Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 7: Bất phương trình bậc hai

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 7: Bất phương trình bậc hai

1. §7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa và cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng f (x)> 0, f (x) 0 ì ü ì ü ì ü ï 3 5 ï ï 3 5 ï ï 3 5 ï A. S = ¡ \í - ý B. S = ¡ \í ± ý C. S = ¡ \í ý D. S = ¡ ï ï ï ï ï ï îï 5 þï îï 5 þï îï 5 þï d) - 36x2 + 12x- 1³ 0 ì ü æ ö ì ü æ ö ï 1ï ç 1÷ ï 1ï ç1 ÷ A. S = í ± ý B. S = ç- ¥ ; ÷ C. S = í ý D. S = ç ;+ ¥ ÷ îï 6þï èç 6ø÷ îï 6þï èç6 ÷ø Lời giải: 1 a) Tam thức f (x) = - 3x2 + 2x + 1 có a = - 3 1 3
2. 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (- ¥ ;- )È(1;+ ¥ ) . 3 2 b) Tam thức f (x)= x + x- 12 có a = 1> 0 và có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = 3 ( f (x) trái dấu với hệ số a ). Suy ra x2 + x- 12 0 và D = 0 ( f (x) cùng dấu với hệ số a ). 3 5 Suy ra 5x2 - 6 5x + 9 > 0 Û x ¹ 5 ì ü ï 3 5 ï Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ¡ \í ý ï ï îï 5 þï d) Tam thức f (x)= - 36x2 + 12x- 1 có a = - 36 0 A. £ B. - £ C. - £ £ D. ê m 0 2 m 2 m 0 ê ëm < - 2 Lời giải: a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0 ém ³ 6 Û 2 - + ³ Û 2 - - ³ Û ê m 4(m 3) 0 m 4m 12 0 ê ëm £ - 2 Vậy với m Î (- ¥ ;- 2]È[6;+ ¥ ) thì phương trình có nghiệm b) Với m = - 1 phương trình trở thành 2x- 2 = 0 Û x = 1 suy ra m = - 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ¹ - 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0 Û m2 - 2m(1+ m)³ 0 Û m2 + 2m £ 0 Û - 2 £ m £ 0 Vậy với - 2 £ m £ 0 thì phương trình có nghiệm é ù Ví dụ 3: Tìm m để mọi x Î ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình
3. 3x2 - 2(m+ 5)x- m2 + 2m+ 8 £ 0 (1) 1 A. m Î (- ¥ ;- 3]È[7;+ ¥ ) B. m > - 2 C. m ³ 7 D. m £ - 3 Lời giải: 4- m Ta có 3x2 - 2(m+ 5)x- m2 + 2m+ 8 = 0 Û x = m+ 2 hoặc x = 3 4- m 1 * Với m+ 2 > Û 3m+ 6 > 4- m Û m > - ta có 3 2 4- m Bất phương trình (1) Û £ x £ m+ 2 3 é4- m ù Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là ê ; m+ 2ú ëê 3 ûú é ù Suy ra mọi x Î ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình (1) ïì 4- m é - ù ï - ³ é ù ê4 m ú ï 1 khi và chỉ khi ë- 1;1ûÌ ; m+ 2 Û í 3 ëê 3 ûú ï îï 1£ m+ 2 ïì m ³ 7 Û íï Û m ³ 7 îï m ³ - 1 1 Kết hợp với điều kiện m > - ta có m ³ 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 4- m 1 * Với m+ 2 < Û m < - ta có 3 2 4- m Bất phương trình (1) Û m+ 2 £ x £ 3 é 4- mù Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là êm+ 2; ú ëê 3 ûú é ù Suy ra mọi x Î ë- 1;1û đều là nghiệm của bất phương trình (1) ïì - 1³ m+ 2 é - ù ï é ù ê 4 mú ï khi và chỉ khi ë- 1;1ûÌ m+ 2; Û í 4- m ëê 3 ûú ï 1£ îï 3 ïì m £ - 3 Û íï Û m £ - 3 îï m £ 1 1 Kết hợp với điều kiện m < - ta có m £ - 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 1 3 1 * Với m = - ta có bất phương trình (1) Û x = nên m = - không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2 2 Vậy m Î (- ¥ ;- 3]È[7;+ ¥ ) là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Cho (m+ 1)x2 - 2(2m- 1)x- 4m+ 2 < 0 khẳng định nào sau đây sai? A. m = - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;- 1)
4. 1 1 B. - £ m £ bất phương trình có tập nghiệm là S = Æ 4 2 é 1 êm > ê C. ê 2 bất phương trình có tập nghiệm là S = (x ; x ) ê 1 1 2 ê- 1 - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ; x1 )È(x2 ;+ ¥ ) Lời giải: Với m = - 1: bất phương trình trở thành 6x + 6 0 * - £ m £ Þ íï Þ g(x) ³ 0 " x Î R Þ bất phương trình vô nghiệm. 4 2 îï D ' £ 0 é 1 êm > ê ïì a > 0 * ê 2 Þ íï Þ S = (x ; x ) , với ê 1 ï D ' > 0 1 2 ê- 1 0 Kết luận m = - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ;- 1) 1 1 - £ m £ bất phương trình có tập nghiệm là S = Æ 4 2 é 1 êm > ê ê 2 bất phương trình có tập nghiệm là S = (x ; x ) ê 1 1 2 ê- 1< m < - ëê 4 m < - 1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ; x1 )È(x2 ;+ ¥ )
5. 2. Bài tập luyện tập. Bài 4.92: Giải các bất phương trình sau: a) - 2x2 + 3x- 1³ 0 æ ö æ ö é ù ç1 ÷ ç 1÷ 1 A. T = ç ;1÷ B. T = ç- ¥ ; ÷ C. T = ê ;1ú D. T = (1;+ ¥ ) èç2 ø÷ èç 2ø÷ ëê2 ûú 1 b) x2 - x + 1£ 0 4 A. T = {3} B. T = {4} C. T = (2; 3) D. T = {2} c) - 2x2 + x- 1£ 0 . A. T = ¡ B. T = ¡ \{1} C. T = (- 1;+ ¥ ) D. T = ¡ \(3;7) d) 7x > 2x2 - 6 æ ö é ù æ ö ç3 ÷ 3 ç 3÷ A. ç ; 2÷ B. ê ; 2ú C. ç- ¥ ; ÷ D. (2;+ ¥ ) èç2 ø÷ ëê2 ûú èç 2ø÷ e) x2 - 22x + 51< 0 æ 170ö A. T = Æ B. T = ¡ C. T = ç9; ÷ D.T = (- ¥ ; 2) èç 3 ø÷ f) x2 + 5x + 6 ³ 0 ù é ù A. T = (- ¥ ;- 3ûÈ ë- 2;+ ¥ ) B. T = (- ¥ ;- 3û é ù é C. T = ë- 3;- 2û D. T = ë- 2;+ ¥ ) Lời giải: é1 ù Bài 4.92: a) T = ê ;1ú b) T = {2} c) T = ¡ ëê2 ûú æ3 ö d) ç ; 2÷ e) T = Æ f) T = (- ¥ ;- 3ùÈ é- 2;+ ¥ ) èç2 ø÷ û ë Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm a) x2 - 2mx + m+ 3 = 0 æ ö æ ö ç1- 2 13 1+ 2 13 ÷ ç1- 3 13 1+ 3 13 ÷ A. m Î ç ; ÷ B. m Î ç ; ÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ø÷
6. æ ö æ ö ç1- 4 13 1+ 4 13 ÷ ç1- 13 1+ 13 ÷ C. m Î ç ; ÷ D. m Î ç ; ÷ èç 2 2 ø÷ èç 2 2 ÷ø b) (m- 1)x2 - (2m- 2)x + 2m = 0 ém ³ 2 ém ³ 3 ém ³ 1 ém ³ 4 A. ê B. ê C. ê D. ê ê ê ê ê ëm 1 Û - - - 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. m £ 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = Æ m- m m+ m B. m > 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ; )È( ;+ ¥ ) m m C. Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai Lời giải: Bài 4.94:Với m = 0 , bất phương trình trở thành: - 1> 0 Þ bất phương trình vô nghiệm Với m ¹ 0 Þ f (x) = mx2 - 2mx + m- 1 là tam thức bậc hai có a = m, D ' = m ïì D ' > 0 m- m m+ m * m > 0 Þ íï Þ bất phương trình có tập nghiệm: S = (- ¥ ; )È( ;+ ¥ ) . îï a > 0 m m ïì a < 0 * m < 0 Þ íï Þ bất phương trình vô nghiệm . îï D ' < 0 Kết luận m £ 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = Æ
7. m- m m+ m m > 0 bất phương trình có tập nghiệm là S = (- ¥ ; )È( ;+ ¥ ) m m é Bài 4.95: Tìm m để mọi x Î ë0;+ ¥ ) đều là nghiệm của bất phương trình (m2 - 1)x2 - 8mx + 9- m2 ³ 0 é ù A. m Î (- 3;- 1) B. m Î {- 3;- 1} C. m Î ë- 3;- 1û D. m Î Æ Lời giải: Bài 4.95: m = 1 không thỏa mãn ycbt; m = - 1 thỏa mãn ycbt Với ¹ ± ta có Û é + + - ùé - - - ù³ m 1 bpt ëê(m 1)x m 3ûúëê(m 1)x m 3ûú 0 é ù Đáp số m Î ë- 3;- 1û æ 7ö Bài 4.96: Cho hàm số f (x)= x2 + bx + 1 với b Î ç3, ÷. Giải bất phương trình f (f (x))> x . èç 2ø÷ æ 2 ö æ 2 ö ç 1- b- 2 b - 2b- 3 ÷ ç1- b + 2 b - 2b- 3 ÷ A. S = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ 2 ö æ 2 ö ç 1- 2b- b - 2b- 3 ÷ ç1- 2b + b - 2b- 3 ÷ B. S = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ 2 ö æ 2 ö ç 1- 3b- b - 2b- 3 ÷ ç1- 3b + b - 2b- 3 ÷ C. S = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ 2 ö æ 2 ö ç 1- b- b - 2b- 3 ÷ ç1- b + b - 2b- 3 ÷ D. S = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ Lời giải: Bài 4.96: Ta có = é 2 + + + + ù é 2 + - + ù f (f (x))– x ëêx (b 1)x b 2ûú ëêx (b 1)x 1ûú Suy ra > Û é 2 + + + + ù é 2 + - + ù> f (f (x))– x 0 ëêx (b 1)x b 2ûú ëêx (b 1)x 1ûú 0 Đặt g(x)= x2 + (b – 1)x + 1, h(x)= x2 + (b + 1)x + b + 2 2 2 Ta có D g(x) = b - 2b- 3 , D h(x) = b - 2b- 7 æ 7ö Vì b Î ç3, ÷ nênD > 0 và D < 0 . Phương trình g(x)= 0 có hai nghiệm èç 2ø÷ g(x) h(x) 1- b- b2 - 2b- 3 1- b + b2 - 2b- 3 x = , x = 1 2 2 2
8. æ 2 ö æ 2 ö ç 1- b- b - 2b- 3 ÷ ç1- b + b - 2b- 3 ÷ Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các hệ bất phương trình sau: ì 2 ï 2x + 9x + 7 > 0 a) í ï 2 îï x + x- 6 0 b) í ï 2 îï 3x - 10x + 3 ³ 0 A. S = (- ¥ ;- 2] B. S = (3;+ ¥ ) C. S = (- 2; 3) D. S = (- ¥ ;- 2]È(3;+ ¥ ) ïì - x2 + 5x- 4 ³ 0 c) íï ï 2 îï x + x- 13 £ 0 æ ö ç - 1+ 53 ÷ A. S = ç1; ÷ B. S = (- ¥ ;1) èç 2 ø÷ æ ö é ù ç- 1+ 53 ÷ - 1+ 53 C. S = ç ;+ ¥ ÷ D. S = ê1; ú ç ÷ ê ú è 2 ø÷ ëê 2 ûú ïì x2 + 4x + 3 ³ 0 ï ï 2 d) í 2x - x- 10 £ 0 ï ï 2 îï 2x - 5x + 3 > 0 æ ö é ù æ ö ç 3÷ 3 ç3 ÷ A. S = ç1; ÷ B. S = ê1; ú C. S = (- ¥ ;1) D.S = ç ;+ ¥ ÷ èç 2ø÷ ëê 2ûú èç2 ø÷ Lời giải:
9. ïì é ³ - ï êx 1 ì 2 ï ï 2x + 9x + 7 > 0 ï ê 7 a) Ta có í Û í êx £ - Û - 1 3 b) Ta có í Û íï Û ê ï 3x2 - 10x + 3 > 0 ï éx > 3 êx £ - 2 îï ï ê ë ï ê 1 ï êx < îï ëê 3 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = (- ¥ ;- 2]È(3;+ ¥ ) . ïì 1£ x £ 4 ïì - x2 + 5x- 4 ³ 0 ï c) Ta có íï Û íï ï 2 ï - 1- 53 - 1+ 53 îï x + x- 13 £ 0 ï £ x £ îï 2 2 - 1+ 53 Û 1£ x £ 2 é ù ê - 1+ 53 ú Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê1; ú. ëê 2 ûú ïì é ³ - ï êx 1 ï ê 2 ï x £ - 3 ïì x + 4x + 3 ³ 0 ï ë ï ï ï 2 5 3 d) Ta có í 2x - x- 10 £ 0 Û íï - 2 £ x £ Û 1£ x £ ï ï 2 2 ï 2 ï îï 2x - 5x + 3 £ 0 ï 3 ï 1£ x £ ï 2 îï é 3ù Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê1; ú. ëê 2ûú ì 2 ï mx - x- 5 £ 0 Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình í ï - 2 + + + ³ îï (1 m)x 2mx m 2 0 a) Giải hệ bất phương trình khi m = 1 é ù é ù ê1- 2 21 1+ 2 21ú ê1- 3 21 1+ 3 21ú A. S = ê ; ú B. S = ê ; ú ëê 2 2 ûú ëê 2 2 ûú
10. é ù é ù ê1- 4 21 1+ 4 21ú ê1- 21 1+ 21ú C. S = ê ; ú D. S = ê ; ú ëê 2 2 ûú ëê 2 2 ûú b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x - 1- 2 17 31 1 A. £ m £ - B. m £ - 4 20 20 - 1- 17 - 1- 17 1 C. £ m D. £ m £ - 4 4 20 Lời giải: a) Khi m = 1 hệ bất phương trình trở thành ì ï 1- 21 1+ 21 2 ï £ £ ïì x - x- 5 £ 0 ï x 1- 21 1+ 21 íï Û íï 2 2 Û £ x £ ï 2x + 3 ³ 0 ï 3 2 2 î ï x ³ - îï 2 é ù ê1- 21 1+ 21ú Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê ; ú ëê 2 2 ûú ì ï - x- 5 £ 0 b) Khi m = 0 hệ bất phương trình trở thành í 2 (vô nghiệm) do đó m = 0 không thỏa mãn yêu îï x + 2 ³ 0 cầu bài toán Khi m = 1 theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán ïì m ¹ 0 Khi íï ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất phương trình trong îï m ¹ 1 hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ïì 0 ï ï íï ï m < 1 ï ï D = 2 - - + £ ï ï ï '2 m (1 m)(m 2) 0 ï 2 îï î îï 2m + m- 2 £ 0 ïì m < 0 ï ï 1 ï m £ - ï 20 - 1- 17 1 Û íï Û £ m £ - ï m < 1 4 20 ï ï - 1- 17 - 1+ 17 ï £ m £ îï 4 4
11. - 1- 17 1 Vậy £ m £ - là giá trị cần tìm. 4 20 ì 2 ï x - 3x + 2 £ 0 Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm íï . ï 2 - + + + ³ îï mx 2(2m 1)x 5m 3 0 1 1 1 A. m > - B. m = - C. m ³ - D. m = Æ 2 2 2 Lời giải: Ta có bất phương trình x2 - 3x + 2 £ 0 Û 1£ x £ 2 . Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình: 2 é ù mx – 2(2m+ 1)x + 5m+ 3 £ 0 (1) có nghiệm x Î S = ë1; 2û. Ta đi giải bài toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S Tức là bất phương trình f (x)= mx2 - 2(2m+ 1)x + 5m+ 3 nên (2) không đúng với " x Î S 2 • m ¹ 0 tam thức f (x) có hệ số a = m, biệt thức ' = - m2 + m+ 1 Bảng xét dấu m 1- 5 1+ 5 - ¥ 0 + ¥ 2 2 m - | - 0 + | + - m2 + m+ 1 - 0 + | + 0 - 1+ 5 ïì a > 0 1+ 5 +) m ³ ta có: íï nên f (x)³ 0, " x Î ¡ , suy ra m ³ không thỏa mãn 2 îï ' £ 0 2 1- 5 ïì a 2 Do đó: f (x) ê < ëx x2 ëx2 1
12. 1+ ' Ta có x = 2 + Û 0 ï ê 1 ï êm x ) 1 m 2 m 1 2 Suy ra f (x) 2 ï îï 1 îï ' + 1> 0 Vì m > 0 nên ( ) vô nghiệm. 1 Từ đó, ta thấy (2) đúng với " x Î S Û m < - . 2 1 Vậy m ³ - là những giá trị cần tìm. 2 3. Bài tập luyện tập Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau: ì 2 ï - x + 4x- 7 < 0 a) í ï 2 îï x - 2x- 1³ 0 A. T = - ¥ ;1- 2ù B. T = é1+ 2;+ ¥ ( ûú ëê ) C. T = - ¥ ;1- 2ùÈ é1+ 2;+ ¥ D. T = 1- 2;1+ 2 ( ûú ëê ) ( )
13. ì 2 ï x + x + 5 0 æ1 ö A.S = ¡ B.S = Æ C.S = ç ; 4÷ D.S = {1; 2} èç2 ø÷ x2 - 2x- 7 c) - 4 £ £ 1 x2 + 1 é ù é ê 3ú A. T = ë1;+ ¥ ) B. T = - 4;- ëê 5ûú é ù ê 3ú é C. T = - 4;- È ë1;+ ¥ ) D. T = Æ ëê 5ûú 1 x2 - 2x- 2 d) £ £ 1 13 x2 - 5x + 7 é ù ù ê11 ú A. T = (- ¥ ;- 1ûÈ ; 3 B. T = ¡ ëê4 ûú é ù ê11 ú ù C. T = ; 3 D. T = (- ¥ ;- 1û ëê4 ûú Lời giải: Bài 4.97: a) T = - ¥ ;1- 2ùÈ é1+ 2;+ ¥ b) Vô nghiệm ( ûú ëê ) 2 ì 2 2 2 x - 2x- 7 ï - 4(x + 1)£ x - 2x- 7 ïì 5x - 2x- 3 ³ 0 c) - 4 £ £ 1 Û íï Û íï 2 + ï 2 2 ï ³ - x 1 îï x - 2x- 7 £ x + 1 îï 2x 8 é ù ê 3ú é Suy ra tập T = - 4;- È ë1;+ ¥ ) ëê 5ûú é ù ù ê11 ú d) T = (- ¥ ;- 1ûÈ ; 3 ëê4 ûú 2 é ù Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m x + m(x + 1)- 2(x- 1) > 0 nghiệm đúng với mọi x Î ë- 2;1û ém ëê 2 Lời giải: Bài 4.98: Đặt f (x)= (m2 + m – 2)x + m+ 2
14. ì ì 2 ï f (- 2) > 0 ï (m + m- 2)(- 2)+ m+ 2 > 0 Bài toán thỏa mãn: Û íï Û í ï ï 2 îï f (1) > 0 îï (m + m- 2)(1)+ m+ 2 > 0 ïì 3 ï - 0 ï 2 3 Û í Û í Û 0 0 ï ê 2 ï ê îï ëm > 0 ì 2 ï x - (1+ 2m)x + 2m £ 0 Bài 4.99: Cho íï khẳng định nào sai? ï 2 + + + £ îï x (2 m)x 2m 0 é ù A. m £ - 1: S = ë- 2;1û, é ù B. - 1 0 : S = {1} Lời giải: é ù é ù Bài 4.99: m £ - 1: S = ë- 2;1û, - 1 0 : S = Æ Bài 4.100: Tìm m để bất phương trình 2x2 - (2m+ 1)x + m2 - 2m+ 2 £ 0 nghiệm đúng với mọi é1 ù x Î ê ; 2ú. ëê2 ûú 21+ 2 34 21+ 2 34 A. 2 £ m £ B. m £ 10 10 é ë 10 Lời giải: Bài 4.100: Đặt f (x)= 2x2 - (2m+ 1)x + m2 - 2m+ 2 , có = - 4m2 + 20m- 15 é ê 5- 10 êm £ • £ 0 Û ê 2 , suy ra f (x)³ 0, " x Î ¡ nên trường hợp này không thỏa yêu cầu bài toán. ê 5+ 10 êm ³ ëê 2 æ ö ç5- 10 5+ 10 ÷ • > 0 Û m Î ç ; ÷, khi đó f (x) có hai nghiệm èç 2 2 ø÷
15. 2m+ 1- 2m+ 1+ x = ,x = ( x 2 d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 < x2 < 1. A. 1< m B. m < 2 C. 1< m < 2 D.không tồn tại m Lời giải: Bài 4.101: Đặt t = x- 1Þ x = t + 1, thay vào pt (1) ta được phương trình: t2 + 2(1- m)t + m2 - 3m+ 2 = 0 (2)
16. a) Để phương trình (1) có nghiệm x ³ 1 Û phương trình (2) có nghiệm t ³ 0 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 £ 0 £ t2 Û P £ 0 Û m - 3m+ 2 £ 0 Û 1£ m £ 2 . ì ì ì ï D ' ³ 0 ï m- 1³ 0 ï m ³ 1 ï ï ï ém = 1 TH2: Phương trình (2) có nghiệm : 0 £ t £ t Û íï P ³ 0 Û íï m2 - 3m+ 2 ³ 0 Û íï ém ³ 2 Û ê 1 2 ï ï ï ê êm ³ 2 ï ³ ï - ³ ï ê ë îï S 0 îï m 1 0 ïî ëm £ 1 é Kết luận: với m Î ë1;+ ¥ ) thì phương trình (1) có nghiệm x ³ 1. b) Để phương trình (1) có nghiệm x £ 1 Û phương trình (2) có nghiệm t £ 0 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 £ 0 £ t2 Û P £ 0 Û m - 3m+ 2 £ 0 Û 1£ m £ 2 . ì ì ï D ' ³ 0 ï m- 1³ 0 ï ï TH2: Phương trình (2) có nghiệm t £ t £ 0 Û íï P ³ 0 Û íï m2 - 3m+ 2 ³ 0 Û m = 1 1 2 ï ï ï ³ ï - £ îï S 0 îï m 1 0 é ù Kết luận: với m Î ë1; 2û thì phương trình (1) có nghiệm x £ 1. c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 0 ï m- 1> 0 ï ï t 0 Û íï m2 - 3m+ 2 > 0 (vô nghiệm) 1 2 ï ï ï > ï - 0 æ ö æ ö ç1+ 5 ÷ ç1- 5 1÷ A. S = ç ;+ ¥ ÷ B. S = ç ; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 2ø÷ æ ö æ ö æ ö ç1- 5 1÷ ç1+ 5 ÷ ç1 1+ 5 ÷ C. S = ç ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ D. S = ç ; ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 ø÷ èç2 2 ø÷
17. b) x4 - 5x2 + 2x + 3 £ 0 é ù ê- 1- 13 1- 5 ú A. S = ê ; ú ëê 2 2 ûú é ù ê- 1+ 13 1+ 5 ú B. S = ê ; ú ëê 2 2 ûú é ù é ù ê- 1- 13 1- 5 ú ê- 1+ 13 1+ 5 ú C. S = ê ; úÈ ê ; ú ëê 2 2 ûú ëê 2 2 ûú D. S = Æ Lời giải: a) Bảng xét dấu x 1- 5 1 1+ 5 - ¥ + ¥ 2 2 2 1- 2x - | - 0 + | + x2 - x- 1 + 0 – | – 0 + VT - 0 + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: æ ö æ ö ç1- 5 1÷ ç1+ 5 ÷ S = ç ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 2ø÷ èç 2 ø÷ b) Bất phương trình (x4 - 4x2 + 4)- (x2 - 2x + 1) £ 0 Û (x2 - 2)2 - (x- 1)2 £ 0 Û (x2 + x- 3)(x2 - x- 1) £ 0 . Bảng xét dấu x - 1- 13 1- 5 - 1+ 13 1+ 5 - ¥ + ¥ 2 2 2 2 x2 + x- 3 + 0 – | – 0 + | + x2 - x- 1 + | + 0 – | – 0 + VT + 0 – 0 + 0 – 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
18. é ù é ù ê- 1- 13 1- 5 ú ê- 1+ 13 1+ 5 ú S = ê ; úÈ ê ; ú. ëê 2 2 ûú ëê 2 2 ûú Ví dụ 2: Giải các bất phương trình : x2 - 1 a) > 0 (x2 - 3)(- 3x2 + 2x + 8) æ 4ö æ 4ö A. S = ç- 3;- ÷È(- 1;1) B. S = ç- 3;- ÷È( 3; 2) èç 3ø÷ èç 3ø÷ æ 4ö C. S = (- 1;1)È( 3; 2) D. S = ç- 3;- ÷È(- 1;1)È( 3; 2) èç 3ø÷ 2x2 + 1 b) x2 + 10 £ x2 - 8 A. S = (2 2; 3] B. S = [- 3;- 2 2) C. S = [- 3;- 2 2)È(2 2; 3] D. S = ¡ \{± 8} Lời giải: a) Bảng xét dấu x 4 - ¥ - 3 - - 1 1 3 2 3 + ¥ x2 - 1 + | + | + 0 - 0 + | + | + x2 - 3 + 0 - | - | - | - 0 + | + - 3x2 + 2x + 8 - | - 0 + 0 + | + | + 0 - VT - || + || - 0 + 0 - || + || - Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: æ 4ö S = ç- 3;- ÷È(- 1;1)È( 3; 2) èç 3ø÷ 2x2 + 1 2x2 + 1 b) Ta có x2 + 10 £ Û - (x2 + 10)³ 0 x2 - 8 x2 - 8 2 2 2 2x + 1- (x - 8)(x + 10) 81- x4 Û ³ Û ³ 2 0 2 0 x - 8 x - 8 2 2 (9- x )(9 + x ) 9- x2 Û ³ 0 Û ³ 0 x2 - 8 x2 - 8 Bảng xét dấu
19. x - ¥ - 3 - 2 2 2 2 3 + ¥ 9- x2 - 0 + | + | + 0 - x2 - 8 + | + 0 - | + | + VT - 0 + || - || + 0 - Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [- 3;- 2 2)È(2 2; 3] Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau x2 - x - 2 a) ³ 0 x2 - x- 1 æ ö ç1- 5 1+ 5 ÷ A. S = (- ¥ ;- 1]Èç ; ÷ èç 2 2 ø÷ B. S = (- ¥ ;- 1]È[2;+ ¥ ) æ ö ç1- 5 1+ 5 ÷ C. S = ç ; ÷È[2;+ ¥ ) èç 2 2 ø÷ æ ö ç1- 5 1+ 5 ÷ D. S = (- ¥ ;- 1]Èç ; ÷È[2;+ ¥ ) èç 2 2 ø÷ x2 + 1- x + 1 b) £ 0 x2 + 3x- 6 é ù A. S = ë- 1;0û B. S = [1; 3) é ù C. S = ë- 1;0ûÈ[1; 3) D. S = Æ Lời giải: a) Vì x2 - x + 2 > 0 nên x2 - x - 2 (x2 - x - 2)(x2 - x + 2) (x2 - x- 2)(x2 - x + 2) ³ 0 Û ³ 0 Û ³ 0 x2 - x- 1 x2 - x- 1 x2 - x- 1 Bảng xét dấu x 1- 5 1+ 5 - ¥ - 1 2 + ¥ 2 2 x2 - x- 2 + 0 - | - | - 0 + x2 - x + 2 + | + | + | + | + x2 - x- 1 + | + || - || + 0 +
20. (x2 - x- 2)(x2 - x + 2) x2 - x- 1 + 0 - || + || - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là æ ö ç1- 5 1+ 5 ÷ S = (- ¥ ;- 1]Èç ; ÷È[2;+ ¥ ) èç 2 2 ø÷ ïì x ³ - 1 ì ï ì ï x + 1³ 0 ï ï x ³ - 1 b) ĐKXĐ: í Û í x ¹ 3 Û í ï x2 + 3x- 6 ¹ 0 ï ï x ¹ 3 îï ï îï îï x ¹ - 2 3 Vì x2 + 1 + x + 1 > 0 nên 2 + - + 2 + + + x2 + 1- x + 1 ( x 1 x 1)( x 1 x 1) £ 0 Û £ 0 x2 + 3x- 6 x2 + 3x- 6 x2 - x Û £ 0 x2 + 3x- 6 Bảng xét dấu x - ¥ - 2 3 0 1 3 + ¥ x2 - x + 0 + 0 - 0 + | + x2 + 3x- 6 + 0 - | - | - 0 + x2 - x 2 x + 3x- 6 + || - 0 + 0 - || + Dựa vào bảng xét dấu và đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là é ù S = ë- 1;0ûÈ[1; 3) Nhận xét: Ở câu b chúng ta phải đặt điều kiện thì khi đó các phép biến đổi trên mới đảm bảo là phép biến đổi tương đươc. æ x + 1 ö Ví dụ 4: Tìm để bất phương trình - 2 - ç - ÷ 1 Lời giải: ïì 2 ïì x + 1 ï (x- 2)(3x + 3x- 4) ï - > ï m + m ï 2 î îï x > m + m Bảng xét dấu
21. x - 3- 57 - 3+ 57 - ¥ - 3 1 3 2 + ¥ 6 6 x- 1 - - - - 0 + + + x- 2 - - - - - - 0 + 3x2 + 3x- 4 + 0 - - 0 + + + + x2 - 3 + + 0 - - - 0 + + (x- 2)(3x2 + 3x- 4) (x- 1)(x2 - 3) + 0 - || + 0 - || + || - 0 + (x- 2)(3x2 + 3x- 4) Tập nghiệm của bất phương trình 0
22. æ ö æ ö ç 1- 5 ÷ ç1+ 5 ÷ A. T = ç- ¥ ; ÷ B. T = ç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö æ ö æ ö ç 1- 5 ÷ ç1+ 5 ÷ ç1- 5 1+ 5 ÷ C. T = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ D. T = ç ; ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 2 ø÷ (x2 - 4)(- 3x2 + 2x + 8) d) < 0 x2 - 2x æ 4 ö A. T = (- ¥ ;- 2)Èç- ;0÷È( 2; 2) èç 3 ø÷ æ 4 ö B. T = (- ¥ ;- 2)Èç- ;0÷È(2;+ ¥ ) èç 3 ø÷ C. T = (- ¥ ;- 2)È( 2; 2)È(2;+ ¥ ) æ 4 ö D. T = (- ¥ ;- 2)Èç- ;0÷È( 2; 2)È(2;+ ¥ ) èç 3 ø÷ 1- x2 - 2x e) ³ 0 x2 + x- 2 A. T = - 2;1- 2ù B. T = é1;1+ 2ù ( ûú ëê ûú C. T = - 2;1- 2ùÈ é1;1+ 2ù D. T = 1- 2;1 ( ûú ëê ûú ( ) x2 + 1- x3 + 1 f) £ 0 x2 + x é A.T = (- 1;0) B. T = ë1;+ ¥ ) é C. T = (- 1;0)È ë1;+ ¥ ) D. T = (0;1) Lời giải: Bài 4.102: a) BXD : x 1 4 - ¥ 1 + ¥ 2 3 4- 3x + | + | + 0 - - 2x2 + 3x- 1 - 0 + 0 - | -
23. VT - 0 + 0 - 0 + 1 é 4ù T = (- ¥ ; ]È ê1; ú 2 ëê 3ûú (x2 + x)2 - 2(x2 + x)- 3 b) Bpt Û £ 0 x2 + x- 2 (x2 + x + 1)(x2 + x- 3) x2 + x- 3 Û £ 0 Û £ 0 x2 + x- 2 x2 + x- 2 é ö æ ù - 1- 13 ÷ ç - 1+ 13 Þ T = ê ;- 2÷Èç1; ú ê ÷ ç ú ëê 2 ø÷ è 2 ûú æ ö æ ö ç 1- 5 ÷ ç1+ 5 ÷ c) T = ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ 4 ö d) T = (- ¥ ;- 2)Èç- ;0÷È( 2; 2)È(2;+ ¥ ) èç 3 ø÷ e) T = - 2;1- 2ùÈ é1;1+ 2ù ( ûú ëê ûú é f) T = (- 1;0)È ë1;+ ¥ ) ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp giải. • Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c ³ 0 , ax2 + bx + c 0 ïì a > 0 ïì a 0 Lời giải: Viết bất đẳng thức lại dưới dạng 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1> 0 Đặt f (x) = 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 xem y là tham số khi đó f (x) là tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax = 3 > 0 và 2 2 2 D x ' = (y + 1) - 3(5y + 1) = - 14y + 2y- 2
24. 2 Xét tam thức g(y)= - 14y + 2y- 2 có hệ số ay = - 14 0 , ta có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó g(a ) ³ 0 Û D £ 0 . i ai Ví dụ 2: Cho x, y,z là số thực. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 + x2 y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1³ 0 . Lời giải: Bất đẳng thức viết lại (1+ y2z2 )x2 - 4xyz + y2 + z2 + y2z2 - 2yz + 1³ 0 Đặt f (x)= (1+ y2z2 )x2 - 4xyz + y2 + z2 + y2z2 - 2yz + 1 , khi đó f (x) là một tam thức bậc hai ẩn x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 có hệ số a = 1+ y z > 0 và D 'x = 4y z - (1+ y z )(y + z + y z - 2yz + 1) 2 2 2 2 4 2 3 3 2 4 4 4 Þ D 'x = - (1+ y - 2yz + z - 2y z + y z - 2y z + y z + y z ) Áp dụng BĐT a2 + b2 ³ 2ab ta có y4z2 + y2z4 ³ 2y3z3 , y4z4 + 1³ 2y2z2 và y2 + z2 ³ 2yz Cộng vế với vế lại suy ra D 'x £ 0 Do đó f (x)³ 0, " x, y,z . ĐPCM. Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y,z thỏa mãn: a2x + b2 y + c2z = 0 .Chứng minh rằng: xy + yz + zx £ 0 . Lời giải: * Nếu trong ba số x,y,z có một số bằng 0, chẳng hạn x = 0 Þ b2 y = - c2z . c2 Þ xy + yz + zx = yz = - z2 £ 0 . b2 b2 y + c2z * x, y,z ¹ 0 .Do a2x + b2 y + c2z = 0 Þ x = - a2 b2 y + c2z Þ xy + yz + zx £ 0 Û - (y + z) + yz £ 0 a2
25. Û f (y) = b2 y2 + (b2 + c2 - a2 )yz + c2z2 ³ 0 . Tam thức f (y) có D = é(b2 + c2 - a2 )2 - 4b2c2 ùz2 . y ëê ûú ïì|b- c| a 2 2 2 2 2 2 Þ (b + c - a ) 0 . Xét tam thức : 2 2 2 2 f (x) = (a1 + a2 + + an )x - 2(a1b1 + a2b2 + + anbn )x 2 2 2 + b1 + b2 + + bn 2 2 2 = (a1x- b1 ) + (a2x- b2 ) + + (anx- bn ) ³ 0 " x 2 Þ D = (a1b1 + a2b2 + + anbn ) - 2 2 2 2 2 2 - (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) £ 0 2 2 2 2 2 2 2 Û (a1b1 + a2b2 + + anbn ) £ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) a a a Đẳng thức có Û 1 = 2 = = n . b1 b2 bn 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với " x,z Î R . x2 + 9y2 + 5z2 + 6xy- 4xz- 12yz- 2z + 1³ 0 . é 2 2 2 êy 0 Lời giải: Bài 4.104: BĐT đã cho đúng với " x,z Î R Û tam thức f (x) ³ 0 " x,z (Trong đó f (x) = x2 + 2(3y- 2z)x + 9y2 + 5z2 - 12yz- 2z + 1 )
26. 2 2 2 Û D 'x = (3y- 2z) - (9y + 5z - 12yz- 2z + 1) = - z2 + 2(3y + 1)z- 1£ 0 " z 2 Û D ' = (3y + 1)2 - 1£ 0 Û 3y(3y + 2) £ 0 Û - £ y £ 0 . z 3 2 Vậy - £ y £ 0 là những giá trị cần tìm. 3 Bài 4.105: Cho x,y,z ³ 0 thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4 . Chứng minh rằng : x + y + z ³ xy + yz + zx . Lời giải: 4- yz Bài 4.105: Ta giả sử z = min{x, y,z} Þ z £ 1. Từ giả thiết Þ x = y + z + yz 4- yz 4- yz Nên (1) Û + y + z ³ (y + z) + yz y + z + yz y + z + yz Û f (y) = (1+ z- z2 )y2 + (z2 + z- 4)y + (z- 2)2 ³ 0 . Tam thức f (y) có hệ số a = 1+ z- z2 > 0 (do z £ 1 ) và có biệt thức : D = z(z- 1)2 (5z- 8) £ 0 Þ f (y) ³ 0 đpcm. Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 hoặc (x; y; z) = (2; 2;0) và các hoán vị. Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng: xzy + 2(x2 + y2 + z2 )+ 8 ³ 5(x + y + z) (THTT). Lời giải: Bài 4.106: Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng không nhỏ hơn 1 hoặc cùng không lớn hơn 1. Ta giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có: (x- 1)(y- 1) ³ 0 Û xy ³ x + y- 1 Þ xyz ³ xz + yz- z . Þ xyz + 2(x2 + y2 + z2 )+ 8 ³ xz + yz- z + 2(x2 + y2 + z2 )+ 8 . Nên ta chứng minh: xz + yz- z + 2(x2 + y2 + z2 )+ 8 ³ 5(x + y + z) Û f (z) = 2z2 + (x + y- 6)z + 2(x2 + y2 )- 5(x + y)+ 8 ³ 0 . 2 2 Tam thức f (z) có a = 2 > 0 và D z = - 15x + 2(y + 14)x- 15y + 28y- 28
27. 2 D z là tam thức bậc hai ẩn x, có a = - 15 < 0 và D x = - 224(y- 1) £ 0 Þ D z £ 0 Þ f (z) ³ 0 (đpcm). Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 . Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x- 15y + 8 £ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y. A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x- 15y + 8 £ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y. HD: Do S = x + 3y Þ x = S- 3y , thay vào giả thiết 5x2 + 5y2 - 5x- 15y + 8 £ 0 và viết theo hệ số của biến y ta thu được 50y2 - 30Sy + 5S2 - 5S + 8 £ 0(*) Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi y nên ta có D ³ 0, tức là 900S2 - 4.50.(5S2 - 5S + 8) ³ 0 Biến đổi tương đương ta thu được - 100S2 + 1000S- 1600 £ 0 hay 100S2 - 1000S + 1600 £ 0 Û 2 £ S £ 8 3 9 1 Khi S = 2 thay vào (*) được 50y2 - 60y + 18 £ 0 Û y = nên x = S- 3y = 2- = 5 5 5 12 36 4 Khi S = 8 thay vào (*) được 50y2 - 240y + 288 £ 0 Û y = Þ x = S- 3y = 8- = 5 5 5 maxS = 8,minS = 2 Bài 4.108: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 = 4a- 3b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2a + 3b. - 9 + 45 13 - 9 + 5 13 - 9 + 4 13 - 9 + 45 13 A. B. C. D. 18 18 18 8 Lời giải: P- 2a Bài 4.108: Ta có: P = 2a + 3b Þ b = 3 Thay vào biểu thức phía trên ta được: P- 2a P- 2a a2 + ( )2 = 4a- 3( ) Û 13a2 - 2(27 + 2P)a + 9P + P2 = 0 3 3
28. Ta cần tìm P để phương trình trên tồn tại a. Tức là ta phải có: - 9- 45 13 - 9 + 45 13 D i = - 9P2 - 9P + 729 ³ 0 Û £ P £ 18 18 Bài 4.109: Cho các số thực x, y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 5 và x- y + z = 3 . Tìm giá trị lớn nhất x + y- 2 P = z + 2 A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải: 2 2 (x + y) + (x- y) 2 2 Bài 4.109: Từ điều kiện ta có x2 + y2 = = 5- z2 Þ (x + y) = 10- 2z2 - (3- z) 2 2 Do đó (x + y) = 1+ 6z- 3z2 Dễ thấy z ¹ - 2 . Ta có P(z + 2)+ 2 = x + y 2 Do đó é + + ù = + - 2 ëêP(z 2) 2ûú 1 6z 3z 2 Û (z + 2) P2 + 4(z + 2)P + 4 = 1+ 6z- 3z2 Û (P2 + 3)z2 + (4P2 + 4P- 6)z + 4P2 + 8P + 3 = 0 2 ' 2 2 2 D z ³ 0 Û (2P + 2P- 3) - (P + 3)(4P + 8P + 3)³ 0 Phương trình có nghiệm ẩn z khi và chỉ khi 36 Û - £ P £ 0 23 Ta có P = 0 khi x = 2, y = 0, z = 1 36 20 66 7 P = - khi x = , y = - , z = 23 31 31 31 Bài 4.110: Cho a,b,c là số thực. Chứng minh rằng 2(a + b + c- ab- bc- ca + 1)2 + (ab + bc + ca- 2)2 ³ 3 Lời giải: é êab + bc + ca £ 2- 3 Bài 4.110: Nếu ê . thì bất đẳng thức dễ dàng được chứng minh. ëêab + bc + ca ³ 2 + 3 Xét trường hợp ngược lại 2- 3 £ ab + bc + ca £ 2 + 3 . Ta đặt x = a + b + c, y = ab + bc + ca . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
29. 2(x- y + 1)2 + (y- 2)2 ³ 3 Û 2x2 - 4x(y- 1)+ 3y2 - 8y + 3 ³ 0 . Đặt f (x) = 2x2 - 4x(y- 1)+ 3y2 - 8y + 3 . Ta dễ dàng tính được D ' = 4(y- 1)2 - 2(3y2 - 8y + 3) = - 2y2 + 8y- 2 = - 2 éy- (2- 3)ùéy- (2 + 3)ù£ 0. f (x) ëê ûúëê ûú Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán được chứng minh. Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9a2 + 8ab + 7b2 £ 6 . Chứng minh rằng 7a + 5b + 12ab £ 9 . Lời giải: Bài 4.111: Xét tam thức bậc hai f (a)= 9a2 - (4b + 7)a + 7b2 - 5b + 3 với b là tham số 2 2 2 Ta có D f = (4b + 7) - 36(7b - 5b + 3)= - 59(2b- 1) £ 0 Suy ra f (a)³ 0 Û 9a2 - (4b + 7)a + 7b2 - 5b + 3 ³ 0 Û 7a + 5b + 12ab- 9 £ 9a2 + 8ab + 7b2 - 6 Theo giả thiết ta có 9a2 + 8ab + 7b2 £ 6 nên 7a + 5b + 12ab £ 9 . Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của: P = 9xy + 10yz + 11zx . 45 49 95 495 A. max P = B. max P = C. max P = D. max P = 18 148 148 148 Lời giải: Bài 4.112: Để ý rằng, với giả thiết x + y + z = 1 thì P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x)= 9xy + (1- x- y)(10y + 11x) Khai triển và rút gọn, ta thu được P = - 11x2 - 10y2 + 11x + 10y- 12xy Tương đương với 11x2 + (12y- 11)x + 10y2 - 10y + P = 0 (*) Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (*) phải có nghiệm, tức D = (12y- 11)2 - 44(10y2 - 10y + P) ³ 0 Hay- 296y2 + 176y + 121- 44P ³ 0
30. 74 æ 22 121ö Tương đương P £ - çy2 - y- ÷ 11èç 37 296ø÷ æ ö æ ö 2 22 121 5445 ç 74÷ç 5445 ÷ 495 Ta có y - y- ³ - Suy ra P £ ç- ÷.ç- ÷= 37 296 10952 èç 11÷ø èç 10952÷ø 148 495 Vậy max P = 148 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. TỔNG HỢP LẦN 1. Câu 1. Tập nghiệm củabất phương trình x2 + 4x + 4 > 0 là: A. (2;+ ¥ ). B. ¡ . C. ¡ \{- 2} .D. ¡ \{2} . Câu 2. Tập nghiệm củabất phương trình x2 - 6x + 9 > 0 là: A. (3;+ ¥ ). B. ¡ . C. ¡ \{- 3} .D. ¡ \{3} . Câu 3. Tập nghiệm củabất phương trình x2 + 6x + 9 > 0 là: A. (3;+ ¥ ). B. ¡ .C. ¡ \{- 3} . D. ¡ \{3} . Câu 4. Tập nghiệm củabất phương trình x2 + 2x + 1> 0 là: A. (1;+ ¥ ). B. ¡ .C. ¡ \{- 1} . D. ¡ \{1} . Câu 5. Tập nghiệm củabất phương trình x2 - 2x + 1> 0 là: A. (1;+ ¥ ). B. ¡ .C. ¡ \{- 1} . D. ¡ \{1} . Câu 6. Tam thức y = x2 - 2x- 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi A. x –1.B. x 3.C. x 6 .D. –1 1.B. x 13 . C. –13 –1.B. x 4 . C. –4 0 là: A. (1;+ ¥ ).B. (- 1;+ ¥ ). C. (- 1;1).D. (- ¥ ;- 1)È(1;+ ¥ ).
31. Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình x2 + x- 1> 0 là: æ ö æ ö ç - 1- 5 ÷ ç- 1+ 5 ÷ A. ¡ .B. ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷. èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö ç- 1- 5 - 1+ 5 ÷ C. ç ; ÷. D. èç 2 2 ø÷ (- ¥ ;- 1- 5)È(- 1+ 5;+ ¥ ). Câu 12. Tập nghiệm củabất phương trình x2 - 4x + 4 > 0 là: A. (2;+ ¥ ). B. ¡ .C. ¡ \{- 2} . D. ¡ \{2} . Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình x2 - 4 2x + 8 0 thì a > 0 . B. Nếu a2 > a thì a > 0 . C. Nếu a2 > a thì a a . x2 + 2x- 8 Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình < 0 là: x + 1 A. (- 4;- 1)È(- 1; 2).B. (- 4;- 1). C. (- 1; 2). D. (- 2;- 1)È(- 1;1).
32. 2x2 - 3x + 1 Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình x2 + x + 12 là A. Æ.B. ¡ . C. (- 4;- 3). D. (- ¥ ;- 4)È(- 3;+ ¥ ). Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình x2 - x- 12 > x + 12- x2 là A. (- ¥ ;- 3)È(4;+ ¥ ). B. (- ¥ ;- 4)È(3;+ ¥ ). C. (- 6;- 2)È(- 3; 4). D. (- 4; 3).
33. Câu 27. Biểu thức (m2 + 2)x2 - 2(m- 2)x + 2 luôn nhận giá trị dương khi và chỉ khi: A. m £ - 4 hoặc m ³ 0 .B. m 0 . C. - 4 4 . 1 Câu 28. Tập xác định của hàm số y = x2 + x- 2 + là x- 3 é A. (3;+ ¥ ).B. ë3;+ ¥ ). C. (- ¥ ;1)È(3;+ ¥ ).D. (1; 2)È(3;+ ¥ ). 1 Câu 29. Tập xác định của hàm số y = x2 - 3x + 2 + là x + 3 ù é A. (- 3;+ ¥ ).B. (- 3;1ûÈ ë2;+ ¥ ). ù C. (- 3;1ûÈ(2;+ ¥ ). D. (- 3;1)È(2;+ ¥ ). Câu 30. Tập nghiệm củabất phương trình x - 2x < 0 là æ1 ö æ 1ö A. ç ;+ ¥ ÷.B. ç0; ÷. èç4 ø÷ èç 4ø÷ é ö æ ö 1÷ ç1 ÷ C. ê0; ÷.D. {0} Èç ;+ ¥ ÷. ëê 4ø÷ èç4 ø÷ 1 Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình < 2 là x æ1 ö æ 1ö A. ç ;+ ¥ ÷.B. ç0; ÷. èç2 ø÷ èç 2ø÷ æ1 ö C. (- ¥ ;0)Èç ;+ ¥ ÷.D. (- ¥ ;0). èç2 ø÷
34. 2 Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình > - 1 là m A. (- 2;0). B. (- ¥ ;- 2). æ 1ö C. 2; D. ç- ¥ ; ÷U(1;+ ¥ ) . èç 2ø÷ . x2 + x- 1 Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình > - x là 1- x æ1 ö æ1 ö A. ç ;1÷ B. ç ;+ ¥ ÷ èç2 ø÷. èç2 ø÷. æ 1ö C. (1;+ ¥ ) D. ç- ¥ ; ÷U(1;+ ¥ ) . èç 2ø÷ . Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình x - 3x £ 0 là é ö é ù ê1 ÷ ê 1ú A. ;+ ¥ ÷. B. 0; . ëê9 ø÷ ëê 9ûú é ö 1 ê1 ÷ C. 0U ; . D. {0} U ;+ ¥ ÷. 9 ëê9 ø÷ 1 1 Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình ³ là x 4 ù é ù ù é A. (0;16û. B. ë0;16û. C. (0; 4û. D. ë16;+ ¥ ). x + x + 1 Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình ³ 3 là x é é ù A. ë1;+ ¥ ). B. ë0;+ ¥ ). C. (0;+ ¥ ). D. (0;1û. Câu 37. Phương trình (m+ 2)x2 - 3x + 2m- 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 3 A. m D. m 2 . 2 . Câu 38. Tập nghiệm của phương trình x2 - 5x + 6 = x2 - 5x + 6 là A. {2; 3} . B. (2; 3). ù é C. (- ¥ ; 2)U(3;+ ¥ ). D. (- ¥ ; 2ûUë3;+ ¥ ).
35. Câu 39. Tập nghiệm của phương trình x2 - 7x + 12 = 7x- x2 - 12 là A. {3; 4} . B. (3; 4). é ù ù é C. ë3; 4û. D. (- ¥ ; 3ûUë4;+ ¥ ). 2 x - 7x + 10 x2 - 7x + 10 Câu 40. Tập nghiệm của phương trình = là x- 3 x- 3 é ù é ù A. ë5;+ ¥ ). B. (3; 5û. C. ë2; 5û. D. (5;+ ¥ ). 2 x - 8x + 12 x2 - 8x + 12 Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình > là 5- x 5- x A. (2;6). B. (2; 5). C. (–6; –2). D. (5;6). Câu 42. Nếu 2 B. m 3 . 4 . 4 4 C. m > D. - 1 –2. D. –2 < m < 3.
36. Câu 49. Phương trình x2 - 4mx + m+ 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi 3 - 3 A. m 1. B. –3 0. ïì x + m £ 0 (1) Câu 52. Cho hệ bất phương trình íï ï 2 2 îï x - x + 4 –5. C. m > 5. D. m 3. D. –2 1. D. < m < 1 . 4 4 1 1 Câu 58. Tập nghiệm của bất phương trình ³ là x- 3 x + 3
37. ù é A. (- ¥ ;- 3ûUë3;+ ¥ ). B. ¡ . C. (3;+ ¥ ). D. (- ¥ ;- 3)U(3;+ ¥ ). 1 Câu 59. Tập xác định của hàm số y = x2 + x + 2 + là 2x- 3 æ ö é ö é ö æ ö ç2 ÷ 2 ÷ 3 ÷ ç3 ÷ A. ç ;+ ¥ ÷. B. ê ;+ ¥ ÷. C. ê ;+ ¥ ÷. D. ç ;+ ¥ ÷. èç3 ø÷ ëê3 ø÷ ëê2 ø÷ èç2 ÷ø Câu 60. Các giá trị của m để phương trình 3x2 + (3m- 1)x + m2 - 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là A. m 2. x2 - 1 Câu 61. Tập xác định của hàm số y = là 1- x ù é ù A. (- ¥ ;- 1û. B. ë- 1;¥ )\{1} . C. (- ¥ ;- 1ûU(1;¥ ). D. (- ¥ ;1). 2x2 - 3x + 4 Câu 62. Tập nghiệm của bất phương trình > 1là: x2 + 2 A. (- ¥ ;- 1)U(2;+ ¥ ). B. (- ¥ ;- 2)U(- 1;+ ¥ ). C. (- ¥ ;1)U(2;+ ¥ ). D. (- ¥ ; 2)U(4;+ ¥ ). (m- 1)x (m+ 2)x- 2m+ 1 Câu 63. Tập hợp các giá trị của m để phương trình = có nghiệm là 4- x2 4- x2 æ- 7 3÷ö æ- 5 7÷ö æ5 7÷ö A. ç ; ÷. B. ç ; ÷. C. ç ; ÷. D. ¡ . èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷ x- m 2m Câu 64. Tập hợp các giá trị của m để phương trình x- 1 + = có nghiệm là x- 1 x- 1 æ ö æ ö é ö ç1 ÷ ç 1÷ 1 ÷ A. ç ;+ ¥ ÷. B. ç- ¥ ; ÷. C. (1;+ ¥ ). D. ê ;+ ¥ ÷. èç3 ø÷ èç 3ø÷ ëê3 ø÷ x2 + 3 Câu 65. Tập xác định của hàm số y = là 1- x é ù A. (- ¥ ;- 1)U(1;¥ ). B. (–1;1). C. ¡ \{1;- 1} . D. ë- 1;1û. Câu 66. Tập hợp các giá trị của m để phương trình m2 (x- 1) = - 2x- 5m+ 6 có nghiệm dương là A. (- ¥ ;- 1)U(- 6;¥ ). B. (–1;6). C. (- ¥ ; 2)U(3;¥ ). D. (2; 3). x 5- 2m Câu 67. Tập hợp các giá trị của m để phương trình = có nghiệm là 1- x2 1- x2
38. é ù A. (2; 3). B. ¡ . C. ë2; 3û. D. (–1;1). Câu 68. Cho biểu thức M = x2 + 3x + 2 , trong đó x là nghiệm của bất phương trình x2 - 3x + 2 12. D. M nhận giá trị bất kì. Câu 69. Số dương x thoả mãn bất phương trình x 9. B. x > . C. x . 3 9 9 Câu 70. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai x2 + 2(m+ 1)x + 3m = 0 có nghiệm là A. {0} . B. ¡ \{0} . C. ¡ . D. Æ. Câu 71. Phương trình mx2 - mx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi A. m £ 0 hoặc m ³ 8 . B. m 0 với mọi x khi và chỉ khi. A. m £ 0 hoặc m > 12 B. m 12 C. 0 £ m 0 B. m < –2 hoặc m ³ 0 C. –2 < m < 0 D. –2 < m £ 0 1 Câu 77. Bất phương trình x2 - x + £ 0 có tập nghiệm là. 4 æ ö ì ü æ ö æ ö ç 1÷ ï 1ï ç 1÷ ç1 ÷ A. ç- ¥ ; ÷ B. í ý C. ç- ¥ ;- ÷ D. ç ;+ ¥ ÷ èç 2ø÷ îï 2þï èç 2ø÷ èç2 ÷ø TỔNG HỢP LẦN 2. Câu 1. Cho tam thức bậc haif (x) x2 bx 3 . Với giá trị nào của b thì tam thức f (x) có hai nghiệm? A. b 2 3;2 3 .B. . b 2 3;2 3
39. C. .bD. ; 2 3  2 3; . b ; 2 3  2 3; Câu 2. Giá trị nào của m thì phương trình x2 mx 1 3m 0 có 2 nghiệm trái dấu? 1 1 A. m .B. .C. .m D. m . 2 m 2 3 3 Câu 3. Gía trị nào của m thì phương trình m 1 x2 2 m 2 x m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu? A. m 1 .B. .C. .D.m 2 . m 3 1 m 3 Câu 4. Giá trị nào của m thì phương trình m 3 x2 m 3 x m 1 0 (1) có hai nghiệm phân biệt? 3 3 A. m ;  1; \ 3 .B. . m ;1 5 5 3 2 C. .m ; ax - x + a ³ 0," x Î ¡ D. m Î ¡ \{3} . 5 Câu 5. Tìm m để (m+ 1)x2 + mx + m 0," x Î ¡ ? 3 3 3 3 A. m .B. .C. m . D. m . 1 m 3 2 4 4 2 Câu 7. Với giá trị nào của a thì bất phương trình ? 1 1 A. a 0 .B. .C. a 0 0 2 .D. m > 3. 2 Câu 11. Gọi x1 ,x2 là nghiệm phân biệt của phương trình x - 5x + 6 = 0 . Khẳng định nào sau đúng? 2 2 x1 x2 13 A. x1 + x2 = - 5 .B. x1 + x2 = 37 .C. x1x2 = 6 . D. + + = 0 . x2 x1 6 Câu 12. Các giá trị m làm cho biểu thức x2 + 4x + m- 5luôn luôn dương là: A. m 9 .D. m Î Æ. Câu 13. Các giá trị m để tam thức f (x) = x2 - (m+ 2)x + 8m+ 1 đổi dấu 2 lần là
40. A. m £ 0 hoặc m ³ 28 .B. m 28 .C. 0 0 . Câu 14. Tập xác định của hàm số f (x) = 2x2 - 7x- 15 là æ 3ö A. ç- ¥ ;- ÷È(5;+ ¥ ).B. èç 2ø÷ æ ù ç 3ú é ç- ¥ ;- È ë5;+ ¥ ). èç 2ûú æ ö æ ù ç 3÷ é ç 3ú é C. ç- ¥ ;- ÷È ë5;+ ¥ ).D. ç- ¥ ; È ë5;+ ¥ ). èç 2ø÷ èç 2ûú Câu 15. Dấu của tam thức bậc 2: f (x) = - x2 + 5x- 6 được xác định như sau A. f (x) 0 với x 3. B. f (x) 0 với x - 2 . C. f (x) > 0 với 2 3. D. f (x) > 0 với - 3 - 2 . Câu 16. Giá trị của m làm cho phương trình (m- 2)x2 - 2mx + m+ 3 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt là: A. m 6 . Câu 17. Cho f (x) = mx2 - 2x- 1 . Xác định m để f (x) 3và m ¹ 12 .B. - 3và m ¹ 4 . 8 8 5 C. m Î Æ. D. 0 0 .B. m - . 4 Câu 21. Cho f (x) = - 2x2 + (m- 2)x- m+ 4 . Tìm m để f (x) không dương với mọi x .
41. A. m Î Æ.B. m Î ¡ \{6} .C. m Î ¡ .D. m = 6 . Câu 22. Xác định m để phương trình - é 2 + + + + ù= có ba nghiệm phân biệt lớn (x 1) ëêx 2(m 3)x 4m 12ûú 0 hơn –1. 7 16 A. m 1.C. - 5 0 (1). Với giá trị nào của m thì bất phương trình trên vô nghiệm. 1 A. m ¹ - .B. - 5 1.D. m > - 1 và m ¹ 0 . Câu 26. Cho f (x) = - 2x2 + (m+ 2)x + m- 4 . Tìm m để f (x) âm với mọi x . A. - 14 2 . Câu 27. Tìm m để phương trình x2 - 2(m+ 2)x + m+ 2 = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1; 2)và nghiệm kia nhỏ hơn 1. 2 A. m = 0 .B. m - . 3 2 2 C. m > - .D. - 1 .B. - 1< m < .C. - < m < 1. 4 4 4 11 D. - 1£ m £ . 4
42. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D A C D C D C B C C B B C C A A B C 21 22 23 24 25 26 27 28 D D A C A A D B