Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Biến đổi căn thức

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Biến đổi căn thức

1. CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI CĂN THỨC 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Các công thức biến đổi căn thức 2 A khi A 0 1. A A A khi A 0 ta có: x a x a Ví dụ: x2 1 6. x2 a x a x a Cho a > 0 ta có: 7. 2 x2 a a x a Ví dụ: x 4 2 x 2 2. Một số dạng toán thường gặp
2. 2.1. Biến đổi căn thức không chứa ẩn 2.1.1. Phương pháp và một số ví dụ Phương pháp: sử dụng các công thức biến đổi căn thức cơ bản hoặc đặt ẩn phụ để việc biến đổi đơn giản hơn. Ví dụ 1.(Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh) Tính giá trị của biểu thức: A 6 2 5 14 6 5 Lời giải 2 2 Ta có: A 6 2 5 14 6 5 5 1 3 5 5 1 3 5 2 Ví dụ 2.(Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) 3 2 1 Cho E 3 2 1 3 . Chứng minh rằng E là số nguyên 3 Lời giải Ta có: 3 3 2 1 3 2 1 E 3 3 2 1 . 3 2 1 3 2 2 3 2 1 3 3 = (8 3 7)2 (8 3 7)2 3 1 3 2 3 4 3 2 1 3 2 1 1 Vậy E là số nguyên Ví dụ 3.(Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011) 4 8 2 1 4 8 2 1 Rút gọn: A . 4 8 2 1 Lời giải T Đặt A . Ta có T > 0 nên T T 2 M 2 4 4 4 4 Xét T 8 2 1 2. 8 2 1. 8 2 1 8 2 1 2 4 8 2 8 2 1 2 4 8 2 2 1 4 4 2 8 2 1 T 2 8 2 1 A 2 Ví dụ 4.(Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013) 2 10 30 2 2 6 2 Rút gọn biểu thức: A= : 2 10 2 2 3 1 Lời giải 2 10 30 2 2 6 2 Ta có: : = 2 10 2 2 3 1 2 2( 5 1) 6( 5 1) 3 1 2 3 3 1 4 2 3 3 1 3 1 3 1 1 . . . . 2 2( 5 1) 2 2 2 4 2 2 2 2
3. 1 7 2 6 7 Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức: A 4 7 7 . 4 4 7 4 1 1 343 7 4 7 7 7 7 Lời giải Đặt a 4 7 a4 7 và a2 7 ta có: 2 1 a 2 2 2 2 6 7 1 2a 13a 7 a A a 3 3 2 a 1 2 1 a a a (a 1) a a a a a a4 a2 2a6 2a4 13a2 a4 2a2 (7 a4 ) 0 Do a4 7 a3 (a2 1) a3 (a2 1) 2.1.2. Bài tập Bài 1.(Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) 4 3 4 3 Tính giá trị của biểu thức N = 27 10 2 4 13 Bài 2.(Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012) 2 3 4 15 10 Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:A = 23 3 5 Bài 3.(Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017) 2 3 2 3 Rút gọn biểu thức: B = 2 2 3 2 2 3 Bài 4.(Trích đề thi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017) 2.2016 So sánh 2017 2 1 20162 1 và 20172 1 20162 1 Bài 5.Rút gọn các biểu thức: a) A 5 3 29 12 5 b) B 3 70 4901 3 70 4901 2 3 6 8 4 Bài 6.Rút gọn biểu thức: P 2 3 4 2 Bài 7. Rút gọn biểu thức: B . 4 3 4 5 2 4 25 4 125 2 1 2 1 4 4 4 2 1 2 2 2 Bài 8. Rút gọn biểu thức: E . 4 4 1 2 2 1 2 2.2. Tính tổng dãy có quy luật 2.2.1. Phương pháp và một số ví dụ Phương pháp: Biến đổi rút gọn số hạng tổng quát sau đó thay vào tổng Ví dụ 1.Rút gọn: 1 1 1 1 S 2 1 1 2 3 2 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
4. Lời giải Với k N,k 1: 1 k 1 k k k 1 k 1 k k k 1 1 1 2 . 1 k 1 k k k 1 k 1 .k k2 k 1 k k 1 k k 1 Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 1999 ta được 1 1 1 ; 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ; 3 2 2 3 2 3 1 1 1 . 2000 1999 1999 2000 1999 2000 Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được: 1 1 1 1 S 2 1 1 2 3 2 2 3 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1999 2000 1 1 2000 1 20 5 1 1 2000 2000 20 5 Ví dụ 2.Rút gọn: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A . 12 22 32 12 32 42 12 19982 19992 12 19992 20002 Lời giải Với k N,k 2 : 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 k 1 k k 1 k k 1 k 1 k k 1 1 2 2 2 2 1 2 2 k 1 k k 1 k 1 k k 2 1 1 1 1 1 2 2 1 k 1 k k 1 k 1 1 1 1 1 2 2 1 1 k 1 k k 1 k Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 2000 ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 . 2 3 3 4 1998 1999 1999 2000 1 1 1998 2 2000 2.2.2. Bài tập Bài 1.Rút gọn các biểu thức
5. 1 1 1 1 A = + + + + ; 1 + 2 2 + 3 3 + 4 n - 1 + n Bài 2. 1 1 1 a) Chứng minh rằng: 4 . 1 2 3 4 79 80 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 2 1 . 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 1 1 1 1 1 c) Chứng minh: 2 n 2 2 n 1 với mọi số nguyên dương 1 2 3 4 n n 2 . Bài 3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có: 1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 . . . . . 3 6 9 12 3n 3n 3 3 n 1 2.3. Tính giá trị biểu thức 2.3.1. Ví dụ Ví dụ 1.(Trích đề thi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017) a a b b a b Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b a b a b b a Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1 a 1 b 2 ab 1 Lời giải ab Rút gọn M= với a, b > 0 và a b a b Ta có 1 a 1 b 2 ab 1 ab a b 1 2 ab 1 2 2 ab ab ab a b 1 1 a b a b + Nếu a > b > 0 ab a b a b 0; ab 0 0 a b ab ab ab 1 M 1 a b a b a b + nếu 0<a<b ab a b a b 0; ab 0 0 a b ab ab ab 1 M 1 a b a b a b Ví dụ 2. Gọi m là nghiệm của phương trình 2x2 x 1 0. Không giải phương trình hãy 2m 3 tính giá trị biểu thức: A 2 2m4 2m 3 2m2 Lời giải
6. Do m là nghiệm dương của phương trình 2.x2 x 1 0 nên 2.x2 1 x 0 x 1 nên 4x4 1 2x x2 . Do đó ta có: 2m 3 2 2m4 2m 3 2m2 2m 3 A 2 4 2 2m4 2m 3 2m2 4m 4m 6 4m 4 2 2m 3 2 2m 2m 3 2m 2 2m4 2m 3 2m2 4m 6 2 2 2 2 m 2 2 m 1 m m 2 1 m m2 2 2 2 2 2 1 2 2 29 x y 4 Ví dụ 3. Cho 3 số thực x, y, z với y > 0 thỏa mãn: y2 z 2 7 2 y x 1. 2 z Tính giá trị biểu thức H y x 1 2 z A Lời giải 2 z Từ (7) suy ra x > 1 và z < 2. 2 D x 1 Ta viết lại hệ (7) dưới dạng: y B C 2 25 5 x 1 y2 A 2 4 2 Ta viết lại hệ (7) dưới dạng: y2 2 z 4 y2 x 1. 2 z 5 Xét tam giác ABC vuông tại B, đường cao BD với AB ,BC 2. 2 Đặt BD y,AD x 1,CD 2 z Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ. Từ đó ta có: 1 5 H y x 1 2 z 2.S 2. . .2 5. ABC 2 2
7. Vậy H = 5. 2.3.2. Bài tập Câu 1. Cho x, y thỏa mãn x 3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thức 4 3 2 2 A x +x y+3x +xy- 2y +1. Câu 2. (Chuyên Hải Dương 2010) 1 12 135 12 135 Cho x 1 3 3 . 3 3 3 3 2 2 Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức M= 9x 9x 3 . Câu 3. Cho m 3 3 2 2 3 2 2 1, n 3 17 12 2 17 12 2 2 . Tính giá trị biểu thức T 2(20m 6n)2 38 . Câu 4. Tính giá trị của biểu thức 3 a 3a 2 3 3 B biết a 55 3024 55 3024 . a3 4a2 5a 2 Câu 5. (HSG Hải An 2018) 2018 Cho biểu thức A x2 x 1 2019. 3 3 Tính giá trị biểu thức A khi x . 3 1 1 3 1 1 Câu 6. (Chuyên Bình Dương 2018) Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2018 x2 y 2018 y2 2018 . Tính giá trị của biểu thức Q x2019 y2019 2018 x y 2020 Câu 7. (HSG huyện Vĩnh Bảo 2018) Cho ba số x,y,z 0 thỏa mãn xy yz zx 1. Tính giá trị biểu thức: 1 y2 1 z2 1 z2 1 x2 1 x2 1 y2 P x y z . 1 x2 1 y2 1 z2 Câu 8. (HSG TP. Hải Phòng 2015) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z xyz 4 . Rút gọn biểu thức: B x(4 y)(4 z) y(4 z)(4 x) z(4 x)(4 y) xyz . 2.4. Chứng minh đẳng thức 2.4.1. Ví dụ
8. Ví dụ 1. Cho a,b,c 0 thỏa mãna b c a b c 2. Chứng minh rằng a b c 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Lời giải Đặt x a; y b; z c xy yz zx 1 a 1 x y x z . Tương tự: b 1 y x y z ;c 1 z x z y Khi đó ta có: a b c 2 xy yz zx 2 . 1 a 1 b 1 c x y y z z x 1 a 1 b 1 c 3 Ví dụ 2. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 . 2 3 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 . 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a2 1 b2 b2 1 c2 c2 1 a2 3 a 1 b2 b 1 c2 c 1 a2 . 2 2 2 2 a 1 b2 2 2 a 1 b 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b 1 c2 b2 1 c2 a2 b2 c2 (đpcm). 2 2 2 c 1 a2 c 1 a 2.4.2. Bài tập Câu 1. Cho x, y thỏa mãn: x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y Chứng minh: x y a c Câu 2. Nếu a , b , c là các số không âm thoả mãn điều kiện: b thì ta có: 2 1 1 2 a b b c c a 1 1 1 1 3 3 3 Câu 3. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn a b c 3 3 3 3 a b c 6 2 5 29 12 5 . Chứng minh trong 3 số có ít nhất một số bằng 27. Câu 4. (HSG Lê Chân 2018)
9. Cho x 2 2 3 6 3 2 3 . Chứng ming rằng: x4 16x2 32 0. Câu 5. (HSG TP. Hải Phòng 2018) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Chứng minh a2 2a 2 0. 2.5. Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 2.5.1. Phương pháp và ví dụ Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn. Loại 1. Tính giá trị biểu thức P khi cho x = k Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P và rút gọn k nếu cũng là một biểu thức chứa căn phức tạp - Bước 3: Thay giá trị x = k vào biểu thức đã rút gọn rồi tính ra kết quả. Ví dụ . (Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012) x 1 x 8 3 x 1 1 1 Cho biểu thức P = : 3 x 1 10 x x 3 x 1 1 x 1 1) Rút gọn P 3 2 2 3 2 2 2) Tính giá trị của P khi x = 4 4 3 2 2 3 2 2 Lời giải Điều kiện: 1 x 10 3 x 1 9 1 2 x 1 4 1) P : . 10 x x 1 x 1 3 3( x 1 3) x 1. x 1 3 P . 10 x 2 x 1 4 3 x 1(x 10)( x 1 2) 3(x 2) P 2(10 x)(x 1 4) 2(x 5) 3 2 2 3 2 2 2 2 2) x 4 4 4 (3 2 2) 4 (3 2 2) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 => x =1 2 ( 2 1) 2 vì x>1 Vậy P = 0 Loại 2. Tìm giá trị của biến x để biểu thức P = k Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P. - Bước 3: - Giải phương trình P – k = 0. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ. (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013) x y xy Cho biểu thức: P ( x y)(1 y) ( x y)( x 1) ( x 1)(1 y)
10. 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Lời giải 1) Điều kiện : x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x y 1 x 1 y x x 1 y x 1 y 1 x 1 x 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y 1 y 1 y x xy y 2) P = 2 x xy y = 2 với x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào P ta được các cặp giá trị (4;0) và (2;2) thỏa mãn. Loại 3. Tìm giá trị của ẩn đê biểu thức thỏa mãn một bất đẳng thức A > k ( ; ; k) Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Giải bất phương trình A– k > 0. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ . Cho biểu thức A 3 3 3 12 2 27 , x x x x x 0, x 1. B 1  1 vôùi x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A và B . b) Tìm các giá trị của x sao cho A B 0 . Lời giải a) Ta có A 3 3 3 12 2 27 3 3 6 3 6 3 3. Với x 0 và x 1, ta có x x x x x 2 x 1 x 2 x 1 B 1  1  x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 x 1  x 1  x 1 1 x x 1 x 1 A B 0 3 1 x 0 x 1. Vậy x 1 thỏa yêu cầu bài toán.
11. Loại 4. So sánh biểu thức A với k (hằng số) hoặc với biểu thức B (chứa ẩn) Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Xét dấu của hiệu A – k hoặc A – B và đưa ra kết luận. 2 6 10 2 a a 1 a 0, a 1 Ví dụ. Cho biểu thức B  (với ). a 1 a a a a 1 4 a a) Rút gọn biểu thức B . b) Đặt C B a a 1 . So sánh C và 1. Lời giải a) Ta có a a a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 . 2 2 6 10 2 a a 1 6 a 1 10 2 a a 1 Do đó B   a 1 a 1 a 1 4 a 2 4 a a 1  a 1 4 4 a 1 . 4 a( a 1) a a a 1 1 b) Ta có C a 1 2 1 1. a a Đẳng thức xảy ra khi a 1 (loại). Vậy C 1. Chú ý: So sánh biểu thức rút gọn A với A hoặc A2 với A . Phương pháp: Bước 1: + Xác định điều kiện của x để A 0 (nếu A chưa phải biểu thức dương) Bước 2:+ So sánh A với 1 bằng cách xét hiệu A 1 theo điều kiện x đã có: Bước 3:- Nếu 0 A 1 thì A A . Bước 4: - Nếu A 1 thì A A . + Chú ý: Dạng này còn có biến thể là so sánh biểu thức rút gọn A với A2 (chỉ xét với biểu thức A dương). Chú ý: Bài toán chứng minh với mọi giá trị của x và thì A > k ( ; ; k) với k là hằng số được giải tương tự. Phương pháp: - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Chứng minh hiệu A– k > 0x Ví dụ. (Trích đề Thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013) x 2 x 1 1 Cho biểu thức: A với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 1) Rút gọn A 1 2) Chứng tỏ rằng: A 3 Lời giải Ta có: x 2 x 1 1 1) A x 1 x x 1 x x 1 x 1
12. x 2 x 1 x x 1 A x 1 x x 1 x x A x 1 x x 1 x x 1 x A , với x 0, x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 1 2) Xét A 3 3 x x 1 3(x x 1) Do x 0, x 1 2 2 1 3 x 1 0 và x x 1 x 0 2 4 1 1 A 0 A 3 3 Loại 5. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên Phương pháp 1: Đưa về biểu thức về dạng chứa phân thức mà tử nguyên, tìm giá trị ẩn để mẫu là ước của tử. - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A và đưa về dạng phân thức có tử là số nguyên. - Bước 3: - Lý luận để biểu thức là số nguyên thì mẫu số phải là ước của tử, từ đó tìm giá trị ẩn. - Bước 4: Đối chiếu điều kiện của x và kết luận. Ví dụ minh họa: Ví dụ. (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2015-2016) x x 3 x 2 x 2 Cho M 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên Lời giải ĐKXĐ: x 0;x 4,x 9 * 1) Rút gọn M: Với x 0;x 4,x 9 * x 2 x 2 Rút gọn ta được: M M x 1 x 1 x 2 x 1 3 x 1 3 3 2) M 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 3 x 1 x 1 U 3 Ư(3) 1; 3 Vì x 0 x 0 x 1 1 Nên x 1 1;3 Xảy ra các trường hợp sau: ) x 1 1 x 0 x 0 (TMĐK (*))
13. ) x 1 3 x 2 x 4 . (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên. Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị cùa biểu thức, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức có thể đạt được. - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được. - Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận. Ví dụ. (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Phòng năm 2016-2017) a 1 a a 1 a2 a a a 1 Cho biểu thức B với a > 0, a 1. a a a a a a 6 Với những giá trị nào của a thì biểu thức A nhận giá trị nguyên? B Lời giải. Với điều kiện a 0; a 1 thì: a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 1 B a a a 1 a a 1 a 1 2 a 1 a a 1 a a 1 a 1 B a a a a 6 6 a Khi đó . Ta thấy với A 2 0 0 a 1 a a 1 0 B a 1 2 6 a a 1 3 a 2 2 a 1 Do 0 N 2 Để N có giá trị nguyên thì N = 1. 6 a 1 a 4 a 1 0 a 2 a 1 2 a 3 2 a 7 4 3 (t/ m) a 2 3 a 3 2 a 7 4 3 (t/ m) Vậy a 7 4 3. Phương pháp 3: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, tìm khoảng giá trị của tham số, từ khoảng giá trị đó ta xét các giá trị nguyên của tham số, giải ra tìm ẩn. - Bước 1: - Đặt điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A. - Bước 3: - Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A có thể đạt được, từ khoảng giá trị đó ta có các giá trị nguyên mà biểu thức A có thể đạt được. - Bước 4: Giải phương trình vế trái là biểu thức A đã rút gọn, vế phải là các giá trị nguyên nằm trong miền giá trị của A, đối chiếu điều kiện và kết luận. Ví dụ. (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2015-2016)
14. x x 3 x 2 x 2 Cho M 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên Lời giải ĐKXĐ: x 0;x 4,x 9 * 1) Rút gọn M: Với x 0;x 4,x 9 * x 2 x 2 Rút gọn ta được: M M x 1 x 1 x 2 x 1 3 x 1 3 3 2) M 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 3 n Đặt n n 0 x 1 x 1 n n 3 n Do x 0 nên 0 3 n 0 0 n 3 n 1; 2; 3 n Xảy ra các trường hợp sau: 3 ) 1 x 1 3 x 2 x 4 (không TMĐK (*) loại) x 1 3 3 1 1 ) 2 x 1 x x . ( loại do x không nguyên (*) ) x 1 2 2 4 3 ) 3 x 1 1 x 0. ( TMĐK (*) ) x 1 Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên. Loại 6. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức đạt GTNN hoặc GTLN Phương pháp 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện Ví dụ. (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai 2014-2015) x 5 x 25 x x 3 x 5 Cho biểu thức A = 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 1. Rút gọn A A(x 16) 2. Với x 0 , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 5 Lời giải b) Điều kiện x 0,x 25,x 9 5 Rút gọn A x 3 b) Ta có : A(x 16) 5(x 16) x 16 25 25 B = x 3 x 3 6 5 5( x 3 x 3 x 3 x 3 Theo bất đẳng thức Cauchy:
15. 25 25 B x 3 6 2 x 3 . 6 2.5 6 4 x 3 x 3 25 => B 4 => min B = 4 x 3 x 3 5 x 4 x 3 Phương pháp 2: Dùng miền giá trị 1 1 x 1 Ví dụ. Cho biểu thức với x 0, x 1. A : 2 , x x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A 9 x . Lời giải a) Với điều kiện x 0 , x 1 ta có 2 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 A : 2  . x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x b) Với điều kiện x 0 , x 1 ta có x 1 1 P A 9 x 9 x 1 9 x P 1 x x P. x x 1 9x 9x P 1 x 1 0 2 9 x P 1 x 1 0 * Để tồn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là: P 1 2 36 0 P 1 2 36 P 1 6 do P 1 P 5 P 1 5 1 1 1 Như vậy P 5 khi x x 2.9 2.9 3 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 khi x . 9 Loại 7. Tìm x biết biểu thức P thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp:  Tìm x để |A| = A. Phương pháp: | A| A A 0 Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A 0.  Tìm x để |A| = - A. Phương pháp: | A| A A 0 Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A 0.  Tìm x để A2 A. Phương pháp: A2 A A 0. Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A 0.  Tìm x để |A| >- A. Phương pháp: | A| A A 0 Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A 0 .  Tìm x để A A .
16. Phương pháp: A A 0 A 1 Cần tìm x thỏa mãn ĐK để 0 A 1.  Tìm x để A A . Phương pháp: A A A 1 Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A 1.  Tìm x để A b ; A b ; A b ; A b. Phương pháp: Cần tìm x thỏa mãn ĐK để: A b 0 ; A b ; A b 0 ; A b 0. x 2 x 1 Ví dụ. Cho biểu thức A x 1 x x 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A . b) Với giá trị nào của x thì A A . Lời giải x 1 a) Điều kiện: x 0 ; x 1. Kết quả rút gọn A . x b) Ta có: A A A 0 x 1 0 x 1 0 (vì x 0 với mọi x 0; x 1). x x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 x 1 thì A A . Loại 8.Tìm giá trị tham số m để x thỏa mãn phương trình, bất phương trình. Phương pháp: - Đối với phương trình ta đưa phương trình về dạng f(m).x = k - Xét các trường hợp: Trường hợp 1: f (m) 0, kết luận về bất phương trình nhận được. Trường hợp 2: f (m) 0, tìm được tập nghiệm x, rồi lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn. - Đối với bất phương trình biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau: f (m).x k hoặc f (m).x k hoặc f (m).x k hoặc f (m).x k f (m). x k hoặc f (m). x k hoặc f (m). x k hoặc f (m). x k - Xét các trường hợp: Trường hợp 1: f (m) 0, kết luận về bất phương trình nhận được. Trường hợp 2: f (m) 0, tìm được tập nghiệm x, rồi lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn. Trường hợp 3: f (m) 0, tìm được tập nghiệm x, rồi lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn. 2x x x x x x x x 1 Ví dụ . Cho biểu thức P x x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm giá trị của m để mọi x 2 ta có: P. x x 1 3 m x 1 x. Lời giải a) Điều kiện: x 0 ; x 1. 2x x x x x x x x 1 P x x x x x x 1
17. x 2x x 1 x x 1 x 1 P x x x 1 x x 1 2x x 1 x 1 x 1 P x x 1 x 1 x x 1 2x x 1 x 1 P x x 1 x x P x x 1 x x b) Ta có: P với x 0 ; x 1. x x 1 P. x x 1 3 m x 1 x x x . x x 1 3 m x 1 x x x 1 x x 3 m x 1 x x 3 m x 1 0 1 m x m 3 0 1 m x 3 m (*) Trường hợp 1: Khi 1 m 0 m 1 0 2 (vô lý). 3 m Trường hợp 2: Khi 1 m 0 m 1 x , khi đó: 1 m 3 m + Nếu 2 tức là x 2 thì mọi giá trị x 2 sẽ không thỏa mãn bất phương trình. 1 m 3 m 3 m + Nếu 2 tức là 2 x thì chỉ có một số giá trị x 2 thỏa mãn bất phương 1 m 1 m trình (Tập nghiệm của bất phương trình (∗) không chứahết các giá trị x 2 ) Trường hợp 2 không thỏa mãn với mọi giá trị x 2. 3 m Trường hợp 3: Khi 1 m 0 m 1 x , khi đó để bất phương trình thỏa mãn 1 m với mọi x 2 thì: 3 m 3 m m 1 2 2 0 0 1 m 1 m 1 m Mà 1 m 0 m 1 0 m 1 kết hợp với m 1ta được m 1 Vậy với m 1 thì bất phương trình thỏa mãn với mọi x 2. 2.5.2. BÀI TẬP Câu 1. (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng 1 năm 2019-2020) 3 x 3x 1 x 1 ( x y) Cho biểu thức: M : x xy y x x y y x y 2x 2 xy 2y a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm các số nguyên x sao cho biểu thức M có giá trị nguyên. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020)
18. é ù x + 24 ê x + 3 x + 2 x + 2 ú Cho biểu thức:: A = : ê + + ú, x - x - 2 ëê x - 2 3- x x - 5 x + 6ûú (với x ³ 0, x ¹ 4,x ¹ 9). 1. Rút gọn biểu thức A . 2. Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3. (Trường chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) 3a 9a 3 a 2 1 Cho biểu thức: A 1 a a 2 a 1 a 2 1)Rút gọn biểu thức A. 2)Tìm giá trị của a để A 2 . Câu 4. (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng 2 năm 2019-2020) 2 a 1 3 3 a 1 a 1 2a a) Cho a là số thực khác 1 và 1. Rút gọn biểu thức P 2  3 . a 1 a 1 a 1 3 a 1 2 4 2 2 4 2 b) Cho các số thực x, y, a thoản mãn x 3 x y y 3 y x a . Chứng minh rằng: 3 x2 3 y2 3 a2 . Câu 5. (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) 2x x 1 2x x x x x x 1 Cho P 1 . với x 0, x 1, x . 1 x 1 x x 2 x 1 4 a) Rút gọn P. 4 b)Tìm các giá trị của x sao cho P . 5 Câu 6. (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng 2 năm 2019-2020) æ 3 x x 1 ö x + 3 ç ÷ Cho biểu thức: P = ç - + ÷: (với x ³ 0). èçx x + 1 x - x + 1 x + 1ø÷ x - x + 1 1 Rút gọn biểu thức P.Tìm các giá trị của x để P ³ . 5 Câu 7. (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng 1 năm 2019-2020) 2x2 2x 1 1 Cho biểu thức: H (với x 0; x 1) x2 1 x 1 x 1 a)Rút gọn biểu thức H . b)Tìm tất cả các giá trị của x để x H 0 Câu 8. (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) a 1 a 1 a2 a a Cho biểu thức P 4 a : với a 0, a 1. a 1 a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên. Câu 9. (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng 2 năm 2019-2020) 4x 9 x 3 x 1 2 x 1 Cho biểu thức : A (với x 0 ). x 3 x 2 x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A;
19. b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Câu 10. (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vòng 1 năm 2019-2020) 2 1 1 xy x y xy Cho biểu thức: P  (với x 0; y 0 ). xy x y x x y y 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Biết xy 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.