Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1. § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác. a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc. b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác. y t Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM)= a gọi là B T S s điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm H M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn M(x;y) cung(góc) lượng giác có số đo a . Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, O K A x mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là a + k2p,k Î Z . d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo a , xác định điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa cosa = x, sina = y sina æ p ö tana = ça ¹ + kp÷ cosa èç 2 ø÷ cosa cota = (a ¹ kp) sina Ý nghĩa hình học: Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At,Bs . Khi đó ta có: sina = OH, cosa = OK,tana = AT,cota = BS e) Tính chất: • sina ,cosa xác định với mọi giá trị của a và - 1£ sina £ 1,- 1£ cosa £ 1. p • tana được xác định khi a ¹ + kp , cota xác định khia ¹ kp 2 • sina = sin(a + k2p),cosa = cos(a + k2p) tana = tan(a + kp),cota = cot(a + kp) f) Dấu của các giá trị lượng giác: Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác. Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + –
2. g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. p p p p 2p 3p 3p 0 p 2p Góc a 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 a sin 1 0 2 3 1 3 2 0 –1 0 2 2 2 2 2 cosa 3 2 1 1 2 1 0 - - –1 0 1 2 2 2 2 2 tana 3 0 1 3 || - 3 –1 0 || 0 3 cota 3 3 || 3 1 0 - –1 || 0 || 3 3 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 1) sin2 a + cos2 a = 1 1 p 2) 1+ tan2 a = (a ¹ + kp) cos2 a 2 1 3) 1+ cot2 a = (a ¹ kp) sin2 a kp 4)tana.cota = 1 (a ¹ ) 2 3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt. p Góc đối nhau (a và - a ) Góc bù nhau(a và p - a ) Góc phụ nhau(a và - a ) 2 æp ö cos(- a) = cosa sin(p - a) = sina sinç - a÷= cosa èç2 ø÷ æp ö sin(- a) = - sina cos(p - a) = - cosa cosç - a÷= sina èç2 ø÷ æp ö tan(- a) = - tana tan(p - a) = - tana tanç - a÷= cota èç2 ø÷ æp ö cot(- a) = - cota cot(p - a) = - cota cotç - a÷= tana èç2 ø÷ p p Góc hơn kém p (a và p + a ) Góc hơn kém (a và + a ) 2 2 æp ö sin(p + a) = - sina sinç + a÷= cosa èç2 ÷ø æp ö cos(p + a) = - cosa cosç + a÷= - sina èç2 ø÷ æp ö tan(p + a)= tana tanç + a÷= - cota èç2 ø÷
3. æp ö cot(p + a)= cota cotç + a÷= - tana èç2 ø÷ Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang, p hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối. 2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau •Góc a và góc a + k2p,k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. k2p •Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a + ( với k là số nguyên và m m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới (m- 1) rồi biểu diễn các góc đó. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: p 11p a) b) - c) 1200 d) - 7650 4 2 Lời giải : p 1 a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 2p 8 y p B Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo . M2 1 4 M1 13p p b) Ta có - = - + (- 3).2p do đó điểm biểu diễn bởi góc 2 2 A 11p p A' O x - trùng với góc - và là điểm B' . 2 2 M3 120 1 c) Ta có = . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau. B' 360 3 0 Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 120 . d) Ta có - 7650 = - 450 + (- 2).3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc - 450 . 45 1 = . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm ) 360 8 ¼ 0 Khi đó điểm M3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 765 . Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý). p p x = kp ; x = + kp ; x = - + kp 1 2 3 3 3 Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
4. Lời giải : k2p • Ta có x = do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x = kp 1 2 1 Với k = 0 Þ x1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A k = 1Þ x1 = p được biểu diễn bởi A' p 2kp • x = + do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số 2 3 2 p y đo dạng x = + kp 2 3 B M4 M p 1 k = 0 Þ x = được biểu diễn bởi M 2 3 1 4p k = 1Þ x = được biểu diễn bởi M 3 2 A' O A x p k2p • x = - + do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có 3 3 2 p số đo dạng = - + p x3 k M M 3 2 B' 3 p k = 0 Þ x = - được biểu diễn bởi M 3 3 3 2p k = 1Þ x = được biểu diễn bởi M . 6 3 4 • Do các góc lượng giác x1 ,x2 ,x3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM1M4 A' M2 M3 nên kp các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x = . 3 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: p 17p a) b) - c) - 450 d) 7650 3 4 Lời giải : p 1 Bài 6.6: HD: a) Ta có 3 = . Ta chia đường tròn thành sáu phần bằng 2p 6 y B p M1 nhau. Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo . 1 3 M3 17p p 17p b) Ta có - = - + (- 2).2p do đó điểm biểu diễn bởi góc - 4 4 4 A' O A x p trùng với góc - và là điểm M2 . 4 M2 45 1 B' c) Ta có = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau. 360 8 0 Khi đó điểm M2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 45 .
5. d) Ta có 7650 = 450 + 2.3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc 7650 trùng với góc 450 . 45 1 = . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau 360 8 » 0 Khi đó điểm M3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 765 . p p Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là x = + k ( k là 4 2 số nguyên tùy ý). Lời giải : p p p 2p p p Bài 6.7: Ta có x = + k = + k do đó có bốn điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x = + k 4 2 4 4 4 2 p Với k = 0 Þ x = được biểu diễn bởi điêm M y 4 1 B 3p k = 1Þ x = được biểu diễn bởi M M2 M1 4 2 5p k = 2 Þ x = được biểu diễn bởi M 4 3 A' O A x 7p k = 3 Þ x = được biểu diễn bởi M 4 4 p p M3 M4 Vậy góc lượng giác có số đo là x = + k được biểu diễn bởi đỉnh 4 2 B' của hình vuông M1M2 M3 M4 . Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên tùy ý). p x = kp ; x = + kp 1 2 2 Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào? Lời giải : Bài 6.8: Các góc lượng giác x1 = kp được biểu diễn bởi hai điểm là A và A' trên đường tròn lượng p giác. Các góc lượng giác x = + kp được biểu diễn bởi hai điểm là B và B' trên đường tròn lượng 2 2 giác. kp Từ đó suy ra các góc x ,x có thể viết dưới dạng một công thức là 1 2 2 DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt • Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
6. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 7p 5p 7p a) A = sin + cos9p + tan(- )+ cot 6 4 2 5 1 A.- B.0 C.1D. 2 2 1 2sin 2550°cos(- 188°) b) B = + tan 368° 2cos638°+ cos98° 5 1 A.- B.0 C.1D. 2 2 c) C = sin2 25°+ sin2 45°+ sin2 60°+ sin2 65° 5 7 1 A.- B. C.1D. 2 4 2 p 3p 5p d) D = tan2 .tan .tan 8 8 8 5 1 A.- B.- 1 C.1D. 2 2 Lời giải : æ pö æ pö æp ö a) Ta có A = sinçp + ÷+ cos(p + 4.2p)- tançp + ÷+ cotç + 3p÷ èç 6 ø÷ èç 4ø÷ èç2 ø÷ p p p 1 5 Þ A = - sin + cosp - tan + cot = - - 1- 1+ 0 = - 6 4 2 2 2 0 0 1 2sin(30 + 7.360°)cos(8 + 180°) b) Ta có B = + tan(80 + 360°) 2cos(- 900 + 80 + 2.360°)+ cos(900 + 8°) 1 0 0 2. - cos80 1 2sin 30 (- cos8 ) 1 ( ) B = + = + 2 = tan 80 2cos(80 - 900 )- sin 80 tan 80 2cos(900 - 80 )- sin 80 1 cos80 1 cos80 = - = - = 0 tan 80 2sin 80 - sin 80 tan 80 sin 80 c) Vì 250 + 650 = 900 Þ sin 650 = cos 250 do đó 2 2 0 æ ö æ ö 2 2 2 2 ç 2 ÷ ç1÷ C = (sin 25°+ cos 25) + sin 45°+ sin 60° = 1+ ç ÷ + ç ÷ èç 2 ø÷ èç2ø÷ 7 Suy ra C = . 4 æ p 3pö é æ pö 5p ù d) = - ç ÷ ê ç- ÷ ú D çtan .tan ÷.êtanç ÷tan ú è 8 8 ø ë è 8 ø 8 û p 3p p p 5p p 3p p 5p æ pö Mà + = ,- + = Þ tan = cot ,tan = cotç- ÷ 8 8 2 8 8 2 8 8 8 èç 8 ø÷ æ p pö é æ pö æ pöù Nên = - ç ÷ ê ç- ÷ ç- ÷ú= - . D çtan .cot ÷.êtanç ÷cotç ÷ú 1 è 8 8 ø ë è 8 ø è 8 øû p Ví dụ 2: Cho < a < p . Xác định dấu của các biểu thức sau: 2 æp ö a) sinç + a÷ èç2 ø÷
7. æp ö æp ö æp ö æp ö A. sinç + a÷> 0 B. sinç + a÷ 0 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ p ö c) cosç- + a÷.tan(p - a) èç 2 ø÷ æ p ö æ p ö A. cosç- + a÷.tan(p + a)³ 0 B. cosç- + a÷.tan(p + a)> 0 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ p ö æ p ö C. cosç- + a÷.tan(p + a)£ 0 D. cosç- + a÷.tan(p + a) 0 D. sin .cot(p + a)³ 0 9 9 Lời giải : p p 3p æp ö a) Ta có - a > - p Þ 0 > - a > - suy ra tanç - a÷ 0 2 2 2 èç 2 ÷ø p Và 0 0 2 æ p ö Vậy cosç- + a÷.tan(p + a)> 0 . èç 2 ø÷ 3p 14p 14p d) Ta có 0 . 9 3. Bài tập luyện tập: Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau: sin 405°+ sin 495° a) A = cos1830°+ cos 3660° 2 2 2 2 2 2 2 A. B. C. D. 1+ 3 1+ 3 1+ 2 3 2 + 3 1+ cos1800°tan(- 390°) b) B = tan(- 420°)
8. 1- 3 4- 3 1- 3 3 1- 2 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 c) D = cos00 + cos 200 + cos 400 + + cos1600 + cos1800 A.0B.1C.2D.-1 d) E = tan 50 tan100 tan150 tan 800 tan 850 A.0B.1C.2D.-1 e) F = cos2 15°+ cos2 35°+ cos2 55°+ cos2 75° A.0B.1C.2D.-1 Lời giải : 2 0 0 2. sin 45 + sin135 2 2 Bài 6.9: a) A = = 2 = cos 300 + cos600 1 3 1+ 3 + 2 2 1 1- 1- tan 30° 1- 3 b) B = = 3 = - tan 60° - 3 3 c) D = (cos00 + cos1800 )+ (cos 200 + cos1600 )+ + (cos800 + cos1000 ) = (cos00 - cos00 )+ (cos 200 - cos 200 )+ + (cos800 - cos800 )= 0 d) E = (tan 50 tan 850 )(tan150 tan750 ) (tan 450 tan 450 ) = (tan 50 cot 50 )(tan150 cot 50 ) (tan 450 cot 50 )= 1 e) F = (cos2 15°+ sin2 15°)+ (cos2 35°+ sin2 35°)= 2 Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau: 151p 85p 193p 37p a) A = 5sin2 + 3cos2 - 4 tan2 + 7 cot2 . 6 3 6 3 A.0 B. 3C.2D.-1 p 2p p 3p b) B = cos2 + cos2 + cos2 + cos2 . 5 5 10 10 A.0B.1C.2D.-1 p 2p 5p 7p c) C = tan tan tan tan 9 9 18 18 A.0B.1C.2D.-1 Lời giải : p p p p Bài 6.10: a) A = 5sin2 + 3cos2 - 4 tan2 + 7 cot2 6 3 6 3 2 2 2 2 æ1ö æ1ö æ1 ö æ1 ö = ç ÷ + ç ÷ - ç ÷ + ç ÷ = 5.ç ÷ 3ç ÷ 4ç ÷ 7ç ÷ 3 èç2ø÷ èç2ø÷ èç 3 ÷ø èç 3 ø÷ p 3p 2p p b) Ta có cos = sin ,cos = sin suy ra 5 10 5 10 æ p p ö æ 3p 3pö B = çcos2 + sin2 ÷+ çcos2 + sin2 ÷= 2 èç 10 10ø÷ èç 10 10 ø÷ p 7p 2p 5p c) Ta có tan = cot ,tan = cot Þ C = 1 9 18 9 18 Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = sin 500.cos(- 3000 )
9. A. A > 0 B. A 0 B. B £ 0 C. B 0 B. C 0 æ pö p b) B = sin(1800 + 350 ).tanç3p + ÷= - sin 350.tan 0 5 3 2 5 5 2 3 3 3p 2p Vì vậy C = - cot .sin 0 B. sin(a + 900 ) ³ 0 C. sin(a + 900 ) £ 0 D. sin(a + 900 ) 0 B. cot(a - 900 ) ³ 0 C. cot(a - 900 ) 0 B. tan(2700 - a) £ 0 C. tan(2700 - a) ³ 0 D. tan(2700 - a) 0 B. cos(2a + 900 ) 0 b) - 900 0 d) 900 0 B. cos(a + p) 0 B. tan(a - p) 0 B. sinça + ÷< 0 èç 5 ø÷ èç 5 ø÷
10. æ 2pö æ 2pö C. sinça + ÷³ 0 D. sinça + ÷£ 0 èç 5 ø÷ èç 5 ø÷ æ 3pö d) cosça - ÷ èç 8 ø÷ æ 3pö æ 3pö A. cosça - ÷> 0 B. cosça - ÷ 0 2 2p 2p 9p 2p æ 2pö c) 0 5 5 10 5 èç 5 ø÷ p 3p 3p p 3p p æ3p ö d) - 0 8 8 8 2 8 2 èç 8 ø÷ Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau: a) M = sin A + sin B+ sinC A. M > 0 B. M £ 0 C. M ³ 0 D. M 0 A B C c) P = cos .sin .cot 2 2 2 A. P 0 D. P £ 0 d) Q = cot A tan BcotC A. Q ³ 0 B. Q 0 Lời giải : Bài 6.14: a) M > 0 b) N 0 d) Q < 0 DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi + Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác. + Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) cos4 x + 2sin2 x = 1+ sin4 x sin x + cos x b) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1 sin3 x cot2 x- cot2 y cos2 x- cos2 y c) = cot2 x.cot2 y cos2 x.cos2 y
11. æ pö æp ö d) sin4 x + 4cos2 x + cos4 x + 4sin2 x = 3tançx + ÷tanç - x÷ èç 3ø÷ èç6 ø÷ Lời giải : 2 a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1- 2sin2 x + (sin2 x) 2 Û cos4 x = (1- sin2 x) (*) Mà sin2 x + cos2 x = 1Þ cos2 x = 1- sin2 x 2 Do đó (*) Û cos4 x = (cos2 x) (đúng) ĐPCM. sin x + cos x 1 cos x b) Ta có VT = = + sin3 x sin2 x sin3 x 1 sin x Mà cot2 x + 1= và tan x = nên sin2 x cos x VT = cot2 x + 1+ cot x(cot2 x + 1) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1= VP ĐPCM. cot2 x- cot2 y 1 1 c) Ta có VT = = - = tan2 y- tan2 x cot2 x.cot2 y cot2 y cot2 x æ 1 ö æ 1 ö 1 1 cos2 x- cos2 y = ç - ÷- ç - ÷= - = = ĐPCM. 2 1÷ ç 2 1÷ 2 2 2 2 VP èçcos y ø÷ èçcos x ø÷ cos y cos x cos x.cos y d) VT = sin4 x + 4(1- sin2 x)+ cos4 x + 4(1- cos2 x) 2 2 2 2 = (sin2 x) - 4sin2 x + 4 + (cos2 x) - 4cos2 x + 4 = (sin2 x- 2) + (cos2 x- 2) = (2- sin2 x)+ (2- cos2 x)= 4- (sin2 x + cos2 x)= 3 æ pö æp ö p æp ö æ pö Mặt khác vì çx + ÷+ ç - x÷= Þ tanç - x÷= cotçx + ÷ nên èç 3ø÷ èç6 ø÷ 2 èç6 ø÷ èç 3ø÷ æ pö æ pö VP = 3tançx + ÷cotçx + ÷= 3 Þ VT = VP ĐPCM. èç 3ø÷ èç 3ø÷ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng B B sin3 cos3 2 - 2 = tan A.cot(B+ C) æA + 2B+ Cö æA + 2B+ Cö cosç ÷ sinç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ Lời giải : Vì A + B+ C = p nên B B B B sin3 cos3 sin3 cos3 æ B Bö VT = 2 - 2 = 2 - 2 = - çsin2 + cos2 ÷= - 1 æp Bö æp Bö B B èç 2 2 ø÷ cosç + ÷ sinç + ÷ - sin cos èç2 2 ø÷ èç2 2 ø÷ 2 2 VP = tan A.cot(p - A)= tan A.(- cot A)= - 1 Suy ra VT = VP . ĐPCM Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) æ3p ö æ3p ö a) A = cos(5p - x)- sinç + x÷+ tanç - x÷+ cot(3p - x) èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ A.0 B. cos x C. 1 D. - 2cos x sin(900°+ x)- cos(450°- x)+ cot(1080°- x)+ tan(630°- x) b) B = cos(450°- x)+ sin(x- 630°)- tan(810°+ x)- tan(810°- x)
12. - 2sin x - 2sin x A. B. cos x C. D. - 2cos x sin x + cos x sin x + cos x 1 1 1 c) C = 2 - . + với p < x < 2p sin(x + 2013p) 1+ cos x 1- cos x A. - 2 cot2 x B. 2 cot2 x C. - 3 cot2 x D. - cot2 x Lời giải : a) Ta có cos(5p - x) = cos(p - x + 2.2p)= cos(p - x)= - cos x æ3p ö æ p ö æp ö sinç + x÷= sinçp + + x÷= - sinç + x÷= - cos x èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ æ3p ö æ p ö æp ö tanç - x÷= tançp + - x÷= tanç - x÷= cot x èç 2 ø÷ èç 2 ÷ø èç2 ø÷ cot(3p - x) = cot(- x)= - cot x Suy ra A = - cos x- (- cos x)+ cot x + (- cot x)= 0 b) Ta có sin(900°+ x) = sin(1800 + 2.3600 + x)= sin(1800 + x)= - sin x cos(4500 - x)= cos(900 + 3600 - x)= cos(900 - x)= sin x cot(1080°- x) = cot(3.360°- x) = cot(- x)= - cot x tan(630°- x) = tan(3.180°+ 900 - x) = tan(900 - x) = cot x sin(x- 630°) = sin(x- 2.3600 + 900 )= sin(x + 900 )= cos x tan(810°+ x) = tan(4.180°+ 900 + x) = tan(900 + x) = - cot x tan(810°- x) = tan(4.180°+ 900 - x) = tan(90°- x) = cot x - sin x- sin x- cot x + cot x - 2sin x Vậy B = = sin x + cos x- (- cot x)- cot x sin x + cos x c) Ta có sin(x + 2013p)= sin(x + p + 1006.2p)= sin(x + p)= - sin x nên 1 1- cos x + 1+ cos x C = 2 + . sin x (1- cos x)(1+ cos x) æ ö 1 2 1 2 ç 1 ÷ = 2 + . = 2 + . = 2 ç1+ ÷ 2 2 ç ÷ sin x 1- cos x sin x sin x èç sin x sin x ø÷ Vì p < x < 2p Þ sin x < 0 nên æ 1 ö = ç - ÷= - 2 C 2 ç1 2 ÷ 2 cot x èç sin xø÷ Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức. sin6 x + cos6 x + 2 a) A = sin4 x + cos4 x + 1 3 A. B. cos x C. 1 D. - 2cos x 2 1+ cot x 2 + 2cot2 x b) B = - 1- cot x (tan x- 1)(tan2 x + 1) 3 A. B. cos x C. 1 D. - 2cos x 2 c) C = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x
13. 3 A. B. cos x C. 3 D. - 2cos x 2 Lời giải : 2 a) Ta có Ta có sin4 a + cos4 a = (sin2 a + cos2 a) - 2sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a 3 3 sin6 a + cos6 a = (sin2 a) + (cos2 a) = (sin2 a + cos2 a)(sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a) = sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1- 3sin2 a cos2 a 2 2 1- 3sin2 a cos2 a + 2 3(1- sin a cos a) 3 Do đó A = = = 1- 2sin2 a cos2 a + 1 2(1- sin2 a cos2 a) 2 Vậy A không phụ thuộc vào x . 2cos2 x 1 + 1+ 2 2 b) Ta có B = tan x - sin x 1 1 1- (tan x- 1) tan x sin2 x 2 2 tan x + 1 2(sin x + cos x) tan x + 1- 2 = - = = 1 tan x- 1 tan x- 1 tan x- 1 Vậy B không phụ thuộc vào x . 2 2 c) C = (1- cos2 x) + 6cos2 x + 3cos4 x + (1- sin2 x) + 6sin2 x + 3sin4 x = 4cos4 x + 4cos2 x + 1 + 4sin4 x + 4sin2 x + 1 2 2 2 2 = (2cos x + 1) + (2sin x + 1) = 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + 1 = 3 Vậy C không phụ thuộc vào x . 3. Bài tập luyên tập. Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa. Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau: æp ö a) A = cosç + x÷+ cos(2p - x)+ cos(3p + x) èç2 ø÷ A.- sinx B. cos x C. 1 D. - 2cos x æ7p ö æ3p ö b) B = 2cos x- 3cos(p - x)+ 5sinç - x÷+ cotç - x÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ A.- sinx B. cos x C. tanx D. - 2cos x c) C = 2sin(900 + x)+ sin(9000 - x)+ sin(2700 + x)- cos(900 - x) A.- sinx B. cos x C. tanx D. - 2cos x 9p sin(5p + x)cos(x- )tan(10p + x) d) D = 2 . 11 cos(5p - x)sin( p + x)tan(7p - x) 2 A.- sinx B. cos x C. - tan2x D. - 2cos x Lời giải : Bài 6.15: a) A = - sin x + cos x- cos x = - sin x b) B = 2cos x + 3cos x- 5cos x + tan x = tan x c) C = 2cos x + sin x- cos x- sin x = cos x
14. - sin xsin x tan x d) D = = - tan2 x (- cos x)(- cos x)tan x Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x tan3 x 1 cot3 x b) - + = tan3 x + cot3 x sin2 x sin xcos x cos2 x c) sin2 x- tan2 x = tan6 x(cos2 x- cot2 x) tan2 a- tan2 b sin2 a- sin2 b d) = tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b Lời giải : sin2 x Bài 6.16: a) tan2 x- sin2 x = - sin2 x = sin2 x(1+ tan2 x)- sin2 x = tan2 x.sin2 x cos2 x tan3 x 1 cot3 x b) - + = tan3 x(cot2 x + 1)- tan x(cot2 x + 1)+ cot3 x(tan2 x + 1) sin2 x sin xcos x cos2 x = tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = tan3 x + cot3 x c) tan6 x(cos2 x- cot2 x) = tan6 xcos2 x- tan6 xcot2 x = tan4 xsin2 x- tan4 x = tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x (do câu a)) tan2 a- tan2 b 1 1 1 1 sin2 a- sin2 b d) = - = cot2 b- cot2 a = - = tan2 a.tan2 b tan2 b tan2 a sin2 b sin2 a sin2 a.sin2 b Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau 1 a) - tan2 (1800 - x)- cos2 (1800 - x) cos2 x A. sin2 x B. 2sin2 x C. 1+ sin2 x D. sin2 x + cos x cos2 x- sin2 x b) - cos2 x cot2 x- tan2 x A. sin2 x B. - cos4 x C. 1+ sin2 x D. sin2 x + cos x sin3 x + cos3 x c) cos2 x + sin x(sin x- cos x) A. sin2 x B. 2sin2 x C. 1+ sin2 x D. sin x + cos x 1+ sin x 1- sin x d) + 1- sin x 1+ sin x 2 A. B. 2sin2 x C. 1+ sin2 x D. sin x + cos x cos x 1 1 1 1 e) + . + ( 0 < x < p ). 1+ cos x 1- cos x 1+ sin x 1- sin x 2 A. B. 2sin2 x C. 1+ sin2 x D. sin x + cos x sin x cos x 1 1 1 1 1 1 f) ( + - - )( - ) . sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x sin2 x cos2 x 2 A. 2(cot2 x- tan2 x) B. C. 2sin2 x D. 1+ sin2 x sin x cos x Lời giải : 1 Bài6.17: a) - tan2 (1800 - x)- cos2 (1800 - x)= tan2 x + 1- tan2 x- cos2 x = sin2 x cos2 x b)
15. cos2 x- sin2 x cos2 x- sin2 x - cos2 x = - cos2 x = cos2 xsin2 x- cos2 x = - cos4 x cot2 x- tan2 x 1 1 - 1- + 1 sin2 x cos2 x 2 2 sin3 x + cos3 x (sin x + cos x)(sin x- sin xcos x + cos x) c) = = sin x + cos x cos2 x + sin x(sin x- cos x) sin2 x- sin xcos x + cos2 x 1+ sin x 1- sin x d) Đặt A = + khi đó 1- sin x 1+ sin x 1+ sin x 1- sin x 1+ sin x 1- sin x A2 = + + 2 . 1- sin x 1+ sin x 1- sin x 1+ sin x 2 2 2 (1+ sin x) + (1- sin x) 2(1+ sin x) 4 = + 2= + 2= (1- sin x)(1+ sin x) 1- sin2 x cos2 x 2 Suy ra. cos x 1 1 1 1 2 2 e) + . + = . 1+ cos x 1- cos x 1+ sin x 1- sin x 1- cos2 x 1- sin2 x 2 2 = = sin2 xcos2 x sin x cos x æ 1 1 1 1 öæ 1 1 ö æ1- cos2 x 1- sin2 xö f) ç + - - ÷ç - ÷= ç + ÷ 2 - 2 ç 2 2 2 2 ÷ç 2 2 ÷ 2 2 ÷(cot x tan x) èçsin x cos x tan x cot xø÷èçsin x cos xø÷ èç sin x cos x ø÷ 1- sin4 x- cos4 x .(cot2 x- tan2 x)= 2(cot2 x- tan2 x) sin2 xcos2 x Bài 6.18: Rút gọn biểu thức sau: a) (tana + cota)2 - (tana - cota)2 A.- sinx B. 4 C. - tan2x D. - 2cos x b) 2(sin6 a + cos6 a)- 3(sin4 a + cos4 a) A.- sinx B. -1 C. - tan2x D. - 2cos x 3 c) cot2 300 (sin8 a - cos8 a)+ 4cos600 (cos6 a - sin6 a)- sin6 (900 - a)(tan2 a - 1) A.0 B. cos x C. - tan2x D. - 2cos x d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2) A.- 2 B. cos x C. - tan2x D. - 2cos x Lời giải : Bài 6.18: a) (tana + cota)2 - (tana - cota)2 = 4 b) 2(sin6 a + cos6 a)- 3(sin4 a + cos4 a) = 2(1- 3sin2 x.cos2 x)- 3(1- 2sin2 x.cos2 x)= - 1 3 c) cot2 300 (sin8 a - cos8 a)+ 4cos600 (cos6 a - sin6 a)- sin6 (900 - a)(tan2 a - 1) = 3(sin2 a - cos2 a)(sin4 a + cos4 a)- 2(sin2 a - cos2 a)(sin4 a + sin2 a cos2 a + cos4 a) 3 3 3 - (sin2 a - cos2 a) = (sin2 a - cos2 a) - (sin2 a - cos2 a) = 0 d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2) = - 2 Bài 6.19: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn æ Bö 10800 + A + C B A + C a) A = cos2 ç5400 + ÷+ cos2 + tan tan èç 2 ø÷ 2 2 2 A. A = 2 B. A = 1 C. A = 3 D. A = 4
16. æB ö æB ö sinç + 7200 ÷ cosç - 9000 ÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷ cos(A + C) b) B = + - .tan B A + C A + C sin B cos sin 2 2 A. B = - 2 B. B = - 1 C. B = 1 D. B = 0 Lời giải : Bài 6.19: a) A = 1 b) B = 1 DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. 1. Phương pháp giải. • Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp. • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết: 1 a) sina = và 900 < a < 1800 . 3 1 2 2 1 1 A. tana = - B. cosa = C. tana = D. tana = - 2 2 3 2 2 2 2 3p b) cosa = - và p < a < . 3 2 5 2 5 2 A. sina = - B. tana = - C. sina = D. cota = 3 5 3 5 c) tana = - 2 2 và 0 < a < p 1 1 1 2 A. cosa = B. sina = - C. cosa = - D. sina = - 3 3 3 3 p 3p d) cota = - 2 và < a < 2 2 3 3 3 3 A. sina = B. sina = - C. cosa = D. cosa = - 3 3 3 3 Lời giải : a) Vì 900 < a < 1800 nên cosa < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra 1 2 2 cosa = - 1- sin2 a = - 1- = - 9 3 1 sina 1 Do đó tana = = 3 = - cosa 2 2 2 2 - 3 4 5 b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sina = ± 1- cos2 a = ± 1- = ± 9 3 3p 5 Mà p < a < Þ sina < 0 suy ra sina = - 2 3
17. 5 2 - - sina 5 cosa 2 Ta có tana = = 3 = và cota = = 3 = cosa 2 2 sina 5 5 - - 3 3 1 1 c) Vì tana = - 2 2 Þ cota = = - tana 2 2 1 1 1 1 1 Ta có tan2 a + 1= Þ cos2 a = = = Þ cosa = ± . 2 a 2 a + 2 cos tan 1 (- 2 2) + 1 9 3 Vì 0 0 và tana = - 2 2 0 2 2 3 Do đó sina = . 3 cosa 3 6 Ta có cota = Þ cosa = cota.sina = - 2. = - sina 3 3 1 Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc a biết sina = và tana + cota < 0 5 2 6 1 A. cota = - 2 6 B. cosa = C. tana = D. cota = 2 6 5 2 6 1 b) Cho 3sin4 a - cos4 a = . Tính A = 2sin4 a - cos4 a . 2 1 1 A. B. C.1D.0 4 2 Lời giải : 1 1 a) Ta có 2 a + = = = Þ 2 a = hay a = ± cot 1 2 2 25 cot 24 cot 2 6 sin a æ1ö ç ÷ èç5ø÷ Vì tana , cota cùng dấu và tana + cota < 0 nên tana < 0, cota < 0 1 1 Do đó cota = - 2 6 . Ta lại có tana = = - . cota 2 6 cosa 1 - 2 6 cota = Þ cosa = cota sina = - 2 6. = sina 5 5 1 2 1 b) Ta có 3sin4 a - cos4 a = Û 3sin4 a - (1- sin2 a) = 2 2 Û 6sin4 a - 2(1- 2sin2 a + sin4 a)= 1 Û 4sin4 a + 4sin2 a - 3 = 0
18. Û (2sin2 a - 1)(2sin2 a + 3)= 0 Û 2sin2 a - 1= 0 (Do 2sin2 a + 3 > 0 ) 1 Suy ra sin2 a = . 2 1 1 Ta lại có cos2 a = 1- sin2 a = 1- = 2 2 2 2 æ1ö æ1ö 1 Suy ra A = 2ç ÷ - ç ÷ = èç2ø÷ èç2ø÷ 4 2 tana + 3cota Ví dụ 3: a) Cho cosa = . Tính A = . 3 tana + cota 17 7 1 7 A. B. C. D. 9 9 9 19 sina - cosa b) Cho tana = 3 . Tính B = sin3 a + 3cos3 a + 2sina 2 1 3 A. B. C. D.1 9 4 7 c) Cho cota = 5 . Tính C = sin2 a - sina cosa + cos2 a 6- 5 3- 5 4- 5 6- 2 5 A. B. C. D. 6 6 6 6 Lời giải : 1 1 tana + 3 2 + 2 tan a + 3 2 a) Ta có A = tana = = cos a = 1+ 2cos2 a 1 tan2 a + 1 1 tana + tana cos2 a 4 17 Suy ra A = 1+ 2. = 9 9 sina cosa - 2 2 3 3 tana (tan a + 1)- (tan a + 1) b) B = cos a cos a = sin3 a 3cos3 a 2sina 3 a + + a 2 a + + + tan 3 2 tan (tan 1) cos3 a cos3 a cos3 a 3(9 + 1)- (9 + 1) 2 Suy ra B = = 27 + 3+ 2.3(9 + 1) 9 2 2 æ 2 ö 2 sin a - sina cosa + cos a 2 ç cosa cos a ÷ c) Ta có C = sin a. = sin a ç1- + ÷ sin2 a èç sina sin2 a ø÷ 1 1 6- 5 = (1- cota + cot2 a)= 1- 5 + 5 = + 2 a 2 ( ) 1 cot 1+ ( 5) 6 Ví dụ 4: Biết sin x + cos x = m a) Tìm sin4 x- cos4 x 3+ 2m2 - m4 3+ 2m2 - 2m4 A. B. 2 2 4 + 2m2 - m4 3+ 3m2 - m4 C. D. 2 2 Lời giải : 2 a) Ta có (sin x + cos x) = sin2 x + 2sin xcos x + cos2 x = 1+ 2sin xcos x (*)
19. m2 - 1 Mặt khác sin x + cos x = m nên m2 = 1+ 2sina cosa hay sina cosa = 2 Đặt A = sin4 x- cos4 x . Ta có A = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x- cos2 x) = (sin x + cos x)(sin x- cos x) 2 2 Þ A2 = (sin x + cos x) (sin x- cos x) = (1+ 2sin xcos x)(1- 2sin xcos x) æ 2 öæ 2 ö 2 4 2 ç m - 1÷ç m - 1÷ 3+ 2m - m Þ A = ç1+ ÷ç1- ÷= èç 2 ø÷èç 2 ø÷ 4 3+ 2m2 - m4 Vậy A = 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 6.20: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết 3 a) sina = với 00 0 2 2 A. cota = 2 6 B. cota = - 2 6 C. sina = - D. tana = - 5 6 5 6 Lời giải : 4 3 4 Bài 6.20: a) 00 0 nên cosa < 0
20. 1 Vì vậy cosa = - 5 sina æ 1 ö 2 5 a = Þ a = a a = ç- ÷= - Ta có tan sin tan .cos 2.ç ÷ . cosa èç 5 ø÷ 5 d) Vì tana , cota cùng dấu và tana + cota > 0 nên tana > 0, cota > 0 1 1 25 1 1 Ta có 2 a + = = = Þ 2 a = Þ a = tan 1 2 2 tan tan cos a (0,8) 24 24 2 6 1 1 2 cota = = 2 6 , sina = tana cosa = .0,8 = tana 2 6 5 6 2 cot a + 3tan a Bài 6.21: a) Cho cos a = . Tính A = 3 2cot a + tan a 19 14 19 1 A. A = B. A = C. A = D. A = 3 3 13 3 1 3cot a + 2 tan a + 1 b) Cho sin a = . Tính B = 3 cot a + tan a 6- 2 2 2- 2 2 26- 2 26- 2 2 A. B = B. B = C. B = D. B = 9 9 9 9 2sin a + 3cos a c) Cho tan a = 2 . Tính C = ; sin a + cos a 7 7 17 7 A. C = - B. C = C. C = D. C = 3 13 3 3 d) Cho cot a = 5 . Tính D = 2cos2 a + 5sin acos a + 1 11 103 101 101 A. D = B. D = C. D = - D. D = 26 26 26 26 Lời giải : 19 Bài 6.21: a) A = 3 2 2 1 26- 2 2 b) Từ giả thiết suy ra cosa = - , tana = - , cota = - 2 2 Þ B = 3 2 2 9 2 tan a + 3 7 c) C = = tan a + 1 3 D 1 d) = 2cot2 a + 5cot a + Þ (cot2 a + 1)D = 3cot2 a + 5cot a + 1 sin2 a sin2 a 101 Suy ra D = 26 Bài 6.22: Biết tan x + cot x = m . a) Tìm tan2 x + cot2 x A. 4m2 - 2 B. m2 - 2 C. 3m2 - 2 D. 2m2 - 2 tan6 x + cot6 x b) tan4 x + cot4 x (m2 - 2)(m4 - m2 + 1) (m2 - 2)(m4 - 4m2 + 2) A. B. m4 - 4m2 + 2 m4 - 4m2 + 2
21. (m2 - 1)(m4 - 4m2 + 1) (m2 - 2)(m4 - 4m2 + 1) C. D. m4 - 4m2 + 2 m4 - 4m2 + 2 Lời giải : Bài 6.22: a) tan2 x + cot2 x = m2 - 2 2 2 b) Ta có tan4 x + cot4 x = (tan2 x + cot2 x) - 2 = (m2 - 2) - 2 = m4 - 4m2 + 2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 tan6 x + cot6 x (tan x + cot x)(tan x + cot x - tan xcot x) (m - 2)(m - 4m + 1) Þ = = tan4 x + cot4 x m4 - 4m2 + 2 m4 - 4m2 + 2 12 Bài 6.23: Cho sina cosa = . Tính sin3 a + cos3 a 25 91 91 91 911 A. B. C. D. 125 12 15 125 Lời giải : 2 24 7 Bài 6.23: (sina + cosa) = 1+ Þ sina + cosa = (do cosa > 0 ) 25 5 91 Suy ra sin3 a + cos3 a = (sina + cosa)(sin2 a - sina cosa + cos2 a)= 125 Bài 6.24: Cho tan a- cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = tan2 a + cot2 a A.11 B.12 C.13 D.14 b) B = tan a + cot a A. 13 B. - 13 C. ± 13 D. 1 c) C = tan4 a- cot4 a A. 33 13 B. - 33 13 C. ± 33 13 D. 1 Lời giải : Bài 6.24: a) 11 b) ± 13 c) ± 33 13 3 Bài 6.25: Cho 3sin4 x + cos4 x = . Tính A = sin4 x + 3cos4 x . 4 7 37 27 17 A. A = B. A = C. A = D. A = 4 4 4 4 Lời giải : 7 Bài 6.25: A = 4