Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 7: Đường parabol

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 7: Đường parabol

1. Đ7. ĐƯỜNG PARABOL A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định khụng đi qua F. Parabol(P) là tập hợp cỏc điểm M cỏch đều điểm F và đường thẳng . Điểm F gọi là tiờu điểm của parabol. Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của parabol y p = d(F;D)được gọi là tham số tiờu của parabol. 2.Phương trỡnh chớnh tắc của parabol: K M(x;y ) ổ ử ỗp ữ p Với Fỗ ;0ữ và D : x = - (p > 0) ốỗ2 ữứ 2 P O F x M(x; y)ẻ (P)Û y2 = 2px (3) (3) được gọi là phương trỡnh chớnh tắc của parabol Hỡnh 3.5 3.Hỡnh dạng và tớnh chất của parabol: ổ ử ỗp ữ + Tiờu điểm Fỗ ;0ữ ốỗ2 ứữ p + Phương trỡnh đường chuẩn: D : x = - 2 + Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol + Ox được gọi là trục đối xứng p + M(x ; y ) thuộc (P) thỡ: MF = d(M;D)= x + M M M 2 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG 1. Xỏc định cỏc yếu tố của parabol khi biết phương trỡnh chớnh tắc. 1.Phương phỏp giải. Từ phương trỡnh chớnh tắc của parabol ta xỏc định cỏc đại lượng p từ đú ta suy ra được cỏc yếu tố cần tỡm. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1. Cho parabol (P) cú phương trỡnh y2 = 4x a) Tỡm tiờu điểm A. F(2;0) B. F(3;0) C. F(4;0) D. F(1;0) b) Đường chuẩn của (P). A. 2x + 1= 0 B. 3x + 1= 0 C. 4x + 1= 0 D. x + 1= 0 Lời giải: Từ phương trỡnh của (P) cú 2p = 4 nờn p = 2
2. Suy ra (P) cú tiờu điểm là F(1;0) và đường chuẩn là x + 1= 0 .  DẠNG 2. Viết phương trỡnh chớnh tắc của (E), (H), (P). 1. Phương phỏp giải. Ta thiết lập phương trỡnh từ giải thiết của bài toỏn để tỡm p của parabol từ đú viết được phương trỡnh chớnh tắc của nú. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1. Viết phương trỡnh chớnh tắc của parabol (P) a) (P) cú tiờu điểm là F(0; 5) A. y2 = 5x B. y2 = 10x C. y2 = 30x D. y2 = 20x b) Khoảng cỏch từ tiờu điểm F đến đường thẳng D : x + y- 12 = 0 là 2 2 A. y2 = 32x B. y2 = 64x C. y2 = 32x hoặc y2 = 64x D. y2 = 16x hoặc y2 = 64x Lời giải: Gọi phương trỡnh chớnh tắc của parabol (P) là: y2 = 2px p a) Do tọa độ tiờu điểm F(0; 5) nờn = 5 ị p = 10 2 Vậy phương trỡnh của (P) : y2 = 20x ổ ử ỗp ữ b) Ta cú tọa độ tiờu điểm Fỗ ;0ữ ốỗ2 ứữ Khoảng cỏch từ F đến đường thẳng D bằng 2 2 nờn: p - 12 2 d(F;D)= = 2 2 suy ra p = 16 hoặc p = 32 . 2 Vậy phương trỡnh của (P): y2 = 32x hoặc y2 = 64x  DẠNG 3. Xỏc định điểm nằm trờn parabol thỏa món điều kiện cho trước. 1. Phương phỏp giải. Để xỏc định tọa độ điểm M thuộc parabol cú phương trỡnh chớnh tắc là y2 = 2px ta làm như sau 2 • Giả sử M(xM ; yM ), điểm M ẻ (P)Û yM = 2pxM ta thu được phương trỡnh thứ nhất. • Từ điều kiện của bài toỏn ta thu được phương trỡnh thứ hai; giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh ẩn xM , yM ta tỡm được tọa độ của điểm M 2. Cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y2 = 8x cú tiờu điểm F
3. a) Tỡm trờn (P) điểm M cỏch F một khoảng là 3 A. M(1; 2 2) B. M(1;- 2 2) C. - D. - M1 (1; 2 2), M2 (1; 2 2) M1 (2; 2 2), M2 (2; 2 2) b) Tỡm điểm M trờn (P) sao cho SDOMF = 8 A. M(8;8) B. M(3;8) C. M(8; 3) D. M(3; 3) c) Tỡm một điểm A nằm trờn parabol và một điểm B nằm trờn đường thẳng D : 4x- 3y + 5 = 0 sao cho đoạn AB ngắn nhất ổ209 153ử ổ9 153ử A. A(1; 3), Bỗ ; ữ B. A(2; 3), Bỗ ; ữ ốỗ200 50 ứữ ốỗ8 50 ứữ ổ9 ử ổ209 153ử ổ209 ử C. Aỗ ; 3ữ, Bỗ ; ữ D. A(4; 3), Bỗ ; 3ữ ốỗ8 ứữ ốỗ200 50 ứữ ốỗ200 ứữ Lời giải: 2 a) Giả sử M(xM ; yM )ẻ (P) suy ra yM = 8xM (*) Từ phương trỡnh (P) cú p = 4 nờn F(2;0) p Ta cú FM = + x suy ra x = 1 kết hợp (*) ta cú y = ± 2 2 2 M M M Vậy cú hai điểm thỏa món là - M1 (1; 2 2), M2 (1; 2 2) ổ 2 ử ỗa ữ b) Ta cú M ẻ (P)ị Mỗ ; aữ với a ³ 0 ốỗ 8 ứữ 1 S = 8 Û OF.d(M;OF)= 8 Û a = 8 DOMF 2 Vậy điểm M cần tỡm là M(8;8) c) Với mọi điểm A ẻ (P), B ẻ D ta luụn cú AB ³ d(A;D) a2 4. - 3.a + 5 2 ổ 2 ử ỗa ữ 8 (a- 3) + 1 1 A ẻ (P)ị Aỗ ; aữ với a ³ 0 , khi đú d(A;D)= = ³ ốỗ 8 ứữ 5 10 10 ổ9 ử Suy ra AB nhỏ nhất khi và chỉ khi Aỗ ; 3ữ và B là hỡnh chiếu của A lờn D ốỗ8 ứữ
4. r Đường thẳng đi qua A vuụng gúc với D nhận u(3; 4) làm vectơ phỏp tuyến nờn cú phương trỡnh là ổ 9ử 3ỗx- ữ+ 4(y- 3)= 0 . hay 24x + 32y- 123 = 0 ốỗ 8ứữ ùỡ 209 ù x = ùỡ 4x- 3y + 5 = 0 ù Do đú tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ớù Û ớù 200 ù 24x + 32y- 123 = 0 ù 153 ợù ù y = ợù 50 ổ9 ử ổ209 153ử Vậy Aỗ ; 3ữ, Bỗ ; ữ thỏa món yờu cầu bài toỏn. ốỗ8 ứữ ốỗ200 50 ứữ