Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 8: Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 8: Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

1. §8. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI ➢ DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. + Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. *Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương. ïì g(x) ³ 0 ï • f (x) = g(x)Û íï éf (x) = g(x) ï ê ï ê îï ëf (x) = - g(x) éf (x) = g(x) • = Û ê f (x) g(x) ê ëf (x) = - g(x) ïì g(x) > 0 • f (x) g(x) Û êïì g(x) ³ 0 êï êíï éf (x) ëîï ëf (x) g(x) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 2x2 - 3x- 1 = - x2 + 2x + 1 b) x2 - 5x + 4 = x3 - 3x + 4 c) x2 - 5x + 4 - x + 1 = x2 + x d) x2 - 3x + 1 + x- 1 = 12(x- 3) Lời giải: ì 2 ì 2 ï - x + 2x + 1³ 0 ï x - 2x- 1£ 0 ï ï a) Ta có phương trình Û í é2x2 - 3x- 1= - x2 + 2x + 1 Û í é3x2 - 5x- 2 = 0 ï ê ï ê ï ê 2 2 ï ê 2 îï ëê2x - 3x- 1= - (- x + 2x + 1) îï ëêx - x = 0 ïì - £ £ + ï 1 2 x 1 2 é ï x = 2 ï éx = 2 ê ï ê ê 1 ï ê 1 êx = - Û í ê = - Û ê 3 ï êx ê ï ê 3 êx = 0 ï êx = 0 ê ï ê êx = 1 ï ê ë îï ëx = 1 ïì 1ïü Vậy nghiệm của phương trình là x Î íï 0;1; 2;- ýï îï 3þï
2. b) Với 1£ x £ 4 Þ x2 - 5x + 4 ³ 0 ta có Phương trình Û - (x2 - 5x + 4)= x3 - 3x + 4 Û x3 + x2 - 8x + 8 = 0 Áp dụng BĐT côsi ta có x3 + 4 + 2 ³ 3 3 8x3 = 6x, x2 + 2 ³ 2 2x Suy ra x3 + x2 - 8x + 8 ³ 6x + 2 2x- 8x = (2 2 - 2)x > 0 Do đó phương trình vô nghiệm. éx > 4 Với ê Þ 2 - + > ta có ê x 5x 4 0 ëx 4 , ta có phương trình Û x2 - 5x + 4- (x + 1)= x2 + x Û x = (loại) 7 3 Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x = . 7 ì ï x ³ 3 d) Ta có phương trình íï ï x2 - 3x + 1 + x- 1 = 12 x- 3 îï ( ) ïì x ³ 3 ïì x ³ 3 Û íï Û íï ï 2 - + + - = - ï 2 îï x 3x 1 x 1 12(x 3) îï x - 14x + 36 = 0
3. ì ï x ³ 3 Û í Û x = 7 ± 13 ï îï x = 7 ± 13 Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ± 13 . Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) x2 - x- 1 ³ x- 1 b) - x2 + 3x + 2 x- 2 . Lời giải: a) Với x 3 Û 2 - > Û ê 2x 6x 0 ê ëx 3 Đối chiếu với điều kiện ê suy ra nghiệm bất phương trình là ê ê ê ëx £ 1 ëx < 0 Vậy bất phương trình có nghiệm x Î (- ¥ ;0)È(3;+ ¥ ) . c) Nếu x2 - 2 < 0 thì VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vô nghiệm ì 2 ï x - 2 ³ 0 Do đó bất phương trình Û íï ï 3x2 - 2 + 2x2 - 3 £ 6 x2 - 2 îï ( )
4. ïì 2 ³ ì 2 é ï x 2 ï x ³ 2 êx ³ 7 Û í Û í Û ê ï 3x2 - 2 + 2x2 - 3 £ 6 x2 - 2 ï 2 ³ îï ( ) îï x 7 ëêx £ - 7 Vậy nghiệm của bất phương trình là x Î (- ¥ ;- 7]È[ 7;+ ¥ ) d) 2x2 - 5x + 3 - x- 1 > x- 2 Với x 0 suy ra bất phương trình tương đương với 2x2 - 5x + 3- (x- 1) > x- 2 Û 2x2 - 6x + 4 > x- 2 Û 2x2 - 6x + 4 > x- 2 (vì x ³ 2 Þ 2x2 - 6x + 4 = (x- 1)(2x- 4) ³ 0 ) éx > 2 2 ê Û 2x - 7x + 6 > 0 Û ê 3 êx 2 Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î ¡ \{2} . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt - x2 - x + 6 = 4x + m . Lời giải: Ta có - x2 - x + 6 = 4x + m Û - x2 - x + 6 - 4x = m Xét hàm số f (x)= - x2 - x + 6 - 4x ì 2 é ù ï - x - 5x + 6 khi x Î ë- 3; 2û Ta có f (x)= íï ï 2 îï x - 3x- 6 khi x Î (- ¥ ;- 3)È(2;+ ¥ ) Bảng biến thiên x 5 3 - ¥ - 3 - 2 + ¥ 2 2 f (x) + ¥ + ¥ 99 4 12 - 4 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y = m tại 99 bốn điểm phân biệt Û 12 < m < . 4 99 Vậy 12 < m < là giá trị cần tìm. 4
5. Nhận xét: Nghiệm của phương trình f (x)= g(m) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = g(m). Từ đó suy ra • Phương trình f (x)= g(m) có nghiệm Û đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f (x) • Số nghiệm phương trình f (x)= g(m) Û số giao điểm của đường thẳng y = g(m) và đồ thị hàm số y = f (x). Do đó khi gặp bài toán liên quan đến phương trình f (x,m)= 0 mà ta có thể cô lập được m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải. Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x2 - 3x + 2 ³ 3x2 + 5x + 3m2 + 5m . Lời giải: Bất phương trình Û x2 - 3x + 2 - 3x2 - 5x ³ 3m2 + 5m Xét hàm số f (x)= x2 - 3x + 2 - 3x2 - 5x ì 2 ï - 2x - 8x + 2 khi x Î (- ;1]È[2;+ Ta có f (x)= íï ï - 2 - - Î îï 4x 2x 2 khi x (1; 2) Bảng biến thiên x 1 - ¥ - 2 - 1 2 + ¥ 4 f (x) 10 - 8 - 22 - ¥ - ¥ Từ đó ta có: max f (x)= f (- 2)= 10 Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10 ³ 3m2 + 5m - 5- 145 - 5+ 145 Û 3m2 + 5m- 10 £ 0 Û £ m £ 6 6 - 5- 145 - 5+ 145 Vậy £ m £ là giá trị cần tìm. 6 6
6. Nhận xét . Cho hàm số y = f (x) xác định trên D • Bất phương trình f (x)³ k ( f (x)£ k) có nghiệm trên DÛ max f (x)³ k ( min f (x)£ k ) với điều kiện D D tồn tại max f (x) ( min f (x)). D D • Bất phương trình f (x)³ k ( f (x)£ k) nghiệm đúng với x D Û min f (x)³ k ( max f (x)£ k ) với D D điều kiện tồn tại max f (x) ( min f (x)). D D Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau 2 2 (x + 1) 1 a) 3(x2 - 4x)- x- 2 > 12 b) £ 3 x + - 2 x2 x c) x4 - 2x2 + 4x- (2x + 5) x2 - 1 + 7 = 0 Lời giải a) Đặt t = x- 2 ,t ³ 0 Þ t2 = x2 - 4x + 4 Bất phương trình trở thành 3(t2 - 4)- t > 12 ét > 3 2 ê Û 3t - t - 24 > 0 Û ê 8 êt 3 suy ra éx- 2 > 3 éx > 5 - > Û ê Û ê x 2 3 ê ê ëx- 2 < - 3 ëx < - 1 Vậy bất phương trình có nghiệm là x Î (- ¥ ;- 1)È(5;+ ¥ ). b) ĐKXĐ: x ¹ 0 1 1 Bất phương trình Û x2 + + 4 £ 3 x + x2 x 1 1 Đặt t = x + Þ t2 = x2 + + 2 x x2 1 1 1 Ta có t = x + = x + ³ 2 x . = 2 Þ t ³ 2 x x x Bất phương trình trở thành t2 + 2 £ 3t Û t2 - 3t + 2 £ 0 Û 1£ t £ 2 Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2 1 éx2 + 1= 2x Do đó 2 = x + Þ 2 x = x2 + 1 Û ê Û x = ± 1(thỏa mãn) ê 2 x ëêx + 1= - 2x Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ± 1. 2 c) Phương trình Û (x2 - 1) - (2x + 5) x2 - 1 + 4x + 6 = 0 Đặt t = x2 - 1 , t ³ 0 Phương trình trở thành t2 - (2x + 5)t + 4x + 6 = 0
7. ét = 2x + 3 Û - - - = Û ê (t 2x 3)(t 2) 0 ê ë t = 2 ïì 2x + 3 ³ 0 ï Với t = 2x + 3 ta có 2x + 3 = x2 - 1 Û íï x2 - 1= 2x + 3 ï ï 2 îï x - 1= - 2x- 3 ïì 2x + 3 ³ 0 ïì 3 ï ï ³ - ï 2 ï x Û í éx - 2x- 4 = 0 Û í 2 Û x = 1± 5 ï ê ï ï ê 2 ï = ± îï ëêx + 2x + 2 = 0 îï x 1 5 éx2 - 1= 2 Với t = 2 ta có 2 = x2 - 1 Û ê Û x2 = 3 Û x = ± 3 ê 2 ëêx - 1= - 2 Vậy phương trình có nghiệm là x Î {- 3;1- 5;1+ 5; 3} . Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x2 - 2x + m = x- 1 có nghiệm. Lời giải: Phương trình tương đương với 2 2 ïì 2 2 ïì 2 2 2 2 ï x - 2x + m = (x- 1) ï x - 2x + 2m x - 2x + m = x - 2x + 1 íï ( ) Û íï ( ) ( ) ï ï îï x ³ 1 îï x ³ 1 2 ïì 2 2 2 ï x - 2x + (2m- 1) x - 2x + m - 1= 0 (*) Û íï ( ) ( ) ï îï x ³ 1 2 Đặt t = x2 - 2x , vì x ³ 1Þ t = (x- 1) - 1³ - 1 Phương trình (*) trở thành t2 - (2m- 1)t + m2 - 1= 0 ( ) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm t ³ - 1 b 2m- 1 Û Đồ thị hàm số f (t)= t2 - (2m- 1)t + m2 - 1 trên [- 1;+ ¥ ) cắt trục hoành. Ta có - = 2a 2 2m- 1 1 + TH1: Nếu > - 1 Û m > - ta có 2 2 Bảng biến thiên x 2m- 1 - ¥ - 1 2 + ¥ f (- 1) + ¥ f (x)
8. æ2m- 1ö f ç ÷ èç 2 ø÷ Suy ra phương trình đã cho có nghiệm 2 æ2m- 1ö æ2m- 1ö æ2m- 1ö 5 Û f ç ÷£ 0 Û ç ÷ - (2m- 1)ç ÷+ m2 - 1£ 0 Û m - suy ra - - 1 suy ra m = - thảo mãn yêu cầu bài toán 4 2 2 2 2m- 1 1 + TH3: Nếu 0 nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Lời giải: 2 Bất phương trình tương đương với (x- 1) - m x- 1 + 1> 0 Với x = 1 ta có bất phương trình luôn đúng với mọi m Với x ¹ 1. Đặt t = x- 1 Þ t > 0 t2 + 1 Bất phương trình trở thành t2 - mt + 1> 0 Û > m (*) t Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ¹ 1 khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm t2 + 1 đúng với mọi t > 0 Û min > m t> 0 t
9. t2 + 1 2t Ta có ³ = 2 , đẳng thức xảy ra Û t = 1 t t t2 + 1 Suy ra min = 2 , do đó m 0 t Vậy m 0 " x nên phương trình đã cho éx2 + 2x + 3 = 3x- 2 éx2 - x + 5 = 0 - 5± 21 Û ê Û ê Û x = . ê 2 ê 2 ëêx + 2x + 3 = - 3x + 2 ëêx + 5x + 1= 0 2 ïì x + 2 ³ 0 ïì x ³ - 2 ï ï b) Phương trình Û íï é2x2 - 7x + 2 = x + 2 Û íï é2x2 - 8x = 0 ï ê ï ê ï ê 2 ï ê 2 îï ëê2x - 7x + 2 = - x- 2 îï ëê2x - 6x + 4 = 0 Phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 0; x = 1; x = 2; x = 4 . c) x = - 4, x = 0 d) ĐKXĐ: x ¹ ± 1 . Với ĐK đó: 2x 2x 2x 2x 1 PT Û = Û = . x + 1 x2 - 1 x + 1 x + 1 x- 1 ïì 2x æ 1 ö ïì 2x æ 1 ö ï ç1- ÷= 0 ï ç1+ ÷= 0 ï x- 1èç x- 1ø÷ ï x- 1èç x- 1ø÷ Û íï hoặc íï ï 2x ï 2x ï ³ 0 ï x- 2 b) x2 - x- 6 x + 2 d) 2x- 1 + 3x- 2 £ x + 3 1 1 e) x3 - £ 3 x- x3 x Lời giải: Bài 4.114: a) * Nếu x- 2 x- 2 * Nếu x ³ 2 Þ bpt Û ê ê 2 ëêx - 5x + 4 < - x + 2
10. éx2 - 6x + 6 > 0 éx 3+ 3 Û ê Û ê . ê 2 ê ëêx - 4x + 2 3+ 3 . é ê2 £ x 3+ 3 ïì x > 0 ïì x > 0 ï b) Bất phương trình Û íï Û íï x2 - 2x- 6 0 Û 6 1 Û m > Þ phương trình vô nghiệm. 5 4 • Nếu m = Þ phương trình có một nghiệm. 5 4 • Nếu m < Þ phương trình có hai nghiệm phân biệt. 5 Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: - 2x2 + 10x- 8 = m- 5x + x2 . Lời giải:
11. Bài 4.116: PT Û 2x2 - 10x + 8 - x2 + 5x = m ïì 2 - + Î - ¥ ùÈ é + ¥ 2 2 ï x 5x 8 khi x ( ;1û ë4; ) Xét hàm số f (x)= 2x - 10x + 8 - x + 5x = íï ï - 2 + - Î îï 3x 15x 8 khi x (1; 4) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Û Đồ thị hàm số f (x)= 2x2 - 10x + 8 - x2 + 5x cắt 43 đường thẳng y = m Û 4 0 27 Û íï Û 3 0 8 Bài 4.119: Cho bất phương trình x2 - 2mx + 2 x- m - m2 + 2 > 0
12. a) Giải bất phương trình khi m = 2 b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với " x Î ¡ Lời giải: Bài 4.119: a) x > 2, x g(x) • f (x) > g(x) Û íï îï g(x) ³ 0 ì ï f (x) ³ 0 ï • f (x) 0 ï ï é ù2 îï f (x) g(x) Û ê ïì ³ êï g(x) 0 êí 2 êï > é ù ëêîï f (x) ëg(x)û Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a) x3 - x + 1 = - 2x2 - x + 2 b) 2x2 + 3x- 1 = 3- x2 1 1 c) x + 4 - 1- x = 1- 2x d) x- + 1- = x x x Lời giải: ïì - 2x2 - x + 2 ³ 0 a) Ta có phương trình Û íï ï 3 2 îï x - x + 1= - 2x - x + 2
13. ì ï - 1- 17 - 1+ 17 ì ï £ x £ ï - 1- 17 - 1+ 17 ï 4 4 ï £ x £ ï Û íï Û íï é x = - 1 ï 4 4 ï ê ï 3 + 2 - = ï ê îï x 2x 1 0 ï ê - 1± 5 ï êx = îï ë 2 é = - ê x 1 Û ê ê - 1± 5 êx = ë 2 ì ü ï - 1- 5 - 1+ 5 ï Vậy phương trình có nghiệm là x Î í ;- 1; ý . ï ï îï 2 2 þï ïì 3- x2 ³ 0 ï b) Phương trình Û í 2 ï 2x2 + 3x- 1= 3- x2 îï ( ) ì ïì ï - 3 £ x £ 3 ï - 3 £ x £ 3 Û í Û íï ï 4 - 2 - + = ï x- 1 x + 2 x2 - x- 5 = 0 îï x 8x 3x 10 0 îï ( )( )( ) ì ï - 3 £ x £ 3 ï ï é x = - 2 ï ê Û íï ê Û x = 1 ï êx = 1 ï ê ï ê 1± 21 ï êx = îï ë 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. 1 c) ĐKXĐ: - 4 £ x £ 2 Phương trình Û x + 4 = 1- 2x + 1- x Û x + 4 = 1- 2x + 2 (1- 2x)(1- x) + 1- x ïì 2x + 1³ 0 Û 2x + 1= (1- 2x)(1- x) Û íï ï 2 îï (2x + 1) = (1- 2x)(1- x) ïì 1 ï x ³ - Û íï Û x = 0 (thỏa mãn điều kiện) ï 2 ï 2 îï 2x + 7x = 0 Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 . ïì x > 0 ï ï 1 ï x- ³ 0 ì ï x ï x ³ 1 ï ï d) Phương trình Û í 1 Û í 1 1 ï 1- ³ 0 ï x- = x- 1- ï x îï x x ï ï 1 1 ï x- + 1- = x îï x x
14. ì ï x ³ 1 ì ï ï x ³ 1 Û íï Û íï ï 1 2 1 1 ï 2 2 ï x- = x + 1- - 2x 1- îï x - x- 2 x - x + 1= 0 îï x x x ì ì ï x ³ 1 ï x ³ 1 ïì x ³ 1 ï 1+ 5 Û íï Û íï Û íï Û x = ï 2 ï 2 - - = ï 1± 5 îï x - x = 1 îï x x 1 0 ï x = 2 îï 2 1+ 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) - 5x2 + 8x- 3 + 5x- 3 = 1- x + 1 b) x2 + (3- x) 2x- 1 = x(3 2x2 - 5x + 2 - x- 2) Lời giải: ì 2 ï - 5x + 8x- 3 ³ 0 ï 3 a) ĐKXĐ: í 5x- 3 ³ 0 Û £ x £ 1 ï 5 îï 1- x ³ 0 Phương trình (5x- 3)(1- x)+ 5x- 3 = 1- x + 1 Û ( 5x- 3 - 1)( 1- x + 1) = 0 4 Û 5x- 3 = 1 Û x = (thỏa mãn điều kiện) 5 4 Vậy phương trình có nghiệm x = . 5 ì 2 ï 2x - 5x + 2 ³ 0 ï b) ĐKXĐ: í 2x- 1³ 0 Û x ³ 2 ï îï x- 2 ³ 0 Phương trình Û ( x- 2 2x- 1- x x- 2)+ 3x- x2 - 3 2x- 1 + x 2x- 1 = 0 Û x- 2 ( 2x- 1- x)+ x(3- x)+ 2x- 1(x- 3)= 0 é ê 2x- 1 = x Û ( 2x- 1- x)( x- 2 - 3+ x) = 0 Û ê ëê x- 2 = 3- x é 2x- 1= x2 é 2 ê ê x - 2x + 1= 0 êïì - ³ êì Û êï 3 x 0 Û êï x £ 3 êí 2 êí êï - = - ï x2 - 7x + 11= 0 ëêîï x 2 (3 x) ëêîï é x = 1 ê é x = 1 êïì x £ 3 ê Û êï Û ê êï ê 7 - 5 êí 7 ± 5 êx = êï x = ë 2 ëêîï 2 7 - 5 Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 suy ra x = thỏa mãn 2
15. 7 - 5 Vậy phương trình có nghiệm là x = . 2 Ví dụ 3: Giải các phương trình 5( x + 3 + 3x- 2)= 5x2 - 31x + 41 Lời giải: ì ì ï x ³ - 3 ï x + 3 ³ 0 ï 2 ĐKXĐ: í Û í 2 Û x ³ îï 3x- 2 ³ 0 ï x ³ 3 îï 3 Phương trình tương đương với (5 x + 3 - x- 9)+ (5 3x- 2 - 3x- 2)= 5x2 - 35x + 30 - x2 + 7x- 6 - x2 + 7x- 6 Û + = 5x2 - 35x + 30 5 x + 3 + x + 9 5 3x- 2 + 3x + 2 æ ö 2 ç 1 1 ÷ Û (x - 7x + 6)ç + + 5÷= 0 èç5 x + 3 + x + 9 5 3x- 2 + 3x + 2 ø÷ éx = 1 Û 2 - + = Û ê (thỏa mãn điều kiện) x 7x 6 0 ê ëx = 6 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 6 . Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x = 1,x = 6 là nghiệm do đó ta tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung x2 - 7x + 6 . Đối với 5 x + 3 ta ghép thêm với ax + b , như thế sau khi trục căn thức ta 2 25(x + 3)- (ax + b) có 5 x + 3 - (ax + b)= như vậy để có đại nhân tử x2 - 7x + 6 thì 5 x + 3 + (ax + b) ì ï 5 1+ 3 - (a + b)= 0 ïì a = 1 íï Û íï . Hoàn toàn tương tự với đại lượng 5 3x- 2 . Do đó ta tách được ï + - a + b = ï b = 9 îï 5 6 3 ( .6 ) 0 îï như lời giải ở trên. Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau a) x + 1³ 2(x2 - 1) b) (x + 5)(3x + 4) > 4(x- 1) c) 5x- 1- x- 1 > 2x- 4 d) (x- 3) x2 - 4 £ x2 - 9 Lời giải: ïì 2(x2 - 1) ³ 0 ï a) Bất phương trình Û íï x + 1³ 0 . ï ï 2 2 îï 2(x - 1) £ (x + 1) ïì é ³ ïì é ³ ï êx 1 ï êx 1 ï ê ï ê ï ëx £ - 1 ï ëx £ - 1 ï ï éx = - 1 Û íï x ³ - 1 Û íï x ³ - 1 Û ê ï ï ê £ £ ï 2 ï ë1 x 3 ï x - 2x- 3 £ 0 ï 1£ x £ 3 ï ï îï îï é ù Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {- 1} È ë1; 3û.
16. éì êï 4(x- 1) 16(x- 1) éïì x x- 1 + 2x- 4 Û x + 2 > (2x- 4)(x- 1) Û x2 + 4x + 4 > 2x2 - 6x + 4 (do x ³ 2 ) Û x2 - 10x 3: ta có Bất phương trình Û x2 - 4 £ x + 3 2 13 Û x2 - 4 £ (x + 3) Û x ³ - 6
17. Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = (3;+ ¥ ). +) Với x ï x + 3 £ 0 ï x 3 0 Û í (I) hoặc í 2 (II) ï 2 - ³ ï 2 - ³ + îï x 4 0 îï x 4 (x 3) ïì x £ - 3 ï Ta có (I) Û íï éx ³ 2 Û x £ - 3 ï ê ï ê îï ëx £ - 2 ì ì ï x > - 3 ï x > - 3 ï 13 (II) Û í Û í 13 Û - 3 . 1- x x- 3 x- 3 2x- 3 4 c) 8 + 3 ³ 6 2x- 3 + x + 1 x + 1 Lời giải: a) * Nếu 1- x > 0 Û x îï x 25 * Nếu x > 1Þ luôn đúng vì VT < 0 < 1. Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1- 52;- 5)È(1;+ ¥ ).
18. ïì é ³ 2 ï x 4 ïì x ³ 16 ï ê b) ĐKXĐ: íï Û íï êx £ - 4 Û x ³ 4 . ï ï ë îï x > 3 ï îï x > 3 Bất phương trình Û 2(x2 - 16) + x- 3 > 7 - x Û 2(x2 - 16) > 10- 2x kết hợp với điều kiện x ³ 4 ta có bất phương trình ïì x ³ 4 ïì 10- 2x (10- 2x) ïì x > 5 Ta có (I)Û íï Û x > 5 îï x ³ 4 ïì x ³ 4 ï ïì 4 £ x £ 5 (II)Û íï 10- 2x ³ 0 Û íï . ï ï 2 - + (10- 2x) ì ï 4 £ x £ 5 í Û 10- 34 0 2 Bất phương trình Û 8 2x- 3 + 3 x + 1 = 6 (2x- 3)(x + 1) + 4 Û 4(2 2x- 3 - 1)+ 3 x + 1(1- 2 2x- 3)³ 0 Û (2 2x- 3 - 1)(4- 3 x + 1)³ 0 (8x- 13)(7 - 9x) Û ³ 0 (2 2x- 3 + 1)(4 + 3 x + 1) 7 13 Û (8x- 13)(7 - 9x) ³ 0 Û £ x £ 9 8 é3 13ù Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú. ëê2 8 ûú Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau a) (x + 1)(x + 4)< 5 x2 + 5x + 28
19. 1- x2 + 2x b) (x + 1)(x- 3) 0 Þ x2 + 5x + 4 = t2 - 24 Bất phương trình trở thành t2 - 24 0 Û - 1 0 Þ - x2 + 2x = t2 - 3 . Bất phương trình trở thành - t3 0 Û (t - 1)(t2 + 2t + 2) > 0 Û t > 1 Do đó ta có - x2 + 2x + 3 > 1 Û - x2 + 2x + 3 > 1 Û x2 - 2x- 2 < 0 Û 1- 3 < x < 1+ 3 . Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = (1- 3;1+ 3) ïì 7x + 7 ³ 0 6 c) ĐKXĐ:íï Û x ³ : îï 7x- 6 ³ 0 7 Đặt : t = 7x + 7 + 7x- 6,t ³ 0 Þ t2 = 7x + 7 + 7x- 6 + 2 (7x + 7)(7x- 6) Þ 14x + 2 (7x + 7)(7x- 6) = t2 - 1
20. Bất phương trình trở thành t2 + t - 1 0 . æ 1 ö æ 1 ö Û ç + ÷ 0 Þ t2 = x + + 1Þ x + = t2 - 1 2 x 4x 4x Bất phương trình trở thành 3t 3 2 ê Û 2t - 3t - 9 > 0 Û ê 3 Û t > 3 (do t > 0 ) êt 3 Û x + 1+ > 9 2 x 4x é ê 8 + 3 7 êx > Û 4x2 - 36x + 1> 0 Û ê 2 ê 8- 3 7 êx + x 1 x 4x 1 3 x 1 2 1- x2 x - 1 Lời giải:
21. ì é ï x ³ 2 + 3 ì 2 ï ê é ï x - 4x + 1³ 0 ï ê ê x ³ 2 + 3 a) ĐKXĐ: í Û í êx £ 2- 3 Û ê ï x ³ 0 ï ë ê £ £ - îï ï ë0 x 2 3 îï x ³ 0 Dễ thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình. 1 1 Với x > 0 , bất phương trình tương đương với x + + x + - 4 ³ 3 x x 1 1 Đặt t = x + ,t > 0 Þ t2 - 2 = x + , bất phương trình trở thành t2 - 6 ³ 3- t x x é > é 3- t 0 Û - 1 2 1 2 1- x 1- x2 x2 x Û - + > . 2 3 2 0 1- x 1- x2 x ét Û ê t t 3t 2 0 ê 1- x2 ët > 2 é- x Û êï 0 £ x x é- 1< x < 0 ê 1 Û ê 1 Û - 1< x < . ê £ < ê0 x 2 ë 2
22. x ïì 0 2 Û > 2 Û x > 2 1- x2 Û íï 2 ï 2 2 1- x îï x > 4(1- x ) 2 Û 0 ) Suy ra x + 1£ 3 7x2 + 9x- 4 Û x3 - 4x2 - 6x + 5 £ 0
23. é ê - 1- 5 ê x £ Û (x- 5)(x2 - x + 1)£ 0 Û ê 2 ê- 1+ 5 ê £ x £ 5 ëê 2 æ ù é ù ç - 1- 5 - 1+ 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ç- ¥ ; úÈ ê ; 5ú. ç ú ê ú è 2 ûú ëê 2 ûú Ví dụ 9: Cho phương trình x + 1- x + x- x2 = m a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất b) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm. Lời giải: ĐKXĐ: 0 £ x £ 1 a) Giả sử phương trình cso nghiệm duy nhất x0 tức là ta có x0 + 1- x0 + x0 (1- x0 ) = m ta có thể viết lại là 1- x0 + x0 + (1- x0 )x0 = m do đó 1- x0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho 1 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì x = 1- x Û x = 0 0 0 2 1+ 2 2 thay vào ta có m = 2 1+ 2 2 1+ 2 2 Với m = ta có phương trình x + 1- x + x- x2 = (*) 2 2 x + 1- x 1 Áp dụng BĐT côsi ta có x- x2 = x(1- x)£ = 2 2 2 Mặt khác ( x + 1- x) = 1+ 2 x(1- x)£ 2 Þ x + 1- x £ 2 1+ 2 2 1 Suy ra x + 1- x + x- x2 £ , đẳng thức xảy ra Û x = 2 2 Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1+ 2 2 Vậy m = là giá trị cần tìm. 2 b) Đặt t = x + 1- x Þ t2 = 1+ 2 x(1- x) 2 Theo câu a ta có 1£ ( x + 1- x) = 1+ 2 x(1- x)£ 2
24. Suy ra 1£ t £ 2 t2 - 1 Phương trình trở thành t + = m Û t2 + 2t - 1= 2m ( ) 2 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( ) có nghiệm thỏa mãn 1£ t £ 2 Û Đồ thị hàm số y = t2 + 2t - 1 trên é1; 2ù cắt đường thẳng y = 2m . ëê ûú Xét hàm số y = t2 + 2t - 1 trên é1; 2ù ëê ûú Bảng biến thiên t 1 2 1+ 2 2 y 0 1 1+ 2 2 Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û 1£ 2m £ 1+ 2 2 hay Û £ m £ 2 2 Ví dụ 10: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ³ 1 3 x- 1 + m x + 1 ³ 2 4 x2 - 1 . Lời giải: ĐKXĐ: x ³ 1. Chia hai vế phương trình cho x + 1 > 0 ta có x- 1 x- 1 Bất phương trình tương đương với 3 + m ³ 2 4 . x + 1 x + 1 x- 1 2 Đặt t = 4 = 4 1- Þ 0 < t < 1," x ³ 1 x + 1 x + 1 Bất phương trình trở thành: 3t2 + m ³ 2t Û - 3t2 + 2t £ m (*) . Bất hương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û (*) nghiệm đúng t Î (0;1) Û m ³ max f (t) với f (t)= - 3t2 + 2t . (0;1) Xét hàm số f (t)= - 3t2 + 2t trên (0;1)
25. Bảng biến thiên t 1 0 1 3 1 3 f (t) 0 - 1 1 Từ bảng biến thiên suy ra max f (t)= (0;1) 3 1 Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ³ 1 Û m ³ 3 1 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 3 Loại 3: Phương pháp đánh giá Đối với phương trình ta thường làm như sau Cách 1: Tìm một nghiệm và chứng minh nó là nghiệm duy nhất. Cách 2: Biến đổi hằng đẳng thức đưa về bất phương trình f (x)= 0 trong đó f (x) là tổng các bình phương. Cách 3: Với phương trình f (x) = g(x) có tập xác định D ïì f (x) ³ m(x) ïì f (x) = m(x) Nếu íï , " x Î D thì f (x) = g(x) Û íï . îï g(x) £ m(x) îï g(x) = m(x) Ví dụ 11: Giải các phương trình sau 6 8 a) + = 6 b) x- 1 + x x3 - 3x + 2 = 1- x 3- x 2- x c) x - x- 1- x = 1 d) 4 x + 8 + x + 4 = 2x + 3 + 3x Lời giải: a) ĐKXĐ: x 4 Þ > 2 và > = 4 2 3- x 3- x 2- x 3 2- 2 6 8 Þ + > 6 Þ phương trình vô nghiệm. 3- x 2- x
26. 3 6 6 8 8 * Với 1 ta có x- 1 + x x3 - 3x + 2 > 0, 1- x 1 ta có 2x + 3 > x + 4 Û 2x + 3 - x + 4 > 0 Và (x- 1)(9x + 8)> 0 Û 9x2 - x- 8 > 0 Û x + 8 0 Û 9x2 - x- 8 > 0 Û x + 8 > 9x2 Û 4 x + 8 - 3x > 0 Suy ra phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1. Ví dụ 12: Giải các phương trình sau a) x2 - 9x + 28 = 4 x- 1 b) 1- 2x + 1+ 2x = 2- x2 c) 20x + 38 = 4 x + 1 + 6 2x + 3 + 12 2x2 + 5x + 3 Lời giải: a) ĐKXĐ: x ³ 1 Phương trình tương đương với x2 - 10x + 25+ (x- 1)- 4 x- 1 + 4 = 0 Û (x- 5)2 + ( x- 1- 2)2 = 0 (*) Vì (x- 5)2 + ( x- 1- 2)2 ³ 0 với mọi x nên
27. ì ï x- 5 = 0 Phương trình (*) Û í Û x = 5 ï îï x- 1- 2 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 . ïì 1- 2x ³ 0 1 1 b) ĐKXĐ: íï Û - £ x £ îï 1+ 2x ³ 0 2 2 2 2 Phương trình tương đương với ( 1- 2x + 1+ 2x) = (2- x2 ) 2 Û 2 + 2 1- 4x2 = 4- 4x2 + x4 Û ( 1- 4x2 - 1) + x4 = 0 ì ï x = 0 Û íï Û x = 0 ï 2 îï 1- 4x - 1= 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 . ïì x + 1³ 0 c) ĐKXĐ: íï Û x ³ - 1 îï 2x + 3 ³ 0 Phương trình tương đương với (x + 1- 4 x + 1 + 4)+ (2x + 3- 6 x + 1 + 9)+ (9x + 9- 12 (x + 1)(2x + 3) + 8x + 12)= 0 Û ( x + 1- 2)2 + ( 2x + 3 - 3)2 + (3 x + 1- 2 2x + 3)2 = 0 ì ï x + 1- 2 = 0 ï Û íï 2x + 3 - 3 = 0 Û x = 3 (thỏa mãn điều kiện) ï ï 3 x + 1- 2 2x + 3 = 0 îï Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Ví dụ 13: Giải các phương trình sau a) x2 + x- 1 + - x2 + x + 1 = x2 - x + 2 2x2 + x- 1 b) = x(x- 1) 1+ 3 x + 1 c) 3 x2 - 1 + x = x3 - 2 Lời giải: a) Giả sử PT có nghiệm x . Theo bất đẳng thức côsi ta có : 1+ x2 + x- 1 x2 + x 1.(x2 + x- 1) £ = 2 2 1- x2 + x + 1 - x2 + x + 2 1.(- x2 + x + 1) £ = 2 2 Cộng vế với vế ta được x2 + x- 1 + - x2 + x + 1 £ x + 1 2 Suy ra x2 - x + 2 £ x + 1 Û (x- 1) £ 0 Û x = 1 Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó nghiệm của nó phải thỏa mãn
28. ïì x + 1> 0 ï íï x(x- 1)³ 0 Û x Î {- 1} È[1;+ ¥ ) ï ï 2 îï 2x + x- 1³ 0 Rõ ràng x = - 1 không là nghiệm của phương trình, ta xét x ³ 1 Phương trình đã cho Û 2x2 + x- 1= x2 - x + 3 x(x2 - 1) (*) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 x2 - x 3(x + x - 1) x2 - x £ , 3 x(x2 - 1) £ 2 2 2 x2 - x 3(x + x - 1) Suy ra VP(*) £ + = 2x2 + x- 1= VT(*) 2 2 1± 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 - x- 1= 0 Û x = 2 1+ 5 Thử lại phương trình ta thấy x = là nghiệm của phương trình 2 1+ 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = . 2 c) ĐKXĐ: x3 - 2 ³ 0 Û x ³ 3 2 Giả sử phương trình có nghiệm 2(x- 1)+ (x + 1)+ 4 x + 1 Sử dụng bất đẳng thức côsi, ta được 3 x2 - 1 £ = . 6 2 x + 1 Kết hợp với phương trình suy ra + x ³ x3 - 2 2 Û 4(x3 - 2) £ (3x + 1)2 Û (x- 3)(4x2 + 3x + 3) £ 0 Û x £ 3 Như vậy ta có 3 2 £ x £ 3. ( ) Ta có 3 x2 - 1 ³ x- 1 Û x + 1³ (x- 1)2 Û x(3- x) ³ 0 (đúng với đk ( )) và x3 - 2 £ 2x- 1 Û (x- 3)(x2 - x + 1) £ 0 (đúng với đk ( )) Suy ra 3 x2 - 1 + x ³ 2x- 1³ x3 - 2 Đẳng thức xảy ra khi x = 3 . Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . Nhận xét: Với điều kiện xác định của phương trình thì việc đánh giá của chúng ta khó khăn, đôi khi là không thể đánh giá vì miền của biến lúc đó rộng không đảm bảo cho việc đánh giá. Do đó ràng buộc thêm điều kiện đối với nghiệm của phương trình giúp chúng ta thuận lợi trong đánh giá từ đó giải quyết được
29. bài toán. Ví dụ 14: Giải các bất phương trình sau 2 a) x2 + > 2x b) 2x2 - 11x + 21£ 3 3 4x- 4 - x2 + 6x- 5 Lời giải: a) ĐKXĐ : - x2 + 6x- 5 > 0 Û 1 2x, " x Î (1; 5) (2) Từ (1) và (2) ta có với mọi x Î (1; 5) ta có 2 x2 + > 2x - x2 + 6x- 5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (1; 5). b) Xét tam thức f (x)= 2x2 - 11x + 21, có a = 2 > 0, D = - 47 0, " x Do đó phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 3 3 4x- 4 > 0 Û x > 1 Áp dụng BĐT Côsi ta có : 3 3 4x- 4 = 3 3 2.2(x- 1)£ 2 + 2 + x- 1= x + 3 Kết hợp với phương trình suy ra 2x2 - 11x + 21£ x + 3 2 Û 2(x- 3) £ 0 Û x = 3 Thử x = 3 ta thấy là nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 . 3. Bài tập luyện tập Bài 4.120: Giải các bpt sau : a. x- 3 4x- 3 d. 3x2 + x- 4 ³ x + 1 Lời giải:
30. ïì 1 ì ï x > ï 2x- 1> 0 ï 2 ï ï Bài 4.120: a) Bpt Û íï x- 3 ³ 0 Û íï x ³ 3 Û x ³ 3 ï ï ï x- 3 0 îï ï îï ì 2 ï x - x + 1³ 0 ï 8 b) Bpt Û íï x + 3 ³ 0 Û x ³ - ï ï 2 2 7 îï x - x + 1£ (x + 3) é2 3 ê £ x (4x- 3)2 ê3 3 îï îï ê £ x 0 ê 1+ 41 êíï êx ³ êï 2 2 ëê 4 ëîï 3x + x- 4 ³ (x + 1) Bài 4.121: Giải các bất phương trình sau. x2 a) (x2 - 3x) 2x2 - 3x- 2 ³ 0 b) > x- 4 (1+ 1+ x)2 c) x2 + 3x + 1£ (x + 3) x2 + 1 . Lời giải: Bài 4.121: a) Ta xét hai trường hợp 1 TH 1: 2x2 - 3x- 2 = 0 Û x = 2,x = - . Khi đó BPT luôn đúng 2 ì ì 2 ï 1 ï 2x - 3- 2 > 0 ï x 2 1 TH 2: Bpt Û ï Û Û x < - V x ³ 3 . í 2 í 2 ï x - 3x ³ 0 ï 2 î îï x £ 0 V x ³ 3 1 Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T = (- ¥ ;- ]È{2}È[3;+ ¥ ) . 2 b) ĐK: x ³ - 1 * Với x = 0 ta thấy Bpt luôn đúng * Với x ¹ 0 Þ 1- x + 1 ¹ 0 . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được
31. x2 (1- x + 1)2 > x- 4 Û (1- x + 1)2 > x- 4 Û x + 1 x2 - x = x - x ³ 0 Þ (*) Û x2 + 1 £ 3 Û x2 £ 8 Û - 2 2 £ x £ 2 2 . Vậy - 2 2 £ x £ 2 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Bài 4.122: Giải các bpt sau : a) 2x- 1 £ 8- x b) 2x2 - 6x + 1- x + 2 > 0 c) - x2 + 6x- 5 > 8- 2x d) x + 3 ³ 2x- 8 + 7 - x ’ 2x2 + - + x- 2 Û íï ï 2 îï 2x - 6x + 1³ 0 ì ï x 3 ï x- 2 ³ 0 ï ê 3 7 ïì x ³ 2 ê hoặc ï Û ï êx £ hoặc ï Û ê í 2 2 í 2 í 2 3- 7 ï 2x - 6x + 1 > (x- 2) ï ê ï x - 2x- 3 > 0 ê £ îï ( ) ï ê îï êx ï ê 3+ 7 ë 2 ï êx ³ îï ë 2 c) ĐS: 3 < x £ 5 ïì x + 3 ³ 0 ï d) ĐKXĐ:íï 2x- 8 ³ 0 Û 4 £ x £ 7 ï îï 7 - x ³ 0
32. 2 bpt Û x + 3 ³ ( 2x- 8 + 7 - x) Û 3 ³ - 1+ 2 (2x- 8)(7 - x) Û 2 ³ (2x- 8)(7 - x) Û 4 ³ - 2x2 + 22x- 56 éx £ 5 Û 2 - + ³ Û ê x 11x 30 0 ê ëx ³ 6 é4 £ x £ 5 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là ê ê ë6 £ x £ 7 ïì x + 2 ³ 0 ï e) ĐKXĐ :íï x + 1³ 0 Û x ³ 0 ï îï x ³ 0 bpt Û x + 2 3 ì ïì 9 ï 9 + 2x ³ 0 ï x ³ - f) ĐKXĐ :í Û í 2 ï 3- 9 + 2x ¹ 0 ï î îï x ¹ 0 2 2 2x (3+ 9 + 2x) 7 bpt Û < x + 21 Û 9 + 2x < 4 Û x < 4x2 2 ïì 9 7 ï - £ x < Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là í 2 2 ï îï x ¹ 0 Bài 4.123: Giải các bất phương trình sau : - 3x2 + x + 4 + 2 a) < 2 b) x2 - 3x + 2 + x2 - 4x + 3 ³ 2 x2 - 5x + 4 x x2 c) x2 - 8x + 15 + x2 + 2x- 15 £ 4x2 - 18x + 18 d) 1+ x + 1- x £ 2- 4
33. Lời giải: ïì 4 ï - 1£ x £ Bài 4.123: a) ĐKXĐ :í 3 : ï îï x ¹ 0 4 - 3x2 + x + 4 + 2 Với 0 ï - 2 + + 7 îï 3x x 4 (2x 2) ïî 7x 9x 0 9 4 Suy ra nghiệm của bất phương trình là < x £ 7 3 Với - 1£ x < 0 : bpt luôn đúng é- £ < ê 1 x 0 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt là ê9 4 ê < x £ ëê7 3 ïì x2 - 3x + 2 ³ 0 ï é ï 2 x ³ 4 b) ĐKXĐ:í x - 4x + 3 ³ 0 Û ê ï êx £ 1 ï 2 - + ³ ë îï x 5x 4 0 bpt Û (x- 1)(x- 2)+ (x- 1)(x- 3)³ 2 (x- 1)(x- 4) Dễ thấy x = 1 là nghiệm của bpt. + Với x < 1: Bpt Û (1- x)(2- x)+ (1- x)(3- x)³ 2 (1- x)(4- x) Û 2- x + 3- x ³ 2 4- x Ta có : 2- x + 3- x < 4- x + 4- x = 2 4- x Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . +) Với x ³ 4 : bpt Û x- 2 + x- 3 ³ 2 x- 4 Ta có : x- 2 + x- 3 ³ x- 4 + x- 4 = 2 x- 4," x,x ³ 4 Suy ra : x ³ 4 bất pt luôn đúng . éx = 1 Vậy nghiệm của bpt là : ê ê ëx ³ 4 17 c) ĐS: x £ - 5, x = 3, 5 £ x £ 3
34. ïì 1+ x ³ 0 d) ĐKXĐ:íï Û - 1£ x £ 1: îï 1- x ³ 0 x4 Khi đó : bpt Û 1+ x + 1- x + 2 1- x2 £ 4- x2 + 16 x4 Û 1- x2 - 2 1- x2 + 1 + ³ 0 ( ) 16 2 x4 Û 1- x2 - 1 + ³ 0 (luôn đúng) ( ) 16 Vậy nghiệm của bpt là :- 1£ x £ 1 Bài 4.124: Giải các bất phương trình sau: a) 4(x + 1)2 ³ (2x + 10)(1- 3+ 2x)2 b) 1+ x - 1- x ³ x 2x c) 25- x2 + x2 + 7x > 3 d) x x2 x2 x g) x2 - 8x + 15 + x2 + 2x- 15 > 4x2 - 18x + 18 h) 9x2 + 16 ( 2x + 4 - 2 2- x)>12x- 8 Lời giải: é 2 ù Bài 4.124: a) bpt Û 4(x + 1)2 ê(1+ 3+ 2x) - 2x + 10ú³ 0 ëê ûú ĐS: x = - 1,x ³ 3 45 b) 0 £ x £ 1 c) 0 £ x £ 5 d) 0 3 g) x > 7 3 4 3 h) bpt Û 9x2 + 16 (3x- 2)> 2(3x- 2)( 2x + 4 + 2 2- x)) 2 4 2 Chia hai trường hợp và giải ta được - 2 £ x < , < x £ 2 3 3 Bài 4.125: Giải các bất phương trình sau:
35. a) 3x2 + 6x + 4 1 3 c) 3x2 + 5x + 7 - 3x2 + 5x + 2 ³ 1 d) x + 2 x- 1 + x- 2 x- 1 > 2 5 1 x x + 1 x 35 e) 5 x + 3 g) x + > 2 x 2x x + 1 x x2 - 1 12 Lời giải: t2 - 4 Bài 4.125: a) Đặt : t = 3x2 + 6x + 4,t ³ 0 Þ x2 + 2x = 3 t2 - 4 Bất phương trình trở thành t 1 5 Û 2t2 - 3t - 5 < 0 Û 0 £ t < (dot ³ 0) 2 ïì - 3 £ x £ 1 5 ï Ta có - - 2 < Û ï Û - £ £ 3 2x x í 2 25 3 x 1 2 ï 3- 2x- x < îï 4 Vậy nghiệm bpt là - 3 £ x £ 1 - 2 < x < 0 . é 2 êx ³ - c) ĐKXĐ: ê ê 3 ëêx £ - 1 Đặt t = 3x2 + 5x + 2,t ³ 0 Þ 3x2 + 5x = t2 - 2 Bất phương trình trở thành t2 + 5 - t ³ 1 2 Û t2 + 5 ³ t + 1 Û t2 + 5 ³ (t + 1) Û t £ 2
36. ïì 2 2 ï 3x + 5x + 2 ³ 0 Ta có 3x + 5x + 2 £ 2 Û í ï 2 îï 3x + 5x + 2 £ 4 ïì é 2 ï êx ³ - ï ê 3 é- 2 £ x £ - 1 ï ê ê Û í ëêx £ - 1 Û ê- 2 1 ï ê £ x £ ï 1 ëê3 3 ï - 2 £ x £ îï 3 d) ĐKXĐ: x ³ 1 2 2 3 bpt Û ( x- 1 + 1) + ( x- 1- 1) > 2 3 Û x- 1 + 1 + x- 1- 1 > 2 Đặt t = x- 1,t ³ 0 3 Bất phương trình trở thành t + 1+ t - 1 > (*) 2 3 3 +) Với t ³ 1 ta có (*) Û 2t > Û t > 2 4 Suy ra nghiệm bpt(*) là t ³ 1 do đó x- 1 ³ 1 Û x ³ 2 3 +) Với 0 £ t đúng mọi t 2 ïì x ³ 1 Do đó 0 £ x- 1 £ 1 Û íï îï x £ 2 Vậy nghiệm bpt là x ³ 1 e) ĐKXĐ : x > 0 æ 1 ö 1 Û ç + ÷ 0 Û ê ( ) ê 2 ëêt > 2 1 Vì t ³ 2 Þ t > 2 ta có x + > 2 Û 2x- 4 x + 1> 0 2 x
37. é é ê 2- 2 ê 3- 2 2 ê0 êx > ëê 2 ëê 2 3- 2 2 3+ 2 2 Vậy nghiệm bpt là 0 . 2 2 f) ĐKXĐ: x 0 x + 1 x 1 Đặt:t = ,t > 0 Þ = x x + 1 t2 1 Ta được : - 2t > 3 Û 2t3 + 3t2 - 1 0 ) 2 x + 1 1 4 Ta có 0 Û ê x 1 0 ê ëx > 1 +) Với x : Û 2 + + > x 1 bpt x 2 2. x - 1 x2 - 1 144 x4 x2 1225 Û + - > 2 2. 0 x - 1 x2 - 1 144 x2 Đặt : t = ,t > 0 , bất phương trình trở thành x2 - 1 1225 25 Û t2 + 2t - > 0 Û t > (dot > 0) 144 12 x2 25 Do đó ta có > Û 144x4 > 625x2 - 625 x2 - 1 12 é 25 é 5 ê0 £ x2 0 Û ê 16 Û ê 4 (dox > 1) ê 25 ê 5 êx2 > êx > ëê 9 ëê 3
38. Bài 4.126: Giải các phương trình sau: a) x + 2 7 - x = 2 x- 1 + - x2 + 8x- 7 + 1 (2x- 1)2 b) 2x + 1 + 3- 2x = 2 c) 10x + 1 + 3x- 5 = 9x + 4 + 2x- 2 d) x- 1- (x- 1)2 = 8- x3 Lời giải: Bài 4.26: a) ĐKXĐ: 1£ x £ 7 . Ta có: PT Û x- 1+ 2 7 - x - 2 x- 1- (7 - x)(x- 1) = 0 Û x- 1( x- 1- 2)- 7 - x ( x- 1- 2)= 0 Û ( x- 1- 2)( x- 1- 7 - x)= 0 é ê x- 1 = 2 éx = 5 Û ê Û ê . êx = 4 ëê x- 1 = 7 - x ë - 1 3 b) ĐKXĐ: £ x £ 2 2 2 (4x2 - 4x + 1)2 Phương trình đã cho Û ( 2x + 1 + 3- 2x) = 4 (4x2 - 4x + 1)2 Û 4 + 2 - 4x2 + 4x + 3 = . 4 Đặt t = - 4x2 + 4x + 3= 4- (2x- 1)2 Þ 0 £ t £ 2 . Ta có phương trình : 16 + 8t = (4- t2 )2 Û t4 - 8t2 - 8t = 0 Û t(t3 - 8t - 8) = 0 ét = 0 (n) 2 ê Û t(t + 2)(t - 2t - 4) = 0 Û ê . ëêt = 1+ 5 (l) é 1 êx = - ê t = 0 Û - 4x2 + 4x + 3 = 0 Û 4x2 - 4x- 3 = 0 Û ê 2 . ê 3 êx = ëê 2 1 3 Vậy x = - ; x = là nghiệm của phương trình đã cho. 2 2
39. 5 c) ĐKXĐ: x ³ . 3 Phương trình Û 10x + 1- 9x + 4 + 3x- 5 - 2x- 2 = 0 x- 3 x- 3 Û + = 0 10x + 1 + 9x + 4 3x- 5 + 2x- 2 æ ö ç 1 1 ÷ Û (x- 3)ç + ÷= 0 Û x = 3 (thỏa điều kiện). èç 10x + 1 + 9x + 4 3x- 5 + 2x- 2 ø÷ Vây x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. d) PT Û x- 1 + x3 - x2 + 2x- 9 = 0 x- 2 Û + (x- 2)(x2 + x + 4) = 0 x- 1 + 1 æ 1 ö Û - ç + 2 + + ÷= Û = (x 2)ç x x 4÷ 0 x 2 èç x- 1 + 1 ÷ø Bài 4.127: Giải các phương trình sau a) x2 - 2x + 3 = 2x2 - x + 1+ 3x- 3x2 b) 3 14- x3 = 2 x2 - 2x- 1 + 2- x 2 c) 2 1+ 3x - x + = 5 x Lời giải: Bài 4.127: a) Theo côsi ta có: 2x2 - x + 1 2 + 3x- 3x2 2x2 - x £ ; 1+ 3x- 3x2 £ 2 2 - x2 + 2x + 3 Suy ra 2x2 - x + 1+ 3x- 3x2 £ 2 - x2 + 2x + 3 Mà £ 2. 2 Dấu bằng xảy ra x=1. Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1. b) ĐKXĐ: x2 - 2x- 1³ 0 Do x2 - 2x- 1 ³ 0 nên 3 14- x3 ³ 2- x Û 14- x3 ³ 8- 12x + 6x2 - x3 Û x2 - 2x- 1£ 0
40. Suy ra phương trình có nghiệm thì x2 - 2x- 1= 0 Û x = 1± 2 Thử lại ta thấy phương trình cso nghiệm duy nhất x = 1- 2 . c) ĐK: x > 0 . Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: 2 (1+ 3x)(1+ 3)³ (1+ 3 x) Þ 2 1+ 3x ³ 1+ 3 x 2 2 Suy ra 2 1+ 3x - x + ³ 2 x + + 1³ 5 . x x Đẳng thức xảy ra khi x = 1 và đó cũng là nghiệm của phương trình. Bài 4.128: Giải phương trình 2x + 3 + x + 1 = x2 - 11x + 33 + 3x- 5 Lời giải: ïì 2x + 3 ³ 0 ï ï x + 1³ 0 5 Bài 4.128: ĐKXĐ: ï Û ³ í 2 x ï x - 11x + 33 ³ 0 3 ï îï 3x- 5 ³ 0 Phương trình tương đương với 2 (2x + 3)(x + 1) = x2 - 11x + 24 + 2 (x2 - 11x + 33)(3x- 5) Û 2( (2x + 3)(x + 1)- (x2 - 11x + 33)(3x- 5))= x2 - 11x + 24 - 3x3 + 40x- 149x + 168 Û 2 = x2 - 11x + 24 (2x + 3)(x + 1)+ (x2 - 11x + 33)(3x- 5) (3x- 7)(- x2 + 11x- 24) Û 2 = x2 - 11x + 24 (2x + 3)(x + 1)+ (x2 - 11x + 33)(3x- 5) æ ö ç 2(3x- 7) ÷ 2 ç ÷ Û (x - 11x + 24)ç + 1÷= 0 ç 2 ÷ èç (2x + 3)(x + 1)+ (x - 11x + 33)(3x- 5) ÷ø éx = 3 Û 2 - + = Û ê (thỏa mãn điều kiện) x 11x 24 0 ê ëx = 8 Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 và x = 8 . Bài 4.129: Cho phương trình: 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + m = x- 1(1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Lời giải:
41. ïì - ³ ï x 1 0 Bài 4.129: Phương trình (1) Û í 2 ï 2 - + + 2 + = - îï x 2(m 1)x m m (x 1) (2) Đặt t = x- 1 , vì x- 1³ 0 nên ta có điều kiện t ³ 0 , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t2 - 2(m- 1)t + m2 - m = 0 (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t ³ 0 2 TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 £ 0 £ t2 Û P £ 0 Û m - m £ 0 Û 0 £ m £ 1. ì ì ï D ' ³ 0 ï 1- m ³ 0 ï ï TH2: Phương trình (3) có nghiệm 0 £ t £ t Û íï P ³ 0 Û íï m2 - m ³ 0 Û m = 1. 1 2 ï ï ï ³ ï - ³ îï S 0 îï m 1 0 é ù Kết luận: Với m Î ë0;1û thì phương trình (1) có nghiệm. b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm ì ì ï D > 0 ï 1- m > 0 ï ï 0 £ t ï - > îï S 0 îï m 1 0 Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t ³ 0 2 TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 ï 1- m > 0 ï ï TH2: Phương trình (3) có nghiệm t < 0 = t Û íï P = 0 Û íï m2 - m = 0 Û m = 0 . 1 2 ï ï ï < ï - < îï S 0 îï m 1 0 ì ì ï D = 0 ï 1- m = 0 TH3: Phương trình (3) có nghiệm 0 £ t1 = t2 Û í Û í Û m = 1 . îï S ³ 0 îï m- 1³ 0 é ù Kết luận: Với m Î ë0;1û thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Bài 4.130: Cho phương trình x2 - m x2 + 1 + 3m+ 2 = 0 (1). a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
42. Lời giải: 2 Bài 4.130. ĐK x Î R . Đặt t = x2 + 1- 1 (t ³ 0)suy ra x2 = (t + 1) - 1 , thay vào phương trình (1) ta được phương trình: t2 - (m- 2)t + 3m+ 2 = 0 (2) a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t ³ 0 - 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t £ 0 £ t Û P £ 0 Û 3m+ 2 £ 0 Û m £ . 1 2 3 ì ì 2 ï D ³ 0 ï m - 16m- 4 ³ 0 ï ï TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 £ t £ t Û íï P ³ 0 Û íï 3m+ 2 ³ 0 Û m ³ 8 + 68 1 2 ï ï ï ³ ï - ³ îï S 0 îï m 2 0 æ ù ç - 2 é Kết luận: với m Î ç- ¥ ; úÈ ê8 + 68;+ ¥ ) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt èç 3 ûú ë b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: ì ì 2 ï D > 0 ï m - 16m- 4 > 0 ï ï 0 0 Û íï 3m+ 2 > 0 Û m > 8 + 68 1 2 ï ï ï > ï - > îï S 0 îï m 2 0 Kết luận: Với m Î (8 + 68;+ ¥ ) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau: ì ïì 2 ï D > 0 ï m - 16m- 4 > 0 ï ï - 2 TH1: Phương trình (2) có nghiệm t < 0 = t Û íï P = 0 Û íï 3m+ 2 = 0 Û m = . 1 2 ï ï 3 ï < ï - < îï S 0 îï m 2 0 ïì D = 0 ïì m2 - 16m- 4 = 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm 0 = t = t Û íï Û íï (vô nghiệm) 1 2 ï ï îï S = 0 îï m- 2 = 0 - 2 Kết luận: với m = thì pt (1) có nghiệm duy nhất. 3