Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 7 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 7 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên

1. 1 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 TRƯỜNG NGÔ SĨ LIÊN Mục lục A. ĐỀ BÀI 2 1.ĐẠI SỐ 2 2. HÌNH HỌC 3 B. HƯỚNG DẪN GIẢI 5 1.ĐẠI SỐ 5 2. HÌNH HỌC 13 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
2. 2 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS A. ĐỀ BÀI 1.ĐẠI SỐ Bài 1: Kết quả thi học kì môn toán của 1 tổ học sinh lớp 7A được ghi lại như sau: 9 8 7 8 7 10 8 8 9 8 8 8 10 7 9 9 a. Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị của dấu hiệu. b. Lập bảng “tần số”. c. Tìm Mod của dấu hiệu và tính số trung bình cộng. d. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Bài 2: 1. Thu gọn các đơn thức, rồi tìm bậc và chỉ ra phần hệ số của chúng ( với a,b là hằng số). 2 22 1 a. ( 2axy ). 4 axy . ab 16 2 16. 2x2 y . a . xy b. 5b 2. Cho 2 đa thức: 1 1 3 P 5 x2 y xy 2 xy 2 xy 2 2 5 75 Q 4 x22 y xy xy 52 a. Tính M=Q-P. Xác định bậc của M. b. Tính giá trị của M tại x=-2,y=5. Bài 3: 1. Cho đa thức: A 5 x5 4 x . x 3 x 3 25 x 2 5 x 4 . x 4 x . x 3 a. Tính giá trị của A tại x=-2. b. Tìm nghiệm của A. 2. Cho: f x 4 x22 3 x 1 2 x g x x. x 5 x 4 h x 23 x x a. Tìm M f x g x , N f x g x h x , Q f x g x h x . Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
3. 3 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS b. Xét x=1 có là nghiệm của của các đa thức f x ,, g x h x không? c. Tìm x để f x 2 g x . d. Tìm x trong trường hợp M=5. Bài 4 : Cho hai đa thức : f (x) 4x3 2 x 4 2x 2x.x 2x 2 1 2 2 1 3 g(x) x.xx 4 x1 x 2x 2 a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến . Tìm bậc và hệ số cao nhất của mỗi đa thức 1 b) Tìm h(x) f(x) g(x) và tính h . 2 c) Tìm M(x) 5g(x) 2f(x) và tính M1 . Bài 5: Tìm nghiệm của đa thức 3 2 1) f x 35 x 2) g x 0,2 x x 5 5 3) h x x3 4 x 4) p x x324 x 5) q x 3 x 5 x22 15 x x 6 6) k x 26 x2 x 2xx 1 3 7) mx 8) i x x2 29 x 34 Bài 6: Tìm giá trị nguyên dương của x để đa thức sau có giá trị nhỏ nhất: 3x 13 a. A b. B x 34 x x 2 Bài 7: a. Tìm x biết 3x 12 4 x 2 x 2 2 b. Tìm xy, biết 6 xy 3 0 Bài 8: HS tự giải Bài 9: HS tự giải 2. HÌNH HỌC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở B , có A 600 . Phân giác góc BAC cắt BC ở D . Kẻ DH vuông góc với AC (H AC ) Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
4. 4 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a) Chứng minh DB DH; AD BH b) HA HC c) DC AB d) Gọi S là giao điểm của HD và AB . Lấy E là trung điểm của CS . Chứng minh 3 điểm ADE,, thẳng hàng Bài 11: Cho tam giác EMN cân tại EE 90 , các đường cao MA, NB cắt nhau tại I. Tia EI cắt MN tại H. a. Chứng minh: AMN BNM. b. Chứng minh: EH là đường trung tuyến của EMN. c. Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AE 3 cm , AN 2 cm . d. Chứng minh I cách đều 3 cạnh của ABH. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại B; CA . Đường trung trực của AB cắt AC; AB lần lượt tại M và K. a) Chứng minh: cân. b) Chứng minh: MBC MCB; c) Vẽ BH là đường cao của ABC; BH cắt MK tại I. Chứng minh BM AI. d) BM cắt AI tại E. Chứng minh HE // AB. e) Cho C 60o ; AC 12 cm . Tính độ dài đoạn AH. Bài 13 : HS tự giải Bài 14: Cho ABC vuông tại A và AB AC , kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho HM = HA. a ) Chứng minh : CA CM b ) Chứng minh ABC MBC , từ đó suy ra CB là tia phân giác của góc ACM. c ) Tía phân giác của góc HAC cắt HC tại O. Chứng minh MO là tia phân giác của góc AMC. d ) Từ O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng : đường thẳng BE đi qua trọng tâm của tam giác ABO Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại I. Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
5. 5 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a) Chứng minh: ΔΔ.ABD ACE b) Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân. c) Chứng minh đường thẳng AI là đường trung trực của đoạn DE. d) Chứng minh BD CD . e) Qua A kẻ đường song song với BC, đường thẳng này cắt BD tại G. Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để AG AC . Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm của BH. Lấy M thuộc tia đối của tia IA sao cho IA = IM. a) Chứng minh rằng BM = AH và AB + AH > AM b) Chứng minh MH //AB c) Tia MH cắt AC tại E. Chứng minh rằng EHC cân và E là trung điểm của AC. d) Gọi N là trung điểm của MC. Cho biết AB = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài AN. B. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 TRƯỜNG NGÔ SĨ LIÊN 1.ĐẠI SỐ Bài 1. Kết quả thi học kì môn toán của 1 tổ học sinh lớp 7A được ghi lại như sau 9 8 7 8 7 10 8 8 9 8 8 8 10 7 9 9 a. Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị của dấu hiệu? b. Lập bảng tần số. c. Tìm mốt của dấu hiệu và tính số trung bình cộng. d. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Lời giải a. Dấu hiệu ở đây là kết quả thi học kì môn Toán của mỗi học sinh lớp 7A Số các giá trị n 68 . b. Lập bảng tần số. Số điểm x Tần số n Các tích xn. 9 81 8 64 7 56 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
6. 6 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 8 64 7 10 70 9 72 N 68 Tổng 549 549 c. Số TB cộng 8,07 68 Suy ra mốt của dấu hiệu là M 0 8. d. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng Bài 2. 1. Thu gọn các đơn thức, rồi tìm bậc và chỉ ra phần hệ số của chúng ( với a , b là hằng số) 2 22 1 a. 24axy axy ab 16 2 16 2x2 y axy b. 56 1 1 3 2. Cho hai đa thức P 5x2 y xy 2 xy 2 xy 2 2 5 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
7. 7 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 75 Q 4x22 y xy xy 52 a. Tính MQP – . Xác định bậc của M . b. Tính giá trị của tại x 2; y 5. Lời giải 1. Thu gọn 2 44 2 1 2ab 2 3 a. 24axy axy ab x y 16 32 ab44 Hệ số ; bậc 5 ; biến xy23 32 2 2 16 2x y axy 8a b. xy55 56 7 8a Hệ số ; bậc 10; biến xy55 7 2. Cho hai đa thức . 5 a. M Q P x22 y 2x y xy ; bậc của là bậc 3 2 b. Thay ; ta có M 125. Bài 3: 5 3 3 2 4 3 1. Cho đa thức: A 5 x 4 x . x x 25 x 5 x . x 4 x . x a. Tính giá trị của A tại x=-2. b. Tìm nghiệm của A. 2. Cho: f x 4 x22 3 x 1 2 x g x x. x 5 x 4 h x 23 x x M f x g x N f x g x h x Q f x g x h x a. Tìm , , . b. Xét x=1 có là nghiệm của của các đa thức f x ,, g x h x không? f x 2 g x c. Tìm x để . Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
8. 8 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS d. Tìm x trong trường hợp M=5. Hướng dẫn giải: 1. Cho: A 5 x5 4 x . x 3 x 3 25 x 2 5 x 4 . x 4 x . x 3 A 5 x5 4 x 4 x 3 25 x 2 5 x 5 4 x 4 A x3225 x a. Thay x= -2 A x32 25 x 2 32 25 2 108 b. Giải A=0 xx32 25 0 xx2 25 0 x 0 x 25 2. Rút gọn: f x 4 x2 3 x 1 2 x 2 2 x 2 3 x 1 g x x. x 5 x 4 x2 5 x 4 h x 2 x x 3 3 x 3 a. Mfxgxxx 22 3 1 xx 2 5 4 xx 2 8 5 N f x g x h x N 2 x2 3 x 1 x 2 5 x 4 3 x 3 3 x 2 5 x Q f x g x h x Q 2 x2 3 x 1 x 2 5 x 4 3 x 3 3 x 2 x 6 b. Thay x=1 vào ta có : * f 1 2 x22 3 x 1 2.1 3.1 1 0 x=1 là nghiệm. * g 1 x22 5 x 4 1 5.1 4 2 x=1 không là nghiệm. * hx 1 3 3 3.1 3 6 x=1 không là nghiệm. c. Tìm x: Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
9. 9 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS f x 2 g x 2x22 3 x 1 2 x 5 x 4 13x 9 9 x 13 9 Vậy x 13 d. Tìm x để M=5 xx2 8 5 5 xx2 80 xx 80 x 0 x 8 x 0 Vậy x 8 Bài 4 : Cho hai đa thức : f (x) 4x3 2 x 4 2x 2x.x 2x 2 1 2 2 1 3 g(x) x.xx 4 x1 x 2x 2 a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến . Tìm bậc và hệ số cao nhất của mỗi đa thức h(x) f(x) g(x) 1 b) Tìm và tính h . 2 c) Tìm M(x) 5g(x) 2f(x)và tính M1 . Hướng dẫn giải : a) f(x) 4x3 2x 4 2x 2x.x 2x 2 1 4x3 2x 8 2x 2x 2 4x 2 1 Bậc : 3 ; Hệ số cao nhất là : 4 4x32 6x 7 2 2 1 3 g(x) x.xx 4 x1 x 2x 2 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
10. 10 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS x3 x 2 2x 4 x 3 2x Bậc : 2 ; Hệ số cao nhất là : 1 x2 4x 4 b) h(x) f(x) g(x) c) M(x) 5g(x) 2f(x) 4x3 6x 2 7 x 2 4x 4 5x2 4x4 24x 3 6x 2 7 32 4x 5x 4x 11 5x2 20x 20 8x 3 12x 2 14 32 1 1 1 1 8x32 17x 20x 6 h 4 5 4 11 2 2 2 2 M1 81 32 171 2016 1 1 1 5 4. 5. 2 11 13 8 17 20 6 35 8 4 2 4 71 13 11 44 Bài 5: Tìm nghiệm của đa thức 3 2 1) f x 35 x 2) g x 0,2 x x 5 5 3) h x x3 4 x 4) p x x324 x 5) q x 3 x 5 x22 15 x x 6 6) k x 26 x2 x 2xx 1 3 7) mx 8) i x x2 29 x 34 Hướng dẫn giải : 1) Ta có: 4 f x 0 3 x 5 0 x 5 5 Vậy nghiệm của đa thức là x 3 2) Ta có: 3 1 0,2 x 0 3 2 x g x 0 0,2 x x 5 0 5 3 5 x2 50 x 5 1 Vậy nghiệm của đa thức là: xx ;5 3 3) Ta có: Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
11. 11 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS x 0 h x 0 x32 4 x 0 x x 4 0 2 x 40 Vì x22 0  x x 4 0 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là: x 0 4) Ta có: 2 3 2 2 x 0 x 0 p x 0 x 4 x 0 x x 4 0 x 40 x 4 Vậy nghiệm của đa thức là: xx 0; 4 5) Ta có: q x 0 3 x 5 x22 15 x x 6 0 3x 15 x22 15 x 15 x 90 0 18xx 90 0 5 Vậy nghiệm của đa thức là: x 5 6) Ta có: 2 xx 00 k x 0 2 x 6 x 0 2 x x 3 0 xx 3 0 3 Vậy nghiệm của đa thức là: xx 0; 3 7) Ta có: 2xx 1 3 4 2xx 1 3 3 mx 0 0 0 3 4 12 8x 4 3 x 9 0 5 x 5 0 x 1 Vậy nghiệm của đa thức là: x 1 8) Ta có: i x 0 x22 2 x 9 0 x x x 1 8 0 x x 1 x 180 x 1180 x x 180 2 Vì x 1 2  0 x x 1 2 8 0 x 1 2 8 0 vô nghiệm. Vậy đa thức vô nghiệm. Bài 6: Tìm giá trị nguyên dương của x để đa thức sau có giá trị nhỏ nhất: 3x 13 a. A b. B x 34 x x 2 Hướng dẫn giải : Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
12. 12 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 3x 133. x 2 6 13 7 a. A 3 x 2 x 2 x 2 A có GTNN 7 7 có GTNN và 0 x 2 x 2 7 7 có GTLN và 0 x 2 x 2 x 2 có GTNN và x 20 Mà x 2 do x x 21 x3 TM Vậy giá trị nguyên dương của x để có GTNN là x 3 , khi đó A 4 b. B x 3 x 4 3 x x 4 có: 3 x 3 x ; x 4 x 4 B 7 3 xx 0 3 Dấu “=” xảy ra 43 x xx 4 0 4 Mà x x 1;2;3 Vậy giá trị nguyên dương của x để B có GTNN là x 1;2;3 khi đó B 7 Bài 7: a. Tìm biết 3x 12 4 x 2 x 2 2 b. Tìm xy, biết 6 xy 3 0 Hướng dẫn giải : a. Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
13. 13 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 3x 12 4 x 2 x 2 3x 12 2 2 x dk : 2 2 x 0 x 1 3xx 12 2 2 TH1: 3x 12 2 2 x 5 x 10 x 2 KTM TH2: 3x 12 2 2 x x 14 KTM Vậy không có gía trị nào của x b. 6 xy 3 2 0 60 x x 6 2 y 3 30 y Vậy xy; 6; 3 Bài 8: HS tự giải Bài 9: HS tự giải 2. HÌNH HỌC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở B , có A 600 . Phân giác góc BAC cắt BC ở D . Kẻ DH vuông góc với AC (H AC ) a) Chứng minh DB DH; AD BH b) HA HC c) DC AB d) Gọi S là giao điểm của HD và AB . Lấy E là trung điểm của CS . Chứng minh 3 điểm ADE,, thẳng hàng Hướng dẫn giải C a) Xét AHD và ABD có BAC HAD BAD 300 ( do AD là 2 tia phân giác góc A ) là cạnh chung H D AHD ABD 900 (giả thiết) Vậy AHD ABD A B S Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
14. 14 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Suy ra AH AB; DH DB Hay AD là đường trung trực của BH suy ra AD BH b) HD: Tam giác ABC có ABC9000 ; CAB 60 suy ra ACB 300 Ta có ACD 300 (chứng minh trên). Xét tam giác ADC có DCA DAC 300 nên ADC cân tại D . Lại có DH AC nên DH đồng thời là đường trung tuyến của tam giác cân . Nên H là trung điểm của AC . Vậy HA HC Cách 2: Học sinh chứng minh HDC HDA c) Tam giác cân tại ( chứng minh trên) nên AD DC Xét tam giác vuông ADB vuông tại B có AD AB (trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất). Vậy AD AB DC AB (đpcm) 00 d) AHS vuông tại . và HAS60 HSA 30 C DAS có DAS= DSA 300 nên DAS cân tại hay AD DS H E Mặt khác AD DC (chứng minh trên). Suy ra DC DS D hay tam giác CDS cân tại . Do E là trung điểm của SC nên DE là đường trung tuyến A B S trong tam giác cân DSC suy ra DE CS (1) Xét tam giác CAS cos CB AS;SH AC và SH cắtSB tại nên là trực tâm tam giác ACS . Vậy AD CS (2) Từ (1) và (2) suy ra ADE;; thẳng hàng. Cách 2: HS có thể chứng minh là tam giác đều. Bài 11: Cho tam giác EMN cân tại EE 90 , các đường cao MA, NB cắt nhau tại I. Tia EI cắt MN tại H. a. Chứng minh: AMN BNM. b. Chứng minh: EH là đường trung tuyến của EMN. c. Tính độ dài đoạn thẳng MA biết AE 3 cm , AN 2 cm . d. Chứng minh I cách đều 3 cạnh của ABH. Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
15. 15 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Giải: a. Xét AMN và BNM có: AB 90o (do MA, NB là các đường cao) MN ( EMN cân tại E ) MN chung AMN BNM (cạnh huyền – góc nhọn) b. Xét có là các đường cao. MA NB I I là trực tâm. EI  MN  H Xét EHM và EHN có: EM EN ( cân tại E) ( cân tại ) EHM EHN (ch – gn) HM HN (2 cạnh tương ứng) H là trung điểm của hay EH là đường trung tuyến. c. Ta có cân tại (gt) EM EN EA AN 3 2 5 cm Xét tam giác vuông EMA vông tại A có: ME2 AE 2 MA 2 (định lý Pitago) MA2 ME 2 AE 2 5 2 3 2 16 MA 4 cm d. Ta có AMN BNM (cm a) MB AN (cạnh tương ứng) Mà ( cân tại ) EB EA EBA cân tại EBA 180o E Xét EBA có: EBAAEA 180oo 2 180 1 2 Xét MEN có: EMN 180o 180o E Mà MNN 2 2 Từ (1) và (2) AN mà 2 góc ở vị trí đồng vị AB  MN A11 M 3 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
16. 16 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Xét AMN có AH là trung tuyến (H là trung điểm của MN) AH HM AHM cân tại H AM21 4 Từ (3) và (4) suy ra AI là phân giác của BAH Chứng minh tương tự ta có BI là phân của ABH Xét ABH có AI, BI là các phân giác I cách đều 3 cạnh của Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại B; CA . Đường trung trực của AB cắt AC; AB lần lượt tại M và K. f) Chứng minh: cân. g) Chứng minh: MBC MCB; h) Vẽ BH là đường cao của ABC; BH cắt MK tại I. Chứng minh BM AI. i) BM cắt AI tại E. Chứng minh HE // AB. j) Cho C 60o ; AC 12 cm . Tính độ dài đoạn AH. Lời giải: A 1 E K M I H 1 60° B C a) Vì M thuộc trung trực của AB nên MA = MB. Suy ra ABM cân tại M. b) cân tại M suy ra AB11 . o o Mà B1 MBC ABC 90 ; ABM A1 MCB 90 (Do ABC vuông tại B) Suy ra: MBC MCB ; c) Xét ABI có AH BI;; IK  AB AH  IK M suy ra M là trực tâm của . Do đó BM AI . Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
17. 17 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS d) Do I thuộc trung trực của AB nên IA = IB (1) Xét AHB AHB 90o và c AEB BEA 90o có: A11 B cmt AB: Chung Suy ra AHB BEA (cạnh huyền – góc nhọn) Nên BH = AE (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2): IA – AE = IB – BH hay IE = IH 180o AIB IEH cân tại I nên IEH (T/c tam giác cân); (3) 2 180o AIB Vì IB = IA (cmt) AIB cân tại I nên IAB (T/c tam giác cân);(4) 2 Từ (3) và (4) suy ra: IEH IAB mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AB // EH. e) ABC ABC 90o suy ra: BAC BCA 90o BAC 90 o BCA 90 o 60 o 30 o AC 12 Nên BC 6 cm (cạnh đối diện góc 30o ) 22 BC 6 Chứng minh tương tự với BHC ta được: HC 3 cm 22 Từ đó tính được: AH = AC – HC = 12 – 3 = 9 (cm) Bài 13 : HS tự giải Bài 14: Cho ABC vuông tại A và AB AC , kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho HM = HA. a ) Chứng minh : CA CM b ) Chứng minh ABC MBC , từ đó suy ra CB là tia phân giác của góc ACM. c ) Tía phân giác của góc HAC cắt HC tại O. Chứng minh MO là tia phân giác của góc AMC. d ) Từ O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng : đường thẳng BE đi qua trọng tâm của tam giác ABO Giải: Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
18. 18 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS A G E D I B C a ) Có M thuộc tia đối của tia HA sao cho HM = HA = > H là trung điểm của AM. Có AH BC gt HC  AM Xét ACM có HC AM ( cmt) => CH là đường cao của Có H là trung điểm của AM => CH là trung tuyến của = > cân tại C b ) cân tại C có CH là đường cao => CH là đường trung trực của ( t/ chất tam giác cân) => CH là đường trung trực của đoạn thẳng AM hay BC là đường trung trực của đoạn thẳng AM => MB = AB; CM = CA ( t. c đường trung trực) +) Xét ABC và BCM có BM BA cmt  CM CA cmt  ABC MBC c c c MCB AMB( hai góc tương ứng) BC canhchung = > CB là phân giác của ACM c ) Xét cân tại C ( cmt) Có CH là đường trung trực của (cmt) => CH là đường phân giác của ( t. c tam giác cân) Mà AO là đường phân giác của CAM ; AO CH  O => MO là đường phân giác của ( t. c 3 đường đồng quy) => MO là tia phân giác của AMC d ) +) Có AO là phân giác của HAE HAO OAE Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
19. 19 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS OE BC gt   OE/ / AH HAO AOE 2 gocslt AH BC gt  OAE AOE Xét AEO co HAO AOE AEO cân tại E => EA = EO (t.c tam giác cân) = > E thuộc đường trung trực của AO (1) +) Có 00 MBH BMH 90 hay MBC BMH 90 H BC   BCM BMH hay OCM BMH O BC 0 MBC BCM 90  +) Xét MOC co BOM OCM OMC ( tính chất góc ngoài của tam giác) (2) BMO BMH HMO Có BMH BCM BMO BCM OMC hay BMO OCM OMC O BC 3 HMO OMC  Từ ( 2) và (3) BMO BOM BM BO tc  +) Xét BMOcó BMO BOM => cân tại B  BO BA ma BA BM cmt  = > B thuộc đường trung trực của OA (4) Từ (1) và (4) => BE là đường trung trực của AO +) Xét BAO co BA BO BAO cân tại B Có BE là đường trung trực của AO => BE là đường trung trực của BAO = > BE là đông thời là đường đường trung tuyến của Vậy BE đi qua trọng tâm của Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại I. a) Chứng minh: ΔΔ.ABD ACE b) Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân. c) Chứng minh đường thẳng AI là đường trung trực của đoạn DE. d) Chứng minh BD CD . e) Qua A kẻ đường song song với BC, đường thẳng này cắt BD tại G. Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để AG AC . Hướng dẫn: a) Xét ΔABD và ΔACE : Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
20. 20 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS BAC chung AB AC 11 AD AE AB AC 22 ⇒ ΔΔABD ACE (cgc) b) Chứng minh: ΔΔBEC CDB (cgc) ⇒ IBC ICB ⇒ ΔIBC cân tại I c) Vì cân tại I ⇒ IB IC (cgc) ⇒ BD CE ⇒ IE ID ⇒ I thuộc đường trung trực ED Vì AE AD ⇒ A thuộc đường trung trực ED ⇒ AI là đường trung trực của ED. d) Vì DBC ECB mà ECB DCB ⇒ DBC DCB Trong tam giác DBC có : ⇒ BD BC . e) Chứng minh: ΔΔDAG DCB (gcg) ⇒ AG BC Để AG AC mà ⇒ AB AC BC ⇒ ΔABC là tam giác đều ⇒ Điều kiện để là tam giác ABC đều. A G E D I B C Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
21. 21 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm của BH. Lấy M thuộc tia đối của tia IA sao cho IA = IM. e) Chứng minh rằng BM = AH và AB + AH > AM f) Chứng minh MH //AB g) Tia MH cắt AC tại E. Chứng minh rằng EHC cân và E là trung điểm của AC. h) Gọi N là trung điểm của MC. Cho biết AB = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài AN. Hướng dẫn giải : A E B I H C N M a) Xét BIM và HIA có: BI = IH (vì I là trung điểm của BH) BIM HIA(2 góc đối đỉnh) IM = IA (gt) BIM HIA(c.g.c) BM = AH (2 cạnh tương ứng) (đpcm) Xét ABM có AB + BM > AM (bất đẳng thức tam giác) Mà BM = AH (cmt) AB + AH > AM (đpcm) b) Xét ABI và MHI có: BI = IH (vì I là trung điểm của BH) Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
22. 22 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS AIB MIH (2 góc đối đỉnh) IA = IM (gt) ABI MHI (c.g.c) BAI HMI (2 góc tương ứng) Mà hai góc này ở vị trí so le trong. AB // MH (dhnb) (đpcm) c) Vì AB // MH (cmb), mà E MH nên AB //HE. ABC EHC ( hai góc đồng vị) Vì ABC cân tại A (gt) ABC ACB (tính chất tam giác cân) EHC ACB (tính chất bắc cầu) EHC cân tại E (dhnb) EH = EC (t/c tam giác cân) (1) Vì AH là đường cao của (gt) AH  BC (đn) AHC vuông tại H (đn) HAC ACH 90 (t/c tam giác vuông) Mà AHE EHC AHC 90 , (cmt) HAE AHE (b/c) AEH cân tại E (dhnb) AE = EH ( 2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) AE = EC (b/c), mà E AC E là trung điểm của AC (đn) (đpcm) d) Xét AMC có I và E lần lượt là trung điểm của AM và AC CI và ME là hai đường trung tuyến của (đn đường trung tuyến) Mà H là giao điểm của CI và ME. AH là đường trung tuyến của (t/c 3 đường trung tuyến của tam giác) Mà N là trung điểm của MC (gt) A, H, N thẳng hàng hay AN là đường trung tuyến của . 3 AN AH (t/c) 2 Xét cân tại A có AH là đường cao (gt) nên AH là đường trung tuyến (t/c tam giác cân) 1 BH = HC = BC = 6(cm) 2 Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội
23. 23 Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Xét ABH vuông tại H (vì AH  BC) có: AH2 = AB2 – BH2 = 102 – 62 = 64 AH = 8cm AN = 12cm. Đề cương Toán 7 trường THCS Ngô Sĩ Liên - Hà Nội