Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Phương trình bậc 2 và ứng dụng của hệ thức vi-ét

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Phương trình bậc 2 và ứng dụng của hệ thức vi-ét

1. CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1.1.Lý thuyết cơ bản 1.1.1. Định nghĩa: Phương trình bậc 2 một ẩn là phương trình có dạng: ax2 bx c 0 trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số cho trước và a ≠ 0. 1.1.2. Giải phương trình bậc 2. Phương trình bậc 2 khuyết: - Với c = 0 phương trình có dạng: x 0 ax2 bx 0 x ax c 0 c (a ≠ 0). x a - Với b = 0 phương trình có dạng: c ax2 c 0 x2 * a Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c c 0 0 (a và c trái dấu) a ac 0 c Với điều kiện trên ta có: * x a Giải phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ bằng công thức nghiệm. Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 bx c 0 a 0 1 Xét biệt số: b2 4ac +) Nếu 0 phương trình (1) vô nghiệm. b +) Nếu 0 phương trình (1) có nghiệm kép: x x 1 2 2a b b +) Nếu 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ; x . 1 2a 2 2a Trường hợp: b 2b' ta có: ' b'2 ac . Khi đó: +) Nếu ' 0 phương trình (1) vô nghiệm. b' +) Nếu ' 0 phương trình (1) có nghiệm kép: x x 1 2 a b' ' b' ' +) Nếu 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x ; x . 1 a 2 a Trường hợp đặc biệt có thể nhẩm nhanh nghiệm: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 bx c 0 a 0 c - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1; x . 1 2 a
2. c - Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x 1; x . 1 2 a 1.2. Bài tập Một số dạng bài tập thường gặp là: 1 - Giải phương trình bậc hai một ẩn 2 - Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ≥ 0 mà ta lại có: = b 2 – 4ac nên khi ac 0. Do đó với nhiều trường hợp phức tạp ta chỉ cần xét ac < 0 để chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm. 3 - Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc hai 4 - Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung Bài toán. Hai phương trình bậc hai a x2 b x c 0 * và a x2 b x c 0 với 1 1 1 2 2 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 1 2 1 2 1 2 là các tham số, xác định giá trị của tham số để 2 phương trình có nghiệm chung. Phương pháp giải. Bước 1. Giả sử x0 là nghiệm cung của hai phương trình khi đó: 2 a1x0 b1x0 c1 0 1 2 a2 x b2 x c2 0 2 Từ hệ phương trình ta xác định được giá trị của tham số. Bước 2. Thay giá trị của tham số vào phương trình (*) và ( ) tính ra nghiệm chung và kết luận. 5 - Chứng minh trong một hệ các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm. Phương pháp: Để chứng minh có ít nhất một phương trình bậc hai trong hệ phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh tổng các biệt thức delta lớn hơn hoặc bằng 0. 6 - Ứng dụng của phương trình bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: Để một phương trình bậc 2 có nghiệm thì ta cần có biệt thức 0 , vận dụng linh hoạt điều này chúng ta có thể tìm được miền giá trị của một biểu thức. Ví dụ 1. Giải phương trình: mx2 2(m 3)x m 4 0 (m là tham số) (1) a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để tập nghiệm của phương trình có một phần tử. Hướng dẫn giải a) Với m = 1 ta có: x2 4x 3 0 Ta có: ' 22 1. 3 4 3 7 2 7 2 7 Do đó: x 2 7 ; x 2 7 1 1 2 1
3. Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm là: x1 2 7 ; x2 2 7 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: a 0 m 0 m 0 9 2 0 m ' 0 m 3 m m 4 0 2m 9 0 2 9 Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: 0 m 2 c) Để phương trình (1) chỉ có một phần tử thì hoặc (1) có nghiệp kép hoặc là phương trình bậc nhất. 2 Với m = 0 phương trình có dạng: 6x 4 0 x 3 Với m ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc 2, có nghiệm kép khi: 2 2 ' 0 m 3 m m 4 0 2m 9 0 m (thỏa mãn m ≠ 0) 9 2 Vậy khi m = 0 hoặc m thì tập nghiệm của phương trình (1) có một phần tử. 9 Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b: a 1 x2 2 a b x b 1 0 1 (Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) Hướng dẫn giải - Với a = -1 phương trình (1) trở thành: 2 b 1 x b 1 0 2 b 1 x b 1 +) Nếu b ≠ 1 thì phương trình (1) có nghiệm: x = 0,5. +) Nếu b = 1 thì phương trình có vô số nghiệm. - Với a ≠ -1 thì phương trình (1) là phương trình bậc 2 có: ' a b 2 a 1 b 1 a2 2ab b2 ab a b 1 a2 ab b2 a b 1 3 2 1 2 a b a b a b 1 4 4 2 3 2 1 a b a b 1 0 4 2 Do đó với a ≠ -1 phương trình (1) cũng luôn có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a, b. Ví dụ 3. Cho phương trình x2 2mx m 4 0 . Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
4. (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải Ta có: ' m2 m 4 m2 m 4 Để phương trình có nghiệm nguyên thì ' phải là số chính phương. Do đó: m2 m 4 k 2 k Z 4m2 4m 16 4k 2 2m 1 2 4k 2 15 2m 1 2k 2m 1 2k 15 Do k2 luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0, khi đó ta có: (2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k). Vì thế ta có các trường hợp sau: 2m 1 2k 1 m 4 ) 2m 1 2k 15 k 4 2m 1 2k 3 m 1 ) 2m 1 2k 5 k 2 2m 1 2k 5 m 0 ) 2m 1 2k 3 k 2 2m 1 2k 15 m 3 ) 2m 1 2k 1 k 4 Thử lại các giá trị m = -3, m = 0, m = 1, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãi điều kiện bài toán. Vậy khi m = -3, m = 0, m = 1, m = 4 phương trình có nghiệm nguyên. Ví dụ 4. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2 m 4 x m 5 0 1 x2 m 2 x m 1 0 2 Hướng dẫn giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), khi đó: 2 x0 m 4 x0 m 5 0 1 2 x0 m 2 x0 m 1 0 2 Trừ theo vế (1) và (2) ta được: 2x0 4 0 x0 2 Thay x0 = 2 vào hệ ta được: m = 1. Thay m = 1 vào phương trình (1) và (2) ta được phương trình: x2 6x 7 0 và x2 4x 3 0
5. hai phương trình trên có nghiệm chung là 2. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng ít nhất một phương trình sau có nghiệm: x2 ax 1 0 1 ; x2 bx 1 0 2 ; x2 cx 1 0 3 . Hướng dẫn giải Ba phương trình lần lượt có: 2 2 2 1 a 4, 2 b 4, 3 c 4 2 2 2 Do đó: 1 2 3 a b c 12 Theo bất đẳng thức AM-GM thì: 2 2 2 1 2 3 a b c 12 a2 4 b2 4 c2 4 24 2 2a 2 2b 2 2c 24 4 a b c 24 4 a b c 24 4.6 24 0 Do đó: 1 2 3 0.tổng 3 biệt số delta của 3 phương trình bằng lớn hơn 0 nên có ít nhất một biệt số delta lớn hơn bằng 0. Vậy trong 3 phương trình có một phương trình có nghiệm. x2 1 Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P x2 x 1 Hướng dẫn giải 2 2 1 3 Ta có x x 1 x 0, do đó P luôn xác định với mọi x. 2 4 x2 1 Ta có: P P 1 x2 Px P 1 0 x2 x 1 Với P = 1 thì x = 0. Với P ≠ 1, ta có: ∆ = P2 – 4(P – 1)2 = -3P2 + 8P – 4. 2 ∆ ≥ 0 ⇔ 0 P 1 hoặc P ≤ 2 (2) 3 Dấu bằng ở (1) xảy ra khi x = -1.
6. Dấu bằng ở (2) xảy ra khi x = -1. 2 Vậy MinP = khi x = - 1, MaxP = 2 khi x = 1. 3 2. KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT 2.1. Lý thuyết Định lý thuận: 2 Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có hai x1, x2 thì: b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a Định lý đảo: x1 x2 S 2 Nếu có hai số x1, x2 thỏa mãn thì chúng là nghiệm của pt: t St P 0 x1 x2 P 2 ( Điều kiện để tồn tại hai số x1, x2 là S 4P 0 ) Chú ý: Tước khi áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm điều kiện để pt có hai nghiệm a 0 ' 0 0 2.2. Ứng dụng của định lý vi-ét 2.2.1. Giải phương trình bằng nhẩm nghiệm Phương pháp: 2 Từ định lý Vi-ét ta có: Nếu phương thình bậc hai ax bx c 0 có: c +) a b c 0 thì phương trình có nghiệm là x 1, x 1 2 a c +) a b c 0 thì phương trình có nghiệm là x 1, x 1 2 a Ví dụ minh họa. Giải các phương trình sau: a)1,5x2 1,6x 0,1 0 b) 2 3 x2 2 3x 2 3 0 c) 3x2 1 3 x 1 0 d) m 1 x2 2m 3 x m 4 0(m 1) ( Bài 31-SGK Toán 9,tập 2) Hướng dẫn giải Nhận xét: Đa số HS khi gặp yêu cầu giải phương trình thường tính ngay hoặc ' mà không để ý đến các trương hợp đặc biệt a b c 0hoặc a b c 0 . Thậm chí có em khi
7. gặp phương trình có các hệ số là số vô tỷ như pt b), c) hoặc pt có chứa tham số như pt d) thì tỏ ra ái ngại. Rõ ràng nếu ta để ý sẽ thấy các pt trong VD trên đều có dạng đặc biệt có thể nhẩm nghiệm ngay mà không phải tính hoặc ' a) Vì pt đã cho có a b c 1,5 ( 1,6) 0,1 0 nên pt có hai nghiệm là : 0,1 1 x 1, x . 1 2 1,5 15 b) Vì pt đã cho có a b c 2 3 2 3 2 3 0 nên pt có hai nghiệm là: 2 (2 3) 2 3 x 1, x 7 4 3 1 2 2 2 3 22 3 c) Vì pt đã cho có a b c 3 1 3 1 0 nên pt có hai nghiệm là: ( 1) 1 3 x 1, x 1 2 3 3 3 d) Vì m 1 nên pt đã cho là pt bậc hai, có a b c m 1 2m 3 m 4 0 nên pt có hai nghiệm là: m 4 x 1, x . 1 2 m 1 Trong trường hợp giải pt đơn giản ta cũng có thể nhẩm nghiệm dựa vào định lý Vi-ét: 2.2.2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm 2 Phương pháp: Nếu phương trình ax bx c 0(a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S x1 x2 và P x1.x2 Một số biến đổi thường gặp 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 S 2P 2 2 2 (x1 x2 ) x1 x2 4x1x2 S 4P 3 3 3 3 x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3SP 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1 x2 S 2P 2P 1 1 x x S 1 2 x1 x2 x1x2 P x x x 2 x 2 S 2 2P 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 P 2 2 2 1 1 x1 x2 S 2P 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 P 2 x1 x2 x1x2 x1 x2 1 1 x1 x2 2 S 2 2 x1 x2 x1 x2 P S
8. Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải. Ví dụ minh họa: 2 Ví dụ 1. Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x x 1 0 2 2 a) Hãy tính x1 x2 2 2 4 4 b) Chứng minh Q x1 x2 x1 x2 chia hết cho 5 (Trích bài trong báo Toán học & Tuổi thơ) Hướng dẫn giải Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt vì ac 1 0 Theo định lý Vi-ét ta có x1 x2 1, x1x2 1 2 2 2 2 a) x1 x2 x1 x2 2x1x2 1 2.( 1) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) Q x1 x2 x1 x2 2x1 x2 3 3 2.( 1) 10 Q5 2008 2008 2010 2010 Chú ý : Ta có thể chứng minh biểu thức M x1 x2 x1 x2 cũng chia hết cho 5. 2 Ví dụ 2. Cho phương trình: x ax a 1 0 có hia nghiệm là x1, x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: 2 2 2x1 x1x2 2x2 M 2 2 x1 x2 x1x2 Hướng dẫn giải Trước hết ta kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không. 2 2 Ta có: ( a) 4 a 1 a 2 0 phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 . áp dụng định lý Vi-et ta có: x1 x2 a; x1x2 a 1 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1x2 2 x x 5x x 2a 5 a 1 2a 5a 5 M 1 2 1 2 x1x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 a a 1 a a 1 2 n n Ví dụ 3. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 6x 1 0 . Ký hiệu Sn x1 x2 với n là số nguyên dương. a) Tính S1, S2 , S3 . b) Tìm một hệ thức giữa Sn , Sn 1, Sn 2 . (Bài 281, sách Nâng cao, phát triển toán 9, tập 2) Hướng dẫn giải
9. Phương trình: x2 6x 1 0 có 6 2 4 32 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Theo Vi-ét ta có: x1 x2 6; x1.x2 1 S1 x1 x2 6 2 2 2 2 a) Ta có: S2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 6 2.1 34 3 3 3 3 S3 x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 6 3.1.6 198 n 2 n 2 n 1 n 1 n n b) Ta có: Sn 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x1 x2 6Sn 1 Sn . Chú ý: Ta còn chứng minh được trường hợp tổng quát: phương trình bậc hai 2 n n ax bx c 0(a 0) có hai nghiệm x1, x2 với Sn x1 x2 thì Sn , Sn 1, Sn 2 liên hệ với nhau bởi hệ thức: a.Sn 2 b.Sn 1 c.Sn 0 . Vận dụng hệ thức trên cho ta lời giải thú vị của nhiều bài toán . 2.2.3. Tìm hai số khi biết tổng và tích u v S Phương pháp: áp dụng định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số u,v có thì u,v là nghiệm u.v P của phương trình: x2 Sx P 0 . Điều kiện để tồn tại hai số u,v là S 2 4P . u2 v2 a u2 v2 a u3 v3 a Chú ý: Các hệ phương trình ; ; đều có thể đưa về hệ u.v b u v b u v b u v S u.v P Ví dụ minh họa: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a . (Bài 39-SGK Toán 9 Tập 2, trang 129) Hướng dẫn giải Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y x, y 0 . Theo bài ra ta có: x y 3a 2 x.y 2a Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: t 2 3at 2a2 0 2 2 2 Ta có 3a 4.2a a t1 a;t2 2a . Vậy các kích thước của hình chữ nhật là a,2a . 2.2.4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 bx c 0 * a 0 có 0 .
10. b c Khi đó theo Vi-ét ta có: x x ; x .x . 1 2 a 1 2 a Do đó: b c 2 2 2 2 ax bx c a x x a x x1 x2 x x1x2 a x x1x x2 x x1x2 a x x1 x x2 a a 2 Vậy nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có: 2 ax bx c a x x1 x x2 Ví dụ. Phân tích thành nhân tử: a)2x2 5x 3 b)3x2 8x 2 Hướng dẫn giải 3 a) Phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x .Do đó ta có: 1 2 2 2 3 2x 5x 3 2 x 1 x x 1 2x 3 . 2 4 10 4 10 b)Phương trình đã cho có hai nghiệm là x ; x . Do đó ta có: 1 3 2 3 2 4 10 4 10 3x 8x 2 3 x x 3 3 ứng dụng này hs rât hay sử dung để phân tích các mẫu thành nhân tử trong các bài tập rút gọn 2.2.5. Tìm điều kiện của tham số Một số dạng bài thường gặp là: 1 – Tìm để phương trình có nghiệm x x1 Phương pháp: • Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x x1 cho trước ta co thể làm như sau: Cách 1: - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm 0 ' 0 (*) - Thay x x1 vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận Cách 2: - Thay x x1 vào phương trình đã cho tìm được giá trị của tham số. - Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giảI phương trình Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước • Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau;
11. Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai. Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai. 2 – Tìm để nghiệm thỏa mãn một hệ thức “Điều kiện cho trước” ở đây có thể là các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc để một biểu thức của các nghiệm của phương trình bậc hai đạt GTLN, GTNN v.v 1) Phương pháp: - Xác định giá trị của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 x1 x2 f (m) - áp dụng định lý Vi-ét ta có: (*) x1.x2 g(m) - Kết hợp hệ (*) với điều kiện bài ra để suy ra điều kiện của tham số m Chú ý: Sau khi tìm được tham số ta phải đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm. 3 – Lập phương trình Phương pháp: Để lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là và  ta cần phải tính  và . , áp dụng định lý Vi-ét đảo ta có phương trình cần lập là: x2  x . 0 4 – Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số trong phương trình bậc hai ta làm như sau: a 0 - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là: 0 x1 x2 S - Theo hệ thức Vi-ét ta được: (*) x1.x2 P - Khử tham số từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm ( thông thường ta dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ). 5 – Xét dấu các nghiệm của phương trình Phương pháp Dùng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a 0 dựa trên các kết quả sau: c • Phương trình có hai nghiệm trái dấu x 0 x P 0 ac 0 1 2 a 0 • Phương trình có hai nghiệm cùng dấu P 0
12. 0 • Phương trình có hai nghiệm cùng dương 0 x1 x2 P 0 S 0 0 • Phương trình có hai nghiệm cùng âm x1 x2 0 P 0 S 0 Ngoài ra áp dụng định lý Vi-ét ta có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước. 6 - Ứng dụng vào giải các bài toán số học 7 - Ứng dụng giải bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm gtln, gtnn Phương pháp giải: Học sinh đã được làm quen với bất đẳng thức Cô-si, tuy nhiên ta có thể chứng minh bất đẳng thức này dựa vào định lý Vi-ét: 2 *) Giả sử x1 x2 S không đổi, còn P x1x2 thay đổi. Từ điều kiện S 4P S 2 S 2 S P MaxP x x . 4 4 1 2 2 Vậy nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. *) Giả sử x1 0, x2 0 và x1x2 P không đổi còn x1 x2 S thay đổi. Từ điều kiện S 2 4P 0 S 2 P S 2 P 0 S 2 P 0 S 2 P Vậy Min S 2 P x1 x2 P Vậy hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. Ví dụ 1. Với giá trị nào của k thì: a) Phương trình 2x2 kx 10 0 có một nghiệm x 2 . Tìm nghiệm kia b) Phương trình k 5 x2 k 2 x 2k 0 có một nghiệm x 2 . Tìm nghiệm kia c) Phương trình kx2 kx 72 0 có một nghiệm x 3 . Tìm nghiệm kia ? Hướng dẫn giải a) Nếu x 2 là một nghiệm của phương trình thì: 2.4 2k 10 0 2k 2 k 1 Với k 1 ta có : 2x2 x 10 0 1 9 1 9 Cách 1: ta có 1 80 81 81 9 x 2; x 2,5 1 4 2 4 5 5 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét ta có x1.x2 5 x2 2,5 x1 2 k 1 1 Cách 3: Theo hệ thức Vi-ét ta có x x x x 0,5 2 2,5 1 2 2 2 2 2 1 b) Tương tự câu a) ta có k 3 , nghiêm kia x2 1,5
13. c) Tương tự câu a) ta có k 6 , nghiệm kia x2 4 Ví dụ 2. Cho phương trình: x2 6x m 0 . Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 x2 4 Hướng dẫn giải Phương trình x2 6x m 0 có 9 m Phương trình có nghiệm ' 0 9 m 0 m 9 (*) x1 x2 6 (1) Theo định lý VI-ét ta có: x1x2 m (2) Theo bài ra ta có: x1 x2 4 (3) Từ (1) và (3) ta có: x1 5; x2 1 . Thay vào (2) ta có m 5 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy với m 5 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 4 2 Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai tham số m : 2x (m 3)x m 0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTNN của biểu thức P x1 x2 . (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10_THPT năm học 2009-2010, Sở GD-ĐT Nghệ An) Hướng dẫn giải Phương trình đã cho có: m 3 2 8m m2 2m 9 (m 1)2 8 0 với mọi m suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 m 3 x x 1 2 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: m x x 1 2 2 2 2 2 Theo bài ra ta có: P x1 x2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 2 2 m 3 m x1 x2 4x1x2 4. 2 2 m2 6m 9 8m m2 2m 1 8 4 2 2 m 1 8 8 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi m 1 Vậy GTNN của P bằng 2 m 1 Nhận xét: Với bài toán trên HS có thể tính các nghiêm x1, x2 theo m rồi thay vào biểu thức P để giải. 2 Ví dụ 4. Cho phương trình: x px 5 0 có hai nghiệm x1, x2 . Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số cho trong các trường hợp sau:
14. 1 1 a) x1 và -x2 b) và . x1 x2 Hướng dẫn giải 2 Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x 6x 4 0 nên ta có: x1 x2 p x1x2 5 a) Ta có: ( x1) x2 x1 x2 p x1 x2 x1x2 5 2 x1, x2 là nghiệm của phương trình: x px 5 0 1 1 x x p p b) Ta có: 1 2 x1 x2 x1x2 5 5 1 1 1 . x1 x2 5 1 1 p 1 Suy ra và là nghiệm của phương trình: x2 x 0 x1 x2 5 5 Ví dụ 5. Cho phương trình bậc hai m 1 x2 2mx m 4 0(m 1) . Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1, x2 ,hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn giải Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên m 1 ' 2 Ta có: m m 1 m 4 5m 4 . Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 4 ' 0 5m 4 0 m 5 2m 2 x x S 2 1 2 m 1 m 1 Theo định lý Vi-ét ta có: m 4 3 x .x P 1 1 2 m 1 m 1 6 S 6 m 1 Do đó: 3S 2P 8 hay 3 x1 x2 2x1x2 8 . 6 2P 2 m 1 Chú ý: Ta có thể khử m ở ví dụ trên như sau: Cách 2: 2m S Từ S Sm S 2m m S 2 S m m 1 S 2
15. S 4 m 4 3S 8 Thế vào P ta có: S 2 P 2P 3S 8 S m 1 1 2 S 2 Cách 3: Xét biểu thức aP bS , trong đó a,b là những số phải xác định để khử tham số m ra khỏi hệ thức đó. Ta có: 2am b m 4 2a b m 4m aS bP m 1 m 1 2a b m 2a b 2a 3b 2a b m 1 2a 3b m 1 m 1 2a 3b 2a b m 1 Để biểu thức aS bP không phụ thuộc vào m thì ta phải có: a 3 2a 3b 0 b 2 Thay vào biểu thức, ta được: 3S 2P 2.3 2 8 3 x1 x2 2x1x2 8 Ví dụ 6. Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x2 px 1 0. b,c là hai nghiệm của phương trình: x2 qx 2 0 . Chứng minh hệ thức: b c b a pq 6 . Hướng dẫn giải Vì a,b là hai nghiệm của phương trình x2 px 1 0. nên theo định lý Vi-ét ta có: a b p a.b 1 Vì p,q là hai nghiệm của phương trình x2 qx 2 0 nên theo định lý Vi-ét ta có: b c q b.c 2 Ta có: b a b c b2 ab bc ac b2 ab bc ac 2(ab bc) b(a b) c(a c) 2(ab bc) (a b)(b c) 2(ab bc) ( p)( q) 2(1 2) pq 6 Vậy ta có đpcm. Ví dụ 7. Cho phương trình: x2 2 m 2 x 2m 1 0 . a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
16. Hướng dẫn giải Ta có: ' m 2 2 2m 1 m2 2m 3 m 1 2 2 0 với mọi m, suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 x2 2 m 2 Theo định lý Vi-ét ta có: x1x2 2m 1 1 a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x x 0 2m 1 0 m 1 2 2 b) Phương trình có hai nghiệm dương m 2 x1 x2 0 2 m 2 0 1 1 m x1x2 0 2m 1 0 m 2 2 2 Ví dụ 8. Cho phương trình: ax bx c 0 có hai nghiệm dương x1, x2 . 2 a) Chứng minh rằng phương trình cx bx a 0 cũng có hai nghiệm dương x3 , x4 . b) Chứng minh rằng M x1 x2 x3 x4 4 . Hướng dẫn giải 2 a) Phương trình ax bx c 0 có hai nghiệm dương x1, x2 nên: b2 4ac 0 c 0 c 0 b b2 4ac 0 b2 4ac 0 x1 x2 0 a a.b 0 b.c 0 c x x 0 a.c 0 a.c 0 1 2 a c 0 2 b 4ac 0 b x x 0 . 3 4 c a x x 0 3 4 c 2 phương trình cx bx a 0 cũng có hai nghiệm dương x3 , x4 . b) Nếu 0 là nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 thì a 2 b c 0 , khi đó 2 1 1 2 1 c. b. a c b a 0 , nghĩa là 0 là nghiệm của phương trình cx2 bx a 0 . 1 1 Ta có: M x1 x2 x3 x4 x1 x2 2 2 4 . x1 x2
17. Ví dụ 9. Giải phương trình x2 mx n 0 biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân biệt và m, n là các số nguyên tố. Hướng dẫn giải Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Theo định lý Vi-ét ta có: x1 x2 m . x1x2 n Do m,n là các số nguyên tố suy ra x1 1, x2 n ( giả sử x1, x2 ). Từ x1 x2 m 1 n m m,n là hai số nguyên tố liên tiếp n 2,m 3. Ta có phương trình: x2 3x 2 0 , phương trình này có hai nghiệm là 1 và 2. Ví dụ 10. Tìm số nguyên m sao cho phương trình mx2 2(m 3)x m 2 0 có hai nghiệm 1 1 x1, x2 thỏa mãn: F là số nguyên. x1 x2 Hướng dẫn giải Giải: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 a 0 m 0 m 0 9 2 m 0 m 3 m(m 2) 0 4m 9 0 4 2(m 3) x x 1 2 m Theo định lý Vi-ét ta có: m 2 x x 1 2 m 1 1 x x 2(m 3) 2 Ta có F 1 2 2 x1 x2 x1x2 m 2 m 2 m 0 m 2 2 m 4 F là số nguyên m 2 Ư(2) m 2 1 m 1 m 1 9 Vì m m 9;m 1 là các giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán. 4 Ví dụ 11. Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện 6a2 + 20a + 15 = 0 ; b3 6 2 + + = ; ¹ . Chứng minh rằng = . 15b 20b 6 0 ab 1 3 ab2 - 9(ab + 1) 2015
18. Hướng dẫn giải Ta ký hiệu các điều kiện như sau 6a2 + 20a + 15 = 0 (1). 15b2 + 20b + 6 = 0 (2). ab ¹ 1 (3). Dễ thấy các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt. Do (2) nên b khác 0. Chia hai vế của (2) cho b2 ta được æö2 æö ç1÷ ç1÷ 6ç ÷ + 20ç ÷+ 15 = 0 (4). èçb÷ø èçbø÷ 1 Từ (1), (3) và (4), suy ra a và là hai nghiệm khác nhau của phương trình b 6x2 + 20x + 15 = 0 (5). ïì 1 10 ï a + = - ï Theo định lí Vi-ét íï b 3 . ï a 5 ï = îï b 2 2 3 3 3 ab - 9(ab + 1) a æ 1ö 5 æ 10ö 2015 Từ đó = - ç + ÷ = - ç- ÷ = 3 9ça ÷ 9ç ÷ b b èç bø÷ 2 èç 3 ø÷ 6 b3 6 suy ra = , điều phải chứng minh. 3 ab2 - 9(ab + 1) 2015 Nhận xét: Bài toán sử dụng phép ẩn phụ hóa, đưa về các phương trình đối xứng, đồng thời kết hợp với biểu thức đồng bậc ở giả thiết để suy ra điều phải chứng minh. Ý tưởng: Quan sát giả thiết bài toán, giữa hai phương trình bậc hai có sự đối xứng giữa các hệ 1 số của chúng, tuy nhiên sự khác biệt nằm ở 6a2 + 15 và 15b2 + 6 vì thế ta sẽ đặt t = khi đó b ïì 2 + + = ï 6a 20a 15 0 2 í , vì thế ta có được a,t đều là nghiệm của phương trình 6x + 20x + 15 = 0 ï 2 îï 6t + 20t + 15 = 0 ïì 10 ï a + t = - ï 1 10 a 5 . Theo định lý Viet ta có íï 3 Þ a + = - và = . Khi có được điều này, ta sẽ ï 5 b 3 b 2 ï at = îï 2 3 khai thác đến biểu thức b , đây là một biểu thức đồng bậc ba nên ta sẽ “ chia để 3 ab2 - 9(ab + 1) trị “ nên chia cả tử và mẫu cho b3 ta được: b3 1 1 6 = = = suy ra đpcm. 3 3 3 ab2 - 9(ab + 1) a æ 1ö 5 æ 10ö 2015 - 9ça + ÷ - 9ç- ÷ b èç bø÷ 2 èç 3 ø÷ Bài toán kết thúc. Ví dụ 12. Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 6, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
19. Hướng dẫn giải Gọi độ dài hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật là x1, x2 0. Ta có x1 x2 3 . Đặt x1.x2 m 2 là diện tích của hình chữ nhật. Vậy x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x 3x m .0 9 Phương trình này phải có nghiệm nên 9 4m 0 m . Vậy diện tích lớn nhất của 4 9 3 hình chữ nhật là x x . Khi đó hình chữ nhật trở thành hình vuông. 4 1 2 2 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG TỔNG HỢP Câu 1. Cho ba số thực dương phân biệt a,b,c thỏa a b c 3 . Xét ba phương trình bậc hai 4x2 4ax b 0, 4x2 4bx c 0, 4x2 4cx a 0 . Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm. (Chuyên Đà Nẵng năm 2019-2020) Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y 2mx m 2 (m là tham số) và parabol P : y 2x2 . Chứng minh với mọi giá trị của m thì d luôn cắt P tại hai 2 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 . Tìm m sao cho x1 6x2 x1x2 0 . (Chuyên Điện Biên 2019-2020) Câu 3. Cho phương trình x2 2mx m 4 (1) (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 2 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 (Chuyên Tuyên Quang 2019-2020) Câu 4. Cho phương trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương 1 1 2 2 trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 x2 4(m 2) x1 x2 (Chuyên Hải Phòng 2019-2020) 1 1 1 Câu 5. Cho hai số thức m,n khác 0 thỏa mãn m n 2 Chứng minh rằng phương trình x2 mx n x2 nx m 0 luôn có nghiệm (Chuyên Bình Định năm 2019-2020) Câu 6. Cho phương trình x2 m 2 x 3m 3 0 1 với m là tham số. 1 Tìm các giá trị của m để phương trình ( ) có hai nghiệm dương phân biệt x1,x2 sao cho x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 5 (Chuyên Bình Phước năm 2019-2020) Câu 7. Cho phương trình x2 mx m 1 0
20. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 4x1x2 6 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn biểu thức A 2 2 x1 x2 2(1 x1x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất (Chuyên Sơn La năm 2019-2020) Câu 8. Cho phương trình 2018x2 m 2019 x 2020 0 ( m là tham số). Tìm m để 2 2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 2019 x1 x1 2019 x2 (Chuyên Bạc Lưu năm 2019-2020) Câu 9. Cho các số thực a,b thỏa mãn a +b ³ 2 . Chứng minh phương trình ax2 +bx - 2a +2 = 0 luôn có nghiệm. (Chuyên Vũng Tàu năm 2019-2020)(đề 32) Câu 10. Cho phương trình x2 2(m 2)x m2 5 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình với m 0 . b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 x2 ) thỏa mãn x1 x2 1 5 . (Chuyên Nam Định năm 2019-2020) Câu 11. Cho phương trình (ẩn x , tham số m ): x2 2m 1 x 12 0 . 1 a) Với các giá trị nào của số thực m thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 2x1x2 25 ? b) Tìm tất cả các giá trị của số thực m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2thỏa 2 2 mãn x1 x2 7 2m 1 0 . (Chuyên PTNK Hồ Chí Minh năm 2019-2020) Câu 12. Cho phương trình x 4 + 3x 3 - mx 2 + 9x + 9 = 0 (Chuyên Phan Bội Châu Năm 2016-2017) a) Với m = - 2. Khi đó phương trình đã cho trở thành x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 9x + 9 = 0 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ít nhất một nghiêm dương. Câu 13. Cho đa thức f (x) = x 2 + bx + c . Biết b và c là các hệ số dương và f (x) có nghiệm. Chứng minh rằng f (2)³ 93 c . (Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) Câu 14. Cho bốn số thực a, b, c, d khác 0 thỏa mãn các điều kiện a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 - 10cx - 11d = 0 và c, d là hai nghiệm của phương trình 2 x - 10ax - 11b = 0 . Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d . (Chuyên Bắc Ninh vòng 2 năm 2016-2017)