = ï = ï = ï = îï S(S 3P) 35 ï ç 2 - ÷= îï P 6 îï xy 6 îï y 3 îï y 2 ï SçS ÷ 35 îï è S ø Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau
  6. ì 3 ï x + 2x = y a) í ï 3 îï y + 2y = x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì 2 3 2 ï y = x - 3x + 2x b) í ï 2 3 2 îï x = y - 3y + 2y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ïì x2 + 2 ï 3x = ï y2 c) í ï y2 + 2 ï 3y = îï x2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: x3 - y3 + 3x- 3y = 0 Û (x- y)(x2 + y2 + xy + 3) = 0 Û x = y éæ ö2 2 ù 2 2 êç y÷ 3y ú (Vì x + y + xy + 3 = êçx + ÷ + + 3ú> 0 ) èç 2ø÷ 4 ëê ûú Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 + x = 0 Û x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)= (0;0). b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được: y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2 )+ 2(x- y) Û (x- y)(x2 + xy + y2 - 2x- 2y + 2) = 0 1 é 2 2 2 ù Û (x- y) êx + y + (x + y- 2) ú= 0 Û x = y 2 ë û (vì x2 + y2 + (x + y- 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 - 4x2 + 2x = 0 Û x(x2 - 4x + 2) = 0 éx = 0 éx = 0 Û ê Û ê ê 2 ê ëêx - 4x + 2 = 0 ëêx = 2 ± 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0;0);(2 + 2; 2 + 2) và (2- 2; 2- 2) .
  7. c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và y ¹ 0 ïì x > 0 Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm (x; y) thì íï . îï y > 0 ïì x2 + 2 ï = ï 3x 2 ì 2 2 ï y ï 3xy = x + 2 (1) Ta có í Û í ï 2 ï 2 2 ï y + 2 îï 3yx = y + 2 (2) ï 3y = îï x2 Trừ (1) và (2) ta được:(x- y)(3xy + x + y) = 0 Û x = y (vì 3xy + x + y > 0 ) Với x = y : (1) Û 3x3 - x2 - 2 = 0 Û (x- 1)(3x2 + 2x + 2) = 0 Û x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y)= (1;1) . ïì x2 + xy + y2 = m+ 6 Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình íï có nghiệm duy nhất. ï îï 2x + xy + 2y = m A. m = 12 B. m = 21 C. m = 1 D. m = 2 Lời giải: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x0 ; y0 ) thế thì (y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm ïì 2 = + ï 3x0 m 6 2 2 suy nhất thì x = y suy ra í Þ 3x = x + 4x + 6 0 0 ï 2 + = 0 0 0 îï x0 4x0 m éx = - 1Þ m = - 3 Û 2x2 - 4x - 6 = 0 Û ê 0 0 0 ê = Þ = ë x0 3 m 21 ïì x2 + xy + y2 = 3 + Với m = - 3 hệ trở thành íï ï îï 2(x + y)+ xy = - 3 ïì S = x + y ïì S2 - P = 3 Đặt íï , S2 ³ 4P hệ phương trình trở thànhíï ï ï îï P = xy îï 2S + P = - 3 ïì é = 2 ï S 0 ïì S + 2S = 0 ï ê ïì S = 0 ïì S = - 2 Û íï Û íï êS = - 2 Û íï hoặc íï ï ï ë ï ï îï P = - 2S- 3 ï îï P = - 3 îï P = 1 îï P = - 2S- 3 ïì = ïì + = - é = ï S 0 ï x y 2 2 êX 3 Khi í ta có í suy ra x, y là nghiệm của phương trình X - 3 = 0 Û ê ï P = - 3 ï xy = 1 îï îï ëêX = - 3 Do đó hệ có nghiệm là ( 3;- 3) và (- 3; 3)
  8. Suy ra m = - 3 thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất ïì x2 + xy + y2 = 27 ïì (x + y)2 - xy = 27 + Với m = 21 hệ trở thành íï Û íï ï ï îï 2x + xy + 2y = 21 îï 2(x + y)+ xy = 21 ïì S = x + y ïì S2 - P = 27 Đặt íï , S2 ³ 4P hệ phương trình trở thànhíï ï ï îï P = xy îï 2S + P = 21 ïì é = 2 ï S 6 ïì S + 2S- 48 = 0 ï ê ïì S = 6 ïì S = - 8 Û íï Û íï êS = - 8 Û íï hoặc íï (loại) ï ï ë ï ï îï P = - 2S + 21 ï ïî P = 9 îï P = 37 îï P = - 2S + 21 ïì S = 6 ïì x + y = 6 Khi íï ta có íï suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 6X + 9 = 0 Û X = 3 îï P = 9 îï xy = 9 Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x; y)= (3; 3) Vậy với m = 21 thì hệ có nghiệm duy nhất ïì x + y = 2m- 1 Ví dụ 4: Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình íï . Tìm m để xy nhỏ nhất. ï 2 2 2 îï x + y = 2m + 2m- 3 3 3 A. m = - 1 B. m = C. m = - D. m = 1 2 2 Lời giải: Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 ³ 4P. ïì S = 2m- 1 Hệ phương trình trở thành íï ï 2 2 îï S - 2P = 2m + 2m- 3 ïì S = 2m- 1 ïì S = 2m- 1 Û íï Û íï ï 2 2 ï 2 îï (2m- 1) - 2P = 2m + 2m- 3 îï P = m - 3m+ 2 7 Điều kiện S2 ³ 4P suy ra (2m- 1)2 ³ 4(m2 - 3m+ 2)Û 8m ³ 7 Û m ³ (*) 8 2 æ 3ö 1 1 Ta có P = xy = m2 - 3m+ 2 = çm- ÷ - ³ - èç 2ø÷ 4 4 3 Dấu bằng xảy ra Û m = (thỏa mãn (*)) 2 3 Vậy m = thì xy đạt giá trị nhỏ nhất. 2 3. Bài tập luyện tập.
  9. Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x + y + 2xy = 2 a) íï ï 3 3 îï x + y = 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì 3 3 ï x + y = 19 b) íï ï + + = îï (x y)(8 xy) 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ïì x + y + 3xy = 5 c) íï ï 2 2 îï 2x + 2y - 3xy = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì ï x + y + xy = - 2 d) í 2 2 îï x + y = 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.56: a) Đặt S = x + y, P = xy . Khi đó hệ trở thành: ïì 2- S ï P = ïì S + 2P = 2 ï íï Û íï 2 ï S(S2 - 3P) = 8 ï 6- 3S îï ï S(S2 - ) = 8 îï 2 Þ 2S3 + 3S2 - 6S- 16 = 0 Û (S- 2)(2S2 + 7S + 8) = 0 Û S = 2 Þ P = 0 Þ x, y là nghiệm PT: X2 - 2X = 0 Û X = 0,X = 2 . ïì x = 0 ïì x = 2 Vậy nghiệm của hệ là: íï È íï . îï y = 2 îï y = 0 b) Đặt S = x + y; P = xy . Khi đó hệ trở thành: ïì S(S2 - 3P) = 19 ïì SP = - 8S ïì SP = 2- 8S íï Û íï Û íï ï ï 3 ï 3 îï S(8 + P) = 2 îï S - 3(2- 8S) = 19 îï S + 24S- 25 = 0 ïì S = 1 Û íï Þ x, y là nghiệm của phương trình : îï P = - 6
  10. 2 X - X - 6 = 0 Û X1 = 3; X2 = - 2 . Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x; y) = (- 2; 3), (3;- 2). c) (x; y) = (1;1) d) (- 2;0), (0;- 2), (- 2; 2), ( 2;- 2) Bài 3.57: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì 2 ï x = 3x + 2y a) í ï 2 îï y = 3y + 2x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ïì 3 ï = 2x + y ï x2 b) íï ï 3 ï = + ï 2 2y x îï y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm ì 3 ï x = 2x- y c) í ï 3 îï y = 2y- x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.5 nghiệm ì ï 3 2 2 ï = x + 2y ï x d) íï ï 3 2 2 ï = 2x + y îï y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Bài 3.57: a) Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được: éx = y 2 - 2 = - Û - + - = Û ê . x y x y (x y)(x y 1) 0 ê ëx = 1- y * Với x = y Þ x2 = 3x Û x = 0,x = 3 éy = - 1Þ x = 2 * Với = - Þ 2 = + - Û 2 - - = Û ê . x 1 y y 3y 2(1 y) y y 2 0 ê ëy = 2 Þ x = - 1
  11. Vậy nghiệm của hệ: (x; y) = (0;0), (3; 3), (- 1; 2), (2;- 1) . b) Điều kiện : x, y ¹ 0 ïì 3 2 ï 2x + x y = 3 2 3 Hệ Û í Þ 2(x - y )+ xy(x- y) = 0 ï 3 2 îï 2y + y x = 3 Û (x- y)(2x2 + 3xy + 2y2 ) = 0 Û x = y 3 7 (Do 2x2 + 3xy + 2y2 = 2(x + y)2 + y2 > 0 ) 4 8 Thay vào hệ ta được: 3x3 = 3 Û x = 1= y . Vậy hệ có nghiệm: x = y = 1. c) (- 1;- 1), (0;0), (1;1), (- 3; 3), ( 3;- 3) d) (1;1) ì 2 ï x = y - y + m Bài 3.58: Tìm m để các hệ phương trình í có nghiệm duy nhất. ï 2 îï y = x - x + m A. m = - 1 B. m = - 2 C. m = 1 D. m = 2 Lời giải: Bài 3.58: · Giả sử hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) thì (y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x0 = y0 . 2 Thay vào hệ ta được: x0 - 2x0 + m = 0 phương trình này có nghiệm duy nhất Û D ' = 1- m = 0 Û m = 1. ïì 2 ï x = y - y + 1 2 2 · Với m = 1 hệ trở thành: í Þ x + y - 2x- 2y + 2 = 0 ï 2 îï y = x - x + 1 Û (x- 1)2 + (y- 1)2 = 0 Û x = y = 1 .Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. ➢ DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI . 1. Phương pháp giải.
  12. ïì 2 + + 2 = ï a1x b1xy c1y d1 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: (I) í . ï 2 + + 2 = îï a2x b2xy c2 y d2 • Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). • Khi x 0, đặt y = tx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x . Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k . Giải phương trình này ta tìm được k , từ đó tìm được (x; y). 2. Các ví dụ minh họa. ïì x2 + 6y2 - 5xy = 0 (1) Ví dụ 1:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:íï ï 2 îï 4x + 2xy + 6x = 27 (2) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Nếu x = 0 thay vào (1)Þ y = 0 , thay vào (2) thấy (x; y)= (0;0) là nghiệm của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình. ïì x2 + 6t2 y2 - 5tx2 = 0 Nếu x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta đượcíï ï 2 2 îï 4x + 2tx + 6x = 27 ïì x2 (1+ 6t2 - 5t) = 0 ïì 6t2 - 5t + 1= 0 (*) Û íï Û íï ï 2 2 ï 2 2 îï 4x + 2tx + 6x = 27 îï 4x + 2tx + 6x = 27 ( ) 1 1 (*) Û t = hoặc t = 2 3 1 Với t = thay vào ( ) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 Û 5x2 + 6x- 27 = 0 2 é 3 êx = - 3 Þ y = - ê Û ê 2 ê 9 9 ê x = Þ y = ëê 5 10 1 2 Với t = thay vào ( ) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 Û 14x2 + 18x- 81= 0 3 3 é ê 9(1+ 15) 3(1+ 15) êx = - Þ y = - ê Û ê 14 14 ê ê 9( 15 - 1) 3( 15 - 1) ê x = Þ y = ëê 14 14
  13. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là æ ö æ ö æ ö æ ö ç 9 1+ 15 3 1+ 15 ÷ ç9 15 - 1 3 15 - 1 ÷ ç 3÷ ç9 9 ÷ ç ( ) ( )÷ ç ( ) ( )÷ ç- 3;- ÷,ç ; ÷,ç- ;- ÷,ç ; ÷ . èç 2ø÷ èç5 10ø÷ ç 14 14 ÷ ç 14 14 ÷ èç ø÷ èç ø÷ ì 2 2 ï x - xy + y = 1 Ví dụ 2:Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau í ï 2 2 îï 2x - 3xy + 4y = 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: Dễ thấy x = 0 không thoả hệ ì 2 2 ï x (t - t + 1) = 1 (*) Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được í ï 2 2 îï x (2t - 3t + 4) = 3 Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 Þ t = ± 1 Thay vào (*) thì é x = 1Þ y = 1 Với = , ta có 2 = Û ê t 1 x 1 ê ëx = - 1Þ y = - 1 é 3 3 êx = Þ y = - 1 ê Với t = - 1 ta có x2 = Û ê 3 3 3 ê 3 3 êx = - Þ y = ëê 3 3 æ1 - 1ö æ- 1 1 ö ç ÷ ç ÷ - - Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç ; ÷, ç ; ÷, ( 1; 1) và (1;1) èç 3 3 ø÷ èç 3 3 ø÷ ì 2 2 ï x + 2xy + y = 11 Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ: í có nghiệm ï 2 2 îï x + 2xy + 3y = 17 + m A. m ³ - 6 B. m £ - 6 C. m < - 6 D. m ³ 6 Lời giải: Dễ thấy x = 0 không thoả hệ Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được ì 2 2 ï x (3+ 2k + k )= 11 (*) íï ï x2 1+ 2k + 3k2 = 17 + m îï ( ) Suy ra (17 + m)(1+ 2k + k2 )= 11(1+ 2k + 3k2 ).
  14. Û (m- 16)k2 + 2(m+ 6)k + m+ 6 = 0 (* *) 2 Ta có: 3+ 2k + k2 = (k + 1) + 2 > 0," k Þ (*) luôn có nghiệm x với mọi k do đó hệ ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm ẩn k . Với m = 16 : Phương trình ( ) trở thành 44k + 88 = 0 Û k = - 2 . Vậy m = 16 thỏa mãn. Với m ¹ 16 : Phương trình ( ) có nghiệm Û D 'k ³ 0 2 Û (m+ 6) - (m- 16)(m+ 6)³ 0 Û 22(m+ 6)³ 0 Û m ³ - 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ³ - 6 . 3. Bài tập luyện tập. ïì 3x2 + 5xy- 4y2 = 38 Bài 3.59: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau: íï ï 2 2 îï 5x - 9xy- 3y = 15 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình ïì 3x2 + 5tx2 - 4t2x2 = 38 Xét x ¹ 0 . Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:íï ï 2 2 2 2 îï 5x - 9tx - 3t x = 15 (*) ïì x2 (3+ 5t - 4t2 ) = 38 Û íï Þ 15 3+ 5t - 4t2 = 38 5- 9t - 3t2 ï 2 2 ( ) ( ) îï x (5- 9t - 3t ) = 15 é 1 ê t = ê Û 54t2 + 417t - 145 = 0 Û ê 3 ê 145 êt = - ëê 18 1 é x = 3 Þ y = 1 Với = thì (*) Û 2 = Û ê t x 9 ê 3 ëx = - 3 Þ y = - 1 145 15.108 Với t = - thì (*) Û x2 = - : Phương trình vô nghiệm 18 12655 ïì x = 3 ïì x = - 3 Vậy íï hay íï . îï y = 1 îï y = - 1 ïì 3x2 + 2xy + y2 = 11 Bài 3.60: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau : íï ï 2 2 îï x + 2xy + 3y = 17 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  15. Lời giải: Bài 3.60: Dễ thấy x = 0 không thoả hệ ïì x2 (3+ 2k + k2 ) = 11(*) Với x ¹ 0 , đặt y = tx , thay vào hệ ta được íï ï 2 2 îï x (1+ 2k + 3k ) = 17 Suy ra17(3+ 2k + k2 )= 11(1+ 2k + 3k2 ) é 5 êk = - Û 16k2 - 12k - 40 = 0 Û ê ê 4 ëê k = 2 Thay vào (*) ta được: é 4 5 4 5 ê x = Þ y = - . = - ê 5 33 2 2 16 3 4 3 3 • k = - Þ x = 11 Û x = Û ê 4 16 3 ê 4 5 4 5 ê = - Þ = - - = êx y .( ) ë 3 4 3 3 é x = 1Þ y = 2 • = Þ 2 = Û 2 = Û ê k 2 11x 11 x 1 ê ëx = - 1Þ y = - 2 æ 4 5 ö æ4 5 ö ç- ÷ ç - ÷ - - Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç ; ÷;ç ; ÷;(1; 2);( 1; 2) èç 3 3 ø÷ èç 3 3 ø÷ ì 2 2 ï x - 4xy + y = m Bài 3.61: Cho hệ phương trình : í ï 2 îï y - 3xy = 4 a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm A. m = 2 B. m = (0;7) C. " m D. m = Æ Lời giải: Bài 3.61: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty , ta có : ïì 2 ì 2 2 2 2 ì 2 2 ï t - 4t + 1 m ï t y - 4ty + y = m ï y (t - 4t + 1) = m ï = Hệ í í í 1- 3t 4 (I) ï 2 2 ï 2 ï îï y - 3ty = 4 îï y (1- 3t) = 4 ï 2 îï y (1- 3t) = 4 1 Do y ¹ 0 nên từ y2 (1- 3t)= 4 Þ 1- 3t > 0 Û t < 3
  16. ïì t2 - 4t + 1 1 ï = a) Với m = 1 ta có hệ phương trình íï - ï 1 3t 4 ï 2 îï y (1- 3t) = 4 Ta có nghiệm là (1 ; 4), (- 1 ;- 4). ì 2 ï 4(t - 4t + 1) = m(1- 3t) b) Ta có : (I) í ï 2 îï y (1- 3t) = 4 ì 2 ï 4t - (16- 3m)t + 4- m = 0 (*) í ï 2 îï y (1- 3t) = 4 Đặt f (t)= 4t2 - (16- 3m)t + 4- m thì 1 Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < Û Đồ thị hàm số f (t)= 4t2 - (16- 3m)t + 4- m với 3 æ 1ö t Î ç- ¥ ; ÷ cắt trục hoành Û " m èç 3ø÷ ➢ DẠNG TOÁN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN . 1. Phương pháp giải. • Đưa về phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thể có ngay từ một phương trình trong hệ hoặc qua phép biến đổi đại số(phép thế, cộng đại số) ta thu về được phương trình tích. • Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng là ta cần phát hiện ra ẩn phụ. Thường chúng ta cần biến đổi đại số(cộng trừ nhân, chia với mộ số, biểu thức) thì mới xuất hiện ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì 4x2 + 1= y2 - 4x a) íï ï 2 2 îï x + xy + y = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì ï 2xy + 3x + 4y = - 6 b) í 2 2 îï x + 4y + 4x + 12y = 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì 5xy ï x + = 2(y + 1) ï 2 2 c) í x + y ï ï 2 ï - = - îï (x 1) y(3 5y)
  17. A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ì ï (x + 2)(2y + 3)= 0 a) Hệ phương trình tương đương với í ï 2 2 îï x + 4y + 4x + 12y = 3 ì ì ï x + 2 = 0 ï 2y + 3 = 0 Û í 2 2 (1) hoặc í 2 2 (2) îï x + 4y + 4x + 12y = 3 îï x + 4y + 4x + 12y = 3 ì ì ï x = - 2 ï x = - 2 Ta có (1)Û í 2 2 Û í 2 (Vô nghiệm) îï x - y + 2x- 4y = 5 îï y + 4y + 5 = 0 ïì 5 ïì 1 ïì 3 ïì 3 ï x = - ï x = ï y = - ï y = - ï ï (2)Û í Û í Û ïí 2 hoặc íï 2 ï 2 ï 2 ï ï ï 2 2 ï 2 ï 3 ï 3 îï x - y + 2x- 4y = 5 îï 4x + 8x- 5 = 0 ï y = - ï y = - îï 2 îï 2 æ 5 3ö æ1 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm là ç- ;- ÷ và ç ;- ÷. èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷ ïì 2 2 ì ï (2x + 1) = y ï y = ± (2x + 1) b) Hệ phương trình tương đương với íï Û í ï 2 2 ï 2 2 îï x + xy + y = 1 îï x + xy + y = 1 ì ïì = + ï y = 2x + 1 ï y 2x 1 Xét hệ í Û í 2 ï x2 + xy + y2 = 1 ï 2 + + + + = îï îï x x(2x 1) (2x 1) 1 éïì x = 0 êíï ïì y = 2x + 1 êï y = 1 ï êîï ïì y = 2x + 1 ï é = ê Û ï Û ï ê x 0 Û êïì 5 í 2 í ï x = - ï 7x + 5x = 0 ï ê 5 êï îï ï ê = - êï 7 ï êx êí îï ë 7 êï 3 êï y = - ëîï 7 ì ïì = - - ï y = - 2x- 1 ï y 2x 1 Xét hệ í Û í 2 ï x2 + xy + y2 = 1 ï 2 - + + + = îï îï x x(2x 1) (2x 1) 1 éïì = ì êï x 0 ï y = - 2x- 1 êí ïì y = - 2x- 1 ï êîï y = - 1 Û íï Û íï éx = 0 Û 2 ê ê îï 3x + 3x = 0 ï êïì x = - 1 ï êx = - 1 êíï îï ë ï ëêîï y = 1 æ 5 3ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (0;1),ç- ;- ÷,(0;- 1) và (- 1;1) . èç 7 7÷ø
  18. c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và y ¹ 0 Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với 5xy 5xy x + = 2(y + 1)Û x- 2y + - 2 = 0 x2 + y2 x2 + y2 5xy- 2x2 - 2y2 (x- 2y)(y- 2x) Û x- 2y + = 0 Û x- 2y + = 0 x2 + y2 x2 + y2 é x = 2y Û x- 2y x2 + y2 - 2x + y = 0 Û ê ( )( ) ê 2 2 ëx + y - 2x + y = 0 Suy ra hệ phương trình tương đương với ïì = ïì 2 + 2 - + = ï x 2y ï x y 2x y 0 í 2 (3) hoặc í 2 (4) ï - = - ï - = - îï (x 1) y(3 5y) îï (x 1) y(3 5y) ì ïì x = 2y ï x = 2y ïì x = 2y ï Ta có Û ï Û ï Û ï (3) í 2 í 2 í 7 ± 13 ï (2y- 1) = y(3- 5y) ïî 9y - 7y + 1= 0 ï y = îï îï 18 ì ì ï 7 + 13 ï 7 - 13 ï x = ï x = Û íï 9 hoặc íï 9 (thõa mãn) ï 7 + 13 ï 7 - 13 ï y = ï y = îï 18 îï 18 ì 2 2 ì 2 2 ì 2 2 ï x - 2x = - y - y ï x - 2x = - y - y ï x - 2x = - y - y ï (4)Û í Û íï Û íï ï - 2 - = - ï 2 ï 1 îï 1 y y y(3 5y) ïî 4y - 4y + 1= 0 ï y = îï 2 ïì 3 ïì 1 ïì 3 ï x2 - 2x + = 0 ï x = ï x = ï ï ï Û íï 4 Û íï 2 hoặc íï 2 (thỏa mãn) ï 1 ï 1 ï 1 ï y = ï y = ï y = îï 2 îï 2 îï 2 æ ö æ ö æ ö æ ö ç7 + 13 7 + 13 ÷ ç7 - 13 7 - 13 ÷ ç1 1÷ ç3 1÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç ; ÷,ç ; ÷,ç ; ÷ và ç ; ÷ èç 9 18 ø÷ èç 9 18 ø÷ èç2 2ø÷ èç2 2ø÷ Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x2 + 3 = xy a) íï ï 2 2 îï y + 5x = 4xy + 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  19. ì 3 3 2 ï x + 2y + 2y = 2xy(x + 1) b) íï ï 3xy = 2 x2 - y îï ( ) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì æ ö ï ç 1 ÷ ï ç2- ÷ y = 2 ï èç 2x + yø÷ c) íï ï æ 1 ÷ö ï ç2 + ÷ x = 2 ï ç ÷ îï è 2x + yø A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ì 2 ï xy- x = 3 a) Hệ phương trình tương đương với íï ï y2 + 5x2 = 4xy + xy- x2 îï ( ) ì 2 ì 2 ï xy- x = 3 ï xy- x = 3 Û íï Û í ï 2 2 ï - - = îï 6x - 5xy + y = 0 îï (2x y)(3x y) 0 ïì xy- x2 = 3 ïì xy- x2 = 3 Û íï (1) hoặc íï (2) ï ï îï 2x- y = 0 îï 3x- y = 0 ì 2 ì ïì ïì ï x = 3 ï x = ± 3 ï x = 3 ï x = - 3 Giải hệ (1): (1)Û íï Û í Û íï hoặc íï ï = ï ï ï îï y 2x îï y = 2x îï y = 2 3 îï y = - 2 3 ïì ïì ïì ï 6 ï 6 ì 2 ï 6 ï x = ï x = - ï 2x = 3 ï x = ± ï 2 ï 2 Giải hệ (2): (2)Û í Û í 2 Û í hoặc í ï y = 3x ï ï ï îï ï = ï 3 6 ï 3 6 îï y 3x ï y = ï y = - îï 2 îï 2 æ ö æ ö ç 6 3 6 ÷ ç 6 3 6 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; 2 3), (- 3;- 2 3), ç ; ÷ và ç- ;- ÷. èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ ì 3 3 2 ï x - 2y - 2x y + 2y(y- x)= 0 b) Hệ phương trình tương đương với í ï 2 îï 2y = 2x - 3xy ì 3 3 2 2 3 2 2 3 ï x - 2y - 2x y + (2x - 3xy)(y- x) = 0 ïì x - 3x y + 3xy - 2y = 0 Û íï Û íï ï 2 ï = 2 - îï 2y = 2x - 3xy îï 2y 2x 3xy
  20. ì 2 2 2 2 ï (x- 2y)(x - xy + y )= 0 ïì x- 2y = 0 ïì x - xy + y = 0 Û íï Û íï (3) hoặc íï (4) ï 2 ï = 2 - ï = 2 - îï 2y = 2x - 3xy ïî 2y 2x 3xy îï 2y 2x 3xy ïì x = 2y ïì x = 2y ïì x = 2y ï Giải hệ (3): (3)Û íï Û íï Û íï éy = 0 ï 2 2 ï 2 ï ê îï 2y = 8y - 6y îï 2y - 2y = 0 ï ê îï ëy = 1 ïì x = 0 ïì x = 2 Û íï hoặc íï îï y = 0 îï y = 1 æ ö2 2 2 2 ç y÷ 3y Giải hệ (4): Ta có x - xy + y = çx- ÷ + ³ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 0 và èç 2ø÷ 4 x = y = 0 thỏa mãn phương trình thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là x = y = 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (0;0) và (2;1). ïì x ³ 0 c) ĐKXĐ: íï và 2x + y ¹ 0 îï y ³ 0 Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. Xét xy ¹ 0 ta có ì ï 1 1 ï 1- = (*) ï 2(2x + y) y Hệ phương trình tương đương với íï ï 1 1 ï 1+ = ï + îï 2(2x y) x 1 1 1 1 1 Cộng vế với vế ta được 2 = + (5), trừ vế với vế ta được - = - (6) y x 2x + y y x æ öæ ö 2 ç 1 1 ÷ç 1 1 ÷ Nhân hai vế của phương trình (5) và (6) ta được - = ç - ÷ç + ÷ 2x + y èç y x ø÷èç y x ø÷ 2 1 1 Û - = - Û - 2xy = (x- y)(2x + y) 2x + y y x éy = - x Û 2 + - 2 = Û + - = Û ê 2x xy y 0 (x y)(2x y) 0 ê ëy = 2x Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có y = 2x thỏa mãn, thay vào (*) ta được é 2 + 2 ê x = 1 1 ê 1- = Û 8x- 4 2. x - 1= 0 Û ê 4 8x 2x ê 2 - 2 ê x = (VN) ëê 4
  21. 3+ 2 2 3+ 2 2 Û x = Þ y = (thỏa mãn) 8 4 æ ö ç3+ 2 2 3+ 2 2 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)= ç ; ÷. èç 8 4 ø÷ Nhận xét: Đây là loại hệ phương trình có thể biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp(cùng bậc) từ đó dễ dàng phân tích thành nhân tử. Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x2 - 2y2 + xy + 3x + 2 = 0 a) íï ï 2 2 îï x + y = x + y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì x2 + y2 + xy = 3 b) íï ï 2 îï x + 2xy + 9 = 7x + 5y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ì ï (x- y + 1)(x + 2y + 2) = 0 a) Hệ phương trình tương đương với í 2 2 îï x + y = x + y ïì éx- y + 1= 0 ï ê ïì x- y + 1= 0 ïì x + 2y + 2 = 0 Û íï êx + 2y + 2 = 0 Û íï (1) hoặc íï (2) ï ë ï 2 + 2 = + ï 2 + 2 = + ï 2 2 îï x y x y îï x y x y îï x + y = x + y ïì = + ì ì ï y x 1 ï y = x + 1 ï x = 0 Giải hệ (1): (1)Û í 2 Û í Û í ï 2 + + = + + ï 2x2 = 0 ï y = 1 îï x (x 1) x x 1 îï îï ïì = - - ì ï x 2y 2 ï x = - 2y- 2 Giải hệ (2): (2)Û í 2 Û í (vô nghiệm) ï - - + 2 = - - + ï 5y2 + 9y + 6 = 0 îï ( 2y 2) y 2y 2 y îï Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y)= (0;1) b) Cộng hai phương trình của hệ ta có 2x2 + y2 + 3xy- 7x- 5y + 6 = 0 Û (y + 2x- 3)(y + x- 2)= 0 éy + 2x- 3 = 0 ïì y = 3- 2x Û ê Û ï ê í ëy + x- 2 = 0 îï y = 2- x
  22. ïì x2 + xy + y2 = 3 ïì x2 + xy + y2 = 3 Suy ra hệ phương trình tương đương với íï (3) hoặc íï (4) ï ï îï y = 3- 2x îï y = 2- x ì 2 2 ï x2 + x(3- 2x)+ (3- 2x) = 3 ïì 3x - 9x + 6 = 0 Giải hệ (3): (3)Û íï Û íï ï ï = - îï y = 3- 2x îï y 3 2x ïì é = ï êx 1 ì ì ï ê ï x = 1 ï x = 2 Û í ëx = 2 Û í hoặc í ï îï y = 1 îï y = - 1 îï y = 3- 2x ì 2 2 ï x2 + x(2- x)+ (2- x) = 3 ïì x - 2x + 1= 0 ïì x = 1 Giải hệ (4): (4)Û íï Û íï Û íï ï ï = - ï y = 1 îï y = 2- x îï y 2 x îï Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1;1) và (2;- 1) Nhận xét: + Để phân tích phương trình một phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem một ẩn, ẩn còn lại là tham số từ đó dựa vào ứng dụng của định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét) + Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà trong mỗi phương trình không thể phân tích được thành tích(như ở câu b) ta là như sau: ta tìm số thực a sao cho x2 + 2xy- 7x- 5y + 9 + a (x2 + xy + y2 )= 3a Û (1+ a)x2 + (2y + a y- 7)x + a y2 - 5y + 9- 3a = 0 có thể phân tích thành nhân tử. Điều này có được khi 2 2 2 2 2 D x = (2y + a y- 7) - 4(1+ a)(a y - 5y + 9- 3a)= (4- 3a )y + (6a - 8)y + 12a - 24a + 13 là số 2 2 2 4 3 chính phương hay D 'y = (3a - 4) - (4- 3a )(12a - 24a + 13)= 36a - 72a + 72a - 36 = 0 Û a = 1 hoặc a = - 1. Từ đó ta có lời giải như trên(ngoài ra ta cũng có thể trừ vế với vế). Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì ï 1 y 2 x ï + = + 2 a) í x y ï x ï 2 îï 2y - 2y + 1= 3xy A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì x ï 2 + 6y + x- 2y = b) íï y ï ï - = 2 + îï x(1 8y) x 2y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  23. Lời giải: a) Điều kiện xác định: x > 0, y ¹ 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 1 y 2 x + = + 2 Û y x + y2 = 2x x + 2xy Û y2 + y( x - 2x)- 2x x = 0 x x y Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có 2 2 2 D x = ( x - 2x) + 8x x = x + 4x x + 4x = ( x + 2x) > 0 . Do đó, phương trình này có hai nghiệm là (2x- x)- ( x + 2x) (2x- x)+ ( x + 2x) y = = - x và y = = 2x 2 2 ì ï y = - x ïì y = 2x Suy ra hệ phương trình tương đương với íï (3) hoặc íï (4) ï 2 ï 2 îï 2y - 2y + 1= 3xy îï 2y - 2y + 1= 3xy ïì y = - x ï 2 2 Ta có (3)Û í 2 (vô nghiệm vì y + (y- 1) > 0, - 3x x < 0 ) ï 2 + - = - îï y (y 1) 3x x ì ïì = ì ï y = 2x ï y 2x ï y = 2x ï (4)Û í 2 Û í Û í ï ï 2 ï 2 ± 2 ï 2(2x) - 2(2x)+ 1= 3x(2x) îï 2x - 4x + 1= 0 ï x = îï îï 2 ì ì ï 2 + 2 ï 2- 2 ï x = ï x = Û í 2 hoặc Û í 2 (thỏa mãn điều kiện) ï ï îï y = 2 + 2 îï y = 2- 2 æ ö æ ö ç2 + 2 ÷ ç2- 2 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç ; 2 + 2÷ và ç ; 2- 2÷. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ïì x ³ 2y b) ĐKXĐ: íï îï y ¹ 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 6y2 + y x- 2y - (x- 2y)= 0 Û (3y- x- 2y)(2y + x- 2y)= 0 é ê3y- x- 2y = 0 (1) Û ê ëê2y + x- 2y = 0 (2) • TH1: Với 3y- x- 2y = 0 Û 3y = x- 2y : Dễ thấy khi y < 0 thì phương trình vô nghiệm. Ta xét y ³ 0 ta có (1)Û 9y2 = x- 2y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì
  24. ì 2 ì 2 ì 2 ï 9y = x- 2y ï 9y = x- 2y ï 9y = x- 2y í Û íï Û í ï - = 2 + ï 2 2 ï - + = îï x(1 8y) x 2y îï x + 8xy = 9y îï (x y)(x 9y) 0 ïì 9y2 = x- 2y ïì 9y2 = x- 2y Û íï (1') hoặc íï (1'') ï ï îï x- y = 0 îï x + 9y = 0 ïì é = ï ê y 0 ì ì 2 ï ï x = y = 0 ï 9y = - y ï ê 1 ï Hệ phương trình (1') tương đương íï Û í ê = - Û í ï ï êy ï 1 îï x- y = 0 ï ë 9 ï x = y = - ï îï 9 îï x = y ïì é = 2 ï y 0 ïì 9y = - 9y- 2y ï ê ïì x = 0 ïì x = 99 Hệ phương trình (1") tương đương íï Û íï êy = - 11 Û íï hoặc íï ï ï ë ï ï îï x = - 9y ï ïî y = 0 îï y = - 11 îï x = - 9y Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm • TH2: Với 2y + x- 2y = 0 Û - 2y = x- 2y : Dễ thấy khi y > 0 thì phương trình vô nghiệm. Ta xét y £ 0 ta có (2)Û 4y2 = x- 2y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì ì 2 ì 2 ì 2 ï 4y = x- 2y ï 4y = x- 2y ï 4y = x- 2y í Û íï Û íï ï - = 2 + ï 2 2 ï îï x(1 8y) x 2y îï x + 8xy = 4y îï x = - 4y ± 2 5y ì 2 ì 2 ï 4y = x- 2y ï 4y = x- 2y Û íï (2') hoặc Û íï (2'') ï x = - 4 + 2 5 y ï x = - 4- 2 5 y îï ( ) îï ( ) ïì é = ï ê y 0 ì 2 ï ï 4y = - 6 + 2 5 y ï ê ï ( ) ï ê - 3+ 5 Hệ phương trình (2') tương đương với í Û í êy = ï x = - 4 + 2 5 y ï ë 2 îï ( ) ï ï x = - 4 + 2 5 y îï ( ) ïì x = 11- 5 5 ï Û = = hoặc ï x y 0 í - 3+ 5 ï y = îï 2 ïì é = ï ê y 0 ì 2 ï ï 4y = - 6- 2 5 y ï ê ï ( ) ï ê 3+ 5 Hệ phương trình (2") tương đương với í Û í êy = - ï x = - 4- 2 5 y ï ë 2 îï ( ) ï ï x = - 4- 2 5 y îï ( ) ïì x = 11+ 5 5 ï Û = = hoặc ï x y 0 í 3+ 5 ï y = - îï 2
  25. æ ö ç - 3+ 5 ÷ Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình ç11- 5 5; ÷ và èç 2 ø÷ æ ö ç 3+ 5 ÷ ç11+ 5 5;- ÷ èç 2 ø÷ æ ö æ ö ç - 3+ 5 ÷ ç 3+ 5 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là ç11- 5 5; ÷ và ç11+ 5 5;- ÷. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ïì x3 + 2xy2 = 2x2 y + 4 Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau íï . ï 2 2 îï x + 2y = xy + x + 2y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Nhân phương trình thứ hai với - 2 rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được (x3 + 2xy2 )- 2(x2 + 2y2 )= (2x2 y + 4)- 2(xy + x + 2y) Û (x3 - 2x2 )+ (2xy2 - 4y2 )= (2x2 y- 2xy- 4y)+ (4- 2x) Û x2 (x- 2)+ 2y2 (x- 2)= y(x- 2)(2x + 2)- 2(x- 2) Û (x- 2)(x2 - 2xy + 2y2 - 2y + 2)= 0 é 2 2 ù Û (x- 2)ê(x- y) + (y- 1) + 1ú= 0 ë û 2 2 Û x = 2 (vì (x- y) + (y- 1) + 1> 0 ) Thay x = 2 vào phương trình thứ hai ta có 4 + 2y2 = 2y + 2 + 2y Û 2y2 - 4y + 2 = 0 Û y = 1 Vậy phương trình có nghiệm là (x; y)= (2;1) Nhận xét: Việc nhân vào với - 2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thấy rằng đối với biến y thấy có sự tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực a khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được (x3 + 2xy2 )+ a (x2 + 2y2 )= (2x2 y + 4)+ a (xy + x + 2y) Û (2x + 2a)y2 - (2x2 + ax + 2a)y + x3 + ax2 - ax- 4 = 0 Ta sẽ chọn a sao cho đúng với mọi y , suy ra 2x + 2a = 2x2 + ax + 2a = x3 + ax2 - ax- 4 = 0 (*) Ta có 2x2 + ax + 2a = 0 Û 2x(x + a)- ax + 2a = 0 Þ - ax + 2a = 0 Þ x = 2 Þ a = - 2 Dễ thấy x = 2, a = - 2 thỏa mãn (*) do đó ta có lời giải như trên.
  26. Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau ïì 2x2 + 3y = y2 + x + 3 a) íï ï 2 2 îï 2y + 8 = x + x + 7y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì x3 = 8y3 + 3y b) íï ï 2 2 îï x + y = 4y + x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) Cộng vế với vế của hai phương trình ta có 2x2 + 3y + 2y2 + 8 = y2 + x + 3+ x2 + x + 7y 2 2 Û x2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 0 Û (x- 1) + (y- 2) = 0 ïì x = 1 Û x- 1= y- 2 = 0 Û íï îï y = 2 Thay x = 1; y = 2 vào hệ thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y)= (1; 2). b) Phương trình thứ hai nhân với - 3 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta được x3 - 3(x2 + y)= 8y3 + 3y- 3(4y2 + x)Û x3 - 3x2 + 3x- 1= 8y2 - 12y2 + 3y- 1 3 3 Û (x- 1) = (2y- 1) Û x = 2y Thay vào phương trình thứ hai ta được 2 (2y) + y = 4y2 + 2y Û y = 0 Þ x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y)= (0;0). Nhận xét: Các biến x, y trong mỗi phương trình độc lập với nhau do đó ta sẽ chọn a bằng cách lấy phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với a rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho n n đưa về dạng phương trình (ax + b) = ± (a' y + b') . Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ. Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau
  27. ïì 2x2 - y2 - 4 x- y = 1 ï ( ) a) í 2 ï 2 - + = - - îï x (x 2) 2 (xy 2y)(xy 4x) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 6 nghiệm ì 2 2 ï 3x + y = y b) íï ï x2 x2 + 45 = y y3 - 15 îï ( ) ( ) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì 2 x2 - 2x - y2 - 4y = 1 ï ( ) ( ) a) Hệ phương trình tương đương với í 2 ï 2 2 2 ï x - 2x - x - 2x y - 4y + 2 = 0 îï ( ) ( )( ) ïì a = x2 - 2x ïì 2a- b = 1 Đặt íï khi đó hệ trở thành íï ï 2 ï 2 îï b = y - 4y îï a - ab + 2 = 0 ïì b = 2a- 1 ïì b = 2a- 1 ïì b = 2a- 1 ï Û íï Û íï Û íï éa = - 1 ï 2 - - + = ï 2 ï ê îï a a(2a 1) 2 0 îï a - a- 2 = 0 ï ê îï ëa = 2 ïì a = - 1 ïì a = 2 Û íï hoặc íï îï b = - 3 îï b = 3 ïì x = 1 2 2 ï ïì a = - 1 ïì - 1= x - 2x ïì x - 2x + 1= 0 ï Với íï ta có íï Û íï Û íï éy = 1 ï ï 2 ï 2 ï ê îï b = - 3 îï - 3 = y - 4y îï y - 4y + 3 = 0 ï ê îï ëy = 3 2 2 ì ïì a = 2 ïì 2 = x - 2x ïì x - 2x- 2 = 0 ï x = 1± 3 Với íï ta có íï Û íï Û íï ï b = 3 ï = 2 - ï 2 - - = ï îï îï 3 y 4y îï y 4y 3 0 îï y = 2 ± 7 Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1;1),(1; 3),(1+ 3; 2 + 7),(1+ 3; 2- 7),(1- 3; 2 + 7) và (1- 3; 2- 7). ì 2 2 2 2 ï 3x + y = y ïì y - 3x = y b) Hệ phương trình tương đương với íï Û íï (*) ï y4 - x4 = 15 3x2 + y ï 4 - 4 = 2 îï ( ) îï y x 15y • Với y = 0 từ hệ suy ra x = 0 .
  28. ïì 3x2 ï y- = 1 ï y • Với y ¹ 0 ta có hệ phương trình (*) tương đương với íï ï x4 ï y2 - = 15 ï 2 îï y 2 ì x ï y- 3z = 1 Đặt = z , hệ trở thành í 2 2 y îï y - z = 15 ì ï y = 3z + 1 ïì = + ì ï ï y 3z 1 ï y = 3z + 1 ï é z = 1 Û í 2 Û í Û í ê ï + - 2 = ï 8z2 + 6z- 14 = 0 ï ê îï (3z 1) z 15 îï ï ê 7 ï z = - îï ëê 4 ïì 17 ï y = - ïì y = 4 ï Û íï hoặc íï 4 ï z = 1 ï 7 îï ï z = - îï 4 ïì y = 4 ïì = ï ïì = ïì = ï y 4 ï 2 ï y 4 ï y 4 Với í suy ra í x Û í 2 Û í îï z = 1 ï = 1 îï x = 4 ïî x = ± 2 îï y ïì ì ì ïì 17 ï 17 ï 17 ï 17 ï y = - ï y = - ï y = - ï y = - ï ï 4 ï ï 4 Với íï 4 suy ra íï Û íï 4 Û íï ï 7 ï x2 7 ï 119 ï ï = - ï = - ï 2 = ï 119 ï z ï ï x ï x = ± îï 4 îï y 4 îï 16 îï 4 æ ö æ ö ç 119 17÷ ç 119 17÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (2; 4),(- 2; 4),ç ;- ÷ và ç- ;- ÷. èç 4 4 ø÷ èç 4 4 ø÷ Ví dụ 8: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì 1 1 ï x2 + y2 + + = 5 ï 2 2 a) í x y ï 2 ï - = 2 - 2 + îï (xy 1) x y 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì ï 3x- y = 3 x + y b) íï ï îï 3x + y = 3 x- y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải:
  29. ïì x ¹ 0 a) ĐKXĐ: íï îï y ¹ 0 ì ï 2 2 1 1 ï x + y + + = 5 Hệ phương trình tương đương với íï x2 y2 ï ï 2 2 2 2 îï x y - 1- x + y = 2xy ì ïì 2 æ ö2 ï 2 2 1 1 ï æ 1ö 1 ï x + y + + = 5 ï ç + ÷ + ç - ÷ = ï 2 2 ï çx ÷ çy ÷ 5 ï x y ï èç xø÷ èç yø÷ Û í Û íï ï ï ï 1 x y ï æ 1öæ 1÷ö ï xy- - + = 2 ï çx + ÷çy- ÷= 2 ï xy y x ï ç ÷ç ÷ î îï è xøè yø ì ï 1 ï a = x + 2 2 ï x ïì a + b = 5 Đặt íï , khi đó hệ phương trình trở thành íï ï 1 ï ab = 2 ï b = y- îï îï y ì 2 ì 2 ï (a + b) - 2ab = 5 ï (a + b) = 9 ïì a + b = ± 3 Û íï Û íï Û íï ï ï ï ab = 2 îï ab = 2 îï ab = 2 îï ïì a + b = 3 éX = 1 Với hệ phương trình ï thì là nghiệm của phương trình 2 - + = Û ê í a,b X 3X 2 0 ê îï ab = 2 ëX = 2 Do đó hệ có nghiệm (a;b) là (2;1) và (1; 2) ïì a + b = - 3 éX = - 1 Với hệ phương trình ï thì là nghiệm của phương trình 2 + + = Û ê í a,b X 3X 2 0 ê îï ab = 2 ëX = - 2 Do đó hệ có nghiệm (a;b) là (- 2;- 1) và (- 1;- 2) 1 1 Vì a = x + = x + ³ 2 nên chỉ còn hai trường hợp sau x x ì ï 1 ì ï 2 = x + 2 ï x = 1 ï x ïì x - 2x + 1= 0 ï TH1: (a;b)= (2;1) khi đó ta có íï Û íï Û íï ï 1 ï 2 ï 1± 5 ï = - îï y - y- 1= 0 ï y = ï 1 y îï 2 îï y æ ö æ ö ç 1+ 5 ÷ ç 1- 5 ÷ Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x; y) là ç1; ÷ và ç1; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ì ï 1 ì ï - 2 = x + 2 ï x = - 1 ï x ïì x + 2x + 1= 0 ï TH2: (a;b)= (- 2;- 1) khi đó ta có íï Û íï Û íï ï 1 ï 2 ï - 1± 5 ï - = - îï y + y- 1= 0 ï y = ï 1 y ïî 2 îï y
  30. æ ö æ ö ç - 1+ 5 ÷ ç - 1- 5 ÷ Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x; y) là ç- 1; ÷ và ç- 1; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö æ ö æ ö ç 1+ 5 ÷ ç 1- 5 ÷ ç - 1+ 5 ÷ Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x; y) là ç1; ÷,ç1; ÷, ç- 1; ÷ và èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö ç - 1- 5 ÷ ç- 1; ÷. èç 2 ø÷ ì ï x + y = a b) Đặt íï , a ³ 0, b ³ 0 khi đó 2a2 + b2 = 3x + y, a2 + 2b2 = 3x- y ï îï x- y = b ïì a2 + 2b2 = 3a (1) Hệ phương trình trở thành íï ï 2 2 îï 2a + b = 3b (2) Trừ vế với vế của hai phương trình (1) và (2) ta được é a = b 2 - 2 = - Û - + + = Û ê b a 3(a b) (a b)(3 a b) 0 ê ëa = - b- 3 éa = 0 Þ b = 0 Với = thay vào phương trình (1) suy ra 2 = Û ê a b 3a 3a ê ëa = 1Þ b = 1 2 Với a = - b- 3 thay vào phương trình (1) suy ra (- b- 3) + b2 = 3b Û 2b2 - 3b + 9 = 0 (vô nghiệm) ì ï x + y = 0 ïì x + y = 0 ïì x = 0 TH1: a = b = 0 ta có íï Û íï Û íï ï ï x- y = 0 ï y = 0 îï x- y = 0 îï îï ì ï x + y = 1 ïì x + y = 1 ïì x = 1 TH2: a = b = 1 ta có íï Û íï Û íï ï ï x- y = 1 ï y = 0 îï x- y = 1 îï îï Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x; y) là (0;0) và (1;0) Ví dụ 9: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì 2 2 ï 5(x + y )= 6xy + 2 a) íï . ï 2 2 îï 2x + 3x = 2y + y + 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì 2 2 ï 5(x + y )= y- 2x b) íï ï 3 x2 + y2 + 2x = y + 8xy îï ( ) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  31. Lời giải: ì 2 2 ï (x + y) + é2(x- y)ù = 2 a) Hệ phương trình tương đương với íï ëê ûú ï + + - + + - = îï (x y) 2(x y) (x y)2(x y) 3 2 2 ì 2 ïì a = x + y ïì a + b = 2 ï (a + b) - 2ab = 2 Đặt íï , hệ phương trình trở thành íï Û íï (*) ï b = 2(x- y) ï + + = ï îï îï a b ab 3 îï a + b + ab = 3 ïì a + b = S ïì S2 - 2P = 2 Đặt íï , S2 ³ 4P khi đó hệ phương trình (*) trở thành íï ï ï îï ab = P îï S + P = 3 ïì éS = 2 ì 2 ì 2 ï ê ï S - 2(3- S)= 2 ï S + 2S- 8 = 0 ï Û í Û íï Û íï êS = - 4 ï ï ï ë îï P = 3- S îï P = 3- S ï îï P = 3- S ïì S = 2 ïì S = - 4 Û íï (thỏa mãn) hoặc íï (loại) îï P = 1 îï P = 7 ïì S = 2 ïì a + b = 2 Với íï ta có íï suy ra a,b là nghiệm của phương trình X2 - 2X + 1= 0 Û X = 1 îï P = 1 îï ab = 1 Do đó hệ phương trình (*) có nghiệm là (a;b)= (1;1) ïì 3 ï x = ïì 1= x + y ï Suy ra íï Û íï 4 . ï 1= 2(x- y) ï 1 îï ï y = îï 4 æ3 1ö Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là (x; y)= ç ; ÷ . èç4 4ø÷ ïì (3x + y)2 + (x- 3y)2 + (3x + y)+ (x- 3y) = 0 b) Hệ phương trình tương đương với íï ï îï 2(3x + y)(x- 3y)+ (3x + y)+ (x- 3y) = 0 ì 2 2 ïì 3x + y = a ï a + b + a + b = 0 Đặt íï , hệ phương trình trở thành í ï ï + + = îï x- 3y = b îï 2ab (a b) 0 ì ì 2 ï a = b ï (a + b) - 2ab = 0 ïì a = b ï éa = b = 0 Û íï Û íï íï éa = 0 Û ê ï + + = ï 2a2 + 2a = 0ï ê êa = b = 1 îï 2ab (a b) 0 îï ï ê ë îï ëa = 1 ïì 3x + y = 0 ïì x = 0 Với a = b = 0 ta có íï Û íï ï ï îï x- 3y = 0 îï y = 0
  32. ïì ïì 2 ï ï x = ï 3x + y = 1 ï Với a = b = 1 ta có íï Û íï 5 ï x- 3y = 1 ï 1 ï ï y = - îï ïî 5 æ2 1ö Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (0;0) và ç ;- ÷. èç5 5ø÷ 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.62: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì ï x + y = 3 x + y a) íï ï 3 îï x- y = x- y- 12 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì 5 ï 2 + 2 + + = ï 8(x y ) 4xy 2 13 ï (x + y) b) í ï 1 ï + = ï 2x 1 îï x + y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì x ³ y Bài 3.62: a) ĐKXĐ :íï îï x ³ - y x + y = 3 x + y Û ( x + y)6 = ( 3 x + y)6 éx = - y Û + 3 = + 2 Û + 2 + - = Û ê . (x y) (x y) (x y) (x y 1) 0 ê ëx + y = 1 Thay x = - y vào x- y = 3 x- y- 12 ta được y = - 2 Þ x = 2 . 1 b) Đặt a = x + y + ,b = x- y x + y ïì é 1 ù ï 5 ê(x + y)2 + ú+ 3(x- y)2 = 13 ï ê (x + y)2 ú Hệ Û íï ë û nên ta có: ï 1 ï (x + y + )+ x- y = 1 îï x + y ïì 5 2 2 2 2 ï a = - ïì 5(a - 2)+ 3b = 13 ïì 5a + 3b = 23 ïì a = 4 ï íï Û íï giải hệ này ta tìm được íï và íï 2 ï a + b = 1 ï a + b = 1 ï b = - 3 ï 7 îï îï îï ï b = îï 2
  33. æ ö æ ö æ ö ç- 1± 3 5± 3 ÷ ç3 11÷ ç3 ÷ Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ: (x; y)= ç ; ÷,ç ;- ÷,ç ;- 2÷. èç 2 2 ø÷ èç4 4 ø÷ èç2 ø÷ Bài 3.63: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì ï x y 7 ï + = + 1 a) íï y x xy ï ï îï x xy + y xy = 78 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì ï x2 + y2 + 2xy = 8 2 b) íï ï îï x + y = 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì ï x2 + y2 + 2xy = 8 2 c) íï ï îï x + y = 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.63: a) Điều kiện: x, y > 0 ì ï (x + y)+ (- xy) = 7 HPT Û íï ï îï (x + y)(- xy) = - 78 Suy ra x + y và - xy là nghiệm của phương trình: ét = 13 éx + y = 13 éx + y = 13 t2 - 7t - 78 = 0 Þ ê Û ê Û ê ê = - ê ê = ët 6 ëê- xy = - 6 ëxy 36 éì êï x = 4 êí éu = 4 ï y = 9 Suy ra là nghiệm của phương trình: 2 - + = Û ê Û êîï x, y u 13u 36 0 ê ê ëu = 9 êïì x = 9 êíï ï ëêîï y = 4 Vậy, hệ phưong trình có nghiệm là (4,9),(9,4). b) Điều kiện :x³ 0 ,y³ 0
  34. ì ì ï 2x2 + 2y2 + 4xy = 16 ï 2x2 + 2y2 = x + y HPT Û íï Û íï ï ï îï x + y + 4xy = 16 îï x + y = 4 ì 2 2 2 2 ì 2 ï 2x + 2y = x + y + 2xy ï (x- y) = 0 Û íï Û íï Û x = y = 4 ï ï îï x + y = 4 îï x + y = 4 Vậy hệ có nghiệm là (4; 4). ïì x ³ 0 c) Điều kiện: íï îï y ³ 0 ì ï S = x + y Đặt íï , điều kiện S,P ³ 0 và S2 - 4P ³ 0 ï îï P = xy ì 2 ï é 2 ù ï ê x + y - 2 xyú - 2xy + 2xy = 8 2 Khi đó hệ phương trình có dạng: íï ê( ) ú ï ë û ï îï x + y = 4 ïì 2 ï S2 - 2P - 2P2 + 2P = 8 2 Û íï ( ) ï îï S = 4 Þ P2 - 32P + 128 = 8 ïì 8- P ³ 0 Û íï Û P = 4 ï 2 2 îï P - 32P + 128 = (8- P) ì ïì S = 4 ï x + y = 4 Vậy ta được: íï Þ íï Û x = y = 4 ï P = 4 ï îï îï xy = 4 Bài 3.64: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ì ï x + y + x- y = 4 a) íï ï 2 2 îï x + y = 128 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì ï x y + y x = 30 b) íï ï îï x x + y y = 35 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  35. ì ï 2(x + y) = 3( 3 x2 y + 3 xy2 ) c) íï ï 3 3 îï x + y = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì x + y ³ 0 ïì y ³ - x Bài 3.64: a) Điều kiện: íï Û íï Û - x £ y £ x Þ x ³ 0 îï x- y ³ 0 îï y £ x ì ï x + y + x- y = 4 ì ï ï x + y + x- y = 4 Viết lại hệ phương trình dưới dạng: íï Û íï ï 1 2 1 2 ï 2 2 ï (x + y) (x- y) = 128 îï (x + y) + (x- y) = 256 îï 2 2 ì ï u = x + y Đặt: íï ,u,v ³ 0 ï îï v = x- y ïì éuv = 0 ïì u+ v = 4 ïì u+ v = 4 ï ê Ta được: íï Û íï Û íï êuv = 32 ï 4 4 ï ï ë îï u + v = 256 îï uv(uv- 32) ï îï u+ v = 4 ïì u+ v = 4 ïì u+ v = 4 Û íï Hoặc íï îï uv = 32 îï uv = 0 Giải hệ ta được nghiệm là (8,8); (8,- 8). b) Hệ có nghiệm là (4;9), (9; 4) c) Hệ có nghiệm là (8;64), (64;8) ì ï x + 1 + y- 1 = a Bài 3.65: Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất: í ï îï x + y = 2a + 1 A. a = 2 + 6 B. a = 2- 6 C. a = 6 D. a = 2 Lời giải: Bài 3.65: · Giả sử hệ có nghiệm (x0 , y0 ) Þ (y0 - 2,x0 + 2) cũng là nghiệm của hệ phương trình. Vậy hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0 - 2 ì ì ï y - 1 + y - 1 = a ï 2 y - 1 = a Khi đó hệ có dạng: íï 0 0 Û íï 0 ï - + = + ï = + îï y0 2 y0 2a 1 îï 2y0 2a 3
  36. ïì a ³ 0 Þ 2(2a + 3)- 1 = a Û íï Û a = 2 + 6 ï 2 îï 4a- 2 = a ì ì ï x + 1 + y- 1 = 2 + 6 ï x + 1 + y- 1 = 2 + 6 · Với a = 2 + 6 , hệ có dạng: íï Û íï ï ï îï x + y = 2(2 + 6)+ 1 îï (x + 1)+ (y- 1) = 5+ 2 6 ì ì ì ï u+ v = 2 + 6 ï u = x + 1 ï u+ v = 2 + 6 ï Đặt:íï ;u,v ³ 0 . Ta được: íï Û íï ï ï 2 2 ï 5+ 2 6 îï v = y- 1 îï u + v = 5+ 2 6 ï uv = îï 2 Suy ra u,v là nghiệm phương trình: 1 2 + 6 2 + 6 t2 - (2 + 6)t + (5+ 2 6) = 0 Û t = Þ u = v = 2 2 2 ì ì ï 2 + 6 ï 6 + 4 6 ï x + 1 = ï x = Û íï 2 Û íï 4 là nghiệm duy nhất. ï 2 + 6 ï 14 + 4 6 ï y- 1 = ï y = îï 2 îï 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi a = 2 + 6 . Bài 3.66: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x2 - xy + y2 = 3 x- y ï ( ) a) í 2 ï 2 + + 2 = - îï x xy y 7(x y) A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ïì 5 ï x3 y + xy2 + x2 + y + xy = - ï b) íï 4 ï 5 ï x4 + 2x2 y + y2 + xy = - îï 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ì 2 ï (x- y) - 3xy = 3(x- y) Bài 3.66: a) Ta có: HPT Û ï í 2 ï = - îï xy 2(x y) ì 2 ì ì ï u - 3u+ v = 0 ï u = 0 ï u = 1 Đặt u = x- y,v = xy . Hệ trở thành í Û íï . hoặc íï ï 2 ï ï îï v = 2u îï v = 0 îï v = 2 Từ đó giải được các nghiệm của hệ là (0;0),(2;1),(- 1;- 2).
  37. ïì 5 ï x2 + y + xy(x2 + y)+ xy = - ï b) HPT Û íï 4 . Đặt a = x2 + y;b = xy ï 5 ï (x2 + y)2 + xy = - îï 4 ïì 5 ïì 5 ï a + ab + b = - ï b = - - a2 ï ï Ta có: íï 4 Û íï 4 ï 5 ï 5 5 5 ï a2 + b = - ï a + a(- - a2 )- - a2 = - îï 4 îï 4 4 4 ì ì ï 5 2 ï 1 ï b = - - a ïì a = 0 ï a = - ï ï ï Û íï 4 Û í hoặc íï 2 ï ï 5 ï ï 3 2 1 ï b = - ï 3 ï a + a + a = 0 îï 4 ï b = - îï 4 îï 2 ïì 5 ì ì 2 ï 3 ï a = 0 ï x + y = 0 ï x = ï ï ï 4 * í 5 Û í 5 Û í ï b = - ï xy = - ï 25 îï 4 îï 4 ï y = - 3 îï 16 ì ì ï 1 ï 2 1 ì ï a = - ï x + y = - ï x = 1 ï 2 ï 2 ï * í Û í Û í 3 ï 3 ï 3 ï y = - ï b = - ï xy = - îï 2 îï 2 îï 2 æ 5 24 ÷ö æ 3ö ç3 3 ÷ ç ÷ Vậy hệ có hai cặp nghiệm (x; y) = ç ;- ÷, ç1;- ÷. èç 4 16 ø÷ èç 2ø÷ Bài 3.67: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì xy + x + 1= 7y a) íï ï 2 2 2 îï x y + xy + 1= 13y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì 3 6 ï y(1+ 2x y) = 3x b) í ï 6 2 6 îï 1+ 4x y = 5x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì 2 ï x - 2xy + x + y = 0 c) í ï 4 2 2 2 îï x - 4x y + 3x + y = 0
  38. A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì x 1 ï x + + = 7 ï y y Bài 3.67: a) Vì y = 0 không thỏa hệ đã cho nên hệ đã cho Û í ï x 1 ï x2 + + = 13 ï 2 îï y y 1 x 1 Đặt a = x + ; b = Þ x2 + = a2 - 2b . y y y2 ïì a + b = 7 ïì a + b = 7 ïì a = 4 ïì a = - 5 Ta có hệ là íï Û íï íï hoặc íï . ï 2 ï 2 ï ï îï a - b = 13 îï a + a- 20 = 0 îï b = 3 îï b = 12 ïì 1 ï x + = 4 é ï ì 2 1 ï y ï x - 4x + 3 = 0 êx = 1Þ y = *í Û í Û ê 3 ï x ï x = 3y ê ï = ïî êx = 3 Þ y = 1 ï 3 ë îï y ïì 1 ï x + = - 5 ï ì 2 ï y ï x + 5x + 12 = 0 * í Û íï hệ vô nghiệm. ï x ï = ï = îï x 12y ï 12 îï y 1 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm: (x; y) = (1; ), (3;1) . 3 b) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành ïì 1 1 ï 2y ( + 2y) = 6 ï 3 3 1 íï x x . Đặt a = 2y, b = , ta có hệ ï 1 x3 ï + (2y)2 = 5 îï x6 ì ì ì ï 6 ï 6 ï ab(a + b) = 6 ï a + b = ï a + b = í Û í ab Û í ab ï 2 2 ï ï îï a + b = 5 ï 2 ï 3 3 2 2 îï (a + b) - 2ab = 5 îï 2a b + 5a b - 36 = 0 ïì ab = 2 ïì a = 1 ïì a = 2 Û íï Û íï v íï . îï a + b = 3 îï b = 2 îï b = 1 ïì 1 ï y = ïì a = 1 ï 2 ïì a = 2 ïì y = 1 * íï Þ íï . * íï Þ íï . ï b = 2 ï 1 ï b = 1 ï x = 1 îï ï x = îï îï îï 3 2 1 1 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm : (x; y) = (1;1), ( ; ) . 3 2 2
  39. c) Nếu x = 0 thay vào hệ Þ y = 0 Þ x = y = 0 là một nghiệm của hệ ïì y ï x + = 2y- 1 ï x Với x ¹ 0 ta có hệ đã cho Û íï ï y2 ï x2 + = 4y- 3 îï x2 ì ï y ì ï x + = 2y- 1 ï y ï ï x + = 2y- 1 (1) Û íï x Û íï ï ï x ï y 2 ï 2 ï (x + ) = 6y- 3 îï (2y- 1) = 6y- 3 (2) îï x 1 (2) Û 2y2 - 5y + 2 = 0 Û y = 2; y = . 2 2 * y = 2 Þ (1) Û x + = 3 Û x2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1; x = 2 . x 1 1 * y = Þ (1) Û x + = 0 phương trình vô nghiệm. 2 2x Vậy hệ đã cho có ba cặp nghiệm: (x; y) = (0;0), (1; 2), (2; 2) . Bài 3.68: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau ïì x3 + 3xy2 = 6xy- 3x- 49 a) íï ï 2 2 îï x - 8xy + y = 10y- 25x- 9 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm ì 3 3 ï x - y = 35 b) í ï 2 2 îï 2x + 3y = 4x- 9y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.68: a) Nhân phương trình thứ hai của hệ với 3 và cộng hai phương trình theo vế ta có x3 + 3x2 + 3y2 (x + 1)- 24xy = 6xy + 30y- 78x- 76 Û (x + 1)(x2 + 2x + 76)+ 3y2 (x + 1)- 30y(x + 1) = 0 Û (x + 1)(x2 + 2x + 3y2 - 30y + 76) = 0 (*) Do x2 + 2x + 3y2 - 30y + 76 = (x + 1)2 + 3(y- 5)2 ³ 0 và không có đẳng thức xảy ra nên (*) tương đương với x = - 1. Thay vào hệ ta tìm được y = - 3, y = 5 .
  40. b) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (6x2 - 12x + 8)+ (9y2 + 12y + 27) = 35 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được: x3 - y3 = (6x2 - 12x + 8)+ (9y2 + 12y + 27) Û (x- 2)3 = (y + 3)3 Û x = y + 5 Lại thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2(y + 5)2 + 3y2 = 4(y + 5)- 9y Û 5y2 + 25y + 30 = 0 . Û (y + 2)(y + 3) = 0 Û y = - 2Úy = - 3 Với y = - 2 , ta có x = 3 , với y = - 3 , ta có x = 2 . Thử lại ta thấy thỏa. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x, y) = (- 2,3),(- 3,2). ïì ï 4 1 2 x + y ï x( + ) = 2 ï 4 x + y Bài 3.69: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau íï ï ï 1 2 x + y ï 4 y( - ) = 1 îï 4 x + y A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì x, y ³ 0 Bài 3.69: Điều kiện: íï îï x + y ¹ 0 Ta thấy x = 0 (y = 0) không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với ì ì ï 1 2 x + y 2 ï 2 x + y 2 1 ï + = ï 2 = - ï 4 ï ï 4 x + y x ï x + y 4 x 4 y í Û íï ï 1 2 x + y 1 ï 1 2 1 ï - = ï = + ï 4 x + y 4 ï 2 4 4 îï y îï x y + æ öæ ö 2 x y ç 2 1 ÷ç 2 1 ÷ 4 1 Suy ra = ç - ÷ç + ÷= - x + y èç4 x 4 y ÷øèç4 x 4 y ÷ø x y Û x x - 2x y + 2y x - 4y y = 0 . x Đặt t = ta có: t3 - 2t2 + 2t - 4 = 0 Û t = 2 Û x = 4y y
  41. ïì 4 ï ( 2 + 1) ï = ï x Từ đó ta tìm đượcíï 4 . ï 4 ï ( 2 + 1) ï y = îï 16 ➢ DẠNG TOÁN 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải. Trong một phương trình mà có hai đại lượng có mối liên hệ với nhau thì ta đặt mỗi đại lượng ấy là một ẩn mới từ đó ta đưa về được hệ phương trình(dễ dàng giải được) có được từ mối liên hệ hai đại lượng đó và phương trình ban đầu. Giải hệ phương trình từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) 3 20 + x + 16- x = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 3 2(x- 2)+ 4 4(x + 2) = 2 . A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: x £ 16 . ì 3 ï u = 20 + x Đặt íï suy ra u £ 3 36, v ³ 0 và u3 + v2 = 36 ï îï v = 16- x Khi đó phương trình trở thành u+ v = 6 ïì u+ v = 6 ïì v = 6- u ïì v = 6- u Ta có hệ phương trình:íï Û íï Û íï ï 3 2 ï 3 2 ï 2 îï u + v = 36 îï u + (6- u) = 36 îï u(u + u- 12) = 0 (*) é = êu 0 ê 3 Phương trình (*) Û êu = 3 thỏa mãn u £ 36 . ê ëêu = - 4 Với u = 0 Þ 0 = 3 20 + x Û x = - 20 , u = 3 Þ 3 = 3 20 + x Û x = 7 và u = - 4 Þ - 4 = 3 20 + x Û x = - 84 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = - 20; x = - 84; x = 7 . b) ĐKXĐ: x ³ - 2
  42. ì ï u = 3 2(x- 2) Đặt íï suy ra u ³ 0,v ³ 0 và v4 - 2u3 = 16 ï ï = 4 + îï v 4(x 2) Khi đó phương trình trở thành u+ v = 2 ì ïì = - ï u+ v = 2 ï u 2 v Ta có hệ phương trình:í Û í 3 ï 4 - 3 = ï 4 - - = îï v 2u 16 îï v 2(2 v) 16 ì ïì u = 2- v ï u = 2- v Û íï Û íï (*) ï 4 + 3 - 2 + - = ï v- 2 v3 + 4v2 - 4v + 16 = 0 îï v 2v 12v 24v 32 0 îï ( )( ) 2 Vì v3 + 4v2 - 4v + 16 = v3 + (2v- 1) + 15 > 0 nên hệ phương trình ïì u = 2- v ïì u = 0 (*)Û íï Û íï (thỏa mãn) îï v = 2 îï v = 2 Ta có u = 0 Þ 3 2(x- 2) = 0 Û x = 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 Nhận xét : Khi gặp phương trình có chứa các đại lượng a + f (x), f (x) và b- f (x) (hoặc b + f (x) ) thì ta đặt u = a + f (x), v = b- f (x) (hoặc v = b- f (x) ) và đưa về hệ phương trình ì ì ï g(u; v)= c ï g(u; v)= c í (hoặc í ). Giải hệ tìm được u, v từ đó giải phương trình u = a + f (x) ï 2 2 ï 2 2 îï u + v = a + b îï u - v = a- b hoặc v = b ± f (x) tìm được x . Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình a) 3 13+ 2x + 3 13- 2x - 2 3 169- 4x2 = 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) x + 3 4- x3 = 2 + 3x 3 4- x3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm c) (15x2 + 6) 3(x2 + 2) = 25x3 + 36x + 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải:
  43. ì 3 ï u = 13+ 2x a) Đặt íï Þ u3 + v3 = 26 ï 3 îï v = 13- 2x Phương trình trở thành u+ v- 2uv = 8 3 3 ì 3 ïì u + v = 26 ï (u+ v) - 3uv(u+ v)= 26 Vậy ta có hệ phương trình íï Û íï (*) ï + - = ï îï u v 2uv 8 îï u+ v- 2uv = 8 ïì S = u+ v ïì S3 - 3SP = 26 Đặt íï , S2 ³ 4P , hệ phương trình (*) trở thành íï ï ï îï P = uv îï S- 2P = 8 ì 3 ì 3 2 ï 2S - 3S(S- 8)= 52 ï 2S - 3S + 24S- 52 = 0 ïì S = 2 í Û íï Û ïí ï ï ï îï 2P = S- 8 îï 2P = S- 8 îï P = - 3 ïì 2 = u+ v Thay vào ta có íï , do đó u,v là nghiệm của phương trình îï - 3 = uv éX = - 1 ïì u = - 1 ïì u = 3 2 - - = Û ê . Suy ra ï hoặc ï X 2X 3 0 ê í í ëX = 3 îï v = 3 îï v = - 1 ïì u = - 1 Với íï Þ 3 13+ 2x = - 1 Û x = - 7 îï v = 3 ïì u = 3 Với íï Þ 3 13+ 2x = 3 Û x = 7 îï v = - 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 7 . b) x + 3 4- x3 = 2 + 3x 3 4- x3 Đặt y = 3 4- x3 Þ x3 + y3 = 4 Phương trình trở thành x + y = 2 + xy 3 3 ì 3 ïì x + y = 4 ï (x + y) - 3xy(x + y)= 4 Vậy ta có hệ phương trình íï Û íï (*) ï + = + ï îï x y 2 xy îï x + y = 2 + xy ïì S = x + y ïì S3 - 3SP = 4 Đặt íï , S2 ³ 4P , hệ phương trình (*) trở thành íï ï ï îï P = xy îï S = 2 + P ì 3 ì 3 2 ï S - 3S(S- 2)= 4 ï S - 3S + 6S- 4 = 0 ïì S = 1 í Û íï Û íï ï ï ï îï P = S- 2 îï P = S- 2 îï P = - 1 ïì 1= x + y Thay vào ta có íï Þ x, y là nghiệm của phương trình îï - 1= xy
  44. é 1+ 5 êx = 1± 5 ê X2 - X - 1= 0 Û X = Þ ê 2 2 ê 1- 5 êx = ëê 2 1± 5 Do đó phương trình có nghiệm là x = . 2 c) Phương trình tương đương với - 25x3 + 15 3(x2 + 2)x2 + 6 3(x2 + 2)- 36x = 2 Û x3 + (- 26x3 + 15 3(x2 + 2)x2 + 6 3(x2 + 2)- 36x)= 2 3 Û x3 + ( 3(x2 + 2)- 2x) = 2 2 Đặt y = 3(x2 + 2)- 2x Þ (2x + y) = 3(x2 + 2)Û x2 + 4xy + y2 = 6 Phương trình trở thành x3 + y3 = 2 ïì x3 + y3 = 2 Do đó ta có hệ phương trình íï , đây là hệ đối xứng loại 1 giải hoàn toàn tương tự trên ta ï 2 2 îï x + 4xy + y = 6 được nghiệm của hệ phương trình là (x; y)= (1;1) Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) x2 - x + 1= 1- 8x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm 2 3 b) x2 + 3x + 3 = 2 3 + x2 x3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: 1 a) ĐKXĐ: x £ 8 1 Đặt 1- 8x = 1- 2y, y £ Þ 1- 8x = 4y2 - 4y + 1 Û y2 + 2x = y 2 Phương trình trở thành x2 - x + 1= 1- 2y Û x2 + 2y = x
  45. ïì y2 + 2x = y Vậy ta có hệ phương trình íï (*) ï 2 îï x + 2y = x é x = y Þ 2 - 2 + - = - Û - + - = Û ê x y 2y 2x x y (x y)(x y 3) 0 ê ëx = 3- y Thay vào phương trình đầu của hệ phương trình (*): é y = 0 Þ x = 0 Với = ta có 2 + = Û 2 + = Û ê (thỏa mãn) x y y 2y y y y 0 ê ëy = - 1Þ x = - 1 Với x = 3- y ta có y2 + 2(3- y)= y Û y2 - 3y + 6 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = - 1. b) ĐKXĐ: x ¹ 0 . 3 Phương trình tương đương với x3 + 3x2 + 3x = 2 3 2x + 3 Û (x + 1) - 1= 2 3 2(x + 1)+ 1 t3 - 1 Đặt y = x + 1 phương trình trở thành y3 - 2 = 2 3 2y + 1 , đặt t = 3 2y + 1 Þ y = . 2 ì 3 ï y - 1= 2t (1) Khi đó ta có hệ íï ï 3 - = îï t 1 2y (2) Lấy (1) trừ (2) ta có: y3 - t3 = 2t - 2y Û (y- t)(y2 + yt + t2 )+ 2(y- t)= 0 Û (y- t)(y2 + yt + t2 + 2)= 0Û y- t = 0 2 æ t ö 3 (Vì y2 + yt + t2 + 2 = çy + ÷ + t2 + 2 > 0 ) èç 2ø÷ 4 Với t = y thay vào (1) ta có y3 - 1= 2y Û y3 - 2y- 1= 0 é ê êy = - 1Þ x = - 2 ê ê 1+ 5 - 1+ 5 Û (y + 1)(y2 - y- 1)= 0 Û êy = Þ x = ê 2 2 ê ê 1- 5 1+ 5 êy = Þ x = - ëê 2 2 - 1+ 5 1+ 5 Vậy phương trình có 3 nghiệm x = - 2; x = ; x = - 2 2 Nhận xét:
  46. · Phương trình có dạng ax2 + bx + c = a' x + b' ta đặt a' x + b' = a y + b Þ a 2 y2 + 2aby- a' x + b - b' = 0 và phương trình trở thành ax2 + bx + c- a y- b = 0 . Từ đó ta chọn a , b sao cho hệ phương trình ïì a 2 y2 + 2aby- a' x + b - b' = 0 íï là đối xứng. Hoàn toàn tương tự đối với phương trình chứa căn bậc n . ï 2 îï ax + bx + c- a y- b = 0 · Khi gặp phương trình có thể đưa về dạng f n (x)+ b = a n af (x)- b ta đưa về hệ đối xứng loại 2 bằng ì n ï t + b = ay cách đặt t = f (x), y = n af (x)- b ta có hệ í ï n îï y + b = at Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) 4x2 + 5+ 3x + 1 = 13x A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 10x2 + 12x + 3 = x 2x2 + 2x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: 1 a) ĐKXĐ: x ³ - 3 2 Phương trình tương đương với (3- 2x) + 3x + 1 = x + 4 ïì u = 3- 2x ï 11 2 Đặt í ,v ³ 0,u £ Þ v + u = x + 4 ï îï 3x + 1 = v 3 Phương trình trở thành u2 + v = x + 4 (*) ïì v2 + u = x + 4 Vậy ta có hệ phương trình íï ï 2 îï u + v = x + 4 é v = u Þ 2 + - 2 + = Û - + - = Û ê (v u) (u v) 0 (v u)(u v 1) 0 ê ëv = 1- u 2 Với v = u thay vào (*) ta có u2 + u = x + 4 hay (3- 2x) + 3- 2x = x + 4 15± 97 15+ 97 Û 4x2 - 15x + 8 = 0 Û x = (loại x = vì khi đó v = u < 0 ) 8 8 2 Với v = 1- u thay vào (*) ta có u2 + 1- u = x + 4 hay (3- 2x) + 1- (3- 2x)= x + 4
  47. 11± 73 11- 73 Û 4x2 - 11x + 3 = 0 Û x = (loại x = vì v = 1- (3- 2x)< 0 ) 8 8 15- 97 11- 73 Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = . 8 8 b) Phương trình tương đương với (3x + 2)2 + x2 - 1= x x(3x + 2)- x2 + 1 ïì 2 ï u = x(3x + 2)- x + 1 2 2 Đặt íï , u ³ 0 suy ra u = xv- x + 1 ï îï v = 3x + 2 Phương trình trở thành v2 + x2 - 1= xu . ïì u2 = xv- x2 + 1 Vậy ta có hệ phương trình íï ï 2 2 îï v + x - 1= xu é u = v Þ 2 - 2 - 2 + = - 2 + - Û - + + = Û ê u v x 1 xv x 1 xu (u v)(u v x) 0 ê ëu+ v + x = 0 2 Với u = v ta có v2 = xv- x2 + 1 hay (3x + 2) = x(3x + 2)- x2 + 1 éx = - 1 2 ê Û 7x + 10x + 3 = 0 Û ê 3 (loại x = - 1 vì khi đó u = v = - 1< 0 ) êx = - ëê 7 2 Với u+ v + x = 0 Þ u = - x- v = - 4x- 2 ta có (- 4x- 2) = x(3x + 2)- x2 + 1 - 7 ± 7 - 7 + 7 Û 14x2 + 14x + 3 = 0 Û x = (loại x = vì khi đó u < 0 ) 14 14 - 7 - 7 Vậy phương trình có hia nghiệm là x = - 1 và x = . 14 Chú ý: Đây là phương trình bằng sau khi đặt u = f (x), v = g(x) đưa về hệ hương trình còn ẩn x mà có thể đưa về phương trình tích. Sau khi tìm được nghiệm cần tìm u,v để kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện ẩn phụ hay không. Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) 3 2. 3- 2x3 = 3 3- x2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 2x + 3 9- x3 = 3x2 + 13 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  48. Lời giải: 3 a) ĐKXĐ: x £ 3 2 Đặt y = 3- 2x3 , y ³ 0 Þ 2x3 + y2 = 3 Phương trình trở thành 3 2y = 3 3- x2 Û 2y3 + x2 = 3 ïì 2x3 + y2 = 3 (1) Vậy ta có hệ phương trình íï Þ 2x3 - 2y3 + y2 - x2 = 0 ï 3 2 îï 2y + x = 3 (2) é x = y Û x- y 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y = 0 Û ê (*) ( )( ) ê 2 2 ë2x + 2xy + 2y - x- y = 0 Ta có 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y > 0, " x," y , thật vậy Nếu x ³ 1 thì 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y = x(2x- 1)+ y(2x- 1)+ 2y2 > 0 Nếu 0 0 2 Nếu x £ 0 Þ y ³ 3 thì 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y = x2 + (x + y) - x + y(y- 1)> 0 Do đó (*) Û x = y , thay vào phương trình (1) ta được 2x3 + x2 = 3 Û 2x3 + x2 - 3 = 0 Û x = 1 Suy ra phương trình có nghiệm x = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Đặt 3 9- x3 = y Þ x3 + y3 = 9 2 Phương trình trở thành 2x + y = 3x2 + 13 Þ (2x + y) = 3x2 + 13 Û x2 + y2 + 4xy = 13 ïì 3 ïì x3 + y3 = 9 ï (x + y) - 3xy(x + y)= 9 Vậy ta có hệ phương trình ï Û ï ( ) í 2 2 í 2 ï x + y + 4xy = 13 ï + + = î îï (x y) 2xy 13 ïì S = x + y ïì S3 - 3SP = 9 Đặt íï , S2 ³ 4P , hệ phương trình ( ) trở thành íï ï ï 2 îï P = xy îï S + 2P = 13 ì 3 2 3 ì 2 ï 2S - 3S(13- S )= 18 ïì 5S - 39S- 18 = 0 ï (S- 3)(5S + 15S + 6)= 0 Û íï Û íï Û íï ( ) ï 2 ï = - 2 ï 2 îï 2P = 13- S îï 2P 13 S îï 2P = 13- S 26 Ta có S2 ³ 4P Þ S2 ³ 2(13- S2 )Þ S2 ³ 3
  49. 2 æ 15ö 225 26 225 Mặt khác 5S2 + 15S + 6 = ç2S + ÷ + S2 + 6- ³ + 6- > 0 èç 4 ø÷ 16 3 16 ïì S = 3 ïì 3 = x + y Do đó hệ phương trình ( ) Û íï suy ra íï , x, y là nghiệm của phương trình îï P = 2 îï 2 = xy éX = 1 2 - + = Û ê X 3X 2 0 ê ëX = 2 Suy ra hệ phương trình ( ) có nghiệm (x; y) là (1; 2) và (2;1). Thử x = 1,x = 2 vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm là x = 1,x = 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.70: Tìm số nghiệm của phương trình sau 2 2 a) 3 (3x + 1) + 3 (3x- 1) + 3 9x2 - 1 = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 4 x + 4 17 - x = 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.70: a) Đặt: u = 3 3x + 1 và v = 3 3x- 1 ì 2 2 ï u + v + u.v = 1 (6) trở thành: í Þ u- v = 2 Þ u = v + 2 ï 3 3 îï u - v = 2 2 Do đó: (v + 2) + v2 + v(v + 2)= 1 2 Û 3v2 + 6v + 3 = 0 Û 3(v + 1) = 0 Û v = - 1Þ u = 1 ì 3 ï u = 3x + 1 = 1 Vậy ta có: íï Þ x = 0 ï 3 îï v = 3x- 1 = - 1 b) ĐKXĐ: 0 £ x £ 2 . Đặt a = 4 x; b = 4 17 - x; a,b ³ 0 . Ta có hệ phương trình ïì a + b = 3 ïì a + b = 3 ïì a + b = 3 ïì a + b = 3 íï Û íï Û íï Û íï . ï 4 4 ï 2 2 2 2 ï 2 2 ï îï a + b = 17 îï [(a + b) - 2ab] - 2a b = 17 îï a b - 18ab + 32 = 0 îï ab = 2 V ab = 16
  50. ïì a + b = 3 ïì a = 1 ïì a = 2 éx = 1 • Với ï Þ ï ï Þ ê . í í V í ê îï ab = 2 îï b = 2 îï b = 1 ëx = 16 ïì a + b = 2 • Với íï Þ hệ vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có hai ngiệm x = 1; x = 16 . îï ab = 16 Bài 3.71: Tìm số nghiệm của phương trình sau x + 3 a) 2x2 + 4x = 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 4x2 + 7x + 1= 2 x + 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm c) 3 3x- 5 = 8x3 - 36x2 + 53x- 25 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x ³ - 3 . (x + 1)+ 2 1 x + 1 Phương trình Û 2(x + 1)2 - 2 = Û (x + 1)2 - 1= + 1 . 2 2 2 x + 1 t t Đặt t = x + 1; y = + 1 = + 1 Þ y2 - 1= , ta có hệ phương trình: 2 2 2 ïì 1 ï t2 - 1= y ét = y ï 1 ê íï 2 Þ (t - y)(t + y + ) = 0 Û ê ï ê 1 ï 2 1 2 y = - t - ï y - 1= t ëê 2 îï 2 t 1± 17 - 3± 17 * t = y Û t2 - 1= Û 2t2 - t - 2 = 0 Û t = Û x = (thỏa đk x ³ - 3 ) 2 4 4 1 1 t - 1± 13 - 5± 13 * y = - t - Þ (t + )2 - 1= Û 4t2 + 2t - 3 = 0 Û t = Û x = 2 2 2 4 4 (thỏa đk x ³ - 3 ). - 3± 17 - 5± 13 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = ; x = . 4 4 b) ĐKXĐ: x ³ 2
  51. Phương trình Û (2x + 1)2 + 3x = 2 2(2x + 1)- 3x Đặt t = 2x + 1; y = 2t - 3x Þ y2 + 3x = 2t Þ ta có hệ phương trình ì 2 é ï t + 3x = 2y y = t í Þ (t - y)(t + y + 2) = 0 Û ê . ï 2 ê îï y + 3x = 2t ëy = - t - 2 éx = - 1 2 2 ê * y = t Û t - 2t + 3x = 0 Û 4x + 3x- 1= 0 Û ê 1 . êx = ëê 4 éx = - 1 2 2 ê * y = - t - 2 Þ t + 3x + 2(t + 2) = 0 Û 4x + 11x + 7 = 0 Û ê 7 . êx = - ëê 4 7 1 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = - 1; x = - ; x = . 4 4 2 Cách khác : pt Û 4x2 + 8x + 4 = ( x + 2 + 1) c) Ta có phương trình Û 3 3x- 5 = (2x- 3)3 - x + 2 Đặt 3 3x- 5 = 2y- 3 Þ (2y- 3)2 = 3x- 5 , khi đó ta có hệ phương trình ïì 3 ï (2x- 3) = 2y- 3+ x- 2 3 3 í Þ a - b = b- a (Với a = 2x- 3;b = 2y- 3 ) ï 3 îï (2y- 3) = 2x- 3+ x- 2 Û (a- b)(a2 + ab + b2 + 1) = 0 Û a = b Û (2x- 3)3 = 3x- 5 é = êx 2 Û 3 - 2 + - = Û - 2 - + = Û ê . 8x 36x 51x 22 0 (x 2)(8x 20x 11) 0 ê 5± 3 êx = ë 4 5± 3 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 2; x = . 4 Bài 3.72: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) 2- x2 = (2- x)2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) 3 2- x2 = 2- x3 . A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm
  52. Lời giải: Bài 3.72: a) ĐK: 0 £ x £ 2 . ïì a + b = 2 Đặt a = x;b = 2- x , ta có hệ phương trình: íï (I) ï 4 4 îï a + b = 2 (I) Û a = b = 1 Û x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. b) ĐKXĐ: x £ 3 2 Đặt a = 3 2- x2 , a ³ 0 Þ a3 = 2- x2 Û a3 + x2 = 2 Mặt khác từ phương trình ban đầu Þ a = 2- x3 Û x3 + a2 = 2 ì 3 2 ï a + x = 2 Vậy ta có hệ phương trình: í trừ hai phương trình của hệ ta được ï 3 2 îï x + a = 2 a3 - x3 - (a2 - x2 ) = 0 Û (a- x)(a2 + ax + x2 - a- x) = 0 (*) Ta có: a2 + ax + x2 - a- x = a2 + (a + x)(x- 1) * Với x ³ 1Þ a + x > 0 Þ (a + x)(x- 1) ³ 0 Þ a2 + (a + x)(x- 1) > 0 * Với 0 £ x 0 * Với x 0 Þ a2 + (a + x)(x- 1) > 0 Þ a2 + ax + x2 - a- x > 0 " x ïì 3 3 ï 0 £ x £ 2 Do đo (*) Û a = x thay vào hệ ta được: 2- x = x Û íï Û x = 1. ï 3 2 îï x + x - 2 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1. 3 Bài 3.73: Tìm số nghiệm của phương trình sau: (4x3 - x + 3)3 - x3 = (1) 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: ïì 3 3 3 ï 2y - 2x = 3 Bài 3.73: Đặt y = 4x - x + 3 . (1) có dạng: í (I) ï 3 îï 4x - x + 3 = y ì 3 3 ì 3 3 ï 2y - 2x = 3 ï 2y - 2x = 3(2) (I) Û í Û í ï 3 3 ï 2 2 îï 2x + 2y - (x + y) = 0 îï (x + y)(2x - 2xy + 2y - 1) = 0(3)
  53. 3 TH1: y = - x kết hợp(2), có nghiệm của (1): x = - 3 4 2 2 TH2: 2x2 - 2xy + 2y2 - 1= 0;D ' = 2- 3y2 . Nếu có nghiệm thì y £ . Tương tự cũng có x £ . x 3 3 æ ö3 ç 2 ÷ 8 2 Khi đó VT (2) £ 4ç ÷ = < 3 . Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. èç 3 ÷ø 3 3 3 KL (1) có 1 nghiệm x = - 3 4 Bài 3.74: Tìm số nghiệm của phương trình sau a) 3 3x + 4 = x3 + 3x2 + x- 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm b) x2 - 3x + 4 = x 3 x3 - x2 - x- 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệmC. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải: Bài 3.74: a) Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. 3 Xét x ¹ 0 phương trình tương đương với (x- 1) + x + 1= x2 3 x2 (x- 1)- x- 1 ïì 3 2 ï u = x (x- 1)- x- 1 3 2 Đặt íï Þ u + x + 1= x v ï îï v = x- 1 Phương trình trở thành v3 + x + 1= x2v ïì u3 + x + 1= x2v Vậy ta có hệ phương trình íï ï 3 2 îï v + x + 1= x v é u = v Þ u3 - v3 = x2 v- u Û u- v u2 + uv + v2 + x2 = 0 Û ê ( ) ( )( ) ê 2 2 2 ëu + uv + v + x = 0 3 éx = 0 Với = ta có - + + = 2 - Û 2 - = Û ê (loại = ) u v (x 1) x 1 x (x 1) 2x 4x 0 ê x 0 ëx = 2 2 æ vö 3 Với u2 + uv + v2 + x2 = 0 Û çu+ ÷ + v2 + x2 = 0 Û u = v = x = 0 (loại) èç 2ø÷ 4 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 .
  54. b) Phương trình đã cho tương đương với 3 3x + 4 + 2x + 3 = (x + 1)3 ïì + 3 = + + 3 ï (x 1) 2x y 4 Đặt y + 1= 3x + 4 . Ta có hệ phương trình í ï 3 îï (y + 1) = 3x + 4 Trừ hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được - é - 2 + - - + - 2 ù= - (x y) ëê(x 1) (x 1)(y 1) (y 1) ûú y x éx- y = 0 Û ê Û x = y ê 2 2 ëê(x- 1) + (x- 1)(y- 1)+ (y- 1) = - 1 Suy ra x + 1= 3 3x + 4 Û (x + 1)3 = 3x + 4 Û x3 + 3x2 = 4 Û (x- 1)(x + 2)2 = 0 Û x = 1Úx = - 2 . Thử lại ta thấy thỏa. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1,x = - 2 . .