Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan

1. TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Cho ABC cĩ các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: D· EA A· CB . 3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường trịn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của gĩc M· AN . 2 y Chứng tỏ: AM =AE. AB. A x N D E M O B C Bài 2: Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuơng gĩc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ tại I. 1. Tứ giác ADBE là hình gì? D 2. C/m DMBI nội tiếp. 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. I 4. C/m MC. DB=MI. DC A C 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’) M O B O' E H×nh 2 Trang 1
2. Bài 3: Cho ABC cĩ Aµ =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC. Dựng đường trịn tâm O đường kính MC; đường trịn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB nội tiếp. K 2. C/m ME là phân giác của gĩc AED. 3. C/m: A· SM = A· CD . A 4. Chứng tỏ ME là phân giác của gĩc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. D M S O B C E H×nh 4 Trang 2
3. Bài 5: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuơng gĩc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB. A’A=AD. A’C 3. C/m:DE  AC. 4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. A P N E O I B D M C F A' H×nh 5 Bài 6: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1 . C/m MFEC nội tiếp. M 2 . C/m BM. EF=BA. EM A 3. C/M AMP : FMQ. 4 . C/m P·QM = 90o. P F O Q B E C H×nh 6 Trang 3
4. Bài 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuơng ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn này. 2. C/m BFC vuơng cân và F là tâm đường trịn ngoại tiếp BCD. 3. C/m GEFB nội tiếp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường trịn ngoại tiếp BCD. Cĩ nhận xét gì về I và F A B C O D F E H×nh 7 G Bài 8: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường trịn ở A E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m: BDCO nội tiếp. F 2. C/m: DC2 = DE. DF. O 3. C/m: DOIC nội tiếp. I 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE. C B E H×nh 8 D Bài 9: Trang 4
5. Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M A và M B),kẻ dây cung MN vuơng gĩc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường trịn. 2. C/m:NQ. NA=NH. NM 3. C/m MN là phân giác của gĩc BMQ. 4. Hạ đoạn thẳng MP vuơng gĩc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN cĩ giác trị lớn nhất M N Q P A B A B I H I H Q P O O M N H×nh 9 b H×nh 9 a Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngồi tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm trên đường trịn tâm O và C nằm trên trên đường trịn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trịn ở E. 1 . Chứng minh tam giác ABC vuơng ở A. 2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường trịn . 3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r B E C N F O A I H×nh 10 Trang 5
6. Bài 11: Trên hai cạnh gĩc vuơng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 1.C/m OMHI nội tiếp. 2.Tính gĩc OMI. 3.Từ O vẽ đường vuơng gĩc với BI tại K. C/m OK=KH 4.Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. x B 1 1 E h n × H H M K y I O A Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 1. C/m: MA là phân giác của gĩc CMD. 2. C/m: EFBM nội tiếp. 3. Chứng tỏ: AC2 = AE. AM 4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD 5. Chứng minh N là tâm đường trịn nội tiếp CIM C M N E A B F O I D H×nh 12 Trang 6
7. Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường trịn. 2. C/m HA là phân giác của gĩc BHC. 3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. 4. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. B E H I D O K A P C H×nh 13 Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. CMR: MCDN nội tiếp. 2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN 3.Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. CMR: AOIH là hình bình hành. 4.Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? y M C O A B K I D H N Bài 15: x H×nh 14 Trang 7
8. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuơng gĩc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 1. C/m AHED nội tiếp A 2. Gọi giao điểm của AB H với HD và với (O) là P Q P và Q; ED cắt (O) tại M O G C/m: HA. DP=PA. DE B F E 3. C/m: QM = AB C 4. C/m: DE. DG = M DF. DH D H×nh 15 5.C/m: E;F;G thẳng hàng Bài 16: Cho tam giác ABC cĩ Aµ =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IKBC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường trịn tâm O. 2. C/m: B· MC 2 A· CB 3. Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN 5. C/m: NMIC nội tiếp. N M A K B I C Hình 16 Trang 8
9. Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường trịn. Tia phân giác của gĩc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. 1.C/m: MOBK nội tiếp. 2.Tứ giác CKMH là hình vuơng. 3.C/m: H;O;K thẳng hàng. 4.Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào? C H O B A I E F K M Bài 18: H×nh 17 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a. Kẻ tia phân giác của gĩc ACD, từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên. 1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường trịn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC Và AB. AC = BH. BI 3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. y A 2a B M a I O H J N K C D Bài 19: x H×nh 18 Trang 9
10. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC  AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 1. Chứng minh AOHC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CHM vuơng cân và OH là phân giác của gĩc COM. 3. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân. 4. BM cắt OH tại N. Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đĩ suy ra: BN. MC=IN. MA. N C D M I H A B O Bài 20: H×nh 19 Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên F cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 1. Chứng tỏ OMN cân. 2. C/m :OMAN nội tiếp. 3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC2+DC2=3R2. A I 4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài M E cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của D K AJ. N O C B J H×nh 20 Bài 21: Trang 10
11. Cho ABC ( Aµ =1v) nội tiếp trong đường trịn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. 1. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN. 2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). 3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành. 4. C/m NM là phân giác của gĩc AND. A D M I B C O N E H×nh 21 Bài 22: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 1. C/m INCQ là hình vuơng. 2. Chứng tỏ NQ//DB. 3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường trịn. Xác định tâm. 4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích theo a. A P B 5. C/m MFIE nội tiếp. F M Q I E D N C Bài 23: H×nh 22 Trang 11
12. Cho hình vuơng ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. 1. C/m MDNE nội tiếp. 2. Chứng tỏ BEN vuơng cân. 3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN. 4. C/m BI=BC và IE F vuơng. 5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN Q là thang cân A B E M H O I F D N C H×nh 23 Bài 24: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn (AB < AC). Vẽ đường A cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuơng gĩc với AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 1. C/m AMHK nội tiếp. 2. C/m JA. JH=JK. JM M J 3. Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo dài ở K D. Vẽ HI;HN lần lượt vuơng gĩc với DB và DC.B H C Cmr : H· KM H· CN 4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường trịn. I N D H×nh 24 Bài 25: Trang 12
13. Cho ABC ( Aµ =1v),đường cao AH. Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường trịn này. 3. C/m: AMDE. A 4. C/m AHOM là hình bình hành. E I B H M C D O H×nh 25 Bài 26: Cho ABC cĩ 2 gĩc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI = AK 3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường trịn. 4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC. A I F E M K B H C H×nh 26 Bài 27: Trang 13
14. Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi D M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. · · 1.C/m: BAC 2. BKC A 2.C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm của I K đường trịn này. M 3.Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: O B;O;I thẳng hàng. B C 4.C/m DI = BI Bài 28: H×nh 27 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB khơng chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 1.C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường trịn. 2.C/m NA. NB=NI. NC 3.DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 2 F 4.C/m :IA =IM. ID. E I B A M N O C D H×nh 28 Trang 14
15. Bài 29: Cho hình vuơng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuơng gĩc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 1.C/m AECF nội tiếp. 2.C/m: AF2=KF. CF 3.C/m:EGFK là hình thoi. 4.Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE cĩ giá trị khơng đổi. 5.Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ  JK. A B G E I J F D K C H×nh 29 A Bài 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là M giao điểm của HD và BC. Q 1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường trịn H G O tâm O;nêu cách dựng tâm O. 2. So sánh B· AH và O· AC . B N I C 3. CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC D 4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. H×nh 30 C/m G là trọng tâm của ABC. Trang 15
16. Bài 31: Cho (O) và sđ A»B = 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gặp nhau ở D. N 1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường trịn. 2. C/m: BI. KC=HI. KB 3. C/m:MN là đường kính của (O) O C 4. C/m ACBD là hình bình hành. K 5. C/m:OC // DH. A B J M I D H H×nh 31 Bài 32: Cho hình vuơng ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. C/m BFN vuơng cân. 2. C/m:MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. 5. C/m FPE là tam giác vuơng A B F M O Q E P D N C H×nh 32 Trang 16
17. Bài 33: Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường trịn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 1. Cm: CB là phân giác của gĩc ACE. Q E 2. C/m: AQEC nội tiếp. B 3. C/m: KA. KC=KB. KD 4. C/m: QE//AD. C K A D O Bài 34: H×nh 33 Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường trịn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF. x 2.C/m ADCF nội tiếp. C 3.C/m: CF. CN=CE. CM 4.C/m:MN//AC. 5.Gọi giao điểm của AF với MN là I. D Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. B E N J O A I F H×nh 34 M Bài 35: Trang 17
18. Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuơng gĩc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. 1. C/m:ACBD là hình vuơng. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của gĩc CJM. 4. Tính tích tích AID theo R. C M I P A B O J D H×nh 35 Bài 36: Cho ABC ( Aµ =1v). Kẻ AHBC. Gọi O và O’ là tâm đường trịn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 1. C/m: OHO’ là tam giác vuơng. 2. C/m:HB. HO’=HA. HO 3. C/m: HOO’ : HBA. 4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. 5. C/m AMN vuơng cân. A N O' O M C B H Bài 37: H×nh 36 Trang 18
19. Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuơng gĩc với AB,đường này cắt nửa đường trịn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. C/m:AIMD nội tiếp. D 2. C?m CM. CA=CI. CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên N đường trịn (O) và C là tâm đường trịn M nội tiếp EIM. K 5. Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD E C theo R. A I O B H×nh 37 Bài 38: Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho P· BA P· AC . Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ P xuống AB;AC. 1.C/m AHPK nội tiếp. 2.C/m HB. KP=HP. KC. 3.Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK 4.C/m:đường trung trực của HK đi qua F. A K H P D E B F C Bài 39: H×nh 38 Trang 19
20. Cho hình bình hành ABCD ( Aµ > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuơng gĩc với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2 = EF. GF. 3. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OICD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp. A G B E F O D J I C Bài 40: Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhauH ở×n hA 3 9và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F. 1.C/m:C;B;F thẳng hàng. 2.C/m CDEF nội tiếp. 3.Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4.C/m A là tâm đường trịn nội tiếp BDE. E D A O I O' C B F H×nh 40 Bài 41: Trang 20
21. Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngồi đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 1. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường trịn. 2. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R2. 3. Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? 4. C/m KE và KF là hai tiếp tyuến của (O) B O I x y E H F A C K H×nh 41 Bài 42: Cho ABC (AB<AC) cĩ hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuơng gĩc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. 1.C/m AFDE nội tiếp. 2.C/m: AB. NC = AN. BC A 3.C/m: FE//BC N 4.Chứng tỏ ADIC nội tiếp. M F E D B K I C H×nh 42 Bài 43: Trang 21
22. Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài). Dựng đường trịn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1.Chứng tỏ D nằm trên BC. 2.Gọi M là điểm chính giữa cung A nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE. AC=AE. O N O' MC 3.C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng I hàng. C B D E 4.Gọi I là trung điểm MN. C/m o M gĩc OIO’=90 . H×nh 43 5.Tính tích tích tam giác AMC. Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. 1. C/m ABCD là hình thang cân. 2. Chứng tỏ ACDB. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB. Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. C/m MN là phân giác của gĩc PMQ. P N B A J K Q I O D M C E Bài 45: H×nh 44 Trang 22
23. Cho đều ABC cĩ cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác gĩc A và gĩc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuơng gĩc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB. 1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường trịn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. 3. c/m EC là phân giác của gĩc DAC. A E 4. C/m FD là đường trung trực của MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. 6. Tính tích tích phần mặt trăng được N O tạio bởi cung nhỏ EB của hai đường trịn. D C F B M Bài 46: F H×nh 45 Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC. Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường trịn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. A 1. C/m BD là phân giác của gĩc ABC và E OD//AB. I D 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng B tỏ CI=CE và IA. IC = ID. IB. O C 4. C/m gĩc A· FD A· ED H×nh 46 Bài 47: Trang 23
24. Cho nửa đường trịn (O); Đường kính AD. Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EFAD tại F. 1. C/m: ABEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 3. C/m:E là tâm đường trịn nội tiếp CBF. 4. Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC C B E I M A F O D H×nh 47 Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuơng APQR vào phía trong đường trịn. Tia PR cắt (O) tại C. 1. C/m ACB vuơng cân. 2. Vẽ phân giác AI của gĩc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường trịn. 3. Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP. 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng I P Q J A B O R Bài 49: C H×nh 48 Trang 24
25. Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường trịn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường trịn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 2. Chứng tỏ AD. BC = R2. 3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hình thang cân. 4. Xác định vị trí của M trên nửa đường trịn để DE = EF x y F C E M D N A O B Bài 50: H×nh 49 Cho hình vuơng ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với A B DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. H E 1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính gĩc CHK. 3. C/m KC. KD=KH. KB. 4. Khi E di động trên BC thì H di động trên D C K đường nào? H×nh 50 Bài 51: Trang 25
26. Cho (O), từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường trịn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường trịn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD. 3. C/m gĩc A· OC A· CB và BDC cân. 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. B I A O E Hình 51 D Bài 52: C Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AKCC’. C/m AKHC là hình thang cân. 4. Quay ABC một vòng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình được tạio ra. A C' K O H B C A' Bài 53: Trang 26
27. Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuơng gĩc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD). Đường thẳng vuơng gĩc với MQ tại M cắt (O) tại P. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuơng. C M P b/ P; Q; O thẳng hàng. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. S Tính Gĩc CSP. H A 3. Gọi H là giao điểm của AP với MQ. B I O Cmr: J a/ MH. MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của Q đường trịn ngoại tiếp QHP. D Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d khơng đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuơng gĩc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường trịn. 2. C/m AC//MO và MD=OD. 3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF 4. Xác định vị trí của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tính tích tích phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường trịn trong trưđường hợp này. B d E O F D C A H Bài 55: Trang 27
28. Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường trịn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuơng gĩc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 1. C/m: A· MN B· MC . 2. C/m: ANM = BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. x D y M E C F A B N O Bài 56: Từ một điểm M nằm ngồi (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường trịn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nội tiếp. A F 2 2. C/m: CD = CE. CF K x C M 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân D O giác của gĩc FCE. I 4. C/m: IK//AB. E B Bài 57: Trang 28
29. Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường trịn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuơng gĩc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành. 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. N P J Q I K M A B O Bài 58: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính I AB; đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt nửa đường trịn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường trịn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 1. C/m ABI vuơng cân C 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, D J gọi J là giao điểm của AD với Bt. K C/m N AC. AI=AD. AJ. A B 3. C/m JDCI nội tiếp. O H Tiếp tuyến tại D của nửa đường trịn cắt Bt tại K. Hạ DHAB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH. Bài 59: Trang 29
30. Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuơng gĩc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường trịn ở M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của gĩc trong và gĩc ngồi gĩc AMB 3. C/m hệ thức: AM. DN=AC. DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. E C M N A B O D Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp d D tuyến của đường trịn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiêu của A và B lên C đường thẳng d. E 1. C/m: CD=CE. A B 2. Cmr: AD+BE=AB. O H 3. Vẽ đường cao CH của ABC. Chứng minh AH=AD và BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD. BE. Chứng minh:DH//CB. Bài 61: Trang 30
31. Cho ABC cĩ: A=1v. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường trịn tại các điểm thứ hai F và G. 1. C/m CAFB nội tiếp. 2. C/m AB. ED = AC. EB K 3. Chứng tỏ AC//FG. 4. Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy. A F D O G B E C H×nh 61 Bài 62: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định khơng cắt (O). M là điểm di động trên d. Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường trịn. . Hạ OHd tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. 1. C/m: MHIK nội tiếp. 2. C/m OJ. OH=OK. OM=R2. 3. CMR khi M di động trên d thì vị trí của I luơn cố định. P d O K I M H Q Bài 63: Trang 31
32. Cho vuơng ABC ( Aµ = 1v) và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia HB lấy HD = HB rồi từ C vẽ đường thẳng CEAD tại E. 1. C/m AHEC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CB là phân giác của gĩc ACE và AHE cân. 3. C/m HE2 = HD. HC. 4. Gọi I là trung điểm AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC. HJ=2IJ. BH. 5. EC kéo dài cắt AH ở K. Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. A I J C B H D E K Bài 64: Cho tam giác ABC vuơng cân ở A. Trong gĩc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE Bx tại E. Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 1. C/m FDBC,tính gĩc BFD 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ EA là phân giác của gĩc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? Bài 65: Trang 32
33. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường trịn. Đường thẳng đi qua M và vuơng gĩc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuơng gĩc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1 . cm: ACMP nội tiếp. 2 . Chứng tỏ AB//DE x y 3. C/m: M; P; Q thẳng hàng. Q M P D E A B C O H×nh 65 Bài 66: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường trịn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường trịn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác gĩc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. x 1. C/m: IA2=IM. IB . I 2. C/m: BAF cân. H×nh 66 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp F được. M H E K A B O Bài 67: Trang 33
34. Cho (O; R) cĩ hai đường kính AB và CD vuơng gĩc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuơng gĩc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường trịn tại P. Chứng minh: 1. COMNP nội tiếp. 2. CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN khơng phụ thuộc vào vị trí của M. 4. Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định. C K A O M B N x y D P H×nh 67 Bài 68: Cho ABC cĩ Aµ = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH và nửa đường trịn đường kính HC. Hai nửa đường trịn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và AH là O. Chứng A minh: 1. AFHE là hình chữ nhật. E 2. BEFC nội tiếp O 3. AE.AB = AF. AC F 4. FE là tiếp tuyến chung của hai C nửa đường trịn. B I H K 5. Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. OF. H×nh 68 Trang 34
35. Bài 69:Cho ABC cĩ A=1v AHBC. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường trịn tại điểm A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. 1. Tính gĩc DOE. 2. Chứng tỏ DE = BD + CE. 3. Chứng minh: DB. CE = R2. (R là bán kính của đường trịn tâm O) 4. C/m: BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính DE. E I A D 2 1 2 3 1 4 B H O C H×nh 69 Bài 70: Cho ABC ( Aµ =1v); đường cao AH. Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường trịn (A;AH). Tiếp tuyến của đường trịn tại D cắt CA tại E. Chứng minh BEC cân. 1. Gọi I là hình chiêu của A trên BE. C/m: AI = AH. 2. C/m:BE là tiếp tuyến của đường trịn 3. C/m: BE = BH + DE. 4. Gọi đường trịn đường kính AH cĩ Tâm là K. Và AH = 2R. Tính tích tích của hình được tạo bởi đường trịn tâm A và tâm K. D E I A K C B H H×nh 70 Trang 35
36. Bài 71: Trên cạnh CD của hình vuơng ABCD,lấy một điểm M bất kỳ. Đường trịn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường trịn đường kính CD tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt cạnh BC tại P. 1. C/m:Q;N;C thẳng hàng. 2. CP. CB = CN. CQ. 3. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường trịn đường kính AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC. Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. 1. C/m: AHK cân. 2. Gọi I là giao điểm của BE với CD. C/m:AIDE 3. C/m CEKI nội tiếp. 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phải cĩ thêm điều kiện gì để AI//EC. Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuơng gĩc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E. 1. C/m: D· A'C D· A' E 2. C/m: A'DC= A'DE 3. Chứng tỏ: AC = AE. Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? 4. C/m: B· AC 2. C· EB Bài 74: Cho ABC nội tiếp trong nửa đường trịn đường kính AB. O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC 1. C/m: OM//BC. 2. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D. Cmr: MBCD là hình bình hành. 3. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Cmr: KPAB. 4. C/m: AP. AB = AC. AH. Trang 36
37. 5. Gọi I là giao điểm của KB với (O). Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Bài 75: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF. Từ O vẽ tia Ot EF, nó cắt nửa đường trịn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA = IO. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường trịn; chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1. Cmr: ABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2. Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ. vẽ tiếp tuyến với nửa đường trịn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K. Tính sđ của gĩc HOK 3. Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4. Chứng minh rằng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cùng nằm trên đường trịn ngoại tiếp HOK. Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E. Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. 1. C/m: ABCD là thang cân. 2. Chứng tỏ FD. FA = FB. FC. 3. C/m: Gĩc AED = AOD. 4. C/m AOCF nội tiếp. Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy khơng cắt đường trịn. Kẻ OAxy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. 1. C/m OBAD nội tiếp. 2. Cmr: AB. EN = AF. EC 3. So sánh gĩc AOD và COM. 4. Chứng tỏ A là trung điểm DE. Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngồi đường trịn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường trịn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường trịn ở E. Trang 37
38. 1 . Chứng tỏ EC // với OA. 2 . Chứng minh rằng: 2AB. R = AO. CB. 3. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường trịn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J . Chứng tỏ chu vi tam giác AI J khơng đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4 . Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường trịn. Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường trịn. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuơng gĩc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1 . Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường trịn. 2 . Chứng minh: COD = AOB. 3. Chứng minh: Tam giác COD cân. 4 . Vẽ đường kính BK của đường trịn,hạ AH BK. Gọi I là giao điểm của AH với PK. Chứng minh AI = IH. Bài 80: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H. 1 . Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2 . Chứng minh : AD. AB = AE. AC. 3. Chứng tỏ AK là phân giác của gĩc DKE. 4 . Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Bài 81: Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường trịn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1 . Chứng minh BDCO nội tiếp. 2 . Chứng minh: DC2 = DE. DF 3. Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường trịn. 4 . Chứng tỏ I là trung điểm EF. Trang 38
39. Bài 82: Cho đường trịn tâm O,đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M. AM cắt CD tại E. 1 . Chứng minh AM là phân giác của gĩc CMD. 2 . Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường trịn. 3. Chứng tỏ AC2 = AE. AM 4 . Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I. Chứng minh NI//CD. Bài 83: Cho ABC cĩ A = 1v;Kẻ AHBC. Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G. Đường thẳng thứ hai vuơng gĩc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m: AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: HG. HA = HD. HC 3. Chứng minh EFDG và FHC = AFE. 4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất. Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác gĩc BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. 1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. 2. Kẻ AK với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J. Chứng minh AKCJ nội tiếp. 3. C/m: KM. JA = KA. JB. Bài 85: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường trịn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường trịn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: CD2 = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường trịn (O). 3. AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O) Bài 86: Trang 39
40. Cho (O;R và (O’;r) trong đĩ R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngồi đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường trịn. Bài 87: Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn. Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC. (O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E. BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh: ADHE nội tiếp. 2. C/m: AE. AC = AB. AD. 3. AH kéo dài cắt BC ở F. Cmr: H là tâm đường trịn nội tiếp DFE. 4. Gọi I là trung điểm AH. Cmr IE là tiếp tuyến của (O) Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt nhau ở Avà B. Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C (O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E (O)). 1. Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng. 2. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Cmr: AEKF nội tiếp. 3. Cm: K thuộc đường trịn ngoại tiếp ACD. 4. Chứng tỏ FA. EC = FD. EA. Bài 89: Cho ABC cĩ A = 1v. Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C. Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. 1. Chứng minh: OAO’ thẳng hàng 2. CM: AMKN nội tiếp. 3. Cm AK là tiếp tuyến của cả hai đường trịn và K nằm trên BC. 4. Chứng tỏ 4MI2 = Rr. Trang 40
41. Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuơng gĩc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. 1. Cm: BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DA. DF = DC. DE 3. Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường trịn ngoại tiếp AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI. AM = AC. AH. Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung ngồi DE(D (O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường trịn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ: MD. MB = ME. MC. Bài 92: Cho hình vuơng ABCD. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK với đường thẳng AM. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuơng gĩc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuơng. Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)cĩ AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuơng gĩc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 1. Cm: QPCB nội tiếp. 2. Cm: AN//DB. 3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 4. Cm: PEN là tam giác cân. Trang 41
42. Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuơng ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 gĩc bằng 45 o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường trịn. 2. Cm: AB. PE = EB. PF. 3. Cm: S AEF = 2S APQ. 4. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuơng gĩc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. 1. C/m: OHIK nội tiếp. 2. Chứng tỏ KHOI. 3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB 4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường trịn. Bài 96: Cho ABC, phân giác gĩc trong và gĩc ngồi của các gĩc B và C gặp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuơng gĩc với các đường thẳng AB; BC; AC. 1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 2. Chứng minh: BICJ nội tiếp. 3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AEAJ. 4. C/m: AI. AJ = AB. AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuơng ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy . 1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2. Chứng minh AD2 = AP. MD. 3. Chứng minh MN = KI. 4. Chứng tỏ KIAN. Trang 42
43. E D Bài 98: A Cho hình bình hành ABCD cĩ gĩc A>90o. Phân giác gĩc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC C O tại I và O' K. Hạ KH và KM lần lượt vuơng gĩc với CD và AM. 1. Chứng minh KHDM nội tiếp. B 2. Chứng minh: AB = CK + AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF. Đường thẳng CE và CF gặp lại đường trịn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 3. Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF 4. Chứng minh MN//AC. Bài 100: Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. 1. Chứng minh BNI cân. 2. PKEN nội tiếp. 3. Chứng minh AN. BD = AB. BN 4. Chứng minh I là trực tâm của MPN và IE//BC. Bài 101. Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt E (O’) tại D sao cho A nằm giữa C và D. D Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của A (O’) tại D cắt nhau tại E. a/ Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội C O tiếp. O' b/ Chứng minh rằng BE.DC CB.ED BD.CE. B Trang 43