Đề cương ôn tập kiểm tra học kỳ II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Trưng Vương

Nội dung text: Đề cương ôn tập kiểm tra học kỳ II môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Trưng Vương

1. 1/ 26 Toán h ọc là đam mê Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 7 A. LÝ THUYẾT: 1. Đại số: Trả lời các câu hỏi 1,2 SGK trang 22. Câu 1,2,3,4 SGK trang 49. 2. Hình học: - Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân? - Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2 tam giác vuông. - Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí. + Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác. + Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. + Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác. + Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng. + Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác. B. BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức: a) 5x (− 2 xy23 ).3 xyz b) (− 2x2 yz 3 ) 2 .(3 x 3 y 2 z ) 3 3 2 2 3 2 c) (4xy x ) . x yz 4 22 1 122 5 d) − x x y . y 25 3 2 22 13 1 3 3 5 3 e) −−x y .1 x y . xy 2 5 3 2 32 1 2 f) 4.abx −− xy() ay (,ab là hằng số). 2
2. 2/ 26 Toán h ọc là đam mê Bài 2. Cho các đa thức: A= − xy2 2 +7 x − 3 xy 2 + 4 xy + 2 yx 2 − 5 x − 4 B=2 xy + 3 − 6 x22 y − 3 xy + 2 x + 1 − ( xy ) C=4(1)2( x − + xxy22 − y ) + yx ( − xxxy )( − + 3) a) Thu gọn và tìm bậc của ABC, , . b) Tính ABCABCABC+ +; + − ;2 − + . c) Tính giá trị biểu thức C với xy=2, = − 2 . Bài 3. Tìm đa thức A biết: a) A+(2 xy2 − 3 xyy 2 + 3 ) = 5 xy 2 2 + 4 xy 2 + 4 y 3 . b) A−(4 xy − 3 y2 ) = x 2 − 7 xy + 8 y 2 . c) (25x2 y− 13 xy 2 + x 3 ) − A = 11 x 2 y − 2 x 3 . d) (3x2 y 2− xy 2 + 2 x 3 y 3 ) − A. Bài 4. Cho 2 đa thức: P() x= −5 x5 − 6 x 2 + 5 x 5 − 5 x − 2 + 4 x 2 và Q() x= −2 x4 − 5 x 3 + 10 x − 17 x 2 + 4 x 3 − 5 + x 3 a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P()()()() x+− Q x; P x Q x . c) Chứng tỏ x =−2 là nghiệm của Px() nhưng không phải là nghiệm của Qx() . Bài 5. Cho 2 đa thức: A()()() x= x33 x +2 − 5 x + 9 + 2 x x − 1 và B() x=2()() x2 − 3 x + 1 − 3 x 4 + 2 x 3 − 3 x + 4 a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến. b) Tính A()() x+ B x ; A()() x− B x . c) Tìm nghiệm của C()()() x=+ A x B x . d) Chứng tỏ đa thức H()() x=+ A x5 x vô nghiệm. Bài 6. Cho hai đa thức: A() x=3() x2 + 2 − 4 x − 2 x() x − 2 + 17 và B() x=3 x22 − 7 x + 3 − 3() x − 2 x + 4 .
3. 3/ 26 Toán h ọc là đam mê a) Thu gọn A()() x, B x . Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó. b) Tìm Nx() sao cho N()()() x−= B x A x . và Mx() sao cho A()()() x−= M x B x . c) Chứng minh: x = 2 là một nghiệm của Nx(). Tìm một nghiệm nữa của Nx(). 2 d) Tính nghiệm của Ax() tại x = . 3 Bài 7. Tìm nghiệm của các đã thức 11 a) A() x= −45 x − g) H() x= x −3 − 22 b) B()()() x=3 2 x − 1 − 2 x + 1 h) K() x=3 x − 2 + 4 − 6 x 2 c) C() x=()()2 x22 − 8 − x + 1 i) M() x= x −11 +() x2 − d) D() x=−3 x x3 j) N() x=4 x2 − 3 x + 7 e) E() x=+24 x3 x k) P() x=7 x2 − 2 x − 9 f) G() x= x32 − x + x −1 l) Q() x=5 x2 − 11 x + 6 Bài 8*. (Dành cho HS giỏi) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: 2 22 Ax=+()2 B=()() x −1 + y + 5 + 1 4 C= x −2014 + x − 2015 D=() x2 −9 + y − 2 − 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 2 1 Bx=51 −() + Cx=95 −2 − D = x2 + 2 c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 2 8 − x 1) A = có giá trị lớn nhất. 2) B = có giá trị nhỏ nhất. 6 − x x − 3
4. 4/ 26 Toán h ọc là đam mê Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau: 2a−+ 5 b 4 a b a 3 a) A =− biết = a−−3 b 8 a 2 b b 4 b) B=()()() x + y y + z x + z biết xyz = 2 và x+ y + z = 0 c) f() x= x17 −2015 x 16 + 2015 x 15 − 2015 x 14 + + 2015 x − 1. Tính f ()2014 Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? b) Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC ). Gọi AD là phân giác BAH ( D BC ). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AE = BD (E và C cùng phía đối với AB). CMR: AB = DE. c) CMR: ADC cân. d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE. CMR: C, I, M thẳng hàng. Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CMR: a) ABD = EBD b) BD là đường trung trực của AE. c) AD CF. Bài 12. Cho ABC có A = 900 và AC AB . Kẻ AH⊥ BC . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD= HB . Kẻ CE⊥ AD kéo dài ( E thuộc tia AD ). Chứng minh: a) ABD cân. b) DAH= ACB c) CB là tia phân giác của ACE d) Kẻ DI⊥ AC() I AC , chứng minh 3 đường thẳng AH,, ID CE đồng quy. e) So sánh AC và CD . f) Tìm điều kiện của ABC để I là trung điểm AC .
5. 5/ 26 Toán h ọc là đam mê Bài 13. Cho ABC cân tại A ( A 90 ). Trên cạnh BC lấy 2 điểm D , E sao cho BD== DE EC . Kẻ BH⊥ AD, CK ⊥ AE () H AD , K AE , BH cắt CK tại G . Chứng minh rằng: a) ADE cân. b) BH= CK . c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AMG, , thẳng hàng. d) AC AD . e) DAE DAB . Bài 14. Cho ABC đều. Tia phân giác góc B cắt AC tại M. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM, BC tại N,E.Chứng minh: a) ANC cân. b) NC⊥ BC. c) Xác định dạng của tam giác BNE. d) NC là trung trực của BE. e) Cho AB=10 cm .Tính diện tích BNE và chu vi ABE. Bài 15. Cho ABC có A = 900 ( AB AC ), đường cao AH, AD là phân giác của AHC . Kẻ DE⊥ AC . a) Chứng minh: DH= DE. b) Gọi K là giao điểm của DE và AH . Chứng minh AKC cân. c) Chứng minh KHE = CEH . d) Cho BH==8 cm , CH 32 cm . Tính AC. e) Giả sử ABC có C = 300 , AD cắt CK tại P . Chứng minh HEP đều. Bài 16. Cho ABC có A = 60o . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I , cắt cạnh AC, AB ở D và E. Tia phân giác góc BIC cắt BC ở F. a) Tính góc BIC b) Chứng minh: ID== IE IF . c) Chứng minh: DEF đều. d) Chứng minh: I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF
6. 6/ 26 Toán h ọc là đam mê Hướng dẫn giải: Bài 1. a) 5x (− 2 xy2 ).3 xyz 3 = − 30 x 3 y 3 z 3 ; Bậc 9 b) (−= 2x2 yz 3 ) 2 .(3 x 3 y 2 z ) 3 12 x 13 y 8 z 9 ; Bậc 30 3 2 2 3 2 27 10 7 3 c) (4xy x ) . x yz= x y z ; Bậc 20 44 22 1 12 5 2 − 1 5 6 d) −=x x y y x y ; Bậc 11 25 3 2 36 22 13 1 3 3 5 3 5 11 11 e) −x y .1 x y . − xy = x y ; Bậc 11 2 5 3 6 2 3 1 22 3 5 6 f) 4abx − xy .() − ay = a b . x . y ; Bậc 11 2 Bài 2. a) Thu gọn và tìm bậc: A= − x2 y 2 − x 2 y +4 xy + 2 x − 4 ; Bậc 4 B= − x2 y 2 −6 x 2 y − xy + 2 x + 4 ; Bậc 4 C=2 x22 y − 3 xy + x − 4 ; Bậc 4 b) Tính: A+ B + C = −7 x2 y + 5 x − 4 A+ B − C = −4 x2 y 2 − 7 x 2 y + 6 xy + 3 x + 4 2A− B + C = x2 y 2 + 4 x 2 y + 6 xy + 3 x − 16 c) Tính giá trị biểu thức C với xy=2, = − 2 C =2.222 .( − 2) − 3.2.( − 2) + 2 − 4 = 42 Bài 3. Tìm A a) A+(2 xy2 − 3 xyy 2 + 3 ) = 5 xy 2 2 + 4 xy 2 + 4 y 3 A =5 xy2 2 + 4 xy 2 + 4 y 3 − (2 xy 2 − 3 xyy 2 + 3 ) A =5 xy2 2 + 4 xy 2 + 4 y 3 − 2 xy 2 + 3 xyy 2 − 3 A =5 x2 y 2 + 7 x 2 y + 3 y 3 − 2 xy 2 b) A−(4 xy − 3 y2 ) = x 2 − 7 xy + 8 y 2
7. 7/ 26 Toán h ọc là đam mê A = x222 −7 xy + 8 y + 4 xy − 3 y A = x22 −35 xy + y (25x2 y− 13 xy 2 + x 3 ) − A = 11 x 2 y − 2 x 3 c) A=(25 x2 y − 13 xy 2 + x 3 ) − (11 x 2 y − 2 x 3 ) A =25 x2 y − 13 xy 2 + x 3 − 11 x 2 y + 2 x 3 A =14 x2 y − 13 xy 2 + 3 x 3 d) (3x2 y 2− xy 2 + 2 x 3 y 3 ) − A = 0 A =32 x2 y 2 − xy 2 + x 3 y 3 Bài 4. a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: P() x= −5 x5 − 6 x 2 + 5 x 5 − 5 x − 2 + 4 x 2 =−+()()5x5 5 x 5 +− 6 x 2 + 4 x 2 −−=− 5 x 2 2 x 2 −− 5 x 2 Qxxxxxx() =−−+24 5 3 1017 − 2 + 4 3 −+=−+−+ 5 xx 3 2 4 (5 xxx 3 4 3 +− 3 )17 xx 2 + 105 − = −2xxx42 − 17 + 10 − 5 b) Tính P()()()() x+− Q x; P x Q x +) P()() x+ Q x = −2 x2 − 5 x − 2 − 2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 P()() x+ Q x =−+−−2 x4() 2 x 2 17 x 2 +−+()() 5 x 10 x +−− 2 5 P()() x+ Q x = −2 x42 − 19 x + 5 x − 7 +) P()() x− Q x = −2 x2 − 5 x − 2 −() − 2 x 4 − 17 x 2 + 10 x − 5 P()() x− Q x = −2 x2 − 5 x − 2 + 2 x 4 + 17 x 2 − 10 x + 5 P()() x− Q x =2 x4 +−+() 2 x 2 17 x 2 +−−()() 5 x 10 x +−+ 2 5 P()() x− Q x =2 x42 + + 15 x − 15 x + 3
8. 8/ 26 Toán h ọc là đam mê c) Chứng tỏ x =−2 là nghiệm của Px() nhưng không phải là nghiệm của Qx() +) Thay x =−2 vào Px() , ta có: P() x= −2 x2 − 5 x − 2 2 Suy ra P()()()−2 = − 2 − 2 − 5 − 2 − 2 P() −2 = − 8 + 10 − 2 P() −20 = Hay x =−2 là nghiệm của Px() . +) Thay x =−2 vào Qx() , ta có: Q( x )= − 2 x42 − 17 x + 10 x − 5 42 Suy ra Q()()()()−2 = − 2. − 2 − 17. − 2 + 10. − 2 − 5 Q() −2 = − 32 + 68 − 20 − 5 Q() −2 = − 11 0 Hay x =−2 không phải là nghiệm của Qx() . Vậy x =−2 là nghiệm của Px() nhưng không phải là nghiệm của Qx() . Bài 5. a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm A(x)= 3 3 ( + 2) − 5 + 9 + 2 ( − 1) = + 4 3 4 3 2 − 5 + 9 + 2 − 2 = 4 3 − 5 + 9 B(x)= 2 4 2 2( − 3 + 1) − (3 + 2 − 3 + 4) = 2 4 2 2 − 6 + 2 − 3 − 2 + 3 − 4 = 4 −3 − 3 − 2 b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x) A(x)= + 4 3 − 5 + 9 B(x) 4 = −3 − 3 − 2 A(x)+B(x)= −8 + 7
9. 9/ 26 Toán h ọc là đam mê A(x)= 4 3 − 5 + 9 − B(x) 4 = −3 − 3 − 2 A(x) B(x)= 4 − 6 − 2 + 11 c) Tìm nghiệm của C(x)=A(x) +B(x) C(x)= =0  x 7 −8 + 7 −8 = −7 = 8 Vậy nghiệm của C(x)= là x 7 d) Chứng tỏ rằng H(x)=A(x)+5x −8 + 7 vô nghi= 8 ệm H(x)= = 4 4 3 − 5 + 9 + 5 3 + 9 H(x)=0    (vô lí) 4 4 4 3 + 9 = 0 3 = −9 = −3 Nên không có giá trị nào của x để H(x)=0 Vậy H(x) vô nghiệm. Bài 6. a) Thu gọn và sắp xếp A(x)=3( 2 + 2 − 4 ) − 2x(x − 2) + 17 =3 2 2 + 6 − 12 − 2 + 4x + 17 = 2 − 8 + 23 Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23 B(x) 2 2 = 3 − 7 + 3 − 3( − 2 + 4) 2 2 = 3 − 7 + 3 − 3 + 6 − 12 − − 9 Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9
10. 10/ 26 Toán h ọc là đam mê b) N(x)-B(x)=A(x)  N(x)=B(x)+A(x) A(x)= + 2 B(x) = − 8 + 23 N(x) = − − 9 2 A(x)-M(x)=B(x) − 9 + 14  M(x)=A(x)-B(x) A(x)= 2 B(x) = − 8 + 23 − M(x) = − − 9 2 − 7 + 32 c) Chứng minh 2 là nghiệm của N(x).Tìm một nghiệm nữa của N(x) N(2)= 22 Vậy 2 là− nghi9.2 +ệm14 củ=a 4N(x)− 18 + 14 = 0 N(x)= 2  − 9 + 14 = ( − 2)( + ) 2 2 − 9 + 14 = + ( − 2) − 2   (thỏa mãn) −9 = − 2 = −7 { { Vậy 14a= = − là2 một nghi =ệm− 7nữa của N(x) −7 d) Tính giá trị của A(x) tại x= 2 Thay x = vào biểu thức A(x) 3 2 2 3 = − 8 + 23 Ta được A = = 2 2 2 2 4 16 163 (3) (3) − 8. 3 + 23 9 − 3 + 23 = 9 Vậy tại x = thì giá trị của biểu thức A(x) bằng 2 163 3 9
11. 11/ 26 Toán h Bài 7. ọc là đam mê −5 a) Ta có −4xx − 5 = 0 = . 4 5 Vậy nghiệm của đa thức là x =− . 4 5 b) Ta có 3()() 2x− 1 − 2 x + 1 = 0 4 x − 5 = 0 x = . 4 5 Vậy nghiệm của đa thức là x = . 4 2x22− 8 = 0 x = 4 x = 2 2xx22− 8 − + 1 = 0 c) Ta có ()() 22 . −xx +1 = 0 = 1 x = 1 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = −2; − 1;1;2 . x = 0 x = 0 3x x32 0 x 3 x 0 d) Ta có − = () − = 2 . x = 3 x = 3 Vậy tập nghiệm của đa thức là S =−3;0; 3  . x = 0 2x32 4 x 0 2 x x 2 0 e) Ta có + = () + = 2 . x =−2 Vì x2 0 với mọi x nên x2 =−2 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x = 0 . f) Ta có x3−+−= x 2 x1 0 x 2 ()()() x −+−= − 1 x 1 0 x 1() x2 += 1 0 . xx−1 = 0 = 1 22. xx+1 = 0 = − 1 Vì x2 0 với mọi x nên x2 =−1 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x =1. 1 1 1 7 xx−3 = = 1 1 1 1 2 2 2 2 x = 7 g) Ta có: xx−3 − = 0 − 3 = . 2 2 2 2 1 1 1 5 x = 5 xx−3 = − = 2 2 2 2 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 5;7 . h) Ta có 3xx− 2 + 4 − 6 = 0 .
12. 12/ 26 Toán h ọc là đam mê 3x − 2 0 Vì nên 3xx− 2 + 4 − 6 0 . 4− 6x 0 3x − 2 = 0 3x −= 2 0 2 Dấu “=” xảy ra khi x = . 4−= 6x 0 4−= 6x 0 3 2 Vậy nghiệm của bất phương trình là x = . 3 2 i) Ta có xx−1 +()2 − 1 = 0. x −10 2 Vì nên xx−1 +2 − 1 0 . 2 2 () ()x − 10 x =1 x −10 = x −=10 Dấu “=” xảy ra khi x =1 x =1. 2 2 2 ()x −=10 x −=10 x =−1 Vậy nghiệm của đa thức là x =1. j) Ta có: 4xx2 − 3 + 7 = 0 3 3 9 103 40x2 − x − x + + = 2 2 16 16 3 3 3 103 2x 2 x − − 2 x − + = 0 4 4 4 16 3 3 103 2xx − 2 − + = 0 4 4 16 2 3− 103 2x − = . 4 16 2 2 3 3 103 Vì 20x − với mọi x nên suy ra 2x − = − vô nghiệm. 4 4 16 k) Ta có 7290779907x22−−= x x +−−= x x x()() x +− 1910 x += x =−1 x +=10 ()()xx +1 7 − 9 = 0 9 . 7x −= 9 0 x = 7 9 Vậy tập nghiệm của đa thức là S =− 1; 7
13. 13/ 26 Toán h ọc là đam mê l) Ta có 5x22−+= 11605 x x −−+= 56605 x x x()() x −− 16 x −= 10 xx−1 = 0 = 1 ()()xx −1 − 6 = 0 . xx−6 = 0 = 6 Vậy tập nghiệm của đa thức là S = 1;6 . Bài 8. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: 2 +) Ax=+()2 2 2 Vì ()xx+2 0,  ; dấu “=” xảy ra khi ()x+2 = 0 x + 2 = 0 x = − 2 Vậy GTNN của A là 0 khi x =−2 22 +) B=()() x −1 + y + 5 + 1 2 2 Ta có: ()x − 10với mọi x, ()y + 50 với mọi y 22 Suy ra: ()()xy−1 + + 5 + 1 0 + 0 + 1 = 1 2 ()x −=10 x =1 Dấu “=” xảy ra khi 2 y =−5 ()y +=50 Vậy GTNN của B là 1 khi xy=1; = − 5 +) C= x −2014 + x − 2015 Ta có: C= x −2014 + x − 2015 = x − 2014 + 2015 − x Mà: x−2014 + 2015 − x x − 2014 + 2015 − x = 1 = 1 Dấu “=” xảy ra khi ()()x−2014 2015 − x 0 2014 x 2015 Vậy GTNN của C là 1 khi 2014 x 2015 4 +) E=() x2 −9 + y − 2 − 1 4 Vì: ()xy2 −9 0 ; − 2 0 với mọi x,y 4 Suy ra: D=() x2 −9 + y − 2 − 1 0 + 0 − 1 = − 1
14. 14/ 26 Toán h ọc là đam mê 2 4 ()x −=90 x = 3 Dấu “=” xảy ra khi: y = 2 y −=20 Vậy GTNN của D là −1 khi ()()xy;= 3;2 hoặc()()xy;=− 3;2 b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 2 +) Bx=51 −() + 22 Vì: ()()x+1 0 B = 5 − x + 1 5 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi: 2 ()xx+1 = 0 = − 1 Vậy GTLN của B là 5 khi x =−1 +) Cx=95 −2 − Vì: x22−5 0  x C = 9 − x − 5 9 − 0 = 9 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi: x2−5 = 0 x 2 − 5 = 0 x 2 = 5 x = 5 Vậy GTLN của C là 9 khi x = 5 1 +) D = x2 + 2 11 Vì xD2 +22 = với mọi x x2 + 22 Dấu “=” xảy ra khi: xx2 =00 = 1 Vậy GTLN của D là khi x = 0 2 c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 2 1) A = có giá trị lớn nhất 6 − x ĐK để A có nghĩa là x 6 2 Với x 6 6 − x 0 A = 0 6 − x
15. 15/ 26 Toán h 2 ọc là đam mê Với x 6 6 − x 0 A = 0 6 − x Do đó đề A lớn nhất thì A 0 trong trường hợp x 6 Mặt khác tử số của A không đổi nên A lớn nhất khi mẫu 6− x bé nhất Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x 6 nên x = 5 22 Khi đó A = = = 2 6−−x 6 5 Vậy khi x = 5 thì A đạt GTLN là 2 8 − x 2) B = có giá trị nhỏ nhất x − 3 ĐK để B có nghĩa là x 3 8−xx 5 − ( − 3) 5 Ta có: B = = = −1; xxx−−−333 5 Suy ra B nhỏ nhất khi nhỏ nhất x − 3 5 Với xx 3 − 3 0 0 x − 3 5 Với xx 3 − 3 0 0 x − 3 5 5 Do đó đề nhỏ nhất thì 0 trong trường hợp x 3 x − 3 x − 3 5 5 Mặt khác tử số của không đổi nên nhỏ nhất khi mẫu x −3 lớn nhất x − 3 x − 3 Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x 3nên x = 2 55 Khi đó B = −1 = − 1 = − 6 x −−3 2 3 Vậy khi x = 2 thì B đạt GTNN là −6. Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) a3 a b ab a) Ta có = = . Đặt ==k . Suy ra a==3 k ;b 4 k b 4 3 4 34
16. 16/ 26 Toán h ọc là đam mê Khi đó biểu thức A trở thành: 2.3k− 5.4 k 4.3 k + 4 k 6 k − 20 k 12 k + 4 k − 14 k 16 k 14 5 5 A = − = − =−=−=−=1 1 1 3k− 3.4 k 8.3 k − 2.4 k 3 k − 12 k 24 k − 8 k − 9 k 16 k 9 9 9 5 Vậy A = . 9 b) Ta có x+ y + z = 0 , suy ra x+ y = − z; y + z = − x và x+ z = − y Thay vào biểu thức B, ta được: B=()()() − z − x − y = − xyz , mà xyz = 2 nên B =−2 Vậy B =−2. c) Xét với xx=2014 + 1 = 2015. Khi đó ta được f()()()()()2014=−+ x17 x 1 x 16 ++ x 1 x 15 −+ x 1 x 14 +++− x 1 x 1 =−+++−++++−x17()()()() x 17 x 16 x 16 x 15 x 15 x 14 x 2 x 1 =−−++−−+++−x17 x 17 x 16 x 16 x 15 x 15 x 14 x 2 x 1 =x −1 = 2014 − 1 = 2013 Vậy f ()2014= 2013 Bài 10. a) Do AB2+= AC 2 BC 2 nên ABC vuông tại A. C b) Do EAD = BDA() cgc nên ED= AB . c) AHD: ADH = 180oo − ( HAD + AHD ) = 90 − HAD CAD=−90o DAB H E I Mà AD là phân giác BAH D M Nên HAD= DAB → CAD = ADH A B Vậy ADC cân tại C. d) ADC cân tại C, M là trung điểm AD nên CM⊥ AD .
17. 17/ 26 Toán h ọc là đam mê Do EAD = BDA() cgc (c/m ở b) nên EDA=→ DAB ED// AB Mà AB⊥ AC → DE ⊥ CA → I = AH  DE Do đó I là trực tâm ADC → I CM Vậy C, I, M thẳng hàng. Bài 11. a) Vì BD là phân giác ABC F Suy ra ABD= DBE A Do đó ABD = EBD (góc nhọn – cạnh huyền). H ABKI = EBK D b) Ta có: (c-g-c) K nên BD⊥= AE K và K là trung điểm AE. B C Vậy BD là đường trung trực của AE. E c) Ta có: ABD = EBD nên AD= DE mà EDC vuông tại E nên DE DC → AD DC . d) Ta có: FAD = CED() c − g − c Suy ra: FAD= CDE do đó FAD+ ADE = ADE + EDC Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng. Trong BEC:,, CA ⊥ BE FE ⊥ BC CA  FE = D nên D là trực tâm BEC → BD ⊥ CF . e) Ta có: FAD: AF + AD FD và ECD: DE + EC DC Mà AF== CE, AD DE Suy ra ()()AF+ AD + DE + EC FD + DC Hay 2(AD+ AF ) FD + DC Xét DEFC: DF + DC FC Do đó 2(AD+ AF ) FC .
18. 18/ 26 Toán h ọc là đam mê Bài 12. a) Ta có: + AH⊥ BC AH là đường cao của ABD + HD= HB AH là trung tuyến của ABD ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân tại A . b) + ABD cân tại A nên: ADH= ABH (1) + ADH vuông tại H nên: DAH+= ADH 900 (2) + ABC vuông tại A nên: ACB+= ABH 900 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DAH= ACB (đpcm). c) Ta có: + DCE vuông tại E nên: DCE+= CDE 900 (4) + Mà:CDE= ADH (đối đỉnh) (5) Từ (2), (4), (5) suy ra: DCE= ACB CB là tia phân giác của ACE d) Ta có: + AH⊥ BC AH ⊥ DC + ID⊥ AC + CE⊥ AD AH,, ID CE là 3 đường cao của BCD nên đồng quy tại một điểm. e) Vì AH⊥ BC nên HB, HC lần lượt là hình chiếu của AB, AC trên BC Mà: AC AB (gt) HC HB(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Mà: HD= HB (điểm D tia HC ) Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC Do đó: CD CH Lại có: CH AC (quan hệ giữa đường xien và đường vuông góc) Vâỵ: CD AC . f) Nếu I là trung điểm của AC thì: DI là đường trung tuyến của ADC Mà: DI⊥ AC
19. 19/ 26 Toán h ọc là đam mê ADC có DI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ADC cân tại D =DAC DCA Lại có: ADB= 2 DCA ( tính chất góc ngoài của tam giác) Mà: ADB= ABC (vì ABD cân tại A ) Do đó: ABC= 2 DCA Mà: ABC+= DCA 900 Suy ra: ABC==6000 ; DCA 30 Vậy ABC có thêm điều kiện ABC = 600 (hoặc ACB = 300 ) thì I là trung điểm AC . Bài 13. a) Xét ABD và ACE có: A += AB AC ( ABC cân) ABC ACE D E += ( ABC cân) B C M += BD CE (Giả thiết) H K G ABD ACE () c . g . c F =AD AE (2 cạnh tương ứng) ADE cân (đpcm). b) Vì ABD ACE () cmt BAH = CAK (2 góc tương ứng) Xét ABH và ACK có: + AHB = AKC () = 90   ABH ACK () ch − gn + AB = AC () ABC can  =BH CK () 2 canh tuong ung += BAH CAK () cmt  c) Xét DBH và ECK có: + DHB = EKC () = 90   DBH ECK () ch − cgv += BD CE () gt  =DBH ECK 2 goc tuong ung += BH CK cmt () ()  GBC cân tại G , lại có GM là trung tuyến GM là đường trung trực G đường trung trực của BC ()1
20. 20/ 26 Toán h ọc là đam mê Vì ABC cân tại A (gt) A đường trung trực của BC ()2 Do M là trung điểm của BC (gt) M đường trung trực của BC ()3 Từ ()()1 , 2 và ()3 AMG , , thẳng hàng. d) Xét AME có: AEC= AME + MAE =90 + MAE 90  AEC là góc tù. Xét ACE có: AC đối diện góc tù AEC AC AE (quan hệ góc và cạnh đối diện) Mà AD= AE (cmt) AC AD (đpcm) e) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF= DA. Xét ADE và FDB có: += DE DB () gt  ADE FDB () c . g . c += ADE FDB () 2 goc doi dinh  += AE BF () 2 canh tuong ung += DA DF cach ve ()  += DAE DFB () 2 goc tuong ung Xét ABD có: ADB = ACE ABD (t/c góc ngoài tam giác) AB AD (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà AD== BF () AE nên AB BF . Xét ABF có: AB BF() cmt AFB DAB (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Lại có AFB= DAE () cmt DAE DAB (đpcm). Bài 14. a) ABC đều (giả thiết) Mà BM là phân giác của ABC (giả thiết) BM là đường trung trực của ABC CM=⊥ MA; BM AC (tính chất đường trung trực) CM= MA Trong CNA có: NM⊥⊥ AC() BM AC
21. 21/ 26 Toán h ọc là đam mê Suy ra CNA cân tại N (đpcm) ACN= NAC (tính chất tam giác cân) BCA= BAC() gt b) Ta có: ACN= NAC() cmt BCA + ACN = BAC + NAC BCN = BAN Do BAN=9000() gt BCN = 90 NC ⊥ BC . c) Xét BCN và BAN có: BCN== BAN 900 BN chung BC= BA() gt BCN = BAN (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông) =BNC BNA (Góc tương ứng bằng nhau) Trong BCN có: BCN=9000 ( cmt ) BNC + CBN = 90 11 Mà: CBN= NBA = CBA =.6000 = 30 (gt) 22 CNB =900 − CBN = 90 0 − 30 0 = 60 0 CNB = BNA = 600 Ta có: CNB+ BNA + CNE =1800 0 0 0 0 0 CNE =180 − CNB − BNA = 180 − 60 − 60 = 60 0 CNE = CNB = 60 . NC là tia phân giác của BNE Mà NC⊥ BC BNE cân tại N . d) Ta có: BNE cân tại N mà NC⊥ BC hay NC là đường cao của BNE NC là đường trung trực của BNE (t/c tam giác cân) NC là đường trung trực của BE
22. 22/ 26 Toán h ọc là đam mê e) Ta có : BAE = 900 AE2=+ BE 2 AB 2 AE = BE2 + AB 2 =20 2 + 10 2 = 10 5 Ta lại có : BC= CE =10 cm BE = 20 cm Chu vi tam giác ABE là : AB+ BE + EA =10 + 20 + 10 5 = 30 + 10 5 Đặt NA= x; NE = y NB = y Ta có : NA+ NE = AE x + y =10 5 Mà : BN2= NA 2 + AB 2 y 2 = x 2 +10 y==6 5 NE 6 5 Suy ra . x==2 5 NA 2 5 1 Ta có: S==. NC . BE .10 20 5( cm2 ). BNE 2 1 =NA.2. BC = NA . BC = 2 5 2 Bài 15. a) Chứng minh: DH= DE. K Cách 1: Xét AHD và AED , có: B 0 AHD== AED 90 H P AD là cạnh huyền chung D HAD= EAD ( AD là phân giác HAC ) C Do đó AHD = AED (Cạnh huyền – góc nhọn) A E =DH DE (2 cạnh tương ứng). Cách 2: DH⊥ AH Ta có: DE⊥ AE Mà D thuộc đường phân giác HAE =DH DE (Tính chất của điểm thuộc tia phân giác).
23. 23/ 26 Toán h ọc là đam mê b) Chứng minh AKC cân. Do D là giao điểm của hai đường cao KE và CH nên D là trực tâm của AKC ⊥AD CK Xét AKC có AD là đường cao đồng thời là đường phân giác Do đó: AKC cân tại A. c) Chứng minh KHE = CEH . Xét AEK và AHC có: AK= AC (Do AKC cân) A chung Do đó: AEK = AHC (Cạnh huyền – góc nhọn) =HKE ECH (2 góc tương ứng) và KE= HC (2 cạnh tương ứng). Lại có: +) AH= AE (Do AHD = AED ) +) AK= AC (Do AKC cân) +) AC=+ AE EC +) K=+ AH HK Suy ra HK= EC Xét KHE và ΔCEH có: HK= EC (Chứng minh trên) HKE = ECH (Chứng minh trên) KE= HC (Chứng minh trên) Do đó: KHE = CEH() c - g - c d) Tính AC . 2 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vuông tại A có: AB+= AC BC (1) 2 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHB vuông tại H có: AB=+ AH BH (2) 2 2 2 Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHC vuông tại H có: AC=+ AH CH (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: BC2− BH 2 − CH 250 2 − 18 2 − 32 2 BC2=2 AH 2 + BH 2 + CH 2 AH 2 = = =576 AH = 24 22 Thay vào (3), ta tính được AC= 30 cm . e) Chứng minh HEP đều
24. 24/ 26 Toán h ọc là đam mê Khi BCA=3000 KAC = 60 Xét AKC cân tại A, có KAC = 600 AKC đều Do đó AK== AC KC(4) Lại có: AD,, KE AP là các đường cao đồng thời là trung tuyến EHP, , lần lượt là trung điểm của AC,, AK CK . Xét AHC vuông tại H , trung tuyến HE ứng với cạnh huyền AC . 1 Suy ra HE= AC(5) (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) 2 1 1 Tương tự ta có: HP= AK (6) và EP= CK (7) 2 2 Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: HE== HP EP Vậy HEP đều (Điểu phải chứng minh). Bài 16. a) Xét ABC có: B ABC + ACB + BAC = 180o F E o o ABC + ACB + 60 = 180 I ABC + ACB = 120o 60° C A D Ta có: CI là tia phân giác của góc ACB 1 BCI = ACI = ACB 2 BI là tia phân giác của góc ABC 1 CBI = ABI = ABC 2 1 1 1 1 BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= .120oo =60 2 2 2 2 Xét BIC có:
25. 25/ 26 Toán h ọc là đam mê BIC + CBI + BIC = 180o 60o + BIC = 180o BIC = 120o b) Ta có: EIB + BIC = 180o EIB + 120o = 180o EIB = 60o . Ta có: DIC + BIC = 180o DIC + 120o = 180o DIC = 60o . O Ta có: IF là tia phân giác của BIC BIF = FIC = 60 . Xét IFC và IDC có: ICF= ICD (vì CI là phân giác của BCA ). Cạnh CI chung CIF== CID()60O ΔIFC = ΔIDC (g-c-g) IF= ID (1) Xét IFB và IEB có: IBF= IBE (vì BI là phân giác của CBA ) Cạnh IB chung BIF== BIE ()60O IFB = IEB ( g − c − g ) IF= IE (2) Từ (1) và (2) IF== IE ID .
26. 26/ 26 Toán h ọc là đam mê c) Ta có: EIF = EIB + FIB = 60o + 60 o = 120 o DIF = DIC + FIC = 60o + 60 o = 120 o Xét EIF và DIF có IF là cạnh chung EIF == DIF () 120o IE= ID (cmt) EIF = DIF (c-g-c) EF= DF (3) Chứng minh tương tự: EIF = EID EF= ED (4) TỪ (3) VÀ (4) ta có: EF== DE DF . DEF là tam giác đều d) EIF = DIF IFE = IFD FI là phân giác của EFD EIF = EID IEF = IED EI là phân giác của FED I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác DEF . Tam giác ABC có: CI là phân giác của ACB BI là phân giác của ABC I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC Vậy I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và tam giác DEF.