Đề cương ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 9

Nội dung text: Đề cương ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 9

1. ĐỀ 1 Bài 1 (2,5 điểm) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên Bài 2 (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai người cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài 3 (1,5 điểm) 2 1 2 x y 1) Giải hệ phương trình: 6 2 1 x y 2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương 2 2 trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 x2 7 Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh A· CM A· CK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C 4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai AP.MB điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và R . Chứng minh đường MA thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Bài 5 (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ x2 y2 nhất của biểu thức: M xy
2. ĐỀ 2 Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x2 x 3 0 2x 3y 7 b) 3x 2y 4 c) x4 x2 12 0 Bài 2: (1,5 điểm) 1 1 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 và đường thẳng (D): y x 2 trên cùng 4 2 một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: 1 2 x 1 A với x > 0; x 1 x x x 1 x x B (2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3 Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình x2 2mx m 2 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. 24 Tìm m để biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất x1 x2 6x1x2 Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO). a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp. c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC. d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
3. ĐỀ 3 Bài 1: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 0 2x y 1 b) Giải hệ phương trình: x 2y 7 Bài 2: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A ( 10 2) 3 5 y Bài 3: (1,5 điểm) Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax2. a) Tìm hệ số a biết (P) qua điểm M (-1; 1) b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 6 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N. Bài 4: (2,0 điểm) x Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và x x 8 thỏa điều kiện 1 2 . x2 x1 3 Bài 5: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B (O),C (O’). Đường thẳng BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D. a) Chứ`ng minh rằng tứ giác CO’OB là một hình thang vuông. b) Chứng minh rằng ba điểm A, C, D thẳng hàng. c) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm). Chứng minh rằng DB = DE.
4. ĐỀ 4 x 3 6x 4 Câu 1 (1,5điểm). Cho biểu thức :P= x 1 x 1 x2 1 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P. b) Rút gọn P 2x ay 4 Câu 2 (1,5 điểm). Cho hệ phương trình : ax 3y 5 a) Giải hệ phương trình với a=1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để 3 3 phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 x1x 2 6 Câu 4 (1,5 điểm). Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho. Câu 5 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường kính BB’ của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng: a) 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn. b) Đoạn thẳng ME = R. c) Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó. Câu 6 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4. Chứng minh rằng : 4 a3 4 b3 4 c3 2 2