›
›
›

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 (Phần Đại số+Hình học) - Năm học 2023

pdf 24 trang Đình Phong 16/10/2023 1912
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 (Phần Đại số+Hình học) - Năm học 2023", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_8_phan_dai_sohinh_hoc_nam_hoc_2.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 (Phần Đại số+Hình học) - Năm học 2023

  1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  2. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  3. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  4. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  5. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  6. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  7. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  8. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  9. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  10. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  11. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  12. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  13. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  14. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  15. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  16. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  17. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  18. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  19. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  20. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  21. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?
  22. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 TẾT NGUYÊN ĐÁN 2023 A. ĐẠI SỐ 1) Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) 2) Rút gọn các biểu thức sau: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) 3) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y. A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) 4) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h) x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m) xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12 l) 81x4 + 4 5) Chứng minh rằng biểu thức: A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dương với mọi x. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 luôn luôn dương với mọi x, y. 6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 7) Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho (x + 1)2 8) Cho các phân thức sau: 2x 6 x 2 9 9x 2 16 x 2 4x 4 A = B = C = D = (x 3)(x 2) x 2 6x 9 3x 2 4x 2x 4 a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định. b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0. c)Rút gọn phân thức trên. 9) Thực hiện các phép tính sau: x 1 2x 3 3 x 6 a) + b) 2x 6 x 2 3x 2x 6 2x 2 6x x x 4xy 1 1 3x 6 c) + + d) x 2y x 2y 4y 2 x 2 3x 2 3x 2 4 9x 2 15x 2 y2 1 4x2 2 4 x e).3 2 h)2 : 7y x x 4 x 3 x x2 36 3 1 2 x 1 g). k) 2 : x 2 2x 10 6 x xxx 1 x
  23. 2 10) Rút gọn biểu thức: x 3 x 7 Bài 1. Cho biểu thức: Q = 2x 1 2 x 1 a) Thu gọn biểu thức Q. b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên. 1 1x2 1 Bài 2. Cho biểu thức A= x 2 x 2 x2 4 a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn 2x 2 , x -1 phân thức luôn có giá trị âm. 8 1 1 Bài 3. Cho biểu thức: P = 2 : 2 x 16 x 4 xx 2 8 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại x thỏa mãn x2 – 9x + 20 = 0 11) Giải các phương trình 3x 2 3x 1 5 x 4 x x 2 Bài 1. a) 2x b) x 4 2 6 3 5 3 2 4x 3 6x 2 5x 4 5x 2 8x 1 4x 2 c) 3 d) 5 5 7 3 6 3 5 Bài 2. Giải các phương trình sau: 2 1 a) (2x+1)(x-1) = 0 b) (x + )(x- ) = 0 c) (3x-1)(2x-3)(x+5) = 0 3 2 d) 3x-15 = 2x(x-5) e) x2 – x = 0 f) x2 – 2x = 0 g) x2 – 3x = 0 h) (x+1)(x+2) =(2-x)(x+2) Bài 3. Giải các phương trình sau: 7x 3 2 2(3 7x ) 1 1 3 x a) b) c) 3 x 1 3 1 x 2 x 2 x 2 8 x 1 x 5 x 5 20 1 2 x d) 8 e) f) x 7 x 7 x 5 x 5 x2 25 x 1 x 1 x 2 1 90 36 1 1 1 x 3 1 3 g) 2 h) i) x x 6 x x 10 12 x 3 xxx (3) x x2 x 76 2x 1 3x 1 j) k) 5 2(x 3) 2( x 1) ( xx 1)( 3) x 2 16 x 4 4 x 3 2 8 3 2 8 m) = 0 n) x 2 x 2 x 2 4 x 2 x 3 ( xx 3)( 2) B. HÌNH HỌC: Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ gác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, có AB=5cm, BC=6cm, phân giác AM (M BC). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tính diện tích tam giác ABC.
  24. 3 b) Chứng minh AK // MC. c) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMCK là hình vuông? Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. a) Chứng minh AH. BC = AB. AC . b) Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN  AB , MP  AC (N AB, P AC). Tứ giác ANMP là hình gì? Tại sao? c) Tính số đo góc NHP? d) Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất? Bài 4. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD  AB và HE  AC ( D AB, E AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE. 1. Chứng minh AH = DE. 2. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông. a) Chứng minh O là trực tâm tam giác ABQ. b) Chứng minh SABC = 2 SDEQP . Bài 5. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. Chứng minh 2OM = AH. c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng. Bài 6. Cho hình vuông ABCD, M là là trung điểm cạnh AB, P là giao điểm của hai tia CM và DA. a) Chứng minh tứ giác APBC là hình bình hành và tứ giác BCDP là hình thang vuông. b) Chứng minh 2SBCDP = 3 SAPBC . c) Gọi N là trung điểm BC,Q là giao điểm của DN và CM Chứng minh AQ = AB. Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,AD = 4 cm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, diện tích của MINK bằng bao nhiêu?