Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 17: Hàm số

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 17: Hàm số

1. 1 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh CHUYấN ĐỀ 17: HÀM SỐ 1. Nhắc lại kiến thức về hàm số +) Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giỏ trị của x ta luụn xỏc định được chỉ một giỏ trị số tương ứng của y thỡ y được gọi là hàm số của x . +) Đồ thị của hàm sốy = f (x) là tập hợp tất cả cỏc điểm biểu diễn cỏc cặp giỏ trị tương ứng (x; f (x)) trờn mặt phẳng tọa độ. +) Khi x thay đổi mà y luụn nhận một giỏ trị khụng đổi thỡ y được gọi là hàm hằng. Chẳng hạn y = 2 là một hàm hằng, đồ thị của hàm số này là đường thẳng vuụng gúc với trục tung, cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2 . +) Cho hàm số y = f (x) xỏc định với mọi giỏ trị của x thuộc Ă . Với x1,x2 bất kỡ thuộc Ă : Nếu x1 f (x2) thỡ ta núi hàm số đú nghịch biến trờn Ă . +) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cụng thức y = ax + b , trong đú a và b là cỏc số thực xỏc định, a ạ 0. Hàm số y = ax + b (a ạ 0) xỏc định với mọi số thực x . Trờn tập hợp số thực, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 , nghịch biến khi a 0 thỡ hàm số nghịch biến với x 0 , bằng 0 với x = 0 . Nếu a 0 , bằng 0 với x = 0 . Đồ thị của hàm số là một parabol; đi qua gốc toạ độ và nhận trục tung làm trục đối xứng. 2. Xỏc định hàm số Vớ dụ 1. Cho hàm số f (x) = ax 5 + bx 3 + cx - 5 (a,b,c là hằng số). Cho biết f (- 3) = 208 . Tớnh f (3) . Lời giải Ta cú f (- 3) = a(- 3)5 + b(- 3)3 + c(- 3) - 5; f (3) = a.35 + b.33 + c.3- 5 Nờn f (- 3) + f (3) = - 10. Do đú 208 + f (3) = - 10. Vậy f (3) = - 10- 208 = - 218 . Vớ dụ 2. (Trớch đề thi HSG huyện Bỡnh Giang năm 2012-2013) m2 - 2013m + 2012 Tỡm m để hàm số bậc nhất y = x - 2011 là hàm số nghịch biến. m2 - 2 2m + 3 Lời giải m2 2013m 2012 m2 2013m 2012 Để hàm số y x 2011 nghịch biến thỡ 0 (1). m2 2 2m 3 m2 2 2m 3 2 m2 2 2m 3 m 2 1 0m (1) m2 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0 m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012 m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012 1 m 2012 Vậy khi 1 m 2012 thỡ hàm số nghịch biến.
2. 2 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Vớ dụ 3.Trờn mặt phẳng toạ độ, cho cỏc điểm A,B,C cú toạ độ A(0; 4),B(3; 4),C(3; 0) . Hóy tỡm hệ số a sao cho đường thẳng y = ax chia hỡnh chữ nhật OABC thành hai phần, trong đú diện tớch phần chứa điểm A gấp đụi diện tớch phần chứa điểm C . Lời giải (h.2) Đường thẳng y = ax phải cắt cạnh BC của hỡnh chữ nhật OABC , gọi giao điểm đú là E cú toạ độ (3; 3a) . SOABC = OA.OC = 4.3 = 12 . 1 1 S = S = .12 = 4. OCE 3 OABC 3 8 CE = 2.S :OC = 2.4 : 3 = . OCE 3 8 8 Từ 3a = được a = . 3 9 8 Đường thẳng phải tỡm là y = x . 9 Vớ dụ 4.Cho cỏc điểm A(1; 4) và B(3;1) . Xỏc định đường thẳng y = ax sao cho A và B nằm về hai phớa của đường thẳng và cỏch đều đường thẳng đú. Lời giải Kớ hiệu đường thẳng phải tỡm là d . Gọi AH và BK là khoảng cỏch từ A đến B đến đường thẳng d . Đường thẳng đi qua A và song song ổ ử ỗ4 ữ với Ox cắt d tại điểm M ỗ ; 4ữ. Đường thẳng đi qua B ốỗa ứữ ổ ử ỗ1 ữ và song song với Ox cắt d tại điểm N ỗ ;1ữ. ốỗa ứữ Ta cú A H = BK Û A M = NB 4 1 Û - 1 = 3 - (1) a a 5 5 Giải (1) ta được a = , khi đú đường thẳng d phải tỡm là y = x . 4 4 Chỳ ý: a) Nếu đề bài khụng cú điều kiện “A và B nằm về hai phớa của đường thẳng y = ax ” thỡ 4 1 4 1 thay cho (1) ta phải viết - 1 = 3 - . Khi đú ngoài (1), ta cũn phải giải - 1 = - 3. Trường hợp a a a a 3 3 này cho kết quả a = - , cỏc điểm A và B nằm cựng phớa đối với đường thẳng y = - x và cỏch đều 2 2 3 đường thẳng đú (đường thẳng y = - x là đường thẳng d ' trờn hỡnh 4). 2 b) Nếu sử dụng cụng thức tớnh toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB thỡ đường thẳng 2, 5 5 y = ax trong Vớ dụ 21 đi qua điểm M (2;2, 5) , ta tỡm được a = = . 2 4 Bài tập 1. Tỡm cỏc số dương m,n sao cho hệ số gúc của đường thẳng y = mx gấp bốn hệ số gúc của đường thẳng y = nx , gúc tạo bởi đường thẳng y = mx với trục Ox gấp đối gúc tạo bởi đường thẳng y = nx với trục Ox . 3. Sự tương giao và cỏc bài toỏn liờn quan Vớ dụ 1. Cho đường thẳng
3. 3 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh y = mx + m - 1 (m là tham số). (1) a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m. b) Tớnh giỏ trị của m để đường thẳng (1) tạo với cỏc trục toạ độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 2 . Lời giải a) Điều kiện để đường thẳng (1) đi qua điểm cố định N (x0;y0 ) với mọi m là: y0 = mx0 + m - 1 = 0 với mọi Û (x0 + 1)m - (y0 + 1) = 0 với mọi m ùỡ x + 1 = 0 ùỡ x = - 1 ù 0 ù 0 Û ớù Û ớ ù y + 1 = 0 ù y = - 1 ợù 0 ợù 0 Vậy cỏc đường thẳng (1) đi qua điểm cố định N(- 1;- 1) . b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung. Với x = 0 thỡ y = m - 1, do đú OA =| m - 1|. 1- m Gọi B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành. Với y = 0 thỡ x = nờn m 1- m OB = . m OA.OB S = 2 Û = 2 Û OA.OB = 4 AOB 2 (m - 1)2 ộm2 - 2m + 1 = 4m(2) Û = 4 Û ờ | m | ờm2 - 2m + 1 = - 4m(3) ởờ Giải (2) ta cú m2 - 6m + 1 = 0 Û (m - 3)2 = 8 Û | m - 3 |= 2 2 Û m = 3 ± 2 2 . Giải (3) ta cú m2 + 2m + 1 = 0 Û (m + 1)2 = 0 Û m = - 1. Cú ba đường thẳng đi qua N tạo với cỏc trục toạ độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 2 : Với m = 3 + 2 2 , ta cú đường thẳng y = (3 + 2 2)x + (2 + 2 2) . Với m = 3- 2 2 , ta cú đường thẳng y = (3- 2 2)x + (2- 2 2) . Với m = - 1, ta cú đường thẳng y = - x - 2. Vớ dụ 2. 1 a) Cho parabol y = x 2 , điểm A(0;1) và đường thẳng d cú phương trỡnh y = - 1. Gọi M là một 4 điểm bất kỳ thuộc parabol. Chứng minh rằng MA bằng khoảng cỏch MH từ điểm M đến đường thẳng d . b) Cho điểm A(0;a) , gọi d là đường thẳng cú phương trỡnh y = - a . Chứng minh rằng quỹ tớch của điểm M (x;y) sao cho khoảng cỏch MH từ M tới d bằng MA là một parabol. Lời giải a) Ta luụn luụn cú MH = y + 1. (1) Để tớnh MA , ta kẻ MI ^ Oy . Ta cú MI =| x |,AI =| y - 1| nờn MA2 = MI 2 + AI 2 = x 2 + (y - 1)2 = x 2 + y2 - 2y + 1.
4. 4 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh 1 Do y = x 2 nờn thay x2 bởi 4y ta được 4 MA2 = 4y + y2 - 2y + 1 = (y + 1)2 Hỡnh 4 Do đú MA =| y + 1|= y + 1 (do y ³ 0 ). (2) Từ (1) và (2) ta cú MA = MH . b) (h.5 ứng với a > 0 ) Theo cụng thức tớnh khoảng cỏch giữa hai điểm M (x;y) và A(0;a) ta cú MA2 = (x - 0)2 + (y - a)2 = x 2 + y2 - 2ay + a2 . Ta lại cú MH =| y + a | nờn MH 2 = (y + a)2 = y2 + 2ay + a2 . MA2 = MH 2 Û x 2 + y2 - 2ay + a2 = y2 + 2ay + a2 1 Û x 2 = 4ay Û y = x 2 . 4a 1 Do đú quỹ tớch của M là parobol y = x 2 . 4a Chỳ ý: Tổng quỏt, cho một điểm A và đường thẳng d khụng đi qua A , quỹ tớch cỏc điểm M sao cho khoảng cỏch MA bằng khoảng cỏch từ M đến d là một parabol. Khi đú điểm A gọi là tiờu điểm, đường thẳng d gọi là đường chuẩn của parobol. Vớ dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 1. Chứng minh rằng (d) và (P) cú hai điểm chung phõn biệt 2. Gọi A và B là cỏc điểm chung của (d) và (P) . Tớnh diện tớch tam giỏc OAB ( O là gốc toạ độ) Lời giải 1. Chứng minh rằng (d) và (P) cú hai điểm chung phõn biệt Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trỡnh x2 = 2x + 3 => x2 – 2x – 3 = 0 cú a – b + c = 0 Nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt - c 3 x1 = -1 và x2 = = = 3 a 1 2 Với x1 = -1 => y1 = (-1) = 1 => A (-1; 1) 2 Với x2 = 3 => y2 = 3 = 9 => B (3; 9) Vậy (d) và (P) cú hai điểm chung phõn biệt A và B 2. Gọi A và B là cỏc điểm chung của (d) và (P) . Tớnh diện tớch tam giỏc OAB ( O là gốc toạ độ). Ta biểu diễn cỏc điểm A và B trờn mặt phẳng toạ độ Oxy như hỡnh vẽ: 9 B A 1 D C -1 0 3 AD BC 1 9 BC.CO 9.3 AD.DO 1.1 S .DC .4 20 S 13,5 S 0,5 ABCD 2 2 BOC 2 2 AOD 2 2 Theo cụng thức cộng diện tớch ta cú: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt) BÀI TẬP
5. 5 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Bài 1: (Trớch đề Chuyờn Đà Nẵng năm học 2019-2020) 1 2 Cho hàm số y x cú đồ thị P và điểm A 2; 2 . Gọi dm là đường thẳng qua A cú hệ số gúc 2 m. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để dm cắt đồ thị P tại hai điểm A và B, đồng thời cắt trục Ox tại điểm C sao cho AB 3AC . Lời giải Cỏch 1 Đường thẳng dm cú phương trỡnh là y m x 2 2 luụn đi qua điểm A 2;2 của P . b2 Hỡnh chiếu vuụng gúc của C lờn Oy là O 0;0 , của A lờn Oy là A' 0;2 , của B b; lờn Oy là 2 b2 B' 0; . 2 AB A'B' Theo định lớ Thales cú : 3 A'B' 3A'O AC A'O b2 Suy ra A’B’ = 6 OB’ = 8 8 b 4 2 Nếu b = 4, thế vào dm tỡm được m = 3; Nếu b = -4, thế vào dm tỡm được m = -1. Cỏch 2 2m 2 Phương trỡnh đường thẳng dm là y mx 2m 2 tọa độ điểm C là C ;0 m 2 Phương trỡnh hoành độ giao điểm của dm và P :x 2mx 4m 4 0 (1). Vỡ A 2;2 thuộc 2 P và dm nờn (1) cú 1 nghiệm xA 2 B 2m 2;2m 4m 2 2 2 2 2 2 4 m 1 2 2 AB 4 m 2 m 1 ,AC 2 từ AB = 3AC 4 m 2 m 1 = m 4 m2 1 9. m2 2 m 2 m2 9 m m 2 3 m = -1 hoặc m = 3. Bài 2:(Trớch đề Chuyờn Điện Biờn năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y 2mx m 2 (m là tham số) và parabol P : y 2x2 . Chứng minh với mọi giỏ trị của m thỡ d luụn cắt P tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ 2 2 x1, x2 . Tỡm m sao cho x1 6x2 x1x2 0 .
6. 6 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Lời giải: Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và (P) là 2x2 = 2mx + m + 2 Û 2x2 - 2mx - m - 2 = 0 (*) 2 Ta cú D Â= m2 - 2(- m - 2) = (m + 1) + 3 > 0, " m ẻ Ă ị d luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt Gọi x1,x2 là hai nghiệm của (*). Theo định lý Viet ta cú ùỡ x + x = m ù 1 2 ù ớ - m - 2 ù x x = ợù 1 2 2 Theo giả thiết 2 2 x1 3x2 x1 6x2 x1x2 0 x1 3x2 x1 2x2 0 x1 2x2 ùỡ m ù x = ù 2 TH1: x = 3x ị ớù 4 do đú ta cú 1 2 ù 3m ù x = ợù 1 4 m 3m - m - 2 . = Û 3m2 + 8m + 16 = 0 (vụ nghiệm). 4 4 2 ùỡ x = - m ù 2 TH2: x = - 2x ị ớ do đú ta cú 1 2 ù x = 2m ợù 1 - m - 2 1± 33 - 2m2 = Û 4m2 - m - 2 = 0 Û m = 2 8 1± 33 Vậy m = là giỏ trị cần tỡm. 8 Bài 3:(Trớch đề Chuyờn Hưng Yờn năm học 2019-2020) 1 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y x và Parabol (P) : y 2x2 . 2020 2020 Biết đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm B và C. Tỡm tọa độ điểm A trờn trục hoành để AB AC lớn nhất. Bài 4: (Trớch đề Chuyờn Quảng Ninh năm học 2019-2020) Cho trước plà số nguyờn tố. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm A p8;0 và B p9 ;0 thuộc trục Ox .Cú bao nhiờu tứ giỏc ABCD nội tiếp sao cho cỏc điểmC, D thuộc trục Oy và đều cú tung độ là cỏc số nguyờn dương. Bài 5:(Trớch đề Chuyờn Quảng Nam năm học 2019-2020) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x m 2 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số 2 2 m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt lần lượt cú hoành độ x1, x2 thỏa món x1 x2 3 . Bài 6:(Trớch đề Chuyờn Quảng Bỡnh năm học 2019-2020) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d đi qua điểm M 0;1 cú hệ số gúc k . a) Chứng minh rằng đường thẳng d luụn cắt P tại hai điểm A,B phõn biệt với mọi giỏ trị k .
7. 7 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh b) Chứng minh OAB là tam giỏc vuụng với mọi giỏ trị k (O là gốc tọa độ). Bài 7: (Trớch đề Chuyờn Cần Thơ năm học 2019-2020) 2 2 4 m Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1 ) : y m x m 2 và (d ) : y x 2 (m là 2 m2 1 tham số thực khỏc 0). Tỡm tất cả giỏ trị của tham số m để (d1 ) và (d2 )cắt nhau tại một điểm A duy nhất 15 sao cho diện tớch của hỡnh thang ABHK bằng . Biết B( 1;2) và hai điểm H, K lần lượt là hỡnh chiếu 2 vuụng gúc của B và A lờn trục hoành. Bài 8:(Trớch đề Chuyờn Thừa Thiờn Huế năm học 2019-2020) 1 1 Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y x2 vàđường thẳng (d): y x 3. Gọi 2 2 A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) (với xA xB ) là cỏc giao điểm của (P) và (d), C(xC ; yC ) là điểm thuộc (P) sao cho xA xC xB . Tỡm giỏ trị lớn nhất của diện tớch tam giỏc ABC. Bài 9:(Trớch đề Chuyờn Quảng Ngói năm học 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : y m 2 x m 1 và d ' : x m 2 y m 2 trong đú m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng núi trờn thuộc một đường cố định khi m thay đổi. Bài 10:(Trớch đề Chuyờn Bắc Ninh năm học 2019-2020) Cho hai hàm số y x2 và y m 1 x 1 (với m là tham số) cú đồ thị lần lượt là (P) và d . Tỡm m để P cắt d tại hai điểm phõn biệt , sao cho 3 3 3 3 . ( ) A x1 ; y1 B x2 ; y2 y1 y2 18 x1 x2 Bài 11:(Trớch đề Chuyờn Bỡnh Dương năm học 2019-2020) Cho parabol P : y 2ax2 a 0 và đường thẳng d : y 4x 2a2 . Tỡm a để d cắt P tại hai điểm 8 1 phõn biệt M , N cú hoành độ xM , xN sao cho K đạt giỏ trị nhỏ nhất. xM xN 2xM xN Bài 12:(Trớch đề Chuyờn Tiền Giang năm học 2019-2020) 1 Cho parabol (P): y 2x2 , cỏc đường thẳng (d ): y x . Viết phương trỡnh đường thẳng (d ), 1 4 2 biết d2 vuụng gúc với d1 và d2 cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B sao cho 5AB 17OI , với I là trung điểm của đoạn AB. Bài 13: (Trớch đề Chuyờn Khỏnh Hũa năm học 2019-2020) Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) y x2 và đường thẳng (d) y 2mx 2m 3 a/ Chứng minh đường thẳng (d) luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt b/ Gọi y1 ,y2 lần lượt là tung độ cỏc giao điểm của đường thẳng (d) và (P). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m để y1 y2 5 . Bài 14:(Trớch đề Chuyờn Gia Lai năm học 2019-2020) Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x m 2 , m là tham số. Tỡm m để d cắt P tại hai điểm phõn biệt. Bài 15: (Trớch đề Chuyờn Kon Tum năm học 2019-2020) Cho parapol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m2 + 1 , m là tham số. Tỡm m để đường yA yB - 38 thẳng (d) cắt parapol (P) tại hai điểm A(xA ; yA ),B(xB ; yB ) sao cho + = . xB xA 5 Bài 16:(Trớch đề Chuyờn An Giang năm học 2019-2020) Cho hàm số = 2 ( ≠ 0) cú đồ thị (푃). a) Xỏc định hệ số biết đồ thị (푃) đi qua điểm ( 5; 50). Vẽ đồ thị hàm số ứng với vừa tỡm được.
8. 8 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh b) Với giỏ trị vừa tỡm ở trờn, cho biết điểm ( ;푛) thuộc đồ thị (푃). Hỏi điểm (푛; ) cú thuộc đồ thị (푃) được hay khụng? Tỡm điểm đú nếu cú ( ,푛 là hai số khỏc 0). Bài 17:(Trớch đề Chuyờn Hưng Yờn năm học 2019-2020) Cho hai đường thẳng (d):y (m 2)x m và ( ) : y 4x 1 a) Tỡm m để (d) song song với ( ) . b) Chứng minh đường thẳng (d) luụn đi qua điểm A( 1;2) với mọi m. c) Tỡm tọa độ điểm B thuộc ( ) sao cho AB vuụng gúc với ( ) . Bài 18: (Trớch đề Chuyờn Nam Định năm học 2019-2020) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng y m2 1 x 7 và đường thẳng y 3x m 5 (với m 1 ) là hai đường thẳng song song. Bài 19: (Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Bỡnh Phước năm học 2018-2019) Cho hàm số P : y x2 . Tỡm cỏc giỏ trị của m để đường thẳng d : y 2x m 1 cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phõn biệt A x1 ; y1 ,B x2 ; y2 thỏa món y1.y2 x1.x2 12 . Bài 20:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm học 2018-2019) Cho hàm số y m2 4m 4 x 3m 2 cú đồ thị làd . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A , B sao cho tam giỏc OAB cú diện tớch là 1 cm2 (O là gốc tọa độ, đơn vị đo trờn cỏc trục là cm ). Bài 21:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Húa năm học 2017-2018) Biết phương trỡnh (m 2)x2 2(m 1)x m 0 cú hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng. Tỡm mđể độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giỏc 2 vuụng đú bằng . 5 Bài 22:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm học 2016-2017) Trong hệ trục tọa độ Oxy hóy tỡm trờn đường thẳng y 2x 1 những điểm M x; y thỏa món điều kiện y2 5y x 6x 0 . Bài 23:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yờn năm học 2016-2017) Cho hàm số y ax b a 0 cú đồ thị d . Lập phương trỡnh đường thẳng d , biết d đi qua điểm A 1; 2 và cắt trục hoành tại điểm B cú hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C cú tung độ dương và thỏa món OB OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ). Bài 24: (Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Đăk Lăk năm học 2015-2016) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B khỏc gúc tọa độ O mà thỏa món OA OB 6 . Bài 25:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Đà Nẵng năm học 2015-2016) Cho hàm số y ax a 1 với a là tham số, a 0 và a 1 . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để khoảng cỏch từ gúc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giỏ trị lớn nhất. Bài 26: (Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang năm học 2015-2016) 1 Cho Parabol y x2 P và điểm A 0;1 . 4 a) Vẽ Parabol P trờn mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trờn Parabol P thỡ độ dài đoạn thẳng AM bằng khoảng cỏch từ M đến đường thẳng y 1 . Biết rằng khoảng cỏch giữa hai điểm C xC ; yC ,D xD ; yD bất 2 2 kỳ trờn mặt phẳng tọa độ Oxy được tớnh theo cụng thức CD xC xD yC yD . Bài 27:(Trớch đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yờn năm học 2014-2015)
9. 9 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 1 (m là tham số thực). Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B thỏa món AB 10 . Bài 28:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Cà Mau năm học 2018-2019) Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2 a) Vẽ đồ thị của P và d trờn cựng một mặt phẳng tọa độ b) Tỡm mđể d và P và đường thẳng : y 2m 3 x 1cựng đi qua điểm cú hoành độ lớn hơn 1 Bài 29: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Hưng Yờn năm học 2018-2019) Tỡm cỏc giỏ trị của mđể đồ thị hàm số y x2 và y x m cắt nhau tại hai điểm phõn biệt 8 8 A x1; y1 , B x2 ; y2 sao cho x1 x2 y1 y2 162 Bài 30: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Hưng Yờn năm học 2018-2019) Tỡm m để đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y m 2 x 11 cắt nhau tại 1 điểm trờn trục tung Bài 31: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Hưng Yờn năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) : y x2 và đường thẳng (d) : 2mx m 1. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt A(x1; y1); B(x2 ; y2 ) thỏa món 2x1 2x2 y1 y2 0 Bài 32:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Hà Nam năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) : y x2 và d : y m, (d ') : y m2 (0 m 1) . Đường d cắt P tại hai điểm phõn biệt A, B , đường d’ cắt P tại hai điểm phõn biệt C, D (hoành độ A và D õm). Tỡm m sao cho diện tớch tứ giỏc ABCD gấp 9 lần diện tớch tam giỏc OCD. Bài 33:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Thỏi Bỡnh năm học 2018-2019) 4 Cho hai đường thẳng (d1): y = mx + m và (d2): y x b (với m là tham số m ≠ 0). 3 2 2 Gọi I(xo; yo) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2). Tớnh: T x0 y0 Bài 34:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Lõm Đồng năm học 2018-2019) Trờn hệ trục tọa độ Oxy (cỏch chọn đơn vị trờn hai trục tọa độ như nhau), cho đường thẳng d cú 4 hệ số gúc là và đường thẳng d đi qua A(3;4) . Tớnh khoảng cỏch từ điểm O đến đường thẳng d 3 Bài 35:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Đồng Nai năm học 2018-2019) Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M 50;100 và N 100;0 . Tỡm số cỏc điểm nguyờn nằm bờn trong tam giỏc OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyờn nếu hoành độ và tung độ của điểm đú đều là cỏc số nguyờn) Bài 35:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm học 2018-2019) Cho đường thẳng (d) : y 2x m ( m là tham số) và parabol (P) : y x2 . Tỡm m để (d) cắt (P) 2 2 tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 10. Bài 36:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Kiờn Giang năm học 2018-2019) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y 2mx 4m (với mlà tham số). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1; x2 thỏa món x1 x2 3 Bài 37: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Thừa Thiờn Huế năm học 2018-2019) 1 11 3 Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng d : y = x - . Gọi A,B là cỏc giao điểm của 4 8 2 (P) và d. Tỡm tọa độ điểm C trờn trục tung sao cho CA + CB cú giỏ trị nhỏ nhất. Bài 38: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm học 2018-2019) Cho hai hàm số y 2x2 và y mx . Tỡm m để hai đồ thị của hai hàm số đó cho cắt nhau tại ba điểm phõn biệt là ba đỉnh của tam giỏc đều.
10. 10 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Bài 39:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Điện Biờn năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y 2x 3 và Parabol (P) : y x 2 . Tỡm tọa độ cỏc giao điểm A,B của (d) và (P) . Tớnh độ dài đường cao OH của tam giỏc OAB . Bài 40:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Đà Nẵng năm học 2018-2019) Trờn cựng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho P : y x2 và đường thẳng d : y mx 2m, với m là tham số. Gọi A và H lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để d cắt (P) tại hai điểm C và D nằm về hai phớa trục tung sao cho C cú hoành độ õm và BD 2AC Bài 41:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Hà Nam năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) cú phương trỡnh y x2 và hai đường thẳng (d): y m ; (d’): y m2 (với 0 m 1). Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số õm). Tỡm m sao cho diện tớch hỡnh thang ABCD gấp 9 lần diện tớch tam giỏc OCD. Bài 42:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Bỡnh Phước năm học 2018-2019) 1 1 Cho parabol P y x2 và đường thẳng d : y m 1 x m2 . Với giỏ trị nào của m thỡ d cắt 2 2 (P) tại hai điểm phõn biệt A(x1; y1); B(x2 ; y2 ) sao cho biểu thức T y1 y2 x1x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất Bài 43:(Trớch đề vào 10 Chuyờn Trà Vinh năm học 2018-2019) Cho đường thẳng (d) : y ax b . Tỡm a,b biết đường thẳng (d) tiếp xỳc với parabol (P) : y x 2 tại điểm A( 1;1) . Bài 44: (Trớch đề vào 10 Chuyờn Tiền Giang năm học 2018-2019) 1 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : x 2y 12 0 . 4 a) Tỡm tọa độ giao điểm A và B của d và P . b) Tỡm tọa độ điểm C nằm trờn P sao cho tam giỏc ABC vuụng tại C. Bài 45. (Đề vào 10 Chuyờn Sư Phạm Hà Nội năm 2015-2016) Một xe tải cú chiều rộng là2,4m và chiều cao là2,5m muốn đi qua một cỏi cổng cú hỡnh Parabol. Biết khoảng cỏch giữa hai chõn cổng là4m và khoảng từ đỉnh cổng (đỉnh Parabol) tới chõn cổng là 2 5m (bỏ qua độ dày của cổng). 1). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi Parabol (P):y = ax2 với a < 0 là hỡnh chiếu biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = - 1 2). Hỏi xe tải cú thể đi qua cổng được khụng? Tại sao? Bài 46.(Đề vào 10 Chuyờn Hải Dương năm 2012-2013) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x-m+1 và parabol (P): y = x2 . 2 1) Tỡm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3). 2) Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2 y1 + y2 48 0 . Bài 47.(Đề vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm 2012-2013) Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số). a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thỡ (d) luụn cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt A, B. b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ cỏc điểm A, B. Tỡm m để |yA − yB| = 2. Bài 48.(Đề vào 10 Chuyờn Toỏn Quảng Nam năm 2012-2013) Cho parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + c với a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giỏc vuụng trong đú a là độ dài cạnh huyền. Chứng minh rằng (d) luụn luụn cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt A, B 2 2 cú hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa món x1 x2 2 Bài 49.(Đề vào 10 Chuyờn Vĩnh Phỳc năm 2011-2012)
11. 11 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số: y x2 (2m2 1)x m 1 và đường m thẳng (D): y 3x ; trong đú m là tham số. 2 a) Cho m 1, tỡm hoành độ cỏc giao điểm của (P) và (D). b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phõn biệt cú hoành độ khụng õm. Bài 50.(Đề vào 10 Chuyờn Bỡnh Phước năm 2012-2013) Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y 2 m 3 x m2 3 (1). Tỡm giỏ trị m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ là x1, x2 thỏa món hệ thức: x1x2 57 x1 x2 x1 x2 4 Bài 51.(Đề vào 10 Chuyờn Đà Nẵng năm 2009-2010) Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y x2 cú đồ thị (P) và đường thẳng (∆) cú phương trỡnh y x 2 . Chứng minh rằng (P) và (∆) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B; xỏc định tọa độ hai điểm đú. Tớnh diện tớch tam giỏc OAB (đơn vị đo trờn cỏc trục tọa độ là xentimột). Bài 52.(Đề vào 10 Chuyờn Kiờn Giang năm 2010-2011) Cho hàm số y = (m – 3)x + 2 + m. Xỏc định m để: a) Hàm số là hàm số bậc nhất nghịch biến. b) Đồ thị hàm số đi qua điểm cú tọa độ (1 ; 1) c) Đồ thị cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giỏc cú diện tớch bằng 3. Bài 53.(Đề vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm 2013-2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x y a2 = 0 và Parabol (P): y = ax2 ( a là tham số dương). a. Tỡm giỏ trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B. Chứng tỏ khi đú A và B nằm bờn phải trục tung. 4 1 b. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M x1 x2 x1x2 Bài 54.(Đề vào 10 Chuyờn Đà Nẵng năm 2009-2010) Chohàm số y x2 4x 4 4x2 4x 1 ax (x là biến số) 1/ Xỏc định a để hàm số luụn đồng biến. 2/ Xỏc định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho với a vừa tỡm được. 3/ Dựng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh sau: x2 4x 4 4x2 4x 1 x m Bài 55.(Đề vào 10 Chuyờn Thỏi Bỡnh năm 2009-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y k 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x2 . 1. Khi k 2 , hóy tỡm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giỏ trị nào của k thỡ đường thẳng (d) luụn cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt; 3. Gọi y1; y2 là tung độ cỏc giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tỡm k sao cho: y1 y2 y1 y2 . Bài 56. (Đề vào 10 Chuyờn Đồng Nai năm 2012-2013) Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số. 1/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm cú tung độ bằng 9. 2/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cỏch giữa hai điểm này bằng 6 Bài 57.(Đề vào 10 Chuyờn Sư Phạm Hà Nội năm 2016-2017) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.
12. 12 Giỏo viờn: Trần Kim Oanh a) Tỡm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mỗi giỏ trị của m, d luụn cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ 2 2 của A, B. Tỡm m sao cho | y1 y2 | 3 5