Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 2: Phương trình tham số của đường thẳng

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 2: Phương trình tham số của đường thẳng

1. Đ2. PHƯƠNG TRèNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương và phương trỡnh tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương : r r Cho đường thẳng D . Vectơ u ạ 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giỏ của nú song song hoặc trựng với D . Nhận xột : r r - Nếu u là VTCP của D thỡ ku(k ạ 0) cũng là VTCP của D . r r - VTPT và VTCP vuụng gúc với nhau. Do vậy nếu D cú VTCP u = (a;b) thỡ n = (- b; a) là một VTPT của D . b. Phương trỡnh tham số của đường thẳng : r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) là VTCP. uuuuur r ùỡ x = x + at Khi đú M(x; y) ẻ D . Û MM = tu Û ớù 0 t ẻ R . (1) 0 ù = + ợù y y0 bt Hệ (1) gọi là phương trỡnh tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số Nhận xột : Nếu D cú phương trỡnh tham số là (1) khi đú A ẻ D Û A(x0 + at; y0 + bt) 2. Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng. r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) (với a ạ 0, b ạ 0 ) là vectơ chỉ phương thỡ phương x- x y- y trỡnh 0 = 0 được gọi là phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng D . a b B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1: Viết phương trỡnh tham số và chớnh tắc của đường thẳng. 1. Phương phỏp giải: 13 • Để viết phương trỡnh tham số của đường thẳng ta cần xỏc định 3 - Điểm A(x ; y ) ẻ D 0 0 r - Một vectơ chỉ phương u(a;b) của D x2 y2 Khi đú phương trỡnh tham số của D là - = 1 . a2 b2 • Để viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng b2 = c2 - a2 ta cần xỏc định - Điểm A(x ; y ) ẻ D 0 0 r - Một vectơ chỉ phương u(a;b), ab ạ 0 của D x2 y2 Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng 2b = 28 ị b2 = 7, a2 = c2 - b2 = 9 là - = 1 9 7 (trường hợp 2c = 10 ị a2 + b2 = 25 thỡ đường thẳng khụng cú phương trỡnh chớnh tắc) Chỳ ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thỡ chỳng cú cựng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuụng gúc với nhau thỡ VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại 4 b 4 16 o Nếu y = ± x cú VTCP = thỡ b2 = a2 là một VTPT của 3 a 3 9 16 a2 + a2 = 25 Û a2 = 9 ị b2 = 16 . 9 2. Cỏc vớ dụ: x2 y2 13 Vớ dụ 1: Cho điểm - = 1 và . Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng trong mỗi trường 9 16 3 hợp sau:
2. c 13 a2 + b2 13 r a) = Û = đi qua A và nhận vectơ n(1; 2) làm vectơ phỏp tuyến a 3 a 3 ùỡ x = - 2- 2t ùỡ x = 1- 1t A. D :ớù B. D :ớù ợù y = 3+ t ợù y = - 3+ 2t ùỡ x = 1- 2t ùỡ x = 1- 2t C. D :ớù D. D :ớù ợù y = - 3- t ợù y = - 3+ t b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB ùỡ x = 1- t ùỡ x = - 2t ùỡ x = - 4t ùỡ x = - t A. D :ớù B. D :ớù C. D :ớù D. D :ớù ợù y = 2t ợù y = 2t ợù y = 2t ợù y = 2t c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - - 2t ù x = - - t A. D :ớ 2 B. D :ớ 2 ù ù ợù y = 2t ợù y = 1+ 2t ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - - t ù x = - - t C. D :ớ 2 D. D :ớ 2 ù ù ợù y = 3+ 2t ợù y = 2t Lời giải: r r a) Vỡ D nhận vectơ n(1; 2) làm vectơ phỏp tuyến nờn VTCP của D là u(- 2;1). ùỡ x = 1- 2t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D :ớù ợù y = - 3+ t uuur r b) Ta cú AB(- 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nờn nhận u(- 1; 2) làm VTCP ùỡ x = - t Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D là D :ớù ợù y = 2t uuur c) Vỡ D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nờn nhận AB(- 3;6) làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . ổ 1 ử r Ta cú Iỗ- ;0ữ và D nhận u(- 1; 2) làm VTCP nờn phương trỡnh tham số của đường thẳng D là ốỗ 2 ứữ ùỡ 1 ù x = - - t D :ớ 2 . ù ợù y = 2t Vớ dụ 2: Viết phương trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) đi qua điểm A(3;0) và B(1; 3) A. 3x + 2y- 6 = 0 B. 3x + 2y- 7 = 0 C. 3x + 2y- 9 = 0 D. 3x + 2y- 8 = 0 ùỡ x = 1- 3t b) đi qua N(3; 4) và vuụng gúc với đường thẳng d' :ớù . ợù y = 4 + 5t x- 3 y + 4 x + 3 y- 4 x + 3 y- 4 x- 3 y- 4 A. = B. = C. = D. = 5 - 3 - 5 - 3 5 - 3 - 5 - 3 Lời giải: uuur a) Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nờn nhận AB = (- 2; 3) làm vectơ chỉ phương do đú
3. ùỡ x = 3- 2t x- 3 y phương trỡnh tham số là ớù ; phương trỡnh chớnh tắc là = ; phương trỡnh tổng quỏt là ợù y = 3t - 2 3 3(x- 3)= - 2y hay 3x + 2y- 9 = 0 r b) D ^ d' nờn VTCP của d' cũng là VTPT của D nờn đường thẳng D nhận u(- 3; 5) làm VTPT và r v(- 5;- 3) làm VTCP do đú đú phương trỡnh tổng quỏt là - 3(x- 3)+ 5(y- 4)= 0 hay ùỡ x = 3- 5t x- 3 y- 4 3x- 5y + 11= 0 ; phương trỡnh tham số là ớù ; phương trỡnh chớnh tắc là = ợù y = 4- 3t - 5 - 3 Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC cú A(- 2;1), B(2; 3) và C(1;- 5). a) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC của tam giỏc. ùỡ x = 2- 3t ùỡ x = 2- 4t ùỡ x = 2- t ùỡ x = 2- t A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = 3- 8t ợù y = 3- 8t ợù y = 3- 2t ợù y = 3- 8t b) Viết phương trỡnh đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. ùỡ 7 ùỡ 7 ùỡ 7 ùỡ 7 ù x = - 3+ t ù x = - 2- t ù x = - 2 + t ù x = - 2 + t A. ớ 2 B. ớ 2 C. ớ 2 D. ớ 2 ù ù ù ù ợù y = 1- 2t ợù y = 1+ 2t ợù y = - 1- 2t ợù y = 1- 2t c) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chõn đường phõn giỏc trong gúc A và G là trọng tõm của DABC . ùỡ 1 ùỡ 1 ùỡ 1 ù x = - + 9t ù x = - + 19t ù x = + 19t ù ùỡ x = 1+ 9t ù ù A. ớù 3 B. ớù C. ớù 3 D. ớù 3 ù 1 ù y = - 1+ 2t ù 1 ù 1 ù y = - + 2t ợù ù y = - + 2t ù y = - + 2t ợù 3 ợù 3 ợù 3 Lời giải: uuur 24 2 a) Ta cú BC(- 1;- 8) suy ra đường thẳng chứa cạnh BC cú phương trỡnh là 5 ổ3 ử b) M là trung điểm của BC nờn Mỗ ;- 1ữ do đú đường thẳng chứa đường trung tuyến AM nhận ốỗ2 ứữ ùỡ 7 uuuur ổ7 ử ù x = - 2 + t ỗ - ữ làm VTCP nờn cú phương trỡnh là ù AMỗ ; 2ữ ớ 2 ố2 ứ ù ợù y = 1- 2t c) Gọi D(xD ; yD ) là chõn đường phõn giỏc hạ từ A của tam giỏc ABC uuur AB uuur Ta cú BD = DC AC Mà a2 = 9, b2 = 6 và a = 3, b = 6,c = a2 + b2 = 15 suy ra ùỡ 2 ùỡ 8 uuur uuur uuur ù x - 2 = (1- x ) ù x = AB 2 ù D 3 D ù D 5 8 1 ổ1 1ử BD = DC = DC Û ớ Û ớ ị D( ;- ) Gỗ ;- ữ là trọng tõm AC 3 ù 2 ù - 1 5 5 ốỗ3 3ứữ ù y - 3 = (- 5- y ) ù y = ợù D 3 D ợù D 5 của tam giỏc ABC
4. uuur ổ 19 2 ử 12 Ta cú DGỗ- ;- ữ suy ra đường thẳng DG nhận y = ± làm VTCP nờn cú phương trỡnh là ốỗ 15 15ứữ M 5 ổ 63 12 ữử ỗ ữ. M1 ỗ ; ữ ốỗ 5 5 ứữ ổ 63 12 ữử ổ 63 12 ửữ Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ỗ- ữ biết ỗ - ữ, - + = và trọng tõm M2 ỗ ; ữ M3 ỗ ; ữ AC : x y 3 0 ốỗ 5 5 ứữ ốỗ 5 5 ứữ G(1; 2). Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh BC. ùỡ x = 2 ùỡ x = 4 ùỡ x = 2 ùỡ x = 2 A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = - 1- 6t ợù y = - 1+ 6t ợù y = - 1+ 5t ợù y = - 1+ 6t Lời giải: ộ x = 0(l) 15 ờ M Ta cú tọa độ điểm = + Û ờ là nghiệm của hệ 3 3 xM ờ - 18 210 3 ờxM = ị yM = ± ởờ 15 5 ổ 18 210 ữử ổ 18 210 ửữ ỗ- ữ ỗ- - ữ M1 ỗ ; ữ M2 ỗ ; ữ ốỗ 15 5 ứữ ốỗ 15 5 ứữ 6 6 24 2 Gọi d : y = x;d : y = - x là trung điểm của 1 3 2 3 5 6 6 xM - yM xM + yM 3 3 24 2 + = 2 2 5 Vỡ G là trọng tõm nờn 1+ 1+ , 3 3 24 30 Û 6x - 3y + 6x + 3y = (* *) M M M M 5 Û - + = > suy ra (*) ( 6xM 3yM )( 6xM 3yM ) 54 0 24 30 12 Û 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = Û xM = ± 5 5 330 ổ12 330 ữử ị = ± do đú ỗ ữ yM M1 ỗ ; ữ 5 ốỗ 5 5 ứữ ổ12 330 ữử ỗ - ữ do đú + M2 ỗ ; ữ C(xC ; xC 3) ốỗ 5 5 ứữ x2 y2 Mà M là trung điểm của - = 1 nờn ta cú A(3; 2), B(0;1) 7 4 x2 y2 Vậy C ẻ (H) suy ra phương trỡnh đường thẳng DABC là - = 1 . 4 12  DẠNG 2. Xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 1. Phương phỏp giải. Để xỏc định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xột sau: • Điểm A thuộc đường thẳng 4x2 + 6y2 = 24 ( hoặc AB = 2 ) cú dạng y2 = 2px 2 • Điểm A thuộc đường thẳng M(xM ; yM )(ĐK: M ẻ (P)Û yM = 2pxM ) cú dạng xM , yM với Oxy ổ- bt - c ử hoặc Aỗ ;tữ với a ạ 0 ốỗ a ứữ
5. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho đường thẳng D : 4x- 3y + 5 = 0 a) Tỡm tọa độ điểm A thuộc M(xM ; yM )ẻ (P) và cỏch gốc tọa độ một khoảng bằng bốn ổ- 28 - 96ử A. A (4;0) B. A ỗ ; ữ 1 2 ốỗ 25 25 ứữ ổ- 28 - 96ử C. A (4;0) và A ỗ ; ữ D. A (0;- 3) 1 2 ốỗ 25 25 ứữ 1 2 b) Tỡm điểm B thuộc yM = 8xM và cỏch đều hai điểm E(5;0), F(3;- 2) ổ- 28 - 96ử ổ24 3ử A. B(4;0) B. B(0;- 3) C. Bỗ ; ữ D. Bỗ ;- ữ ốỗ 25 25 ứữ ốỗ 7 7ứữ c) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của điểm M(1; 2) lờn đường thẳng D ổ- 28 - 96ử ổ76 18ử A. H(4;0) B. H(0;- 3) C. Hỗ ; ữ D. Hỗ ;- ữ ốỗ 25 25 ứữ ốỗ25 25ứữ Lời giải: r a) Dễ thấy - thuộc đường thẳng - và là một vectơ chỉ phương M(0; 3) M1 (1; 2 2), M2 (1; 2 2) u(4; 3) ùỡ x = 4t của D nờn cú phương trỡnh tham số là ớù . ợù y = - 3+ 3t Điểm A thuộc D nờn tọa độ của điểm A cú dạng A(4t;- 3+ 3t) suy ra ộ t = 1 2 2 2 ờ OA = 4 Û (4t) + (- 3+ 3t) = 4 Û 25t - 18t - 7 = 0 Û ờ - 7 ờt = ởờ 25 ổ- 28 - 96ử Vậy ta tỡm được hai điểm là A (4;0) và A ỗ ; ữ 1 2 ốỗ 25 25 ứữ b) Vỡ B ẻ D nờn B(4t;- 3+ 3t) Điểm B cỏch đều hai điểm E(5;0), F(3;- 2) suy ra 2 2 2 2 6 EB2 = FB2 Û (4t - 5) + (3t - 3) = (4t - 3) + (3t - 1) Û t = 7 ổ24 3ử Suy ra Bỗ ;- ữ ốỗ 7 7ứữ c) Gọi H là hỡnh chiếu của M lờn D khi đú H ẻ D nờn H(4t;- 3+ 3t) r uuuur Ta cú u(4; 3)là vectơ chỉ phương của D và vuụng gúc với HM(4t - 1; 3t - 5) nờn uuuur r 19 HM.u = 0 Û 4(4t - 1)+ 3(3t - 5)= 0 Û t = 25 ổ76 18ử Suy ra Hỗ ;- ữ ốỗ25 25ứữ ùỡ x = - 1- t Vớ dụ 2: Cho hai đường thẳng D : x- 2y + 6 = 0 và D ' : ớù . ợù y = t a) Xỏc định tọa độ điểm đối xứng với điểm A(- 1;0) qua đường thẳng D A. A'(- 2; 4) B. A'(- 3; 5) C. A'(- 2; 5) D. A'(- 3; 4) b) Viết phương trỡnh đường thẳng đối xứng với D ' qua D
6. ùỡ x = - 1+ t ùỡ x = - 3+ 2t ùỡ x = - 3+ 5t ùỡ x = - 3+ t A. ớù B. ớù C. ớù D. ớù ợù y = 4- 7t ợù y = 4- 7t ợù y = 4- 7t ợù y = 4- 7t Lời giải: a) Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn D khi đú H(2t - 6;t) r uuur Ta cú u(2;1)là vectơ chỉ phương của D và vuụng gúc với AH(2t - 5;t) nờn uuur r AH.u = 0 Û 2(2t - 5)+ t = 0 Û t = 2 ị H(- 2; 2) A' là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA' do đú ùỡ x = 2x - x ùỡ x = - 3 ớù A' H A Û ớù A' ù = - ù = ợù yA' 2yH yA ợù yA' 4 Vậy điểm cần tỡm là A'(- 3; 4) ùỡ x = - 1- t 5 b) Thay ớù vào phương trỡnh D ta được - 1- t - 2t + 6 = 0 Û t = suy ra giao điểm của D ợù y = t 3 ổ 8 5ử và D ' là Kỗ- ; ữ ốỗ 3 3ứữ Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' do đú đường thẳng đối xứng với D ' qua D đi qua điểm A' và uuuur ổ1 7ử 1 ùỡ x = - 3+ t điểm K do đú nhận = ỗ - ữ= - nờn cú phương trỡnh là ù A'K ỗ ; ữ (1; 7) ớ ố3 3ứ 3 ợù y = 4- 7t Nhận xột: Để tỡm tọa độ hỡnh chiếu H của A lờn D ta cú thể làm cỏch khỏc như sau: ta cú đường thẳng r AH nhận u(2;1) làm VTPT nờn cú phương trỡnh là 2x + y + 2 = 0 do đú tọa độ H là nghiệm của hệ ùỡ x- 2y + 6 = 0 ớù ị H(- 2; 2) ợù 2x + y + 2 = 0 ổ7 ử Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Biết A(- 1; 4), B(1;- 4), đường thẳng BC đi qua điểm Kỗ ; 2ữ. ốỗ3 ữứ Tỡm toạ độ đỉnh C. A. C(- 2; 4) B. C(3; 5) C. C(- 2; 5) D. C(- 3; 4) Lời giải: uuur ổ4 ử r ùỡ x = 1+ 2t Ta cú ỗ ữ suy ra đường thẳng BC nhận làm VTCP nờn cú phương trỡnh là ù BKỗ ;6ữ u(2;9) ớ ố3 ứ ợù y = - 4 + 9t C ẻ BC ị C(1+ 2t;- 4 + 9t) uuur uuur uuur uuur Tam giỏc ABC vuụng tại A nờn AB.AC = 0 , AB(2;- 8), AC(2 + 2t;- 8 + 9t) suy ra 2(2 + 2t)- 8(9t - 8)= 0 Û t = 1 Vậy C(3; 5) 5 ổ 3ử Vớ dụ 4: Cho hỡnh bỡnh hành x- = 0 . Biết x- 5 = 0 là trung điểm của cạnh CD, Dỗ3; ữvà đường 1 ốỗ 2ứữ 5 ã phõn giỏc gúc BAC cú phương trỡnh là D : x- y + 1= 0 . Xỏc định tọa độ đỉnh B. x2 y2 A. B(- 2; 4) B. B(3; 5) C. B(- 2; 5) D. - = 1 5 4 Lời giải: Cỏch 1: Điểm I là trung điểm của CD nờn - F1 ( 17;0)
7. 7 7 Vỡ x + = 0 nờn tọa độ điểm A cú dạng x + = 0 17 17 7 uuur uuur uuur uuur Mặt khỏc là hỡnh bỡnh hành tương đương với khụng cựng phương và = F2 ( 17;0) DA,DC AB DC ùỡ - = - uuur uuur ù xB a 4 3 ỡ ù ù xB = a + 1 AB = DC Û ớ Û ớù ị B(a + 1; a + 3) ù 7 3 ù = + ù yB - a- 1= - ợù yB a 3 ợù 2 2 ổ9 ử 9 Fỗ ;0ữ khụng cựng phương khi và chỉ khi x + = 0 ốỗ2 ứữ 2 r Đường thẳng F(- 1;1) là phõn giỏc gúc M(1;1) nhận vectơ u = (1;1) làm vec tơ chỉ phương nờn uuur r uuur r uuur r uuur r AB.u AC.u cos(AB;u)= cos(AC;u)Û uuur r = uuur r (*) AB u AC u 3+ 4- 5 2 Cú d(M;D)= = nờn 32 + 42 5 MF = 5 > 1 d(M;D) x2 y2 Vậy tọa độ điểm - = 1 5 4 x2 y2 Cỏch 2: Ta cú + = 1. 10 3 Đường thẳng y2 = 8x đi qua C vuụng gúc với F(1;1) nhận M(1; 3) làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là D : 3x- 4y- 5 = 0 hay F(1; 2) Tọa độ giao điểm H của M(0;1) và D : x- y- 1= 0 là nghiệm của hệ: D : x- y + 1= 0 Gọi C' là điểm đối xứng với C qua F(1;0) thỡ khi đú C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là trung điểm của CC' do đú F Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận D làm vectơ chỉ phương nờn cú phương trỡnh là e = 3 1 Thay x, y từ phương trỡnh đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trỡnh đường thẳng e = ta được 2 e = 1 suy ra M(x; y) MF ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn = e Û MF = e.d(M;D) d(M;D) 2 Suy ra MF = (1- x) + y2 x- y + 1 Chỳ ý: Bài toỏn cú liờn quan đến đường phõn giỏc thỡ ta thường sử dụng nhận xột " d(M;D)= là 2 đường phõn giỏc của gúc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau e = 3 và - + 2 2 x y 1 (*)Û (1- x) + y = 3. khi đú điểm đối xứng với điểm M ẻ D 1 qua 2 1 2x2 + y2 - 6xy + 10x- 6y + 1= 0 thuộc e = " 2
8. 2 1 x- y + 1 Vớ dụ 5: Cho đường thẳng (*)Û (1- x) + y2 = . và 2 điểm 2 2 Û 4(x2 - 2x + 1+ y2 )= x2 + y2 + 1- 2xy + 2x- 2y và B(3; 4). Tỡm tọa độ điểm M trờn d sao cho Û 3x2 + 3y2 + 2xy- 10x + 2y + 3 = 0 uuur uuur MA + 2MB là nhỏ nhất. ổ 1ử ổ16 3ử A. Mỗ1;- ữ B. M(0;- 1) C. M(2;0) D. Mỗ ; ữ ốỗ 2ứữ ốỗ 5 5ứữ Lời giải: uuur uuur M ẻ d ị M(2t + 2;t), MA(- 2t - 2;1- t), MB(1- 2t; 4- t) do đú 2xy- 4x + 2y = 0 Suy ra A(0; 3) uuur uuur 3 ổ16 3ử MA + 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi t = do đú Mỗ ; ữ là điểm cần tỡm. 5 ốỗ 5 5ứữ