Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

1. §2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai vectơ.   Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b . + Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800 ). + Kí hiệu: a;b b) Tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a.b a b .cos(a,b) . 2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a,b,c và mọi số thực k ta luôn có: 1) a.b b.a 2) a(b c) a.b a.c 3) (ka)b k(a.b) a(kb) 2 2 4) a 0, a 0 a 0 Chú ý: Ta có kết quả sau: + Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a  b a.b 0 2 2 + a.a a a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a . 2 2 2 2 + (a b)2 a 2a.b b , (a b)(a b) a b 3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu.   Cho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có     AB.CD A' B'.CD b) phương tích của một điểm với đường tròn. Cho đường tròn O; R và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu   thức được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn . Kí hiệu là . MA.MB O; R PM/ O   Chú ý: Ta có 2 2 2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M PM/ O MA.MB MO R MT 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
2. Cho hai vectơ a (x1 ; y1 ) và b (x2 ; y2 ) . Khi đó 1) a.b x1x2 y1y2 2) a (x; y) |a| x2 y2 a.b x x y y 3) cos(a,b) 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 Hệ quả: + a  b x1x2 y1y2 0 2 2 + Nếu A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) thì AB (xB xA ) (yB yA ) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ. 1. Phương pháp giải. • Dựa vào định nghĩa a.b a . b cos a;b • Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a, BC 2a và G là trọng tâm.     a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CA         A. BA.BC 2a2 , BC.CA 3a2 B. BA.BC a2 , BC.CA 3a2         C. BA.BC a2 , BC.CA a2 D. BA.BC a2 , BC.CA 3a2       b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB             A. AB.BC BC.CA CA.AB 4a2 B. AB.BC BC.CA CA.AB a2             C. AB.BC BC.CA CA.AB 4a2 D. AB.BC BC.CA CA.AB 2a2       c) Tính giá trị của biểu thứcGA.GB GB.GC GC.GA       a2       2a2 A. GA.GB GB.GC GC.GA B. GA.GB GB.GC GC.GA C. 3 3       4a2       5a2 GA.GB GB.GC GC.GA D. GA.GB GB.GC GC.GA 3 3 Bài làm: (hình 2.2) a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có
3.         BA.BC BA . BC cos BA,BC 2a2cos BA,BC . C   a 1 Mặt khác cos BA,BC cosA· BC 2a 2 M   N Nên 2 BA.BC a G       * Ta có BC.CA CB.CA CB . CA cosA· CB A P B 2 Hình 2.2 Theo định lý Pitago ta có CA 2a a2 a 3   a 3 Suy ra BC.CA a 3.2a. 3a2 2a       b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên CA.AB 0 và từ câu a ta có AB.BC a2 , BC.CA 3a2 .       Suy ra AB.BC BC.CA CA.AB 4a2    Cách 2: Từ AB BC CA 0 và hằng đẳng thức    2       AB BC CA AB2 BC 2 CA2 2 AB.BC BC.CA CA.AB Ta có       1 AB.BC BC.CA CA.AB AB2 BC 2 CA2 4a2 2    c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA GB GC 0 nên       1 GA.GB GB.GC GC.GA GA2 GB2 GC 2 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB 2 2 2 2 4a Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA AM 3 9 Theo định lý Pitago ta có: 4 4 4 3a2 7a2 GB2 BN 2 AB2 AN 2 a2 9 9 9 4 9 4 4 4 a2 13a2 GC 2 CP2 AC 2 AP2 3a2 9 9 9 4 9       1 4a2 7a2 13a2 4a2 Suy ra GA.GB GB.GC GC.GA 2 9 9 9 3 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:     a) (AB AD)(BD BC)
4.         A. (AB AD)(BD BC) 3a2 B. (AB AD)(BD BC) 2a2         C. (AB AD)(BD BC) a2 D. (AB AD)(BD BC) 4a2    b) CG. CA DM 21a2 11a2 9a2 a2 A. B. C. D. 4 4 4 4 Bài làm: (hình 2.3)    a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC         Do đó (AB AD)(BD BC) AC.BD AC.BC A M B     CA.CB CA . CB cosA· CB G     ( AC.BD 0 vì AC  BD ) D C · 0 Mặt khác ACB 45 và theo định lý Pitago ta có : Hình 2.3 AC a2 a2 a 2     Suy ra (AB AD)(BD BC) a.a 2 cos 450 a2     b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG CD CA CM    Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA AB AD và  1   1    1   CM CB CA CB AB AD AB 2AD 2 2 2     1   5   Suy ra CG AB AB AD AB 2AD AB 2AD 2 2       1   Ta lại có CA DM AB AD AM AD AB 2AD 2    5   1   Nên CG. CA DM AB 2AD AB 2AD 2 2 5 21a2 AB2 4AD2 4 4 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.
5.   a) Tính AB.AC 1 1 1 1 A. c2 b2 a2 B. c2 b2 a2 C. c2 b2 a2 D. c2 b2 2a2 2 4 3 2  2 b) Tính AD  2 4c  2 4bc A. B. AD 2 p p a AD 2 p a b c b c  2 4bc  2 4bc C. D. AD 2 p p a AD 2 p p a b c b c Bài làm: (hình 2.3) A   1  2  2   2 a) Ta có AB.AC AB AC AB AC 2 1 1 AB2 AC 2 CB2 c2 b2 a2 B C 2 2 D M   Hình 2.3 Mặt khác AB.AC AB.AC cos A cbcos A 1 c2 b2 a2 Suy ra c2 b2 a2 cbcos A hay cos A 2 2bc  1   b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM AB AC 2        2 1 2 1 2 2 Suy ra AM AB AC AB 2ABAC AC 4 4   1 Theo câu a) ta có AB.AC c2 b2 a2 nên 2 2 2 2  2 2 b c a 1 2 1 2 2 2 2 AM c 2. c b a b 4 2 4 BD AB c * Theo tính chất đường phân giác thì DC AC b  BD  b  Suy ra BD DC DC (*) DC c       Mặt khác BD AD AB và DC AC AD thay vào (*) ta được
6.   b      AD AB AC AD b c AD bAB cAC c 2  2  2    2 b c AD bAB 2bcABAC cAC  2 2 1 b c AD b2c2 2bc. c2 b2 a2 c2b2 2  2 bc AD 2 b c a b c a b c  2 4bc Hay AD 2 p p a b c 2 bc Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là l p p a a b c 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.13. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:   a) AB.AC 5a2 a2 3a2 a2 A. B. C. D. 2 2 2 2   b) AC.CB a2 5a2 a2 3a2 A. B. C. D. 2 2 3 2   c) AB.BC 7a2 a2 a2 5a2 A. B. C. D. 2 2 2 2 Bài làm:     a2 Bài 2.13. a) AB.AC AB.AC.cos AB; AC a2 cos600 2     a2 b) AC.CB CA.CB CA.CB.cos600 2   a2 c) AB.BC 2 Bài 2.14 .Cho tam giác ABC có AB 5, BC 7, AC 8 .   a) Tính AB.AC         A. AB.AC 40 B. AB.AC 10 C. AB.AC 30 D. AB.AC 20
7.   b) Tính AC.BC .         A. AC.BC 45 B. AC.BC 41 C. AC.BC 42 D. AC.BC 44   c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD 3 . Tính CD.CB .   31   35   33   37 A. CD.CB B. CD.CB C. CD.CB D. CD.CB 2 2 2 2 Bài làm:    2  2   2 Bài 2.14. a) 2AB.AC AB AC AB AC AB2 AC 2 BC 2   Suy ra AB.AC 20   1 Ta có AB.AC 20 AB.AC.cos A 20 cos A A 600 2       2   b) AC.BC AC. AC AB AC AB.AC 82 20 44   11 c) Ta có AC.BC AC.BC.cosC 44 cosC 14   11 33 Do đó CD.CB CD.CB.cosC 3.7. 14 2 Bài 2.15. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2a 3b 7 . Tính cos a,b . 2 1 1 1 A. cos a,b B. cos a,b C. cos a,b D. cos a,b 4 4 2 3 Bài làm: 2 2 1 Bài 2.15. 2a 3b 7 4a 12a.b 9b 7 cos a,b 4 Bài 2.16. Cho các véctơ a,b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600 . Xác định cosin góc giữa hai vectơ u và v với u a 2b , v a b 1 1 1 1 A. cos u; v B. cos u; v C. cos u; v D. cos u; v 2 6 4 3 Bài làm: 1 1 Bài 2.16. u.v a 2b a b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mặt khác u a 4b 8a.b 9 u 3 , v a b 2a.b 1 v 1
8. 1 Suy ra cos u; v 6 Bài 2.17. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho DN 1 và P là trung điểm BC. Tính cos M· NP . 13 13 A. cos M· NP B. cos M· NP 5 10 4 10 13 13 C. cos M· NP D. cos M· NP 10 45 10 Bài làm:  1    2  1  Bài 2.17. Ta có NM AB AD, NP AB AD 3 3 2   2 1 13 Suy ra NM.NP 9 2 18   5 13 Mặt khác NM 10, NP cos M· NP 2 45 10   Bài 2.18. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 . M là điểm được xác định bởi AM 3MB , G là trọng   tâm tam giác ADM . Tính MB.GC   5   3   3   1 A. MB.GC B. MB.GC C. MB.GC D. MB.GC 8 8 7 8 Bài làm:  1  Bài 2.18. Ta có MB AB 4     Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên 3CG CA CD CM       9   3CG AB AD AB CB BM AB 2AD 4  3  2  GC AB AD 4 3   1  3  2  3 Suy ra MB.GC AB. AB AD 4 4 3 8 Bài 2.19. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết AB CD 2a, MN a 3 .         A. (AB,CD) 500 B. (AB,CD) 600 C. (AB,CD) 800 D. (AB,CD) 300 Bài làm:
9.  1   Bài 2.19. Ta có: MN (AB CD) suy ra 2 1     MN 2 (AB2 CD2 2AB.CD) AB.CD 2a2 . 4     AB.CD 2a2 1   Do đó cos(AB,CD) (AB,CD) 600 . AB.CD 2a.2a 2 Bài 2.20: Cho tứ giác ABCD có AB BC 2 5, CD BD 5 2,BD 3 10, AC 10 . Tìm góc giữa   hai vectơ AC,DB . Bài làm: Bài 2.20. Với điểm O bất kỳ ta có :               2AC.DB 2 OC OA OB OD 2OC.OB 2OA.OD 2OC.OD 2OA.OB Mặt khác    2  2   2  2  2  2 2OC.OB OC OB OC OB OC OB BC Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được   2AC.DB AB2 CD2 BC 2 AD2   AB2 CD2 BC 2 AD2 Suy ra cos AC,DB AC.BD Bài 2.21: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB. a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D. Tính diện tích tam giác đó. 3 7 3 7 7 3 A. S B. S C. S D. S MDN 20 MDN 2 MDN 20 MDN 20 b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M. Tính diện tích tam giác đó. 3 3 7 7 3 A. S B. S C. S D. S PMD 40 PMD 4 PMD 40 PMD 40 c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD 2 2 A. cos MP; PD B. cos MP; PD 14 4 21 21 C. cos MP; PD D. cos MP; PD 16 14
10. Bài làm:     b 2 2 1 Bài 2.21. HD: Đặt CA a, CB b . Khi đó CD a b, CM ,a b 1, a.b 2 2   a) Giải sử CN nCA na . Khi đó ta có:    b    MD CD CM a và ND CD CN 1 n a b . Suy ra 2   b 9 5n  9 MD.ND a 1 n a b CN a 2 4 5   9 Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có MD.ND 0 n 5 2 2  2 b 7  2 4 21 7 3 Ta có MD a , ND a b S MDN 2 4 5 25 20  2 7 3 b) Tương tự câu a) ta có CP a, S 5 PMD 40  2a b    3a c) Theo câu a) và b) ta có MD , DD CD CP b 5 2 5  2 21  2 49   21 Do đó MP , PD , MP.PD . 100 25 100   MP.PD 21 Suy ra cos MP; PD   MP . PD 14  DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. 1. Phương pháp giải. • Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức  2 AB2 AB • Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ • Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.   Chứng minh rằng : MA.MB IM 2 IA2 Bài làm:    2  2 Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB IM IA   Để làm xuất hiện IM, IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được
11.         VT MI IA . MI IB MI IA . MI IA  2  2 IM IA VP (đpcm) Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:       DA.BC DB.CA DC.AB 0 (*). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Bài làm:       Ta có: DA.BC DB.CA DC.AB          DA. DC DB DB. DA DC DC. DB DA             DA.DC DA.DB DB.DA DB.DC DC.DB DC.DA 0 (đpcm) Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.     Khi đó ta có HA.BC 0, HC.AB 0 (1) Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được       HA.BC HB.CA HC.AB 0 (2)   Từ (1) (2) ta có HB.CA 0 suy ra BH vuông góc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm). Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại     E. Chứng minh rằng : AE.AC BE.BD AB2 Bài làm: (hình 2.4) D C       Ta có VT AE. AB BC BE. BA AD E         A B AE.AB AE.BC BE.BA BE.AD Hình 2.4 Vì AB là đường kính nên A· DB 900 , A· CB 900     Suy ra AE.BC 0, BE.AD 0         2 Do đó VT AE.AB BE.BA AB AE EB AB VP (đpcm). Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c và I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng aIA2 bIB2 cIC 2 abc
12. Bài làm:       2 Ta có: aIA bIB cIC 0 aIA bIB cIC 0       a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 2abIA.IB 2bcIB.IC 2caIC.IA 0 a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 ab IA2 IB2 AB2 bc IB2 IC 2 BC 2 ca IA2 IC 2 CA2 0 a2 ab ca IA2 b2 ba bc IB2 c2 ca cb IC 2 abc2 ab2c a2bc 0 a b c a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 a b c abc a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 abc (đpcm) 3. Bài tập luyện tập: Bài 2.22. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.       Chứng minh rằng: BC.AD CA.BE AB.CF 0 . Bài làm: Bài 2.22. Sử dụng các đẳng thức về trung điểm  1    1    1   AD AB AC , BE BC BA , CF CA CB 2 2 2 Bài 2.23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:     a) MA.MC MB.MD     b) MA2 MB.MD 2MA.MO Bài làm:      2  2 Bài 2.23. a) VT OA OM OC OM OM OA      2  2 VP OB OM OD OM OM OC     Suy ra MA.MC MB.MD        b) VT MA2 MA.MC MA MA MC MA.2MO VP Bài 2.24: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng   1 MH.MA BC 2 . 4
13. Bài làm:   1   1   Bài 2.24: VT HM.AM HB HC . AB AC 2 2 1     1    1    1  2 AB.HB AC.HC AB HC CB AC HB BC BC VP 4 4 4 4 Bài 2.25: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC a, CA b, AB c . 1 Chứng minh rằng: GA2 GB2 GC 2 a2 b2 c2 3 Bài làm:       2 Bài 2.25: GA GB GC 0 GA GB GC 0       GA2 GB2 GC 2 2GA.GB 2GB.GC GC.GA 0 (*)    2  2   2 Mặt khác 2GAGB GA GB GA GB GA2 GB2 BA2     Tương tự 2GBGC GB2 GC 2 BC 2 , 2GCGA GC 2 GA2 AC 2 Thay vào (*) suy ra đpcm   Bài 2.26: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn AC.DB 0 . Chứng minh rằng AB2 CD2 BC 2 DA2 Bài làm:   Bài 2.26: Ta chứng minh hệ thức AB2 CD2 BC 2 DA2 2AC.DB Bài 2.27: Cho tam giác ABC có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của       BC, CA, AB. Chứng minh rằng A' M.BC B' N.CA C' P.AB 0 Bài làm: Bài 2.27: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và H là trực tâm của tam giác ABC . M. N, P lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh BC, CA, AB.             Theo công thức hình chiếu ta có A' M.BC HO.BC , B' N.CA HO.CA , C' P.AB HO.AB      Suy ra VT HO AB BC CA HO.0 VP Bài 2.28.Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý.       Chứng minh rằng: MA.MC MB.MD BA.BC Bài làm: Bài 2.28. Gọi O là tâm hình bình hành khi đó
14.       2 2 2 2 2 2 VT MO OA MO OC OC OA      2  2 VP OA OB OC OB OB OA Từ đó suy ra đpcm Bài 2.29: Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB 2R . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.         a) Chứng minh: AM.AI AB.AI, BN.BI BA.BI .     b) Tính AM.AI BN.BI theo R. Bài làm:          Bài 2.29: a) Ta có: AM.AI AB BM .AI AB.AI BM.AI     AB.AI (Vì BM  AI )            BN.BI BN NA .BI BN.BI NA.BI BN.BI b) Theo câu a) ta có             2 AM.AI BN.BI AB.AI BA.BI AB AI BI AB 4R2 Bài 2.30. Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và C. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AM 2 b2 BM 2 c2CM 2 b2 c2 a2 BM.CM Bài làm:  AM  BM  Bài 2.30. Ta có CM CB CA AB AB   AB2 .CM 2 AM 2 .CB2 BM 2 .CA2 2AM.BM.CBCA AB2 .CM 2 AM 2 .CB2 BM 2 .CA2 AM.BM. a2 b2 c2 Vậy AM 2 b2 BM 2 c2CM 2 b2 c2 a2 BM.CM Bài 2.31. Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng AB2 EF 2 CD2 . Bài làm:
15.     2 Bài 2.31. Ta có AB  EF AB.EF 0 suy ra AB2 EF 2 AB EF (1)    Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB CE EF 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra AB2 EF 2 CD2 Bài 2.32. Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O).M là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn (O). Chứng minh rằng MA2 MB2 MC 2 2a2 Bài làm:   2 2a2   Bài 2.32. Ta có MA2 MO OA 2MO.OA , tương tự 3 2a2   2a2   MB2 2MO.OB, MC 2 2MO.OC 3 3 Suy ra MA2 MB2 MC 2 2a2 Bài 2.33. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O, R). MN là một đường kính bất kỳ của đường tròn (O;R) a) Chứng minh rằng MA2 MB2 MC 2 MD2 8R2 b) Chứng minh rằng MA4 MB4 MC 4 MD4 NA4 NB4 NC 4 ND4 . Bài làm:   2 Bài 2.33. a) MA2 MB2 MC 2 MD2 MO OA   2   2   2 MO OB MO OC MO OD      8R2 2MO OA OB OC OD 8R2 b) Cách 1: Theo câu a) ta có MA2 MB2 MC 2 MD2 NA2 NB2 NC 2 ND2 8R2 MA2 NA2 MB2 NB2 MC 2 NC 2 MD2 ND2 0 (1) Mặt khác MA2 NA2 MB2 NB2 MC 2 NC 2 MD2 ND2 4R2 (2) Nhân hai vế (1) với 4R2 và kết hợp (2) ta có MA4 MB4 MC 4 MD4 NA4 NB4 NC 4 ND4
16.   4   2   Cách 2: MA4 MO OA MO2 OA2 2MO.OA 8R4 32R2 MO.OA Thiết lập các đẳng thức tương tự và cộng lại ta có     MA4 MB4 MC 4 MD4 32R4 32R2 OA OB OC OD 32R4 Từ đó suy ra đpcm         Bài 2.34 : Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng AB.AD BA.BC CB.CD DC.DA 0 khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài làm:         Bài 2.34 : AB.AD BA.BC CB.CD DC.DA 0       AB AD BC CD AD BC 0          AD BC AB CD 0 AB BD BC AB CD 0   2     AB CD 0 AB CD AB DC ABCD là hình bình hành Bài 2.35: Cho lục giác đều A1A2 A3 A4 A5 A6 tâm I và đường tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các tia IAi , i 1,6 2 2 2 2 2 2 2 cắt (O) tại Bi ( i 1,6 ). Chứng minh rằng IB1 IB2 IB3 IB4 IB5 IB6 6R Bài làm: Bài 2.35: (hình 2.21) Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B 1B4, B2B5, B3B6. Ta có các điểm O, I, A2 H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI. A1 A3 B1 B2 · · 0 B3 KJH KIH 60 Do đó: HJK đều H 0 I B4 K· HJ K¶IJ 60 B6 J K O A6 A4 B5 Theo bài 11 ta có IH 2 IJ 2 IK 2 OH 2 OJ 2 OK 2 A5 Hình 2.21   2   2 Mặt khác: 2 2 IB1 IB4 HB1 HI HB4 HI    2 2 2 HB1 HB4 2HI HB1 HB4 2HI 2 2 2 2 2 OB1 OH OB4 OH 2HI 2R2 2OH 2 2IH 2 Chứng minh tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IB2 IB5 2R 2OJ 2IJ , IB3 IB6 2R 2OK 2IK
17. VP 6R2 2 OH 2 OJ 2 OK 2 2 IH 2 IJ 2 IK 2 VT Bài 2.36. Tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng a) MA2 MB2 MC 2 3MG2 GA2 GB2 GC 2 với M là điểm bất kỳ b) a2 b2 c2 9R2 Bài làm:  2   2   Bài 2.36. a) MA MG GA MG2 GA2 2MG.GA  2    2   Tương tự ta có MB MG2 GB2 2MG.GB; MB MG2 GB2 2MG.GB Suy ra MA2 MB2 MC 2 3MG2 GA2 GB2 GC 2 b) Cho M  O với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 Suy ra 3R2 3OG2 GA2 GB2 GC 2 3OG2 a2 b2 c2 3 Do đó a2 b2 c2 9R2 Bài 2.37: Cho tam giác ABC có B· AC 900 , BC a, CA b, AB c . M là điểm nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trên đường tròn đường kính BC. Gọi x, y, z theo thứ tự là diện tích của các 2 2 2yz 2 tam giác MBC, MCA, MAB . Chứng minh rằng x y z c x z y b x y z a x Bài làm:    Bài 2.37: Ta có x.MA y.MB z.MC 0 (*)   Gọi E là điểm xác định bởi: y.EB z.EC 0 z2 .a2 y2 .a2 Khi đó 2 , 2 EB 2 EC 2 y z y z     Từ (*) suy ra x.MA y z .ME 0 x y z .AM y z .AE 2 2 x y z AM 2 y z AE2 ( )   c2 AB2 AE2 EB2 2AE.EB Mà   2 2 2 2 b AC AE EC 2AE.EC   yc2 zb2 y z AE2 y.EB2 z.EC 2 (vì y.EB z.EC 0 )
18. yz yc2 zb2 y z AE2 a2 y z 2 Kết hợp với ( ) ta được x y z AM 2 y z .y.c2 y z .z.b2 yz.a2 Chứng minh tương tự ta cũng có 2 x y z BM 2 z x .z.a2 z x .x.c2 zx.b2 2 x y z CM 2 x y .x.b2 x y .y.c2 xy.c2   Mặt khác M nằm trên đường tròn đường kinh BC nên MB.MC 0   2 y.MB z.MC y2 .MB2 z2 .MC 2 x2 .MA2 y2 .MB2 z2 .MC 2 x2 y z yc2 x2 y z zb2 x2 yz.a2 y2 z x za2 y2 z x xc2 y2 zxb2 z2 x y xb2 z2 x y ya2 z2 xyc2 2 2 2 2 xyz x y z c x z y b yz x xy xz 2yz a 2 2 2yz 2 x y z c x z y b x y z a đpcm x  DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. 1. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động  • Nếu AM k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính . R k • Nếu thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB MA . MB 0 • Nếu với khác cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông MA.a 0 a 0 góc với giá của vectơ a 2. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho   3a2 a) MA.MB 4   b) MA.MB MA2 Bài làm:
19. a) Gọi I là trung điểm của AB ta có   3a2     3a2 MA.MB MI IA MI IB 4 4 3a2   MI 2 IA2 (Do IB IA ) 4 a2 3a2 MI 2 4 4 MI a Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R a      2 b) Ta có MA.MB MA2 MA.MB MA        MA. MA MB 0 MA.BA 0 MA  BA Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.     Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA 2MB 3CB BC 0 Bài làm: A (hình 2.4) M I   Gọi I là điểm xác định bởi IA 2IB 0     Khi đó MA 2MB 3CB BC 0 B M' I' C      Hình 2.4 MI IA 2 MI IB .BC 3BC 2   MI.BC BC 2 Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC       Theo công thức hình chiếu ta có MI.BC M ' I '.BC do đó M ' I '.BC BC 2   Vì BC 2 0 nên M ' I ', BC cùng hướng suy ra   M ' I '.BC BC 2 M ' I '.BC BC 2 M ' I ' BC Do I cố định nên I' cố định suy ra M' cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC. Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước.     Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC MB.MD k Bài làm: A B (hình 2.5) I D C Hình 2.5
20. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD       Ta có : MA.MC MI IA MI IC      MI 2 MI IC IA IA.IC   MI 2 IA.IC     Tương tự MB.MD MI 2 IB.ID         Nên MA.MC MB.MD k 2MI 2 IB.ID IA.IC k k 2MI 2 IB2 IA2 k MI 2 IA2 2 k MI 2 a2 2 k k a2 MI IA2 2 2 Nếu k a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng Nếu k a2 thì MI 0 M  I suy ra tập hợp điểm M là điểm I k a2 Nếu k a2 thì MI 2 k a2 suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.38: Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau:   a) 2MA2 MA.MB b) MA2 2MB2 k với k là số thực dương cho trước.  c) AM.a k với k là số thực cho trước. Bài làm:      Bài 2.38: a) 2MA2 MA.MB MA 2MA MB 0 (*)      Gọi I là điểm thoả mãn: 2IA IB 0 thì 2MA MB MI .     Do đó: (*) MA.MI 0 MA  MI Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AI.   b) Gọi E là điểm thoả mãn: EA 2EB 0 ta có:
21. MA2 2MB2 k   2   2 ME EA ME EB k 3ME2 k EA2 2EB2 (*)   2 1 Mặt khác từ EA 2EB 0 EA AB; EB AB 3 3 2 2 2 2 1 2 2 Nên (*) 3ME k AB ME k AB 3 3 3 2 Nếu k AB2 : Tập hợp điểm M là rỗng. 3 2 Nếu k AB2 : Tập hợp điểm M là một điểm E. 3 2 2 1 2 2 Nếu k AB : Tập hợp điểm M là đường tròn tâm E, bán kính R k AB . 3 3 3 c) Gọi là giá của vectơ a và A', M' lần lượt là hình chiếu của A, M lên   Theo công thức hình chiếu ta có AM.a A' M '.a  k Suy ra A' M '.a k A' M '.a k A' M ' trong đó a là độ dài đại số của vectơ a a k Vì A' là điểm cố định, là hằng số không đổi nên M' là điểm cố định a Do đó tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với tại M'. Bài 2.39: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:     a) MA MB 2MB MC 0     b) MA 2MB MB 2MC 0     c) 2MA2 MA.MB MA.MC Bài làm:   Bài 2.39: a) Gọi I là điểm thoả mãn 2IB IC 0 ta có:       MA MB 2MB MC 0 BA.MI 0 Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua I và vuông  góc với AB. b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: DA 2DB 0; EB 2EC 0 ta có:       MA 2MB MB 2MC 0 MD.ME 0 Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính DE.         c) Ta có: 2MA2 MA.MB MA.MC MA 2MA MB MC 0 (*)    Gọi J là điểm xác định bởi 2JA JB JC 0 ta có:     (*) 2MA.MJ 0 MA  MJ
22. Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AJ. Bài 2.40: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) 2MA2 MB2 MC 2 MD2      b) MA MB MC MC MB 3a2 Bài làm:     Bài 2.40: a) Gọi điểm I thỏa mãn điều kiện 2.IA IB IC ID 0 Ta có : 2MA2 MB2 MC 2 MD2   2   2   2   2 2 MI IA MI IB MI IC MI ID      MI 2 2IA2 2MI 2IA IB IC ID IB2 IC 2 ID2 0 MI 2 IC 2 ID2 2IA2 IB2 k + k 0 : Tập hợp điểm M là một tập rỗng + k 0 : Tập hợp điểm M là điểm I (tức M trùng với I) + k 0 : Tập hợp điểm M là đường tròn I, k      b) MA MB MC MC MB 3a2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có :      MA MB MC MC MB 3a2     3MG.BC 3a2 MG.BC a2 Gọi M', G' lần lượt là hình chiếu của M, G lên đường thẳng BC   Suy ra M 'G'.BC BC 2 M 'G' BC Do G cố định nên G' cố định suy ra M' cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC. Bài 2.41. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:     1 MA.MB MC.MD IJ 2 . 2 Bài làm:     1 Bài 2.41. MA.MB MC.MD IJ 2 2  2  2 1 MI MJ IA2 JC 2 IJ 2 2
23.  2  2 Goi K là trung điểm IJ suy ra MI MJ 2MK 2 2IK 2 IA2 JC 2 Do đó MK 2 2 IA2 JC 2 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm K bán kính R 2 Bài 2.42 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho :       a2 MA.MB MB.MC MC.MA 4 Bài làm:       Bài 2.42 Ta chứng minh được MA.MB MB.MC MC.MA 3MO2 a2 với O là trọng tâm tam giác a a Do đó MO suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính R 2 2 Bài 2.43 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho : AB.AH AC.AK AI 2 trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC Bài làm: Bài 2.43 : Sử dụng công thức hình chiếu ta có:  2     AB.AH AC.AK AI 2 AI AB.AH AC.AK  2      2   AI AB.AM AC.AM AI 2AI.AM Gọi M0 là hình chiếu của M lên AI khi đó ta có AI AI 2 2AI.AM AM ( M nằm trên tia AI) 0 0 2 0 Suy ra tập hợp điểm M là đoạn trung trực của AI nằm trong góc BAC Bài 2.44 : Cho tam giác ABC và k là số thực cho trước. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 MB2 k . Bài làm: Bài 2.44 : Gọi I là trung điểm AB ta có   k MA2 MB2 k 2MI.BA k M ' I 2BA Với M' là hình chiếu M lên AB suy ra M' là điểm cố định Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với AB.
24. Bài 2.45 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 MB2 MC 2 k với k là số cố định cho trước khi : a)   0 b)   0 Bài làm: Bài 2.45 : a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó     MA2 MB2 MC 2 k 2MO OA OB OC k     k Đặt 2 OA OB OC u u 0 do đo MO.u k MO u Với M', O' là hình chiếu M, O lên giá vectơ u suy ra M' là điểm cố định Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với giá vectơ u    b) Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB IC 0 , do   0 nên I tồn tại I và duy nhất 1 Khi đó ta chứng minh được MI 2 k IA2 IB2 IC 2    DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. 1. Phương pháp giải. • Cho a (x ; y ), b (x ; y ) . Khi đó 1 1 2 2 + Tích vô hướng hai vectơ là a.b x1x2 y1y2 + Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức a.b x x y y cos(a,b) 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 Chú ý: a  b a.b 0 x1x2 y1y2 0 • Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức + Nếu a (x; y) thì a x2 y2 2 2 + Nếu A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) thì AB (xB xA ) (yB yA ) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 2;6 , C 9;8 . a) tam giác ABC là tam giác gì?
25. A.Tam giác vuông tại AB.Tam giác vuông tại B C.Tam giác vuông tại C D.Tam giác đều b) Tính cosin góc B của tam giác ABC 3 1 1 2 A. cos B B. cos B C. cos B D. cos B 2 5 5 2 5 5 c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC 1 32 1 32 1 3 1 2 A. H ; B. H ; C. H ; D. H ; 5 5 5 5 5 5 5 5 Bài làm:     a) Ta có AB 3; 4 , AC 8;6 AB. AC 3.8 4.6 0   Do đó AB  AC hay tam giác ABC vuông tại A.   b) Ta có BC 11; 2 , BA 3; 4   11.3 2. 4 1 Suy ra cos B cos BC, BA 2 112 22 32 4 5 c) Gọi H x; y là hình chiếu của A lên BC.    Ta có AH x 1; y 2 , BH x 2; y 6 , BC 11; 2   AH  BC AH.BC 0 11 x 1 2 y 2 0 Hay 11x 2y 15 0 (1)   x 2 y 6 Mặt khác BH,BC cùng phương nên 2x 11y 70 0 (2) 11 2 1 32 Từ (1) và (2) suy ra x , y 5 5 1 32 Vậy hình chiếu của A lên BC là H ; 5 5 Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có tâm I 1;1 , đỉnh A 3; 2 và đỉnh B nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi. A. B 0; 3 , C 1;0 , D 2;1 B. B 0; 3 , C 1;0 , D 2;1 C. B 0; 3 , C 1;0 , D 2; 1 D. B 0; 3 , C 1;0 , D 2; 1
26. Bài làm: Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B 0; y Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD Suy ra C 2xI xA ; 2yI yA 1;0 , D 2xI xB ; 2yI yB 2; 2 y 2 Do đó AB AD AB2 AD2 9 y 2 1 y2 y 3 Vậy B 0; 3 , C 1;0 , D 2; 1 Ví dụ 3: Cho ba điểm A(3; 4), B(2;1) và C( 1; 2) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc A· MB 450 A. M 5; 4 B. M 5; 4 C. M 5; 4 D. M 5; 4 Bài làm:    Giả sử M x; y suy ra MA 3 x; 4 y , MB 2 x;1 y , BC 3; 3   Vì A· MB 450 suy ra cos A· MB cos MA; BC   MA.BC 2 3 3 x 3 4 y cos 450   2 2 MA . BC 2 3 x 4 y 9 9 2 2 3 x 4 y x y 7 (*)   Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ MB, BC cùng phương 2 x 1 y Suy ra x y 1 thế vào (*) ta được 3 3 2 2 2 y 4 y 2y 6 y2 6y 8 0 y 2 hoặc y 4     1 + Với y 2 x 3 , ta có MA 0; 2 , MB 1; 1 cos A· MB cos MA; MB 2 Khi đó A· MB 1350 (không thỏa mãn)     1 + Với y 4 x 5 , MA 2;0 , MB 3; 3 cos A· MB cos MA; MB 2 Khi đó A· MB 450 Vậy M 5; 4 . là điểm cần tìm.
27. Ví dụ 4: Cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao và điểm C trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại A . Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. A. B 1;0 , C 0; 5 B. B 0;0 , C 1; 5 C. B 1;1 , C 1; 5 D. B 0;0 , C 0; 5 Bài làm: Gọi B b;0 , C 0;c với b 0 , c 0 .   Suy ra AB b 2; 1 , AC 2;c 1 Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên   AB.AC 0 b 2 2 1. c 1 0 c 2b 5 1 1 Ta có S AB.AC (b 2)2 1. 22 (c 1)2 ABC 2 2 (b 2)2 1 b2 4b 5 5 Vì c 0 nên 2b 5 0 0 b 2 5 Xét hàm số y x2 4x 5 với 0 x 2 Bảng biến thiên x 5 0 2 2 5 5 y 4 1 5 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y x2 4x 5 với 0 x là y 5 khi x 0 . Do đó diện tích tam 2 giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi b 0 , suy ra c 5 . Vậy B 0;0 , C 0; 5 là điểm cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.46: Cho hai vectơ a(0; 4) ; b(4; 2) a) Tính cosin góc giữa hai vectơ a và b 1 1 2 1 A. cos a;b B. cos a;b C. cos a;b D. cos a;b 5 2 5 5 5
28. b) Xác định tọa độ của vectơ c biết (a 2b).c 1 và ( b 2c).a 6 1 1 1 1 1 1 1 1 A. c ; B. c ; C. c ; D. c ; 5 4 8 4 3 4 8 2 Bài làm: a.b 8 1 Bài 2.46: a) cos a;b a . b 4.2 5 5 b) Gọi c x; y , ta có a 2b 8;0 , b 2c 2x 4; 2y 2 1 1 Suy ra (a 2b).c 1 8x 1 x , ( b 2c).a 6 4 2y 2 6 y 8 4 1 1 Do đó c ; 8 4 Bài 2.47: Cho tam giác ABC có A(5; 3), B(2; 1), C( 1; 5). a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC A. H 2; 2 B. H 3; 2 C. H 3; 2 D. H 3; 2 b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A. A. A' 2; 2 B. A' 1;1 C. A' 1; 2 D. A' 1; 1 c) Tính diện tích tam giác ABC A. S 18 B. S 15 C. S 17 D. S 16 Bài làm: Bài 2.47: a) Gọi H x; y là trực tâm tam giác ABC     AH x 5; y 3 , BC 3;6 , BH x 2; y 1 , AC 6; 2   AH  BC AH.BC 0 x 2y 1 0 x 3   H 3; 2 BH  AC BH.AC 0 3x y 7 0 y 2 b) Gọi A' x; y là tọa độ chân đường cao vẽ từ A   Ta có AA'  BC AA'.BC 0 x 2y 1 0 (1)   Và BA' x 2; y 1 , BC cùng phương nên 2x y 3 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra x y 1 A' 1;1
29. 2 2 c) Ta có AA' 5 1 3 1 2 5 , BC 9 36 3 5 1 Suy ra S AA'.BC 15 2 Bài 2.48: Cho tam giác ABC với A 3;1 , B 1; 1 , C 6;0 . a) Tính góc A của tam giác ABC A. A 1450 B. A 1350 C. A 1200 D. A 1300 b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC. A. B. M1 1; 5 , M2 1; 5 M1 1; 5 , M2 1; 5 C. D. M1 1; 5 , M2 1; 5 M1 1; 5 , M2 1; 5 Bài làm:     2 Bài 2.48: a) AB 4; 2 , AC 3; 1 cos A cos AB; AC 2 Suy ra A 1350 b) Gọi M x; y là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC     Ta có MA 3 x;1 y , MB 1 x; 1 y , MC 6 x; y , MO x; y   MA  MB MA.MB 0 x2 y2 2x 4 0 x 1   2 2 MC  MO MC.MO 0 x y 6x 0 y 5 Vậy có hai giao điểm là M1 1; 5 , M2 1; 5 Bài 2.49: Cho ba điểm A(6; 3), B( 3;6), C(1; 2). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. O 1; 3 B. O 1; 3 C. O 1; 3 D. O 1; 3 Bài làm: Bài 2.49: Ta có O xO ; yO là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi OA2 OB2 OA OB OC 2 2 OA OC 2 2 2 2 6 xO 3 yO 3 xO 6 yO 2 2 2 2 6 xO 3 yO 1 xO 2 yO
30. 12x 6y 6x 12y x 1 O O O O O O 1; 3 12xO 6yO 40 2xO 4yO yO 3 Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là O 1; 3   OM.BC 0 Cách khác: Ta thiết lập hệ phương trình từ điều kiện   trong đó M, N lần lượt là trung điểm ON.CA 0 của BC, CA. Bài 2.50. Các điểm B 1; 3 , C 3;1 là hai đỉnh của một tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm tọa độ đỉnh A. A. A1 2; 4 , A2 0;0 B. A1 2; 4 , A2 1;0 C. A1 2; 4 , A2 0;0 D. A1 2; 4 , A2 0;1 Bài làm:   Bài 2.50. Gọi A x; y AB 1 x; 3 y , AC 3 x;1 y   AB.AC 0 x 2 x 0 Tam giác ABC vuông cân tại A   hoặc AB AC y 4 y 0 Vậy có hai điểm thỏa mãn A1 2; 4 , A2 0;0 Bài 2.51: Cho bốn điểm A 8;0 , B 0; 4 , C 2;0 , D 3; 5 . Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp được một đường tròn. Bài làm:     Bài 2.51: Ta có AB 8; 4 , AD 5; 5 ,CB 2; 4 , CD 5; 5     1 1 cos AB, AD cos CB,CD 0 10 10 Do đó B· AD B· CD 1800 . Suy ra tứ giác nội tiếp được. Bài 2.52: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A 2; 1 , B 2; 4 . Tìm trên trục Oy điểm M sao cho M· BA 450 . 3 3 A. M1 0; ; M2 0;10 B. M1 0; ; M2 0;1 7 7
31. 30 3 C. M1 0; ; M2 0;10 D. M1 0; ; M2 0; 1 7 7 Bài làm: Bài 2.52: a) M Oy M 0; y Do đó ta có:   BM ( 2; y 4) BM y2 8y 20   BA ( 4; 3) BA 5   Do đó ta có: BM.BA 3y 20   2 Ta có: M· BA 450 cos(BM,BA) . 2 30 2 2 y 3y 20 5. y 8y 20. 7 2 y 10 30 Vậy có 2 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là M1 0; ; M2 0;10 . 7 Bài 2.53: Cho hai điểm A 4; 3 , B 3;1 . Tìm M trên trục hoành sao cho A· MB 1350 . 11 33 A. M (4;0); M ;0 B. M (4;0); M ;0 1 2 1 2 2 2 11 33 33 C. M (4;0); M ;0 D. M (5;0); M ;0 1 2 1 2 2 2 Bài làm:   Bài 2.53: Gọi M a;0 ; MA (4 a; 3); MB (3 a;1)   MA.MB a2 7a 9 1 cos A· MB MA.MB (a 4)2 9. (a 3)2 1 2 a2 7a 9 0 (*) 2 2 2 2 2(a 7a 9) (a 8a 25)(a 6a 10) ( ) Ta có: * * a4 14a3 51a2 22a 88 0
32. 11 33 (a 4)(a 1)(a2 11a 22) 0 a 4 , a 1 hoặc a 2 11 33 Thử 4 nghiệm trên với đk (*) ta chỉ nhận a 4; a 2 11 33 Từ đó ta có 2 điểm M thoả mãn là M (4;0); M ;0 1 2 2 Bài 2.54: Biết A 1; 1 , B 3;0 là hai đỉnh của hình vuông ABCD . Tìm tọa độ các đỉnh C và D A. C 4; 2 , D 1; 3 hoặc C 2; 2 , D 0; 1 B. C 4; 2 , D 2; 3 hoặc C 2; 2 , D 0; 1 C. C 4; 2 , D 2; 3 hoặc C 2; 2 , D 0; 1 D. C 4; 2 , D 2; 3 hoặc C 2; 2 , D 0;1 Bài làm: Bài 2.54: Giả sử C x; y . Ta có :   AB  BC x 4 x 2 Tứ giác ABCD hình vuông hoặc AB BC y 2 y 2 Từ đó suy ra C 4; 2 , D 2; 3 hoặc C 2; 2 , D 0;1 Bài 2.55. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A 1; 4 , B 2; 2 và C 4; 2 .Xác định tọa độ điểm M sao cho tổng MA2 2MB2 3MC 2 nhỏ nhất. 3 3 3 3 A. M ;1 B. M ; 1 C. M ;1 D. M ; 1 2 2 2 2 Bài làm: Bài 2.55. MA2 2MB2 3MC 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 4 2 x 2 y 2 3 x 4 y 2 3 2 2 147 147 6x2 18x 6y2 93 2x 3 6 y 1 2 2 2 3 Suy ra M ;1 2