Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II- MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học : 2014-2015 A. PHẦN ĐẠI SỐ : I. LÝ THUYẾT : 1) Số liệu thống kê, tần số, bảng tần số các giá trị của dấu hiệu ? 2) Nêu cách tính số trung bình cộng của dấu hiệu. Ý nghĩa ? Mốt của dấu hiệu là gì ? Biểu đồ. 3) Thế nào là đơn thức ? Cho ví dụ. 4) Thế nào là hai đơn thức đồng dạng ? Cho ví dụ. Quy tắc cộng trừ đơn thức đồng dạng. 5) Thế nào là đa thức ? Cho ví dụ. Cộng, trừ đa thức. 6) Phát biểu quy tắc cộng, trừ hai đa thức một biến. 7) Tìm bậc của một đơn thức, đa thức ? 8) Khi nào số a được gọi là nghiệm của đa thức P(x). II. BÀI TẬP : 5 Bài 1 : Tìm các nhóm đơn thức đồng dạng trong các đơn thức sau : x2y; xy2; 2(xy)2 3 1 1 2 – 3xy ; 2x2y ; xy2 ; x2y ; 5xy; – x2y; xyz; – x2y; 0x2y; – 4x2y; 3x2y2. 4 2 5 Bài 2 : Thu gọn các đa thức : 1 3 1 1 a) 3x2y3 + x2y3 ; b) 5x2y – x2y ; c) xyz2 + xyz2 – xyz2 ; 2 4 2 4 1 7 3 3 1 d) 5xy – y2 – 2xy + 4xy + 3x – 2y; e) ab2 – ab2 + a2b – a2b – ab2 ; 2 8 4 8 2 f) 2a2b – 8b2 + 5a2b + 5c2 – 3b2 + 4c2 . Bài 3 : Tính tích các đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức nhận được : 1 2 12 5 1 a) ( x2y)( xy4) ; b) ( x4y2)( xy) ; c) ( x3y)(xy) ; 7 5 15 9 3 Bài 4 : Tính : P + Q và P – Q, biết : P = x2 – 2yz + z2 và Q = 3yz – z2 + 5x2. Bài 5 : Tính giá trị của biểu thức : 2 3 5 a) A = x2 + x – 1 tại x = ; b) B = x2y2 + xy + x2y3 tại x = – 1 ; y = 3. 5 5 2 Bài 6 : Cho đa thức A = – 2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 1 a) Thu gọn đa thức A ; b) Tính giá trị của A tại x = ; y = – 1. 2 3 1 2 Bài 7 : Cho đa thức : A(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 3 ; B(x) = 8x4 + x3 – 9x + . 4 5 5 Tính : A(x) + B(x) ; A(x) – B(x) ; B(x) – A(x). Bài 8 : Cho đa thức : A(x) = x2 + 5x4 – 2x3 + x2 + 6x4 + 3x3 – x + 15 B(x) = 2x – 5x3 – x2 – 2x4 + 4x3 – x2 + 3x – 7. a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính : A(x) – B(x) ; A(x) + B(x) ; c) Tính A(x) tại x = – 1. Bài 9 : Tìm tổng và hiệu của : P(x) = 3x2 + x – 4 ; Q(x) = – 5x2 + x + 3. Bài 10 : Tính tổng các hệ số của tổng hai đa thức : K(x) = x3 – mx + m2 ; L(x) = (m + 1)x + 3mx + m2. 1 Bài 11 : Cho P(x) = 5x – . 2 3 a) Tính P(– 1) và P( ) ; b) Tìm nghiệm của đa thức P(x). 10 Bài 12 : Tìm nghiệm của các đa thức : a) M(x) = (6 – 3x)(– 2x + 5) ; b) N(x) = x2 + x ; c) A(x) = 3x – 3. Bài 13 : Cho C(x) = 9 – x5 + 4x – 2x3 + x2 – 7x4 ; D(x) = x5 – 9 + 2x2 + 7x4 + 2x3 – 3x. a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
2. b) Tính tổng E(x) = C(x) + D(x) ; c) Tìm nghiệm của đa thức E(x). Bài 14 : Cho đa thức Q(x) = – 2x2 + mx – 7m + 3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm bằng – 1. Bài 15 : Cho f(x) = (x – 4) – 3(x + 1). Tìm x sao cho f(x) = 4. Bài 16 : Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của 30 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây : 8 5 7 8 9 7 8 9 7 8 6 7 10 7 9 8 7 6 10 8 8 7 7 9 9 7 9 6 5 12 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? Có bao nhiêu giá trị khác nhau ? b) Lập bảng “tần số” và nhận xét. c) Tìm số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. d) Dựng biểu đồ đoạn thẳng. Bài 17 : Số học sinh giỏi của mỗi lớp trong khối 7 được ghi lại như sau : Lớp 7A 7B 7C 7D 7E 7G 7H Số học sinh giỏi 32 28 32 35 28 26 28 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Cho biết số đơn vị điều tra ? b) Lập bảng “tần số” và nhận xét. c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. B. PHẦN HÌNH HỌC : I. LÝ THUYẾT : 1) Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường, hai tam giác vuông. 2) Nêu định nghĩa, tính chất của tam giác cân, tam giác đều ? 3) Phát biểu định lí py-ta-go thuận và đảo, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận ? 4) Phát biểu định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác. 5) Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. 6) Phát biểu định lí quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác. 7) Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận. 8) Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác. 9) Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác. II. BÀI TẬP : Bài 1 : Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC, biết Bµ = 600, Cµ = 500. Bài 2 : Hãy so sánh các góc của tam giác ABC, biết AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm. Bài 3 : Tìm chu vi của một tam giác cân ABC biết độ dài hai cạnh của nó là 4cm và 9cm . Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC), trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh rằng : a) AM là tia phân giác của góc A ? b) ΔABD = ΔACD ; c) ΔBCD là tam giác cân. Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC (E BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng : a) ΔABD = ΔEBD ; b) ΔABE là tam giác cân. c) DF = DC ; d) AD < DC. Bài 6 : Cho ΔABC cân tại A (Â nhọn). Tia phân giác của góc A cắt BC tại M. a) Chứng minh AM  BC. b) Gọi N là trung điểm của AB, I là giao điểm của CN với AM. Chứng minh rằng BI là đường trung tuyến của tam giác ABC. c) Biết AB = AC = 15cm ; BC = 18cm. Tính MI. Bài 7 : Cho tam giác ABC có Aµ = 900, AB = 8cm, AC = 6cm. a) Tính BC. b) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm ; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh ΔBEC = ΔDEC. c) Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC. Bài 8 : Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác. a) Chứng minh ΔABD = ΔACD. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, D, G thẳng hàng. c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm. Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh : a) BE = CD. b) ΔBMD = ΔCME. c) AM là tia phân giác của B·AC . Bài 10 : Cho tam giác ABC có CA = CB = 10cm, AB = 12cm. Kẻ CI  AB (I AB). a) Chứng minh rằng IA = IB. b) Tính độ dài IC. c) Kẻ IH  AC (H AC). Kẻ IK  BC (K BC). So sánh các độ dài IH và IK.
3. BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II- MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học : 2014-2015 A. PHẦN ĐẠI SỐ : II. BÀI TẬP : 5 Bài 1 : Tìm các nhóm đơn thức đồng dạng trong các đơn thức sau : x2y; xy2; 2(xy)2 3 1 1 2 – 3xy ; 2x2y ; xy2 ; x2y ; 5xy; – x2y; xyz; – x2y; 0x2y; – 4x2y; 3x2y2. 4 2 5 Bài giải: Các nhóm đơn thức đồng dạng là : 5 1 2 * x2y; 2x2y ; x2y ; – x2y ; – x2y ; – 4x2y. 3 2 5 1 * xy2 ; xy2. 4 * 2(xy)2 = 2x2y2 ; 3x2y2. * – 3xy ; 5xy. Bài 2 : Thu gọn các đa thức : 1 3 1 1 a) 3x2y3 + x2y3 ; b) 5x2y – x2y ; c) xyz2 + xyz2 – xyz2 ; 2 4 2 4 1 7 3 3 1 d) 5xy – y2 – 2xy + 4xy + 3x – 2y; e) ab2 – ab2 + a2b – a2b – ab2 ; 2 8 4 8 2 f) 2a2b – 8b2 + 5a2b + 5c2 – 3b2 + 4c2 . Bài giải: a) 3x2y3 + x2y3 = (3 + 1) x2y3 = 4x2y3. 1 1 9 b) 5x2y – x2y = (5 – )x2y = x2y. 2 2 2 3 1 1 3 1 1 c) xyz2 + xyz2 – xyz2 = ( + – ) = xyz2. 4 2 4 4 2 4 d) 5xy – y2 – 2xy + 4xy + 3x – 2y = (5xy – 2xy + 4xy) – y2 + 3x – 2y = 7xy – y2 + 3x – 2y. 1 7 3 3 1 e) ab2 – ab2 + a2b – a2b – ab2 2 8 4 8 2 3 3 1 7 1 3 7 = ( a2b – a2b) + ( ab2 – ab2 – ab2) = a2b – ab2. 4 8 2 8 2 8 8 f) 2a2b – 8b2 + 5a2b + 5c2 – 3b2 + 4c2 = (2a2b + 5a2b) – (8b2 + 3b2) + (5c2 + 4c2) = 7a2b – 11b2 + 9c2. Bài 3 : Tính tích các đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức nhận được : 1 2 12 5 1 a) ( x2y)( xy4) ; b) ( x4y2)( xy) ; c) ( x3y)(xy). 7 5 15 9 3 Bài giải: 1 2 1 2 2 a) ( x2y)( xy4) = ( . (x2y.(xy4) = x3y5. 7 5 7 5 35 Đơn thức có bậc bằng 3 + 5 = 8. 12 5 12 5 4 b) ( x4y2)( xy) = ( . )(x4y2.xy) = x5y3. 15 9 15 9 9 Đơn thức có bậc bằng 5 + 3 = 8. 1 1 1 c) ( x3y)(xy) = (x3y.xy) = x4y2. 3 3 3 Đơn thức có bậc bằng 4 + 2 = 6.
4. Bài 4 : Tính : P + Q và P – Q, biết : P = x2 – 2yz + z2 và Q = 3yz – z2 + 5x2. Bài giải: * P + Q = (x2 – 2yz + z2) + (3yz – z2 + 5x2) = x2 – 2yz + z2 + 3yz – z2 + 5x2 = (x2 + 5x2) + (3yz – 2yz) + (z2 – z2) = 6x2 + yz. * P – Q = (x2 – 2yz + z2) – (3yz – z2 + 5x2) = x2 – 2yz + z2 – 3yz + z2 – 5x2 = (x2 – 5x2) – (3yz + 2yz) + (z2 + z2) = – 4x2 – 5yz + 2z2. Bài 5 : Tính giá trị của biểu thức : 2 3 5 a) A = x2 + x – 1 tại x = ; b) B = x2y2 + xy + x2y3 tại x = – 1 ; y = 3. 5 5 2 Bài giải: 2 3 5 a) A = x2 + x – 1 tại x = 5 5 2 5 Thay x = vào biểu thức A, ta được : 2 2 5 3 5 A = .( )2 + .( ) – 1 5 2 5 2 2 25 3 5 = . + .( ) – 1 5 4 5 2 5 3 = – – 1 = 0 2 2 5 Vậy x = thì biểu thức A có giá trị bằng 0. 2 b) B = x2y2 + xy + x2y3 Thay x = – 1 ; y = 3 vào biểu thức B, ta được : B = (– 1)2.32 + (– 1).3 + (– 1)2.33 = 1.9 – 3 + 1.27 = 33 Vậy x = – 1 ; y = 3 thì biểu thức B có giá trị bằng 33. Bài 6 : Cho đa thức A = – 2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 1 a) Thu gọn đa thức A ; b) Tính giá trị của A tại x = ; y = – 1. 2 Bài giải: a) Thu gọn đa thức A A = – 2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1 = (5xy2 – 2xy2) + (3xy + 5xy) + 1 = 3xy2 + 8xy + 1. 1 b) Tính giá trị của A tại x = ; y = – 1. 2 1 Thay x = ; y = – 1vào biểu thức A, ta được : 2 1 1 A = 3.( ).(– 1)2 + 8.( ).(– 1) + 1 2 2 3 7 = + 4 + 1 = 2 2 1 7 Vậy x = ; y = – 1thì biểu thức A có giá trị bằng . 2 2
5. 3 1 2 Bài 7 : Cho đa thức : A(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 3 ; B(x) = 8x4 + x3 – 9x + . 4 5 5 Tính : A(x) + B(x) ; A(x) – B(x) ; B(x) – A(x). Bài giải: 3 1 2 * A(x) + B(x) = (3x4 – x3 + 2x2 – 3) + (8x4 + x3 – 9x + ) 4 5 5 3 1 2 = 3x4 – x3 + 2x2 – 3 + 8x4 + x3 – 9x + 4 5 5 1 3 2 = (3x4 + 8x4) + ( x3 – x3) + 2x2 – 9x + ( – 3) 5 4 5 11 13 = 11x4 – x3 + 2x2 – 9x – . 20 5 3 1 2 * A(x) – B(x) = (3x4 – x3 + 2x2 – 3) – (8x4 + x3 – 9x + ) 4 5 5 3 1 2 = 3x4 – x3 + 2x2 – 3 – 8x4 – x3 + 9x – 4 5 5 1 3 2 = (3x4 – 8x4) – ( x3 + x3) + 2x2 + 9x – ( + 3) 5 4 5 19 17 = – 5x4 – x3 + 2x2 + 9x – . 20 5 1 2 3 * B(x) – A(x) = (8x4 + x3 – 9x + ) – (3x4 – x3 + 2x2 – 3) 5 5 4 1 2 3 = 8x4 + x3 – 9x + – 3x4 + x3 – 2x2 + 3 5 5 4 1 3 2 = (8x4 – 3x4) + ( x3 + x3) – 2x2 – 9x + ( + 3) 5 4 5 19 17 = 5x4 + x3 – 2x2 – 9x + . 20 5 Bài 8 : Cho đa thức : A(x) = x2 + 5x4 – 2x3 + x2 + 6x4 + 3x3 – x + 15 B(x) = 2x – 5x3 – x2 – 2x4 + 4x3 – x2 + 3x – 7. a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính : A(x) – B(x) ; A(x) + B(x) ; c) Tính A(x) tại x = – 1. Bài giải: a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. A(x) = x2 + 5x4 – 2x3 + x2 + 6x4 + 3x3 – x + 15 = (5x4 + 6x4 ) + (3x3– 2x3) + (x2 + x2 ) – x + 15 = 11x4 + x3 + 2x2 – x + 15 B(x) = 2x – 5x3 – x2 – 2x4 + 4x3 – x2 + 3x – 7 = – 2x4 + (4x3 – 5x3) – (x2 + x2) + (2x + 3x) – 7 = – 2x4 – 5x3 – 2x2 + 5x – 7 b) A(x) – B(x) = (11x4 + x3 + 2x2 – x + 15) – (– 2x4 – 5x3 – 2x2 + 5x – 7) = 11x4 + x3 + 2x2 – x + 15 + 2x4 + 5x3 + 2x2 – 5x + 7 = (11x4 + 2x4) + (x3 + 5x3) + (2x2 + 2x2) – (x + 5x) + (15 + 7) = 13x4 + 6x3 + 4x2 – 6x + 22 A(x) + B(x) = (11x4 + x3 + 2x2 – x + 15) + (– 2x4 – 5x3 – 2x2 + 5x – 7) = 11x4 + x3 + 2x2 – x + 15 – 2x4 – 5x3 – 2x2 + 5x – 7 = (11x4 – 2x4) + (x3 – 5x3) + (2x2 – 2x2) + (5x – x) + (15 – 7) = 9x4 – 4x3 + 4x + 8 c) Tính A(x) tại x = – 1. Thay x = – 1 vào đa thức A(x), ta được : A(– 1) = 11(– 1)4 + (– 1)3 + 2(– 1)2 – (– 1) + 15 = 11 – 1 + 2 + 1 + 15 = 28 Vậy x = – 1 thì đa thức thức A(x) có giá trị bằng 28.
6. Bài 9 : Tìm tổng và hiệu của : P(x) = 3x2 + x – 4 ; Q(x) = – 5x2 + x + 3. Bài giải: * P(x) + Q(x) = (3x2 + x – 4) + (– 5x2 + x + 3) = 3x2 + x – 4 – 5x2 + x + 3 = (3x2 – 5x2) + (x + x) + (3 – 4) = – 2x2 + 2x – 1 * P(x) – Q(x) = (3x2 + x – 4) – (– 5x2 + x + 3) = 3x2 + x – 4 + 5x2 – x – 3 = (3x2 + 5x2) + (x – x) – (3 + 4) = 8x2 – 7. Bài 10 : Tính tổng các hệ số của tổng hai đa thức : K(x) = x3 – mx + m2 ; L(x) = (m + 1)x + 3mx + m2. Bài giải: Ta có : L(x) = (m + 1)x + 3mx + m2 = mx + x + 3mx + m2 = 4mx + x + m2 K(x) + L(x) = (x3 – mx + m2) + (4mx + x + m2) = x3 – mx + m2 + 4mx + x + m2 = x3 + (4mx – mx + x) + (m2 + m2) = x3 + (3mx + x) + 2m2 = x3 + (3m + 1)x + 2m2 Tổng các hệ số của tổng hai đa thức là : 1 + 3m + 1 + 2m2 = 2m2 + 3m + 2. 1 Bài 11 : Cho P(x) = 5x – . 2 3 a) Tính P(– 1) và P( ) ; b) Tìm nghiệm của đa thức P(x). 10 Bài giải: 1 a) P(x) = 5x – 2 1 1 11 * P(– 1) = 5. (– 1) – = – 5 – = – . 2 2 2 3 3 1 15 1 3 1 * P( ) = 5. ( ) – = – = – = – 2. 10 10 2 10 2 2 2 b) Tìm nghiệm của đa thức P(x). 1 Tìm x sao cho P(x) = 0, tức là : 5x – = 0 2 1 1 1 5x = x = : 5 x = 2 2 10 1 1 Vậy x = là nghiệm của đa thức P(x) = 5x – . 10 2 Bài 12 : Tìm nghiệm của các đa thức : a) M(x) = (6 – 3x)(– 2x + 5) ; b) N(x) = x2 + x ; c) A(x) = 3x – 3. Bài giải: a) M(x) = (6 – 3x)(– 2x + 5) Tìm x sao cho M(x) = 0, tức là : (6 – 3x)(– 2x + 5) = 0 6 – 3x = 0 hoặc – 2x + 5 = 0 * 6 – 3x = 0 – 3x = – 6 x = (– 6): (– 3) x = 2 * – 2x + 5 = 0 – 2x = – 5 x = (– 5) : (– 2) x = 2,5 Vậy x = 2 hoặc x = 2,5 là nghiệm của các đa thức M(x) = (6 – 3x)(– 2x + 5)
7. b) N(x) = x2 + x x = – 1 là một nghiệm của đa thức N(x) = x2 + x Vì (– 1)2 + (– 1) = 1 + (– 1) = 0. c) A(x) = 3x – 3 x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x) = 3x – 3 Vì 3.1 – 3 = 3 – 3 = 0. Bài 13 : Cho C(x) = 9 – x5 + 4x – 2x3 + x2 – 7x4 ; D(x) = x5 – 9 + 2x2 + 7x4 + 2x3 – 3x. a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính tổng E(x) = C(x) + D(x) ; c) Tìm nghiệm của đa thức E(x). Bài giải: a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến C(x) = 9 – x5 + 4x – 2x3 + x2 – 7x4 = – x5 – 7x4 – 2x3 + x2 + 4x + 9 D(x) = x5 – 9 + 2x2 + 7x4 + 2x3 – 3x = x5 + 7x4 + 2x3 + 2x2 – 3x – 9 b) Tính tổng E(x) = C(x) + D(x) = (– x5 – 7x4 – 2x3 + x2 + 4x + 9) + (x5 + 7x4 + 2x3 + 2x2 – 3x – 9) = – x5 – 7x4 – 2x3 + x2 + 4x + 9 + x5 + 7x4 + 2x3 + 2x2 – 3x – 9 = (x5– x5) + ( 7x4 – 7x4) + ( 2x3 – 2x3 + (2x2 + x2) + (4x – 3x) + (9 – 9) = 3x2 + x Vậy E(x) = 3x2 + x. c) Tìm nghiệm của đa thức E(x) * x = 0 là một nghiệm của đa thức E(x) = 3x2 + x Vì 3.0 + 0 = 0 + 0 = 0. 1 * x = – là một nghiệm của đa thức E(x) = 3x2 + x 3 1 1 1 1 Vì 3.(– )2 + (– ) = + (– ) = 0. 3 3 3 3 Bài 14 : Cho đa thức Q(x) = – 2x2 + mx – 7m + 3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm bằng – 1. Bài giải: Q(x) = – 2x2 + mx – 7m + 3 có nghiệm bằng – 1 tức là Q(– 1) = 0 – 2.(– 1)2 + m.(– 1) – 7m + 3 = 0 – 2 – m – 7m + 3 = 0 1 – 8m + 1 = 0 – 8m = – 1 m = 8 1 Vậy m = thì Q(x) có nghiệm bằng – 1. 8 Bài 15 : Cho f(x) = (x – 4) – 3(x + 1). Tìm x sao cho f(x) = 4. Bài giải: f(x) = 4 tức là (x – 4) – 3(x + 1) = 4 x – 4 – 3x – 3 = 4 – 2x – 7 = 4 – 2x = 11 11 x = – 2 11 Vậy x = – thì f(x) = 4. 2
8. Bài 16 : Thời gian giải một bài toán (tính theo phút) của 30 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây : 8 5 7 8 9 7 8 9 7 8 6 7 10 7 9 8 7 6 10 8 8 7 7 9 9 7 9 6 5 10 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? Có bao nhiêu giá trị khác nhau ? b) Lập bảng “tần số” và nhận xét. c) Tìm số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu. d) Dựng biểu đồ đoạn thẳng. Bài giải: a) Dấu hiệu ở đây là : Thời gian giải một bài toán của 30 học sinh (tính theo phút) Số các giá trị là : 30 ; Số các giá trị khác nhau là : 6 b) Ta được bảng “tần số” sau : Thời gian 5 6 7 8 9 10 (x) Tần số 2 3 9 7 6 3 N = 30 (n) Nhận xét : Thời gian giải một bài toán nhanh nhất là 3 phút. Thời gian giải một bài toán chậm nhất là 10 phút. Số bạn giải một bài toán từ 7 đến 9 phút chiếm tỉ lệ cao c) Tìm số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu Số trung bình cộng là : 5.2 6.3 7.9 8.7 9.6 10.3 231 X = = = 7,7 (phút). 2 3 9 7 6 3 30 Mốt của dấu hiệulà M0 = 7 (giá trị có tần số lớn nhất). d) Dựng biểu đồ đoạn thẳng (Các em tự vẽ). Bài 17 : Số học sinh giỏi của mỗi lớp trong khối 7 được ghi lại như sau : Lớp 7A 7B 7C 7D 7E 7G 7H Số học sinh giỏi 32 28 32 35 28 26 28 a) Dấu hiệu ở đây là gì ? Cho biết số đơn vị điều tra ? b) Lập bảng “tần số” và nhận xét. c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Bài giải: a) Dấu hiệu ở đây là : Số học sinh giỏi của mỗi lớp trong khối 7 Số đơn vị điều tra : 7 b) bảng tần số tương ứng là: Số học sinh 26 28 32 35 giỏi( x) Tần số (n) 1 3 2 1 n = 30 Nhận xét : Số học sinh giỏi thấp nhất là : 26, 35 Số học sinh giỏi nhiều nhất là : 28. c) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng (Các em tự vẽ).
9. B. PHẦN HÌNH HỌC : II. BÀI TẬP : Bài 1 : Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC, biết Bµ = 600, Cµ = 500. Bài giải: A Trong ΔABC ta có : Â + Bµ + Cµ = 1800 Â = 1800 – (Bµ + Cµ ) = 1800 – (600 + 500) = 700 Vì Â > Bµ > Cµ (700 > 600 > 500) Nên BC > AC > AB (cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. 600 500 B C Bài 2 : Hãy so sánh các góc của tam giác ABC, biết AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm. Bài giải: B Trong ΔABC ta có : AB < BC < AC (3cm < 4cm < 5cm) Cµ < Â < Bµ (góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn). A C Bài 3 : Tìm chu vi của một tam giác cân ABC biết độ dài hai cạnh của nó là 4cm và 9cm. Bài giải: A Giả sử ΔABC cân tại A, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: AC – BC < AB < AC + BC 9 – 4 < AB < 9 + 4. 5 < AB < 13 AB = AC = 9cm ; BC = 4cm Chu vi tam giác ABC là: 9 + 9 + 4 = 22 cm. B C Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC), trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa A và M. Chứng minh rằng : a) AM là tia phân giác của góc A ? b) ΔABD = ΔACD ; c) ΔBCD là tam giác cân. Bài giải: A a) Xét ΔABM và ΔACM có : AB = AC (gt) BM = CM (gt) AM : cạnh chung D ΔABM = ΔACM (c.c.c) B·AM = C·AM (hai góc tương ứng) AM là tia phân giác của góc A. b) Xét ΔABD và ΔACD có : AB = AC (gt) B·AD = C·AD (vì AM là tia phân giác của Â) AD : cạnh chung B M C ΔABD = ΔACD (c.g.c) c) Từ ΔABD = ΔACD DB = DC (hai cạnh tương ứng) ΔBCD cân tại D.
10. Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC (E BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng : a) ΔABD = ΔEBD ; b) ΔABE là tam giác cân. c) DF = DC ; d) AD < DC. Bài giải: B a) Xét hai tam giác vuông ΔABD và AED có : A·BD = E·BD (vì BD là tia phân giác của )Bµ BD : cạnh chung ΔABD = ΔEBD (ch.gn) b) Từ ΔABD = ΔEBD E BA = BE (hai cạnh tương ứng) ΔABE cân tại B. c) ΔABE cân tại B có BD là đường phân giác của Bµ A C D nên nó cũng là đường trung trực của AE AD = DE Xét hai tam giác vuông ΔADF và EDC có : A· DF = E·DC (đối đỉnh) AD = DE (cmt) F ΔADF = ΔEDC (cgv.gn) DF = DC (hai cạnh tương ứng) d) Trong ΔDEC vuông tại E, ta có : DE < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) mà AD = DE (cmt) nên AD < DC.
11. Bài 6 : Cho ΔABC cân tại A (Â nhọn). Tia phân giác của góc A cắt BC tại M. a) Chứng minh AM  BC. b) Gọi N là trung điểm của AB, I là giao điểm của CN với AM. Chứng minh rằng BI là đường trung tuyến của tam giác ABC. c) Biết AB = AC = 15cm ; BC = 18cm. Tính MI. Bài giải: A a) Xét ΔABM và ΔACM có : AB = AC (gt) B·AM = C·AM (vì AM là tia phân giác của Â) AM : cạnh chung ΔABM = ΔACM (c.g.c) A·MB = A·MC (1) N Ta lại có : A·MB + A·MC = 1800 (2) I Từ (1) và (2) suy ra : A·MB + A·MB = 1800 2A·MB = 1800 A·MB = 1800 : 2 A·MB = 900 AM  BC B M C b) Từ ΔABM = ΔACM MB = MC AM là đường trung tuyến của ΔABC Ta có : N là trung điểm của AB CN là đường trung tuyến của ΔABC Mà I là giao điểm của CN với AM nên I là trọng tâm của ΔABC BI là đường trung tuyến của ΔABC c) Ta có : MB = MC = BC = 18 = 9 (cm) 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔAMB vuông tại M, ta có : AM2 = AB2 – MB2 = 152 – 92 = 144 AM = 144 = 12 (cm) I là trọng tâm của ΔABC nên ta có : MI = 1 AM = 1 .12 = 4(cm) 3 3 Vậy MI = 4cm.
12. Bài 7 : Cho tam giác ABC có Aµ = 900, AB = 8cm, AC = 6cm. a) Tính BC. b) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm ; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh ΔBEC = ΔDEC. c) Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC. Bài giải C E D A B a) Tính BC. Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔABC vuông tại A, ta có : BC2 = AB2 + AC2 = 82 – 62 = 100 AM = 100 = 10 (cm) Vậy BC = 10cm b) Chứng minh ΔBEC = ΔDEC. Ta có : AD = AB (gt) và CA  DB CA là đường trung trực của DB Vì E CA ED = EB và C CA CD = CB Xét ΔBEC và ΔDEC có : ED = EB (cmt) EC : cạnh chung CD = CB (cmt) ΔBEC = ΔDEC (c.c.c). c) Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC. Trong ΔCDB có : EC = AC – AE = 6 – 2 = 4cm EC 4 2 2 = = EC = AC AC 6 3 3 E là trọng tâm của ΔCDB DE là đường trung tuyến của ΔCDB DE đi qua trung điểm cạnh BC
13. Bài 8 : Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác. a) Chứng minh ΔABD = ΔACD. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, D, G thẳng hàng. c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm. Bài giải A G B D C a) Chứng minh ΔABD = ΔACD. Xét ΔABD và ΔACD có : AB = AC (gt) B·AD = C·AD (vì AD là tia phân giác của Â) AD : cạnh chung ΔABD = ΔACD(c.g.c) b) Chứng minh ba điểm A, D, G thẳng hàng. Từ ΔABD = ΔACD DB = DC AD là đường trung tuyến của ΔACB Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G AD ba điểm A, D, G thẳng hàng. c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm. Ta có : DC = DB = BC = 10 = 5 (cm) 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔADB vuông tại D, ta có : AD2 = AB2 – DB2 = 132 – 52 = 144 AD = 144 = 12 (cm) G là trọng tâm của ΔABC nên ta có : DG = 1 AD = 1 .12 = 4(cm) 3 3 Vậy DG = 4cm.
14. Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh : a) BE = CD. b) ΔBMD = ΔCME. c) AM là tia phân giác của B·AC . Bài giải A D E 1 1 M 1 1 B C a) Chứng minh BE = CD. Xét ΔADC và ΔAEB có : AC = AB (gt) Â : góc chung AD = AE ΔADC = ΔAEB (c.g.c) BE = CD (hai cạnh tương ứng) b) Chứng minh ΔBMD = ΔCME. Từ AB = AC và AD = AE AB – AD = AC – AE Hay BD = CE µ µ Từ ΔADC = ΔAEB B1 = C1 Xét ΔBEC và ΔCDB có : BE = CD (cmt) BD = CE (cmt) BC : cạnh chung ¶ µ ΔBEC = ΔCDB (c.c.c) D1 = E1 Xét ΔBMD và ΔCME có : µ µ B1 = C1 (cmt) BD = CE (cmt) ¶ µ D1 = E1 (cmt) ΔBMD = ΔCME (g.c.g) c) AM là tia phân giác của B·AC . Từ ΔBMD = ΔCME MD = ME Xét ΔADM và ΔAEM có : AD = AE (gt) MD = ME (cmt) AM : cạnh chung ΔADM = ΔAEM (c.c.c) D·AM = E·AM AM là tia phân giác của B·AC .
15. Bài 10 : Cho tam giác ABC có CA = CB = 10cm, AB = 12cm. Kẻ CI  AB (I AB). a) Chứng minh rằng IA = IB. b) Tính độ dài IC. c) Kẻ IH  AC (H AC). Kẻ IK  BC (K BC). So sánh các độ dài IH và IK. Bài giải C H K A I B a) Chứng minh rằng IA = IB. Xét hai tam giác vuông CAI và CBI có : CA = CB (gt) CI : cạnh chung ΔCAI = ΔCBI(ch-cgv) IA = IB (hai cạnh tương ứng) b) Tính độ dài IC. Ta có : IA = IB = AB = 12 = 6 (cm) 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔAIC vuông tại I, ta có : IC2 = CA2 – IA2 = 102 – 62 = 64 IC = 64 = 8 (cm) Vậy IC = 8cm. c) So sánh các độ dài IH và IK. Xét hai tam giác vuông IHA và IKB có : IA = IB (cmt) Aµ = Bµ (vì ΔACB cân tại C) ΔIHA = ΔIKB(ch-gn) IH = IK (hai cạnh tương ứng)