Đề cương ôn thi Đại số Lớp 9 - Chương IV: Hàm số. Phương trình bậc hai một ẩn

Nội dung text: Đề cương ôn thi Đại số Lớp 9 - Chương IV: Hàm số. Phương trình bậc hai một ẩn

1. Đại số 9 chương 4 CHƯƠNG IV HÀM SỐ y ax2 (a 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I. HÀM SỐ y ax2 (a 0) 1. Tập xác định của hàm số Hàm số y ax2 (a 0) xác định với mọi x R. 2. Tính chất biến thiên của hàm số Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0. Nếu a 0. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó đgl một parabol với đỉnh O. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Vì đồ thị y ax2 (a 0) luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy. Bài 1. Cho hàm số y f (x) x2 . a) Chứng minh rằng f (a) f ( a) 0 với mọi a. b) Tìm a R sao cho f (a 1) 4 . ĐS: b) a 1;a 3. Bài 2. Cho hàm số y (m 2)x2 (m 2) . Tìm giá trị của m để: a) Hàm số đồng biến với x < 0. b) Có giá trị y 4 khi x 1. c) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0. d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0. ĐS: a) m 2 b) m 2 c) m 2 d) m 2. 1 Bài 3. Cho hàm số y x2 . 10 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. 9 5 b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: A 3; ,B 5; ,C( 10;1) ? 10 2 ĐS: b) A, B (P). 1 Bài 4. Cho parabol y x2 . Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol: 4 3 a) A 2;m b) B 2;m c) C m; 4 1 1 ĐS: a) m b) m c) m 3 . 2 2 Bài 5. Xác định m để đồ thị hàm số y (m2 2)x2 đi qua điểm A(1;2) . Với m tìm được, đồ thị hàm số có đi qua điểm B(2;9) hay không? ĐS: m 2. Trang 35
2. Đại số 9 chương 4 Bài 6. a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2;4). b) Viết phương trình parabol dạng y ax2 và đi qua điểm M(2;4). c) Vẽ parabol và đường tăhngr trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng. ĐS: a) y 2x b) y x2 c) (0;0),(2;4) . 1 Bài 7. Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số y f (x) x2 và y g(x) x . Dựa 2 vào đồ thị hãy giải các bất phương trình: a) f (x) g(x) b) f (x) g(x) . ĐS: Bài 8. Cho hàm số y ax2 (a 0) . a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1;2) . b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được. c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4. d) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ. 2 1 1 1 1 ĐS: a) a 2 b) y 2x c) 2;4 , 2;4 d) O(0;0), A ; ,B ; 2 2 2 2 Chú ý: Tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ là hai đường thẳng y x; y x . Bài 9. Cho hàm số y 2x2 . a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x2 1 m . ĐS: Bài 10. a) ĐS: Trang 36
3. Đại số 9 chương 4 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và biệt thức b2 4ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 2a 2 2a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 2a Nếu 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và b 2b , b 2 ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 a 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet 2 Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b c x x ; x x 1 2 a 1 2 a Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (a 0) (1) (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0 (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x1 x2 m n; x1x2 mn thì phương trình có nghiệm x1 m, x2 n . c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a Trang 37
4. Đại số 9 chương 4 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) (x 1)2 4(x2 2x 1) 0 b) 9(x 2)2 4(x 1)2 0 c) 2x2 3(2x 3)2 0 d) x2 4x 3 0 e) x2 6x 16 0 f) 7x2 12x 5 0 ĐS: Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 3x2 5x 8 0 b) 5x2 3x 15 0 c) x2 4x 1 0 10 5 d) 3x2 7x 2 0 e) 5x2 x 0 f) 5 2 x2 10x 5 2 0 7 49 ĐS: Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 10x2 17x 3 2(2x 1) –15 b) x2 7x 3 x(x 1) 1 c) 2x2 5x 3 (x 1)(x 1) 3 d) 5x2 x 3 2x(x 1) 1 x2 e) 6x2 x 3 3x(x 1) –11 f) 4x2 x(x 1) 3 x(x 3) 5 g) x2 x 3(2x 3) x(x 2) –1 h) x2 4x 3(2x 7) 2x(x 2) 7 i) 8x2 x 3x(2x 3) x(x 2) k) 3(2x 3) x(x 2) 1 ĐS: Bài 4. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) có 2 nghiệm phân biệt iii) có nghiệm kép iv) vô nghiệm a) 9x2 6mx m(m 2) 0 b) 2x2 10x m 1 0 c) 5x2 12x m 3 0 d) 3x2 4x 2m 0 e) (m 2)x2 2(m 1)x m 0 ĐS: Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: 2x y 5 0 3x 4y 1 0 2x 3y 2 a) 2 b) c) y x 4x xy 3(x y) 9 xy x y 6 0 5 11 5 7 ĐS: a) (1;3),(5; 5) b) 3; , ;3 c) (4; 3), ; 2 3 2 3 Bài 6. Cho phương trình: x2 2(3m 2)x 2m2 3m 5 0 . a) Giải phương trình với m 2. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –1. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép. ĐS: Bài 7. Cho phương trình: x2 2(m 2)x m2 3m 5 0. a) Giải phương trình với m 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –4. c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép ĐS: Bài 8. Cho phương trình: x2 2(m 3)x m2 3 0 . a) Giải phương trình với m 1 và m 3. b) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng 4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. ĐS: Bài 9. Xác định m để mỗi cặp phương trình sau có nghiệm chung: a) x2 mx 2 0 và x2 2x m 0 Trang 38
5. Đại số 9 chương 4 b) x2 (m 4)x m 5 0 và x2 (m 2)x m 1 0 ĐS: Bài 10.Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau: a) x2 10x 16 0 b) x2 15x 50 0 c) x2 6x 5 0 d) x2 7x 10 0 e) x2 3x 4 0 f) x2 x 20 0 g) x2 5x 6 0 h) x2 5x 6 0 i) x2 5x 6 0 ĐS: Bài 11. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau: 1 a) 10 và 8 b) 10 và –8 c) 3 và 4 3 2 1 1 d) và e) 2 3 và 2 3 f) và 4 3 10 72 10 6 2 ĐS: Bài 12. Với các phương trình sau, tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng x0 . Tìm nghiệm còn lại: 1 a) 3x2 7x m 0; x 1 b) 15x2 mx 1 0; x 0 0 3 2 2 2 2 c) x 2(3m 1)x 2m 2m 5 0; x0 1 d) x 2(m 1)x m 5m 2 0; x0 1 ĐS: Bài 13. Cho phương trình: (m 1) x2 4mx 4m 1 0. a) Giải phương trình với m 2. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 2x2 . ĐS: Bài 14. Cho phương trình: 2x2 6x m 7 0 . a) Giải phương trình với m 3. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng –4. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 2x2 . ĐS: Bài 15. Cho phương trình: x2 2(m 1) x m 1 0 . a) Giải phương trình với m 4. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 3x2 . ĐS: Bài 16. Giả sử x1, x2 là các nghiệm của mỗi phương trình sau. tính giá trị của các biểu thức: 1 1 x2 x2 A x2 x2 ; B x3 x3 ; C ; D 1 2 1 2 1 2 x x 2 2 1 2 x2 x1 a) x2 mx 1 0 b) x2 6x m 0 c) x2 (m 3)x 2m 1 0 ĐS: Bài 17. Cho phương trình: x2 2(m 4)x m2 8 0 . 2 2 a) Tìm m để biểu thức A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm m để biểu thức B x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Trang 39
6. Đại số 9 chương 4 2 2 c) Tìm m để biểu thức C x1 x2 x1x2 đạt giá trị lớn nhất. ĐS: Bài 18. Tìm m để mỗi phương trình sau có các nghiệm x1, x2 thoả hệ thức đã cho: 2 2 2 a) mx 2(m 2)x m 3 0 ; x1 x2 1 . 1 1 x x b) x2 2(m 2)x m2 2m 3 0 ; 1 2 . x1 x2 5 2 2 2 2 c) x 2(m 1)x m 3m 0 ; x1 x2 8 . ĐS: Bài 19. Cho phương trình: x2 2(m 1)x m2 3m 0 . a) Tìm m để phương trình có một trong các nghiệm bằng –2. Tìm nghiệm còn lại. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 8 . 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . ĐS: Bài 20. Cho phương trình: x2 (2a 1)x 4a 3 0 . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào a. 2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 . ĐS: Bài 21. Cho phương trình: mx2 2(m 1)x m 4 0 . a) Xác định m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 4x2 3 . b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. ĐS: Bài 22. Cho phương trình: mx2 (m 3)x 2m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm x1, x2 bằng 2. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m. ĐS: Bài 23. Với mỗi phương trình sau, tìm m để phương trình: i) Có hai nghiệm trái dấu ii) Có hai nghiệm dương phân biệt iii) Có đúng một nghiệm dương. a) x2 2(m 1)x m 1 0 b) x2 2(m 1)x m2 3m 0 c) 2x2 (2m 1)x m 1 0 d) (m 4)x2 2(m 2)x m 1 0 ĐS: Bài 24. Cho phương trình: 2x2 (2m 1)x m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 3x1 4x2 11. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt . c) khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. ĐS: Bài 25. a) ĐS: Trang 40
7. Đại số 9 chương 4 III. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 bx2 c 0 ( a 0 ) . Cách giải: Đặt t x2 (t 0), đưa về phương trình bậc hai at2 bt c 0 . 2. Phương trình bậc bốn dạng: (x a)(x b)(x c)(x d) m với a b c d Cách giải: Đặt t x2 (a b)x , đưa về phương trình bậc hai (t ab)(t cd) m . 3. Phương trình bậc bốn dạng: (x a)4 (x b)4 c a b Cách giải: Đặt t x , đưa về phương trình trùng phương theo t. 2 Chú ý: (x y)4 x4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4 . 4. Phương trình bậc bốn dạng: ax4 bx3 c2 bx a 0 Cách giải: – Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. 2 2 1 1 – Với x 0 , chia 2 vế của phương trình cho x ta được: a x b x c 0 . x2 x 1 Đặt t x , đưa về phương trình bậc hai theo t. x 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 6. Phương trình tích Phương trình tích là phương trình có dạng A.B 0 . A 0 Cách giải: A.B 0 B 0 7. Phương trình chứa căn thức g(x) 0 t f (x), t 0 f (x) g(x) af (x) b f (x) c 0 2 2 f (x) g(x) at bt c 0 8. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách giải: Có thể dùng các phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối: Dùng định nghĩa hoặc tính chất giá trị tuyệt đối. Đặt ẩn phụ. 9. Phương trình dạng A2 B2 0 2 2 A 0 Cách giải: A B 0 B 0 Trang 41
8. Đại số 9 chương 4 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x4 8x2 12 0 b) 12x4 5x2 30 0 c) 8x4 x2 7 0 7 d) 5x4 3x2 0 e) 4x4 7x2 –2 0 f) x4 –13x2 36 0 16 g) 2x4 5x2 2 0 ĐS: Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x(x 1)(x 2)(x 3) 24 b) (x 1)(x 4)(x2 5x 6) 24 c) (x 1)4 (x 3)4 2 d) (x 2)2(x2 4x) 5 2 1 1 2 1 1 e) 3 x 16 x 26 0 f) 2 x 7 x 2 0 x2 x x2 x ĐS: Bài 3. Giải các phương trình sau: a) (x2 –2x)2 –2(x2 –2x) –3 0 b) (x2 4x 2)2 4x2 16x 11 0 c) (x2 – x)2 –8(x2 – x) 12 0 d) (2x 1)4 –8(2x 1)2 –9 0 2 4 2 2 2x 1 2x 1 e) (x 4x 4) –4(x 2) –77 0 f) 4 3 0 x 2 x 2 ĐS: Bài 4. Giải các phương trình sau: 2x 5 3x 4x x 1 2x 5 5 a) b) c) x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x2 5x 6 1 3 1 x x 3 2x 1 x 3 d) 1 e) 6 f) 3 3x2 27 4 x 3 x 2 x 1 x 2x 1 ĐS: Bài 5. Giải các phương trình sau: a) (4x2 25)(2x2 7x 9) 0 b) (2x2 3)2 4(x 1)2 0 c) 2x(3x 1)2 9x2 1 0 d) x3 3x2 x 3 0 e) x3 5x2 7x 3 0 f) x3 6x2 11x 6 0 ĐS: Bài 6. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x3 (2m 1)x2 3(m 4)x m 12 0 b) x3 (2m 3)x2 (m2 2m 2)x m2 0 ĐS: Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: a) x4 (2m 1)x2 m2 0 b) (x2 1)(x 3)(x 5) m ĐS: Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3x2 14 x 5 0 b) x 1 x2 x 3 c) x 2 2x 1 x2 2x 3 d) x2 1 x2 4x 4 3x ĐS: Bài 9. Giải các phương trình sau: a) x 5 x 7 b) x 2 x 6 2 c) 3x 7 x 1 2 d) x2 x2 3x 5 3x 7 e) x2 4x x 14 f) 2x2 6x 1 x 2 ĐS: a) x 9 b) c) x 1; x 3 Trang 42
9. Đại số 9 chương 4 Bài 10. Giải các hệ phương trình sau: (Đưa về dạng A2 B2 0 ) x2 y2 z2 27 x y z 6 a) b) 2 2 2 xy yz zx 27 x y z 12 ĐS: Bài 11. Giải các phương trình sau: a) ĐS: IV. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình a) Chọn ẩn số và nêu điều kiện thích hợp của ẩn số. b) Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số. c) Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết. Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời. Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số Bài 1. Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119. ĐS: (12;5), ( 19,2; 15,8) Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. ĐS: Bài 3. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3. ĐS: 1 Bài 4.Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . 4 5 Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó. 24 ĐS: Bài 5. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả 3 tử và mẫu thì phân số tăng . Tìm phân số đó. 2 ĐS: Bài 6. a) ĐS: Trang 43
10. Đại số 9 chương 4 Dạng 2: Toán chuyển động Bài 1. Một canô đi xuôi dòng 45 km, rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6 km/h. Tính vận tốc canô lúc đi ngược dòng. ĐS: x 12; x 9 Bài 2. Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. ĐS: Bài 3. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được 1 quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận 3 tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. ĐS: Bài 4. Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau. ĐS: Bài 5. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng. ĐS: Bài 6. a) ĐS: Dạng 3: Toán làm chung công việc Bài 1. Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu? ĐS: 10 giờ và 15 giờ. Bài 2. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ 3 nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công 4 việc. Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? ĐS: Bài 3. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể? ĐS: 5 giờ và 7 giờ. 4 Bài 4. Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ 5 1 và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong 2 bao lâu mới đầy hồ (giả thiết hồ ban đầu không có nước0. Trang 44
11. Đại số 9 chương 4 ĐS: Bài 5. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? ĐS: Bài 6. a) ĐS: Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1. Một đa giác lồi có tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? n(n 3) ĐS: 20 cạnh. Số đường chéo của n-giác là . 2 Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2 . ĐS: Bài 3. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2 . Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 . Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. ĐS: Bài 4. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2 . Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2 . Tính hai cạnh góc vuông. ĐS: Bài 5. a) ĐS: Dạng 5: Các dạng khác Bài 1. Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi? ĐS: 10 dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp 8 người. Bài 2. Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu trong phòng có mấy dãy ghế? ĐS: 4;10 . Bài 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Trang 45
12. Đại số 9 chương 4 ĐS: Bài 4. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4.045.000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay? ĐS: Bài 5. a) ĐS: Trang 46
13. Đại số 9 chương 4 V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (*) Dạng 1: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: x2 4y2 8 x2 xy 24 (x y)2 49 a) b) c) x 2y 4 2x 3y 1 3x 4y 84 x2 3xy y2 2x 3y 6 0 3x 4y 1 0 2x 3y 2 d) e) f) 2x y 3 xy 3(x y) 9 xy x y 6 0 y x2 4x 2x 3y 5 2x y 5 g) h) 2 2 i) 2 2 2x y 5 0 3x y 2y 4 x xy y 7 ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 2(x y)2 3(x y) 5 0 5(x y)2 3(x y) 8 x y 1 0 a) b) c) 2 x y 5 0 2x 3y 12 x xy 3 0 x 2y 2 0 x2 y 0 2x 3y 5 d) 2 e) f) 2 2 2y x 0 x y 2 0 x y 40 3x 2y 36 x(x 8) 3y(y 1) 6 g) h) (x 2)(y 3) 18 2x(x 8) 5y(y 1) 14 ĐS: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 2xy x2 4x 4 x 2y 2xy 11 0 x2 y2 2xy 1 a) b) c) 2 2 2 x 2xy y 5x 4 xy y x 4 2x 2y 2xy y 0 xy x y 1 x2 y2 4x 4y 8 0 xy 2x y 2 0 d) e) f) 2 2 xy 3x y 5 x y 4x 4y 8 0 xy 3x 2y 0 ĐS: Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) ĐS: Trang 47
14. Đại số 9 chương 4 Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1 f (x, y) 0 Hệ có dạng: (I) (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). g(x, y) 0 (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). Đặt S = x + y, P = xy. Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. Giải hệ (II) ta tìm được S và P. Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2 SX P 0 . Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: x xy y 11 x y 4 xy x y 5 a) 2 2 b) 2 2 c) 2 2 x y xy 2(x y) 3 x xy y 13 x y x y 8 x y 13 x3 x3y3 y3 17 x4 x2y2 y4 481 d) y x 6 e) f) x y xy 5 x2 xy y2 37 x y 6 ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: x y xy 11 x2 y2 x y 8 2 2 a) b) c) x xy y 4 2 2 2 2 x y 3(x y) 28 x y xy 7 x xy y 2 xy x y 19 x2 3xy y2 1 (x 1)(y 1) 8 d) e) f) 2 2 2 2 x y xy 84 3x xy 3y 13 x(x 1) y(y 1) xy 17 ĐS: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 2 2 x xy y 2 3 2 x2 xy y2 19(x y)2 a) (x 1)(y 1) 10 b) c) 2 2 2 2 (x y)(xy 1) 3 x y 6 x xy y 7(x y) (x y)2 (x y) 6 x y y x 30 d) e) 2 2 5(x y ) 5xy x x y y 35 ĐS: Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) ĐS: Trang 48
15. Đại số 9 chương 4 Dạng 3: Hệ đối xứng loại 2 f (x, y) 0 (1) Hệ có dạng: (I) f (y, x) 0 (2) (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: f (x, y) f (y, x) 0 (3) (I) f (x, y) 0 (1) Biến đổi (3) về phương trình tích: x y (3) (x y).g(x, y) 0 . g(x, y) 0 f (x, y) 0 x y Như vậy, (I) . f (x, y) 0 g(x, y) 0 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: x2 3x 2y x2 2y2 2x y x2y 2 y2 a) b) c) 2 2 2 2 2 y 3y 2x y 2x 2y x xy 2 x x2 1 3y x2 xy y 1 x2 2y2 2x y d) e) f) 2 2 2 2 y 1 3x x xy y 1 y 2x 2y x ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: x3 1 2y x3 3x 8y x3 2x y a) b) c) 3 3 3 y 1 2x y 3y 8x y 2y x x3 2x y x3 7x 3y d) e) 3 3 y 2y x y 7y 3x ĐS: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 2 1 3 y y 2 2x x 3y 4 3y y x x x2 a) b) c) 1 3 x x2 2 2y y 3x 4 3x x y y 2 y 1 2x2 y y d) 1 2y2 x x ĐS: Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) ĐS: Trang 49
16. Đại số 9 chương 4 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 4 0. a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. c) Chứng minh biểu thức M = x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m. ĐS: Bài 2. Tìm m để phương trình: a) x2 x 2(m 1) 0 có hai nghiệm dương phân biệt. b) 4x2 2x m 1 0 có hai nghiệm âm phân biệt. c) (m2 1)x2 2(m 1)x 2m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. ĐS: Bài 3. Cho phương trình: x2 a 1 x a2 a 2 0 . a) Chứng minh rằng với mọi a, phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu. 2 2 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 . Tìm giá trị của a để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Bài 4. Cho phương trình: x2 4x m 1 0 . a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. 2 2 b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 10 . ĐS: Bài 5. Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 10 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 . b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1, x2 , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. 2 2 c) Tìm giá trị của m để biểu thức A = 10x1x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: Bài 6. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 2x2 (3m 2)x 12 0 x2 mx 1 0 2x2 (3m 1)x 9 0 a) b) c) 2 2 2 4x (9m 2)x 36 0 x x m 0 6x (7m 1)x 19 0 ĐS: x2 Bài 7. Cho parabol (P): y và đường thẳng (d): y x m . 4 a) Vẽ parabol (P). b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. c) Xác định phương trình đường thẳng (d ) song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng –4. ĐS: x2 Bài 8. Cho parabol (P): y và điểm M (1; –2). 4 a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m. b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi. 2 2 c) Gọi xA; xB lần lượt là hoành độ của A và B . Xác định m để xA xB xA xB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. ĐS: Bài 9. Giải các phương trình sau: Trang 50
17. Đại số 9 chương 4 2 4 3 2 2 x 16 10 x 4 a) x x 4x x 1 0 b) x(x 1)(x 2) 1 0 c) 9 x2 3 3 x 1 1 1 d) e) 2x 3 x 2 13x 6 0 f) x 4 2x 3 x 2 8x 12 0 x(x 2) (x 1)2 12 g) 2x 3 3x 2 11x 6 0 h) ĐS: Bài 10. Giải các phương trình sau: 2 x 2 10 5 4 a) b) 3 x 3 3x x 2 x(x 2 9) x 1 3 6x 3x 2 ĐS: Bài 11. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. ĐS: Bài 12. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h, nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 20 phút. Tính quãng đường AB? ĐS: Bài 13. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h. ĐS: Bài 14. Có hai thùng đựng dầu. Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng? ĐS: Bài 15. Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10. ĐS: Bài 16. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể. ĐS: Bài 17. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu. ĐS: Bài 18. a) ĐS: Trang 51