Đề cương ôn tập môn Toán Khối 10

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Khối 10

1. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Bất phương trình 2. Dấu của một nhị thức bậc nhất Khái niệm bất phương trình. Dấu của một nhị thức bậc nhất. Nghiệm của bất phương trình. Hệ bất phương trình bậc nhất một Bất phương trình tương đương. ẩn. Phép biến đổi tương đương các bất 3. Dấu của tam thức bậc hai phương trình. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai. Bài tập. 1. Xét dấu biểu thức 1 x 2 f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7). m). x 2 3x 5 1 1 g(x)= 3 x 3 x 3. Giải bất phương trình x 3 1 h(x) = -3x2 + 2x – 7 a/ b/ 5x 8 11 k(x) = x2 - 8x + 15 2. Giải bất phương trình c/ 3x 5 2 (5 - x)(x - 7) a) > 0 d/ x 2 2x 3 x 1 b) –x2 + 6x - 9 > 0; e/ 5 x x 3 8 4) Giải hệ bất phương trình sau c) -12x2 + 3x + 1 0 3x 1 2x 7 11x 3 c) 2 0 4x 3 2x 19 h) x 5x 7 x2 3x 2 2x 3 0 1 2 x 1 k) x x 1 d) (x 2)(3 x) l). (1 – x )( x2 + x – 6 ) > 0 0 x 1 1
2. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 5) Với giá trị nào của m, 7) Tìm m để bpt sau có tập phương trình sau có nghiệm? nghiệm là R: a) a) x2+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0. 2x2 (m 9)x m2 3m 4 0 2 b) (m 1)x2 2(m 3)x m 2 0 b) (m 4)x (m 6)x m 5 0 6) Cho phương trình : 8) Xác định giá trị tham số m (m 5)x2 4mx m 2 0 để phương trình sau vô nghiệm: x2 – 2 (m – 1 ) x – m2 – 3m + 1 = 0. Với giá nào của m thì : 9) Cho a) Phương trình vô nghiệm f (x ) = ( m + 1 ) x2 – 2 ( m +1) x – 1 b) Phương trình có các nghiệm trái dấu a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0 có nghiệm b). Tìm m để f (x) 0 , x ¡ CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ 1.Bảng phân bố tần số - tần suất. 2. Biểu đồ Biểu đồ tần số, tần suất hình cột. Đường gấp khúc tần số, tần suất. Biểu đồ tần suất hình quạt. 3. Số trung bình Số trung bình. Số trung vị và mốt. 4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê Bài tập. 1. Cho caùc soá lieäu ghi trong baûng sau Thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm ôû moät nhoùm coâng nhaân (ñôn vò:phuùt) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50 a/Haõy laäp baûng phaân boá taàn soá ,baûng phaân boá taàn suaát. b/Trong 50 coâng nhaân ñöôïc khaûo saùt ,nhöõng coâng nhaân coù thôøi gian hoaøn thaønh moät saûn phaåm töø 45 phuùt ñeán 50 phuùt chieám bao nhieâu phaàn traêm? 2
3. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm): 145 158 161 152 152 167 150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175). b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất c) Phương sai và độ lệch chuẩn 3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau: 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm tròn). b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên. 4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau : Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây ) 6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1 8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5 8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3 7.6 a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp : [ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh. c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố. 5 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau: Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số 430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 khách a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn. 3
4. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Góc và cung lượng giác Bảng các giá trị lượng giác của Độ và rađian. các góc thường gặp. Góc và cung lượng giác. Quan hệ giữa các giá trị lượng Số đo của góc và cung lượng giác. giác. 3. Công thức lượng giác Đường tròn lượng giác. Công thức cộng. 2. Giá trị lượng giác của một Công thức nhân đôi. góc (cung) Công thức biến đổi tích thành Giá trị lượng giác sin, côsin, tổng. tang, côtang và ý nghĩa hình Công thức biến đổi tổng thành học. tích. Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang ra-đian: 7. Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5 105° ; 108° ; 57°37'. 2. Một đường tròn có bán kính 8. Chứng minh rằng: 10cm. Tìm độ dài của các cung cos4x - sin4x = cos2x. trên đường tròn có số đo: 7 a) b) 45°. 12 3 3. cho sinα = ; và 5 2 a) Cho Tính cosα, tanα, cotα. b) Cho tanα = 2 và 3 Tính sinα, cosα. 2 4. Chứng minh rằng: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin(A + B) = sinC A B C b) sin = cos 2 2 6. Tính: cos105°; tan15°. 4
5. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax by c D¹ng a' x b' y c' 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 3 2 x y 1 ( 2 1)x 2y 1 5 3 1) 2) 3 1 4x ( 2 1)y 3 x y 5 7 3 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh mx 5y 5 (m 5)x 2y m 7 1) 2) 5x my 5 (m 1)x my 3m 3. T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm mx (2m 1)y 3m mx ny m 2 n 2 1) 2) (2m 1)x my 3m 2 nx my 2mn 4. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau song song 1 6x y 4 0 ,(m 1)x y m m 5. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng sau c¾t nhau trªn Oy x my 2 m , x (2m 3)y 3m HÖ gåm mét ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµmét ph­¬ng tr×nh bËc hai hai Èn ax by c (1) D¹ng 2 2 cx dxy ey gx hy k (2) PP gi¶i: Rót x hoÆc y ë (1) råi thÕ vµo (2). 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 2x 3y 5 3x 4y 1 0 1) 2) 2 2 3x y 2y 4 xy 3(x y) 5 2x 3y 1 3) 2 2 2x 5xy y 10x 12y 100 2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph­¬ng tr×nh mx 2y 1 mx 2y 1 1) 2) 2 2 2 2 x 2y 2 x 2y 2 3. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng 8x 8(m 1)y m 0 c¾t parabol 2x 2 y x 0 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. ## 5
6. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I f1 (x, y) 0 D¹ng ; víi f i (x, y) = f i (y, x) . f 2 (x, y) 0 x y S 2 PP gi¶i: ®Æt ; S 4P xy P 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x y xy 5 x y xy 11 1) 2) 2 2 2 2 x y xy 7 x y y x 30 1 1 1 x 2 y 2 xy 19 3) 4) x y 2 4 4 2 2 x y x y 931 3 3 x y 243 1 2 2 (x y) 1 5 x y 17 xy 5) 6) x x 5 1 (x 2 y 2 ) 1 49 y y 2 2 2 x y 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x 2 y 2 1 x 2 y 2 x y) 8 1) 2) 6 6 x y m (x 1)(y 1)xy m x y 2 m 3. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 2 2 x y xy 3 Gi¶ sö x; y lµ mét nghiÖm cña hÖ. T×m m ®Ó biÓu thøc F= x®¹t2 max,y 2 x®¹ty min. HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II f (x, y) 0 D¹ng f (y, x) 0 f (x, y) 0 PP gi¶i: hÖ t­¬ng ®­¬ng f (x, y) f (y, x) 0 f (x, y) f (y, x) 0 hay f (x, y) f (y, x) 0 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh y 2 3y 4x y 2 xy 3x 1) 2) 2 2 x 3x 4y x xy 3y y 3 yx 2 40x y 3 3y 8x 3) 4) 3 2 3 x xy 40y x 3x 8y 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. y 2 (x y) 2m y 2 x 3 4x 2 mx 1) 2) 2 2 3 2 x (x y) 2m x y 4y my 6
7. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp (cÊp 2) ax 2 bxy cy 2 d (1) D¹ng 2 2 a' x b' xy c' y d' (2) PP gi¶i: ®Æt y tx nÕu x 0 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 2x 2 2xy y 2 2 2x 2 3xy y 2 13 1) 2) 2 2 2 2 x 2xy 3y 9 x xy 2y 4 3x 2 4xy 2y 2 17 x 2 5y 2 1 3) 4) 2 2 2 x y 16 7y 3xy 1 2. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 3x 2 2xy y 2 11 x 2 2xy 3y 2 1 1) 2) 2 2 2 2 x 2xy 3y 17 m x 4xy 5y m Mét sè HÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x y 1 x y xy 49 1) 2) 2 2 2 2 x xy y 7 x y y x 180 xy(x y) 2 2xy 1 0 3) 4) 3 3 3 3 x y 7 8(x y ) 9(x y) 0 2 2 x y 1 2y(x 2 y 2 ) 3x 5) 6) 2 2 x 1 y 2 (x y )x 10y 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh x 2 y 2 z 2 14 7x y 2x y 5 2 1) 3) xz y 2x y x y 1 x y z 7 2x y 2 3y 2 2x 3 5 2) 3 3x 2y 5 3. T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung a) xvµ 1 3m x 2 4m 2 12 b) (m 1)x 2 (m 2)x 1 0 vµ x 2 2x m 1 0 4. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x y a(xy 1) x 1 y m x y xy 2 0 y 1 x 1 4. T×m m, n ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nhiÒu h¬n 5 nghiÖm ph©n biÖt x 2 nxy y 2 1 2 2 x m(x y) y x y m 7
8. ®Ò c­¬ng «n tËp khèi 10 II.HÌNH HỌC. CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vô hướng của hai vectơ. 2. Các hệ thức lượng trong tam giác Định nghĩa Định lí côsin, định lí sin. Tính chất của tích vô hướng. Độ dài đường trung tuyến trong Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. một tam giác. Độ dài của vectơ và khoảng cách Diện tích tam giác. giữa hai điểm. Giải tam giác. CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phương trình đường thẳng Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Góc giữa hai vectơ. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng. 2.Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn với tâm cho trước và bán kính cho trước. Nhận dạng phương trình đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 8
9. Bài tập Bài 5. Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2). Bài 1. Cho tam giaùc ABC coù Tính khoảng cách từ điểm C Aµ 600 , caïnh CA = 8, caïnh AB = 5 đến đường thẳng AB. 1) Tính caïnh BC Bài 6. Cho tam giaùc ABC coù: 2) Tính dieän tích tam giaùc A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Vieát ABC phöông trình toång quaùt cuûa: 3) Xeùt xem goùc B tuø hay nhoïn a) 3 caïnh AB, AC, BC 4) Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH b) Ñöôøng thaúng qua A vaø song 5) Tính baùn kính ñöôøng troøn song vôùi BC ngoaïi tieáp tam giaùc c) Trung tuyeán AM vaø ñöôøng Bài 2. Cho tam giaùc ABC coù a cao AH cuûa tam giaùc ABC = 13 ; b = 14 ; c = 15 d) Ñöôøng thaúng qua troïng taâm a) Tính dieän tích tam giaùc G cuûa tam giaùc ABC vaø ABC vuoâng goùc vôùi AC b) Goùc B nhoïn hay tuø e) Ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh c) Tính baùn kính ñöôøng troøn BC noäi tieáp r vaø baùn kính Bài 7. Cho tam giaùc ABC coù: ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).: cuûa tam giaùc a) Vieát phöông trình toång quaùt d) Tính ñoä daøi ñöôøng trung cuûa 3 caïnh AB, AC, BC b) Viết phương trình đöôøng tuyeán ma Bài 3 Cho tam giác ABC có a = trung bình song song cạnh AB 3 ; b = 4 và góc C = 600; Tính c) Viết phương trình đường các góc A, B, bán kính R của thẳng qua A và cắt hai trục đường tròn ngoại tiếp và trung tọa độ tại M,N sao cho AM tuyến ma. = AN Bài 4 Viết phương trình tổng d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân quát, phương trình tham số của đường cao kẻ từ A trong đường thẳng trong mỗi trường tam giaùc ABC hợp sau: Bài 8. Viết phương trình đường a) Đi qua A(1;-2) và // tròn có tâm I(1; -2) và với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0. a) đi qua điểm A(3;5). b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và b) tiếp xúc với đường N(3;2). thẳng có pt x + y = 1. c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông Bài 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: góc với đường thẳng x - y + 5 = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 = 0. 0. 9
10. Bài 10. Cho đường tròn có phương trình: A. tãm t¾t lÝ thuyÕt. x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. I. Hệ Trục toạ độ II. Tọa độ vÐc tơ. Viết phương trình tiếp 1. Định nghĩa. tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0). u (x; y) u xi y j Bài 11. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua A(5 ; 3) vaø tieáp 2. C¸c tÝnh chất. Trong mặt phẳng Oxy cho xuùc vôùi u (x; y);v (x '; y ') , ta cã : (d): x + 3y + 2 = 0 taïi a. u v (x x '; y y ') ñieåm B(1 ; –1) b. ku (kx;ky) . Bài 12 : Cho đường thẳng d : x 2y 4 0 và điểm A(4;1) c. u.v xx ' yy ' . 2 a) Tìm tọa độ điểm H là hình d. u x2 x '2 u x2 x '2 . chiếu của A xuống d b) Tìm tọa độ điểm A’ đối e. u  v u.v 0 xx ' yy ' 0. x y xứng với A qua d f u,v cïng phương . Bài 13 Cho đường thẳng d : x ' y ' x 2y 2 0 x x ' và điểm M(1;4) g. u v . a) Tìm tọa độ hình chiếu H y y ' của M lên d 3. VÝ dụ. b) Tìm tọa độ điểm M’ đối VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau :  1 xứng với M qua d a i; b 5 j; c 3i 4 j; d ( j i); Bài 14 Cho đường thẳng d có  2 e 0,15i 1,3 j; f i (cos 240 ) j. x 2 2t phương trình tham số : VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ : y 3 t a (2;1);b (3;4);c (7;2) . a) Tìm điểm M trên d sao a. T×m toạ độ của vÐc tơ u 2a 3b c. cho M cách điểm A(0;1) b. T×m toạ độ của vÐc tơ x sao cho một khoảng bằng 5 x a b c. b) Tìm giao điểm của d và đường thẳng c. T×m c¸c số k,l để c ka lb . : x y 1 0 VÝ dô. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Bài 15 Tính bán kính đường c¸c vÐc tơ : tròn tâm I(3;5) biết đường a (3;2);b ( 1;5);c ( 2' 5) . tròn đó tiếp xúc với đường a. T×m to ạ độ cña vÐc t ơ sau u 2a b 4c. v a 2b 5c ; thẳng :3x 4y 4 0  w 2(a b) 4c. b. T×m c¸c số x, y sao cho c xa yb. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng PHẲNG. a.b;b.c;a(b c);b(a c) Chuyªn ®Ò 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ. 10
11. 1 b. T×m toạ độ trọng t©m ABC . VÝ dụ 4. Cho u i 5 j;v ki 4 j. c. T×m toạ độ điểm E sao cho ABCE 2 T×m k để u,v cïng phương. là h×nh b×nh h×nh. ®­êng th¼ng. III. Toạ độ của điểm. Chuyªn ®Ò 1: ph­¬ng tr×nh ®­êng 1. Định nghĩa . th¼ng.   M (x; y) OM (x; y) OM xi A.y jkiÕn. thøc c¬ b¶n. I. VÐc t¬ chØ ph­¬ng vµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña ®­êng th¼ng. 2. Mối liªn hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ 1) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn: VÐc t¬ n 0 ®­îc của vÐc tơ. gäi lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ( vtpt ) cña ®­êng Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai th¼ng nÕu nã cã gi¸  . điểm A(x ; y ); B(x ; y );C(x ; y ) . Khi ®ã: 2) VÐc t¬ chØ ph­¬ng: VÐc t¬ u 0 1 1 2 2 3 3 ®­îc gäi lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng( vtcp) cña a.   ®­êng th¼ng nÕu nã cã gi¸ song song 2 2 AB (x2 x1; y2 y1) AB (x2 x1) (y2 y1)hoÆc trïng víi ®­êng th¼ng . . * Chó ý: b. Toạ độ trung điểm I của đoạn AB là - NÕu n;u lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn vµ chØ x x y y ph­¬ng cña ®­êng th¼ng th× k 0 c¸c : I( 1 2 ; 1 2 ) . 2 2 vÐc t¬ kn;ku còng t­¬ng øng lµ c¸c vÐc t¬ c. Toạ độ trọng t©m G của ABC là : ph¸p tuyÕn vµ chØ ph­¬ng cña ®­êng th¼ng x x x y y y . G( 1 2 3 ; 1 2 3 ) . 3 3 - NÕu n (a;b) lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña d. Ba điểm A, B,C thẳng hàng ®­êng th¼ng th× vÐc t¬ chØ ph­¬ng lµ   AB, AC cïng phương. u (b; a) hoÆc u ( b;a) . 3. VÝ dụ. - NÕu u (u1;u2 ) lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña VÝ dụ 1. Cho ba điểm ®­êng th¼ng th× vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ A( 4;1), B(2;4),C(2; 2) . n (u ; u ) hoÆc n ( u ;u ) . a. Chứng minh ba điểm kh«ng th¼ng 2 1 2 1 hàng. b. TÝnh chu vi ABC . II. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng. c. T×m tọa độ trực t©m H . Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®­êng th¼ng VÝ dụ 2. Cho ba điểm ®i qua M (x ; y ) vµ cã vÐc t¬ ph¸p A( 3;4), B(1;1),C(9; 5) . 0 0 0 a. Chứng minh A, B,C th¼ng hàng. tuyÕn n (a;b) . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh tæng b. T×m toạ độ D sao cho A l trung qu¸t cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh : à 2 2 điểm của BD . a(x x0 ) b(y y0 ) 0 (1). ( a b 0. ) c. T×m toạ độ điÓm E trªn Ox sao cho A, B, E th¼ng hàng. III. Ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng VÝ dụ 3. Cho ba điểm th¼ng. A( 4;1), B(2;4),C(2; 2) . Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®­êng th¼ng ®i qua M (x ; y ) vµ cã vÐc t¬ chØ ph­¬ng a. Chứng minh ba điểm A, B,C tạo 0 0 0 thµnh tam gi¸c. u (u1;u2 ) . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh tham sè 11
12. cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh : c. §i qua M (3;2) vµ x x0 u1t x 1 2t (2) . ( t R. ) // d : (t ¡ ) . y y0 u2t y t * Chó ý : NÕu ®­êng th¼ng cã hÖ sè gãc k d. §i qua M (2; 3) vµ th× cã vÐc t¬ chØ ph­¬ng lµ u (1;k)  d : 2x 5y 3 0 . II. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i IV. ChuyÓn ®æi gi÷a ph­¬ng tr×nh tæng qua M (x ; y ) vµ cã mét vtpt n (a;b) . qu¸t vµ ph­¬ng tr×nh tham sè. 0 0 VÝ dô 2 : ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña 1. NÕu ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : a. §i qua M (1;2) vµ cã mét vtpt d¹ng (1) th× n (a;b) . Tõ ®ã ®­êng th¼ng n (2; 3) . cã vtcp lµ u (b; a) hoÆc u ( b;a) . b. §i qua A(3;2) vµ Cho x x0 thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) // d : 2x y 1 0. y y .Khi ®ã ptts cña lµ : 0 c. §i qua B(4; 3) vµ x 1 2t x x 0 bt  d : (t R¡ ) . (t ¡ ). y t y y 0 at III. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M (x ; y ) vµ cã hÖ sè gãc k cho tr­íc. 2. NÕu ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh 0 0 d¹ng (2) th× vtcp u (u ;u ) . Tõ ®ã ®­êng + Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng cã d¹ng 1 2 y kx m . th¼ng cã vtpt lµ n (u ; u ) hoÆc 2 1 + ¸p dông ®iÒu kiÖn ®i qua n ( u ;u ) . Vµ ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t 2 1 M (x ; y ) m . cña ®­îc x¸c ®Þnh bëi : 0 0 VÝ dô 3 : ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : u (x x ) u (y y ) 0. 2 0 1 0 a. §i qua M ( 1;2) vµ cã hÖ sè * Chó ý : gãc k 3 . - NÕu u1 0 th× pttq cña lµ : b. §i qua A(3;2) vµ t¹o víi x x0 0 . chiÒu d­¬ng trôc Ox gãc 0 - NÕu u2 0 th× pttq cña lµ : 45 . III. LuyÖn tËp. y y0 0. 1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong B. bµi tËp c¬ b¶n. c¸c tr­êng hîp sau : I. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i a. §i qua A(3;2) vµ B( 1; 5) ; M ( 3;1) vµ N(1; 6) ; qua M (x0 ; y0 ) vµ cã mét vtcp u (u1;u2 ) . b. §i qua A vµ cã vtcp u , nÕu : VÝ dô 1 : ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau : + A(2;3) vµ u ( 1;2) . a. §i qua M (1; 2) vµ cã mét + A( 1;4) vµ u (0;1) . vtcp u (2; 1) . c. §i qua A(3; 1) vµ // d : 2x 3y 1 0 . b. §i qua hai ®iÓm A(1;2) vµ d. §i qua M (3;2) vµ n (2;2) . B(3;4) ; A( 1;2) vµ e. §i qua N(1;2) vµ  víi : B( 1;4) ; A(1;2) vµ B(3;2) . + Trôc Ox . + Trôc Oy. 12
13. f. §i qua A(1;1) vµ cã hÖ sè gãc k 2 . XÐt hÖ ph­¬ng tr×nh g. §i qua B(1;2) vµ t¹o víi chiÒu d­¬ng a1x b1 y c1 0 0 (1) trôc Ox gãc 60 . a2 x b2 y c2 0 2. ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh ABC biÕt : NÕu hÖ (1) cã mét nghiÖm th× hai ®­êng a. A(2;1); B(5;3);C(3; 4). th¼ng c¾t nhau vµ to¹ ®é giao ®iÓm lµ b. Trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ : nghiÖm cña hÖ. M ( 1; 1); N(1;9); P(9;1). NÕu hÖ (1) v« nghiÖm th× hai ®­êng c. C( 4; 5) vµ hai ®­êng cao th¼ng song song nhau. (AH ) :5x 3y 4 0;(BK) :3x 8y 13 0 NÕu hÖ (1) nghiÖm ®óng víi mäi x; y . th× hai ®­êng th¼ng trïng nhau. d. (AB) :5x 3y 2 0 vµ hai ®­êng cao * Chó ý: NÕu bµi to¸n kh«ng quan t©m ®Õn (AH ) : 4x 3y 1 0;(BK) : 7x 2y 22 0 to¹ ®é giao ®iÓm, ta nªn dïng c¸ch 1. . b. bµi tËp c¬ b¶n. e. A(1;3) hai trung tuyÕn I. XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng (BM ) : x 2y 1 0;(CN) : y 1 0 . th¼ng. f. C(4; 1) ®­êng cao (AH ) : 2x 3y 0 VÝ dô 1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi c¸c cÆp trung tuyÕn (BM ) : 2x 3y 0. ®­êng th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña trong tr­êng hîp c¾t nhau: Chuyªn ®Ò 2: a) hai ®­êng th¼ng. 1 : x y 2 0; 2 : 2x y 3 0 . A. tãm t¾tlÝ thuyÕt. b) I. Bµi to¸n: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai x 1 4t ®­êng th¼ng ; cã ph­¬ng tr×nh 1 : 2x 4y 10 0; 2 : (t ¡ ) 1 2 y 2 2t 2 2 ( 1) : a1x b1 y c1 0, a1 b1 0 2 2 c) ( 2 ) : a2 x b2 y c2 0, a2 b2 0 x 1 5t x 6 5t ' Hái: Hai ®­êng th¼ng trªn c¾t nhau, song 1 : (t  ¡ ) 2 : (t ' ¡ ) y 2 4t y 2 4t ' song hay rïng nhau ? Tr¶ lêi c©u hái trªn chÝnh lµ bµi to¸n xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng. II. BiÖn luËn theo tham sè vÞ trÝ t­¬ng II. Ph­¬ng ph¸p. ®èi cña hai ®­êng th¼ng. 1. C¸ch 1: VÝ dô 1: Cho hai ®­êng th¼ng a a : (m 3)x 2y m2 1 0; : x my (m 1)2 0 NÕu 1 2 th× hai ®­êng th¼ng c¾t 1 2 b1 b2 nhau. T×m m ®Ó hai ®­êng th¼ng c¾t nhau. a a c VÝ dô 2: Cho hai ®­êng th¼ng NÕu 1 2 1 th× hai ®­êng th¼ng 1 : mx y 1 m 0; 2 : x my 2 0 b1 b2 c2 song song nhau. BiÖn luËn theo m vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña a a c NÕu 1 2 1 th× hai ®­êng th¼ng hai ®­êng th¼ng. b1 b2 c2 III. LuyÖn tËp. trïng nhau. Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi c¸c cÆp ®­êng 2. C¸ch 2: th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm trong tr­êng hîp c¾t nhau: 13
14. a) a1a2 b1b2 :8x 10y 12 0; : 4x 3y 16 0 cos 1, 2 1 2 a2 b2 a2 b2 . 1 1 2 2 b) * NhËn xÐt: §Ó x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng ta chØ cÇn biÕt vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña x 5 t chóng. 1 :12x 6y 10 0; 2 : (t ¡ ) y 3 2t b. bµi tËp c¬ b¶n. c) I. X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng. x t VÝ dô: X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng x 6 5t ' : 4x 2y 6 0; : x 3y 1 0 1 : 1 2 (t  ¡ ) 2 : (t ' ¡ ) 1 2 y t y 2 4t ' 10 5 x t 1 :3x 2y 1 0; 2 : t ¡ Bµi 2: BiÖn luËn theo m vÞ trÝ c¸c cÆp y 7 5t ®­êng th¼ng sau a) x t x t ' 1 : mx y 2m 0; 2 : x my m 1 0 1 : 1 3 t ¡ 2 : 9 1 t ' ¡ y t y t ' b) 2 2 5 5 : mx y 2 0; : x my m 1 0 1 2 II. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ t¹o víi ®­êng th¼ng cho tr­íc mét gãc cho tr­íc. Chuyªn ®Ò 3: gãc gi÷a hai ®­êng VÝ dô 1: Cho ®­êng th¼ng th¼ng. d :3x 2y 1 0 vµ M 1;2 . ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i A. tãm t¾t lÝ thuyÕt. qua M vµ t¹o víi d mét gãc 45o . I. §Þnh nghÜa: Gi¶ sö hai ®­êng th¼ng VÝ dô 2: Cho ABC c©n ®Ønh A . BiÕt ; c¾t nhau. Khi ®ã gãc gi÷a ; lµ 1 2 1 2 AB : x y 1 0; BC : 2x 3y 5 0 . gãc nhän vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ: , . 1 2 ViÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AC biÕt nã ®i * §Æc biÖt: qua M 1;1 . - NÕu , 90o th×  . 1 2 1 2 VÝ dô 3: Cho h×nh vu«ng ABCD biÕt - NÕu , 0o th× // hoÆc 1 2 1 2 A 3; 2 vµ BD : 7x y 27 0 . 1  2 . ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh vµ c¸c II. C«ng thøc x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®­êng chÐo cßn l¹i. ®­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng to¹ ®é. III. LuyÖn tËp. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , gi¶ sö Bµi 1: X¸c ®Þnh gãc gi÷a c¸c cÆp ®­êng ®­êng th¼ng ; cã ph­¬ng tr×nh th¼ng sau 1 2 a) ( ) : a x b y c 0, a2 b2 0 1 1 1 1 1 1 1 : x 2y 5 0; 2 :3x y 0 ( ) : a x b y c 0, a2 b2 0 2 2 2 2 2 2 b) Khi ®ã gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng 1 : x 2y 4 0; 2 : 2x y 6 0 1, 2 ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: 14
15. c) VớiA2 B2 C . Khi ®ã t©m I( A; B) , : 4x 2y 5 0; : x 3y 1 0 1 2b¸n kÝnh R A2 B2 C . Bµi 2: Cho hai ®­êng th¼ng 3. Bài to¸n viết phương tr×nh đường trßn. 1 : 3x y 7 0; 2 : mx y 1 0 VÝ dụ 1. Viết phương tr×nh đường trßn o T×m m ®Ó 1, 2 30 . đường kÝnh AB , với A(1;1), B(7;5) . Bµi 3: Cho ®­êng th¼ng d : 2x y 3 0 §¸p số : (x 4)2 (y 3)2 13 hay vµ M 3;1 . x2 y2 8x 6y 12 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua M vµ t¹o víi d mét gãc 45o . VÝ dụ 2. Viết phương tr×nh đường trßn Bµi 4: Cho ABC c©n ®Ønh A , biÕt: ngoại tiếp ABC , với A( 2;4), B(5;5),C(6; 2) . AB : 2x y 5 0 ; AC :3x 6y 1 0 §¸p số : x2 y2 4x 2y 20 0 . ViÕt ph­¬ng tr×nh BC ®i qua M 2; 1 . VÝ dụ 3. Viết phương trình đường tròn có Bµi 5: Cho h×nh vu«ng t©m I 2;3 vµ tâm I( 1;2) và tiếp xóc với đường thẳng AB : x 2y 1 0 . : x 2y 7 0 . 4 ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh, c¸c ®­êng §¸p số : (x 1)2 (y 2)2 . chÐo cßn l¹i . 5 Bµi 6: Cho ABC c©n ®Ønh A , biÕt: VÝ dụ 4. Viết phương tr×nh đường trßn qua AB :5x 2y 13 0 ; BC : x y 4 0 A( 4;2) và tiếp xóc với hai trục toạ độ. §¸p số : (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc ViÕt ph­¬ng tr×nh AC ®i qua M 11;0 . (x 10)2 (y 10)2 100. Bµi 7: Cho ABC ®Òu, biÕt: A 2;6 vµ 4. Bài toán tìm tham số để phương trình BC : 3x 3y 6 0 dạng x2 y2 2Ax 2By C 0 là ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c c¹nh cßn l¹i. phương trình của một đường tròn. §­êng trßn. A. Tãm tắt lý thuyết. Điều kiện : A2 B2 C . 1. Phương tr×nh chÝnh tắc. VÝ dụ 1. Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y, Trong mặt phẳng Oxy cho đường trßn t©m phương tr×nh nào là phương tr×nh của một I(a;b) b¸n kÝnh R . Khi đã phương tr×nh đường trßn. X¸c định t©m và tÝnh b¸n kÝnh. chÝnh tắc của đường trßn là : a. x2 y2 4x 2y 6 0 . c. x2 y2 6x 8y 16 0 . (x a)2 (y b)2 R2. b. x2 y2 4x 5y 1 0 . d. 2x2 2y2 3x 2 0 2. Phương tr×nh tæng qu¸t. §¸p số : c ) I( 3;4), R 3 . d) 3 5 Là phương tr×nh cã dạng : I( ;0), R . 4 4 x2 y2 2Ax 2By C 0 15
16. VÝ dụ 2. Cho phương tr×nh : d. Tiếp xóc với Ox tại A(6;0) và qua x2 y2 6mx 2(m 1)y 11m2 2m 4 0 B(9;3) . . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là 3. Cho hai đi ểm A( 1;6), B( 5;2) . Lập đường trßn. phương tr×nh đường trßn (C) , biết : b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn. a. Đường kÝnh AB . b. T©m O và đi qua A ; T ©m O và đi VÝ dụ 3. Cho phương tr×nh qua B . 2 2 x y (m 15)x (m 5)y m 0 . c. (C) ngoại tiếp OAB . a. T×m điều kiện của m để pt trªn là đường trßn. 4. Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn. điểm : a. A(8;0) , B(9;3) , C(0;6) . VÝ dụ 4. Cho phương tr×nh (Cm ) : b. A(1;2) , B(5;2) , C(1; 3) . x2 y2 2(m 1)x 2(m 3)y 2 0. B. Bài tập cơ bản. a. T×m m để (Cm ) là phương tr×nh của một đường trßn. 1. Viết phương tr×nh đường trßn (C) cã t©m là điểm I(2;3) và thoả m·n điều kiện sau b. T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I(1; 3). Viết phương tr×nh đường : a. (C) cã b¸n kÝnh R 5. trßn này. b. (C) tiếp xóc với Ox . c. T×m m để (C ) là đường trßn cã m c. (C) đi qua gốc toạ độ O . b¸n kÝnh R 5 2. Viết phương tr×nh d. (C) tiếp xóc với Oy . đường trßn này. d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn e. (C) tiếp xóc với đường th¼ng : 4x 3y 12 0. (Cm ) . 2. Cho ba điểm A(1;4) , B( 7;4) , C(2; 5) . II. BÀI TẬP. a. Lập phương tr×nh đường trßn (C) ngoại tiếp ABC . 1. T×m phương tr×nh đường trßn (C) biết b. T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh. rằng : 3. Cho đường trßn (C) đi qua điểm a. (C) tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã A( 1;2) , B( 2;3) và cã t©m ở trªn đường b¸n kÝnh R 3 . thẳng :3x y 10 0 . b. (C) tiếp xóc với Ox tại A(5;0) và a. T×m toạ độ t©m của đường trßn (C) . cã b¸n kÝnh R 3 . b. TÝnh b¸n kÝnh R . c. Tiếp xóc với Oy tại B(0;5) và đi c. Viết phương tr×nh của (C) . qua C(5;2) . 4. Lập phương tr×nh đường trßn (C) đi qua hai điểm A(1;2) , B(3;4) và tiếp xóc với 2. T×m phương tr×nh đường trßn (C) biết đường thẳng :3x y 3 0 . rằng : 5. Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh a. T×m I(1; 5) và qua gốc toạ độ. AB trong c¸c trường hợp sau : b. Tiếp xóc với trục tung và tại gốc O a. A( 1;1) , B(5;3) . b. và cã R 2 . A( 1; 2) , B(2;1) . c. Ngoại tiếp OAB với A(4;0), B(0; 2) . 16
17. 6. Lập phương tr×nh đường trßn (C) tiếp Ph­¬ng tr×nh bËc hai & xóc với c¸c trục toạ độ và đi qua điểm M (4;2) . hÖ thøc Vi-Ðt 7. T×m tọa độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh của c¸c Bµi tËp 1 : §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng đường trßn sau : tr×nh 2 2 2 2 a. (x 4) (y 2) 7 d. x y 1 0 x x120 ym (5m5 1)x 5m 20 0 b. (x 5)2 (y 7)2 15 Cã e. métx2 nghiÖmy2 8x x6 y= -8 5 . 0T×m nghiÖm kia. c. x2 y2 6x 4y 36 .Bµi tËp f. 2 x:2 Choy2 ph­¬ng4x 10 ytr×nh 15 0 8. Viết phương tr×nh đường trßn đường x2 mx 3 0 (1) kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau : a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n a. A(7; 3) , B(1;7) biÖt. b. A( 3;2) , B(7; 4) 9. Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã ABC biết : A(1;3) , B(5;6) , C(7;0) mét nghiÖm b»ng 1? T×m nghiÖm kia. 10. Viết phương tr×nh đường trßn (C) tiếp Bµi tËp 3 : Cho ph­¬ng tr×nh 2 xóc với c¸c trục toạ độ và : x 8x m 5 0 (1) a. Đi qua A(2; 1). a) §Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n b. Cã t©m thuộc đường th¼ng biÖt. :3x 5y 8 0 . b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã 11. Viết phương tr×nh đường trßn (C) tiếp mét nghiÖm gÊp 3 lÇn nghiÖm kia? T×m c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp xóc với trục hoành tại điểm A(6;0) và đi nµy. qua điểm B(9;9). Bµi tËp 4 : Cho ph­¬ng tr×nh 12. Viết phương tr×nh đường trßn (C) đi (m 4)x2 2mx m 2 0 qua hai điÓm A( 1;0) , B(1;2) và tiếp xóc (1) với đường thẳng : x y 1 0 . a) m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x = 2 . b) m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp. Bµi tËp 5 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 4 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m. b) m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) Gi¶ sö x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) CMR : M = 1 x2 x1 1 x1 x2 kh«ng phô thuéc m. Bµi tËp 6 : Cho ph­¬ng tr×nh x2 2(m 1)x m 3 0 (1) a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m. 2 2 b) §Æt M = x1 x2 (x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)). T×m min M. Bµi tËp 7: Cho 3 ph­¬ng tr×nh 17
18. x2 ax b 1 0(1); a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 2 ph©n biÖt x , x . x bx c 1 0(2); 1 2 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x2 cx a 1 0(3). x , x tho¶ m·n x 2x 0 . Chøng minh r»ng trong 3 ph­¬ng tr×nh Ýt nhÊt 1 2 1 2 c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x , x ®éc lËp víi mét ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. 1 2 Bµi tËp 8: Cho ph­¬ng tr×nh m. x2 (a 1)x a2 a 2 0 Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh 2 2 (1) x (2m 3)x m 3m 2 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm dÊuvíi mäi a. víi mäi m. b) T×m m ®Ó ph­ong tr×nh cã hai nghiÖm ®èi b)x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . 2 2 nhau . T×m min B = x1 x2 . c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 ®éc lËp víi m. Bµi tËp 9: Cho ph­¬ng tr×nh Cho ph­¬ng tr×nh 2 Bµi tËp 15: x 2(a 1)x 2a 5 0 (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a ( m 2)x2 2(m 4)x (m 4)(m 2) 0 (1) b) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x , x tho¶ m·n 1 2 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) x1 1 x2 . cã nghiÖm kÐp. x , x c) a = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n b) Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 2 . 2 2 T×m mét hÖ thøc gi÷a x , x ®éc lËp víi x1 x2 = 6. 1 2 m. 1 1 c) TÝnh theo m biÓu thøc A; Bµi tËp 10: Cho ph­¬ng tr×nh x1 1 x2 1 2x2 (2m 1)x m 1 0 (1) d) T×m m ®Ó A = 2. a) m = ? th× (1) cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n Bµi tËp 16: Cho ph­¬ng tr×nh 3x1 4x2 11. x2 mx 4 0 (1) b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiÖm d­¬ng. a) CMR ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x , x kh«ng phô 1 2 víi mäi . thuéc m. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Gîi ý: Gi¶ sö (1) cã hai nghiÖm d­¬ng -> v« lý 2(x1 x2 ) 7 Cho hai ph­¬ng tr×nh A 2 2 . Bµi tËp 11: x x x2 (2m n)x 3m 0(1) 1 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hai nghiÖm cña x2 (m 3n)x 6 0(2) ph­¬ng tr×nh ®Òu lµ nghiÖm nguyªn. T×m m vµ n ®Ó (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng . Bµi tËp 17: Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh x2 kx 7 0 cã hai nghiÖm h¬n kÐm nhau ax2 bx c 0(a 0) (1) mét ®¬n vÞ. ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia lµ kb2 (k 1)2 ac 0(k 0) Bµi tËp 13: Cho ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 18: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 2(m 4)x m 7 0 (1) x2 (m 2)x m 1 0 (1) 18
19. a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh dÊu. bËc hai. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng 3 b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = . ph©n biÖt. 2 c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m. c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm Bµi tËp 19: Cho ph­¬ng tr×nh ph©n biÖt kh«ng ©m. x2 (m 1)x m 0 (1) Bµi tËp 25: Cho ph­¬ng tr×nh a) CMR ph­¬ng r×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n x2 px q 0 (1) biÖt víi mäi m a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi p = 3 3 ; q = b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . TÝnh x2 x2 theo m. 3 3 . 1 2 b) T×m p , q ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm nghiÖm : x 2, x 1 x , x tho¶ m·n x2 x2 = 5. 1 2 1 2 1 2 c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiÖm d­¬ng Bµi tËp 20: Cho ph­¬ng tr×nh x , x th× ph­¬ng tr×nh qx2 px 1 0 cã hai x2 (2m 1)x m2 3m 0 (1) 1 2 nghiÖm d­¬ng x , x a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -3. 3 4 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ d) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ tÝch hai nghiÖm ®ã b»ng 4. T×m hai nghiÖm 1 1 x1 x2 3x1va3x2 ; 2 vµ 2 ; vµ ®ã . x1 x2 x2 x1 Bµi tËp 21: Cho ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 26: Cho ph­¬ng tr×nh x2 12x m 0 (1) x2 (2m 1)x m 0 (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 to¶ a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm 2 ph©n biÖt víi mäi m. m·n x2 x1 . Bµi tËp 22: Cho ph­¬ng tr×nh b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n : x x 1 ; (m 2)x2 2mx 1 0 (1) 1 2 2 2 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2. c) T×m m ®Ó x1 x2 6x1x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm. nhÊt. c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©nBµi tËp 27: Cho ph­¬ng tr×nh biÖt . x2 2(m 1)x 2m 10 0 d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1(1), x2 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -6. tho¶ m·n 1 2x1 1 2x2 1 . b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm Bµi tËp 23: Cho ph­¬ng tr×nh x , x . T×m GTNN cña biÓu thøc x2 2(m 1)x m 3 0 (1) 1 2 A x2 x2 10x x a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 5. 1 2 1 2 b) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªmBµi tËp 28: Cho ph­¬ng tr×nh ph©n biÖt víi mäi m. 1 1 (m 1)x2 (2m 3)x m 2 0 (1) c) TÝnh A = 3 3 theo m. x1 x2 a) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm b) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 . H·y ®èi nhau. tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia. Bµi tËp 24: Cho ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 29: Cho ph­¬ng tr×nh (m 2)x2 2mx m 4 0 (1) x2 2(m 2)x (m2 2m 3) 0 (1) 19
20. T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt Bµi tËp 37: Cho ph­¬ng tr×nh 1 1 x x (2m 1)x2 2mx 1 0 (1) tho¶ m·n 1 2 x1 x2 5 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi tËp 30: Cho ph­¬ng tr×nh thuéc kho¶ng ( -1; 0 ). b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x2 mx n 0 m2 cã 3 = 16n. 2 2 CMR hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , cã mét x1, x2 tho¶ m·n x1 x2 1 nghiÖm gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 2 Bµi tËp 31 : Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ngBµi tËp 38 : Cho phương trình x - (2k - 1)x +2k -2 tr×nh 2x2 3x 5 0 . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh , h·y= 0 (k là tham số). 1 1 tÝnh : a) ; b) (x x )2 ; Chứng minh rằng phương trình luôn luôn x x 1 2 1 2 có nghiệm. c) x 3 x 3 d) x1 x2 1 2 Bµi tËp 32 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c Bµi tËp 39: nghiÖm b»ng : T×m c¸c gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh : (a 2 a 3)x 2 a 2 x 3a 2 0 a) 3 vµ 23 ; NhËn x=2 lµ nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i cña b) 2 - 3 vµ 2 + 3 . ptr×nh ? Bµi tËp 33 : CMR tån t¹i mét ph­¬ng tr×nh cã c¸cBµi tËp 40 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph­¬ng hÖ sè h÷u tû nhËn mét trong c¸c nghiÖm lµ : tr×nh bËc hai : 3 5 2 3 2 a) ; b) ; x 8x m 0 3 5 2 3 ®Ó 4 + 3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng c) 2 3 tr×nh . Víi m võa t×m ®­îc , ph­¬ng tr×nh ®· Bµi tËp 33 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn nghiÖm b»ng : l¹i Êy? a) B×nh ph­¬ng cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng 2 Cho ph­¬ng tr×nh : tr×nh x 2x 1 0 ; Bµi tËp 41: 2 b) NghÞch ®¶o cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nhx 2(m 1)x m 4 0 (1) , (m lµ tham sè). x2 mx 2 0 Bµi tËp 34 : X¸c ®Þnh c¸c sè m vµ n sao cho c¸c 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -5. 2) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nghiÖm x , x ph©n biÖt mäi m. x2 mx n 0 còng lµ m vµ n. 1 2 Bµi tËp 35: Cho ph­¬ng tr×nh 3) T×m m ®Ó x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1, x2 lµ x2 2mx (m 1)3 0 (1) hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -1. 2/ ) . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã mét nghiÖm Bµi tËp 42: b»ng b×nh phu¬ng nghiÖm cßn l¹i. Cho phương trình 1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 Bµi tËp 36: Cho ph­¬ng tr×nh 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1 2x2 5x 1 0 (1) TÝnh x1 x2 x2 x1 ( Víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh) 20
21. Bµi tËp 43: Cho ph­¬ng tr×nh : Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m x2 2(m 1)x m2 1 0 víi x lµ Èn , m lµ là tham số và x là ẩn số. tham sè cho tr­íc a) Giải phương trình với m = 1. 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai biệt x1 ,x2. nghiÖm d­¬ng x1, x2 ph©n biÖt tho¶ c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu 2 2 m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 4 2 thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi tËp 44: Bµi tËp 50: Cho ph­¬ng tr×nh : Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + 2 m – 3 = 0 m 2 x2 1 2m x m 3 0 ( x 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3 lµ Èn ; m lµ tham sè ). 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt 9 2 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - Bµi tËp 45: Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x - 2mx 2 2 1 2) CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm + m – = 0 (1) 2 víi mäi m. 1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho nghiÖm vµ c¸c nghiÖm cña ptr×nh cã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm Êy lµ sè ®o cña Bµi tËp 52: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 . 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3. hai nghiÖm tr¸i dÊu . Bµi tËp 46: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b) Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng nguyªn cã hai nghiÖm lµ: tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : 4 4 8 x1 vµ x2 P x 10x 13 x 3 5 3 5 1 1 1 4 4 4 4 1) TÝnh : P = Bµi tËp 53: Cho ph­¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: 3 5 3 5 x2 - 2(m – 2 ) x + m - 2 =0. (1) Bµi tËp 47: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh : T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. x 2 2x x 1 m 0 cã ®óng hai nghiÖm ph©n TÝnh nghiÖm kÐp ®ã. biÖt. Bµi tËp 48: Cho hai ph­¬ng tr×nh sauBµi : tËp 54: 2 x2 (2m 3)x 6 0 Cho ph­¬ng tr×nh : x + 2(m-1) x +2m - 5 =0. ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) (1) 2 2x x m 5 0 a) CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ph©n biÖt víi mäi m. ®óng mét nghiÖm chung. b) T×m m ®Ó 2 nghiÖm x1, x2 cña (1) tho¶ m·n : x2 x2 14 . Bµi tËp 49: 1 2 Bµi tËp 55: 21
22. 2 2 a) Cho a = 11 6 2 ,b 11 6 2 . CMR a) Cho ph­¬ng tr×nh :x 2mx m 1 0 ( a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ hÖ sè nguyªn. nguyªn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2000 x1 x2 2007 b) Cho c 3 6 3 10,d 3 6 3 10 . CMR b) Cho a, b, c, d R . CMR Ýt nhÊt mét 2 2 c ,d lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai víi trong 4 ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm hÖ sè nguyªn. ax2 2bx c 0; Bµi tËp 56: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai : 2 bx 2cx d 0; x2 2(m 1)x m2 m 1 0 (x 2 lµ Èn, m lµ tham sè). cx 2dx a 0; 1) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó dx2 2ax b 0; ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m. 2) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·nBµi : tËp 61: 1) Cho a, b , c, lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n x1 x2 3. ®¼ng thøc a2 b2 ab c2 . CMR ph­¬ng tr×nh 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó 2 tËp gi¸ trÞ cña hµm sè x 2x (a c)(b c) 0 cã hai nghiÖm ph©n y= x2 2(m 1)x m2 m 1 chøa ®o¹n 2;3 . biÖt. Cho ph­¬ng tr×nh x2 x p 0 cã hai nghiÖm Bµi tËp 57:Cho ph­¬ng tr×nh : d­¬ng x , x . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p khi x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0. 1 2 4 4 5 5 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. x1 x2 x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµyBµi tËp 62: Cho ph­¬ng tr×nh : b»ng b×nh ph­¬ng nghiÖm kia. 2 (m + 1 ) x – ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham sè. Bµi tËp 58: Cho ph­¬ng tr×nh :a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1. x2 6x 6a a2 0. b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã biÖt sao cho nghiÖm nµy gÊp 4 lÇn nghiÖm kia. nghiÖm. Cho ph­¬ng tr×nh 2) Gi¶ sö x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. Bµi tËp 63: 2 2 3 : x 3y 2xy 2x 10y 4 0 (1) H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho x2 x1 8x1 1) T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph­¬ng tr×nh ( Bµi tËp 59: Cho ph­¬ng tr×nh : 2 2 mx2 -5x – ( m + 5) = 0 (1) trong ®ã 1 ) tho¶ m·n x y 10 m lµ tham sè, x lµ Èn. 2) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 5. (1). b) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n Bµi cã tËp 64: Gi¶ sö hai ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x nghiÖm víi mäi m. : c) Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã hai 2 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 , h·y tÝnh theo m gi¸ trÞ a1x b1x c1 0 vµ a2 x b2 x c2 0 2 2 Cã nghiÖm chung. CMR cña biÓu thøc B = 10x1x2 3(x1 x2 ) . T×m m ®Ó 2 B = 0. : a1c2 a2c1 a1b2 a2b1 b1c2 b2c1 . Bµi tËp 65: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : Bµi tËp 60: x2 2(m 1)x 2m2 3m 1 0 22
23. a) Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ x 2 48 x 4 khi 0 m 1 i) 2 10( ) 3 x 3 x b) Gäi x , x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , chøng 1 2 Bµi tËp 72. gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau. 9 a) x2 -5 x - 5 =0 b) minh : x1 x2 x1x2 8 -5 .x2- 2 x +1=0 Bµi tËp 66: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : 2 2 2 c) ( 1 -3)x ( 3 1) 3 0 2x 2mx m 2 0 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. d)5x4 - 7x2 +2 = 0 2 2 2 b) Gäi x , x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , t×m e) (x +2x +1) -12 (x +2x +1) +35 = 0 f) 1 2 (x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16 gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : g) 2x2+ 2x = x 2 x +1 . A 2x1x2 x1 x2 4 . Bµi tËp 73.Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai 4x2-5x+1=0 (*) Bµi tËp 67: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : cã hai nghiÖm lµ x , x . (m 1)x2 2(m 1)x m 3 0 víi 1 2 1/ kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c m 1. (1) biÓu thøc sau: a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi 1 1 4 x 4 x m. A ; B 1 2 ; x 2 x 2 x 2 x 2 b) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) , 1 2 1 2 5 5 7 7 t×m m ®Ó x1x2 0 vµ x1 2x2 C x1 x2 ; D x1 x2 Bµi tËp 68: Cho a , b , c lµ ®ä dµi 3 c¹nh cña 1 tam 2/ lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng: gi¸c . CMR ph­¬ng tr×nh a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3 2 1 1 x (a b c)x ab bc ac 0 b) u = , v = . v« nghiÖm . x1 1 x 2 1 Bµi tËp 69: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : Bµi tËp 74 . Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2- mx +3 = 0 vµ ax2 bx c 0(1); x2- x +m+2= 0 . 2 a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm cx dx a 0(2). chung. BiÕt r»ng (1) cã c¸c nghiÖm m vµ n, (2) cã c¸c b) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng. nghiÖm p vµ q. CMR : m2 n2 p2 q2 4 . Bµi tËp 75. Cho ph­¬ng tr×nh (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 = 0 Bµi tËp 70: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x : . 2 a) t×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x bx c 0 cã c¸c nghiÖm x1, x2 ; ph­¬ng ph©n biÖt x1, x2. 2 2 tr×nh xcã c¸cb xnghiÖm bc 0 . x3 , x4 1 1 b) T×m a sao cho + <3 . BiÕt x x x x 1 . X¸c ®Þnh b, c. 3 1 4 2 x1 x 2 Bµi tËp 71 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau c) T×m mét hÖ thøc ®éc lËp gi÷a x1, x2. a) 3x4 - 5x2 +2 = 0 Bµi tËp 76. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(m+2)x +m= b) x6 -7x2 +6 = 0 0 . 2 2 2 c) (x +x +2) -12 (x +x +2) +35 = 0 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m =- 2 . d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24 b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2. e) 3x2+ 3x = x 2 x +1 2 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña C x1 x2 1 1 f) (x + ) - 4 ( x ) +6 =0 Bµi tËp 77: x x Cho ph­¬ng tr×nh: 2 g) 1 2x 2 x 1 mx – 2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1) a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã h) 4x 20 x 20 nghiÖm 23
24. b) T×m m ®Ó PT(1) cã hai nghiÖm tr¸i b) Víi GT nµo cña a th× tæng c¸c b×nh dÊu . Khi ®ã trong hai nghiÖm nµo ph­¬ng c¸c nghiÖm cã GTNN cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ? Bµi 14: Cho PT x2 – 5x + 6 = 0 (1) . Kh«ng gi¶i c) X¸c ®Þnh m ®Ó nghiÖm x1 ; x2 cña PT PT lËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1 ; (1) cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 + 4x2 y2 = 3 a) §Òu lµ sè ®èi c¸c nghiÖm cña PT d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 (1) kh«ng phô thuéc vµo m b) §Òu lín h¬n c¸c nghiÖm c¶u PT(1) lµ 2 Bµi tËp 78: Cho ph­¬ng tr×nh mx2 – 2( m -2) x + (mBµi tËp 87. Cho Ph­¬ng tr×nh x2 – (m – 1) x – m2 – 3) = T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm x1 ;x2 cña PT+m – 2 = 0 2 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 + x2 = 1 a) Gi¶i PT khi m = 2 Bµi tËp 79: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ m ®Ó PT sau cã hai b) C/mr phg­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i ®Êu nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi GT cña m 2 (m – 1)x – 2x + 3 = 0 c) Gäi hai nghiÖm c¶u PT ®· cho lµ x1 ; 2 2 Bµi tËp 80 Cho PT : x – 2(m-2) x + ( m + m – 3) = x2 .T×m m ®Ó hai nghiÖm ®ã tho¶ m·n 0 3 3 x1 x2 T×m c¸c GT cña m ®Ó PT cã hai nghiÖm x1; x2 ®¹t GTLN x x tho¶ m·n : 2 1 : Cho Ph­¬ng tr×nh : x2 – mx – m – 1 = 0 1 1 x1 x2 Bµi tËp 88 (*) x1 x2 5 2 a) C/mr PT (*) cã nghiÖm x1 ; x2 víi mäi GT Bµi tËp 81 .Cho PT : x – (m+2) x + ( 2m – 1) = 0 cã cña m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã ) cña PT c¸c nghiÖm x1; x2 . LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1; vµ GT m t­¬ng ­íng . x2 ®éc lËp víi m . b) §Æt A = x 2 + x 2 – 6x .x 2 1 2 1 2 Bµi tËp 82Cho PT x – 2(a – 1) x + 2a – 5 = 0 (1) 1) Chøng minh A = m2 -8m + 8 a) Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi a 2) T×m m sao cho A= 8 b) Víi mäi gi¸ trÞ cña a th× (1) cã hai 3) T×m GTNN cña a vµ GT m t­¬ng nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 øng . c) Víi GT nµo cña a th× (1) cã hai nghiÖm : Cho ph­¬ng tr×nh x2 – 2(a- 1) x + 2a – 5 2 2 Bµi tËp 89 x1; x2 tho¶ m·n x1 + x2 = 6. 2 2 = 0 (1) Bµi tËp 83: Cho PT : x – 10x – m = 0 (1) a) C/mr PT(1) cã nghiÖm víi mäi a 2 mx + 10x – 1 = 0 (2) ( m kh¸c b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× (1) cã nghiÖm x kh«ng ) 1 ,x2 tho¶ m·n x1 < 1 < x2 1) Chøng minh r»ng nghiÖm PT (1) lµ nghÞch c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh (1) ®¶o c¸c nghiÖm cña PT hai cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 2) Víi GT nµo cña m th× PT (1) cã hai nghiÖm 2 2 x1 + x2 =6 x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 6x1 + x2 = 5 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m+1)x + m – 4 2 2Bµi tËp 90 Bµi tËp 84: Cho Ph­¬ng tr×nh x – 2(m+1) x – 3m= 0 ( *) – 2m – 1 = 0 (1) a) Chøng minh (*) cã hai nghiÖm víi mäi m 1) C/mr víi mäi m PT lu«n cã hai nghiÖm b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó PT (*) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu tr¸i d¸u 2) T×m GT cña m ®Ó PT (1) cã mét nghiÖm x c) Gi¶ sö x1 ; x2 lµ nghiÖm cña PT (*) = -1 Chøn minh r»ng : M = (1 – x ) x + (1 3) T×m c¸c GT cña m ®Ó PT (1) cã hai 1 2 – x2)x1 nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 + 3x2 = 5 Bµi tËp 91: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – (1- 2n) x + n – 5 4) T×m c¸c GT m ®Ó PT (1) cã hai nghiÖm x1 2 2 2 = 0 ; x2 tho¶ m·n x1 + x2 = m – 2m + 3 . 2 a) Gi¶i PT khi m = 0 Bµi tËp 85: Cho PT : x – (a- 1) x + a = 0 b) Chøng minh r»ng PT cã nghiÖm víi mäi a) T×m c¸c GT cña a sao cho tæng lËp ph­¬ng gi¸ trÞ cña n c¸c nghiÖm b»ng 9 24
25. c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm c¶u PT ®· cho b) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) + ®­¬ng x2(1 +x1) Bµi tËp 92: C¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Bµi tËp 102: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + ax + b + 1 = 0 (b kh¸c -1) lµ nh÷ng sè nguyªn x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1) Chøng minh r»ng a2 + b2 lµ hîp sè a) C/mr ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm Bµi tËp 93: Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c .C/m: Trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0 kÐp x¸c ®Þnh a,b,c .BiÕt a2 + b2 + c2 = 14 v« nghiÖm Bµi tËp 103: Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh :x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0 cã nghiÖm chung th× : (b Bµi tËp 94: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( –a.c d)2 + (a- c)(ad – bc) = 0 2 2 0) vµ cx + dx + a = 0 cã c¸c nghiÖm x1; x2 vµ y1 Bµi; tËp 104: Cho ph­¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 .C/mr 2 2 2 2 y2 t­¬ng ­íng C/m x1 + x2 + y1 + y2 4 nÕu b > a + c th× ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n Bµi tËp 95: Cho c¸c ph­¬ng tr×nh x2+ bx +c =0 (1) vµbiÖt 2 x +cx +b = 0 (2) Bµi tËp 105: G/s x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña hai ph­¬ng 2 1 1 1 tr×nh x + ax + bc = 0 vµ x2 , x3 lµ hai nghiÖm cña Trong ®ã 2 b c 2 ph­¬ng tr×nh x + bx + ac = 0 ( víi bc kh¸c ac ) . Chøng 2 Bµi tËp 96: Cho p,q lµ hai sè d­¬ng .Gäi x ; x lµ haiminh x1, x3 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x + cx + ab = 0 1 2 . nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 2 2 Bµi tËp 106: Cho ph­¬ng tr×nh x + px + q = 0 (1) .T×m px + x +q = 0 vµ x3 ; x4 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh qx2 + x + p = 0 p,q vµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) biÕt r»ng khi thªm 1 vµo c¸c nghiÖm cña nã chóng chë thµnh nghiÖm C/m : x .x x .x 2 1 2 3 4 cña ph­¬ng tr×nh : x2 – p2x + pq = 0 Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú .Chøng minhBµi tËp 107: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : r»ng Ýt nhÊt mét trong ba ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0 x2 ax b 1 0; x2 bx c 1 0; x2 cx a 1 0 Lu«n cã nghiÖm víi mäi a,b,c. Bµi tËp 108: Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + 3 = 0 Bµi tËp 98: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai :x2 + (m+2) x + 2m = 0 (1) T×m GTLN cña biÓu thøc A = a) C/m ph­¬ng tr×nh lu«n lu«n cã x1x2 2x1 2x2 nnghiÖm Bµi tËp 109: Cho a 0 .G/s x1 ; x2 lµ nghiÖm cña b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña 1 ph­¬ng tr×nh . T×m m ®Ó 2(x 2 + ph­¬ngx 2 tr×nh x2 ax 0 1 2 2a2 ) = 5x1x2 2 4 4 Bµi tËp 99: Cho ph­¬ng tr×nh x + a1x + b1 = 0 (1) ; Chøng minh r»ng : x 1 x2 2 2 2 x + a2x + b2 = 0 (2) 2 1 Bµi tËp 110 Cho ph­¬ng tr×nh x ax 2 0 .Gäi Cã c¸c hÖ sè tho¶ m·n a1a2 2 b1 b2 .Cmr a Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh trªn cã x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 4 4 nghiÖm T×m GTNN cña E = x1 x2 Bµi tËp 100: Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh : Bµi tËp 111: Cho pt x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0 a2 x2 b2 a2 c2 x b2 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b) X¸c ®Þnh a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm V« nghiÖm lín h¬n – 1 NÕu a + b > c vµ a b c Bµi tËp 101: Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + x + m = 0 (2) a) T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung 25