Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chủ đề 2: Cực trị của hàm số

Nội dung text: Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chủ đề 2: Cực trị của hàm số

1. CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Nhóm biên tập (nhóm 2): Trần Huy Thụy; Vũ Thị Bích Hạnh; Nguyễn Thị Minh Thạch I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b) (có thể a là - ; b là + ), điểm x0 (a; b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. *Chú ý: +Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại 0x thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu làC fĐ , f CT; Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. + Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi là cực đại (cực tiểu) gọi chung là cực trị của hàm số. + Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tạ0i thìx f’(x0) = 0. 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị * Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}, với h > 0. f ' x 0 0,  x x 0 h; x 0 Nếu thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x). f ' x 0 0,  x x 0 ; x 0 h x x0 h x0 x0 h f’(x) + - f f(x) CĐ f ' x 0 0,  x x 0 h; x 0 Nếu thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). f ' x 0 0,  x x 0 ; x 0 h x x0 h x0 x0 h f’(x) - + f(x) fCT * Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K = (x0 – h; x0 + h), với h > 0. Khi đó: + Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. + Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
2. 3. Quy tắc tìm cực trị. * Quy tắc I: + Tìm tập xác định. + Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng không hoặc không xác định. + Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. * Quy tắc II + Tìm tập xác định. + Tính f’(x). Giải pt f’(x) = 0. Ký hiệu xi (i = 1, 2 ) là các nghiệm của nó (nếu có) + Tính f’’(x) và f’’(xi). Dựa vào dấu của f’’(x) suy ra tính chất cực trị của điểm xi. 4. Các dạng toán thường gặp - Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số, đồ thị hàm số cho trước. - Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị * CHÚ Ý: - Điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị là phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt b2 3ac 0 - Xét hàm số trùng phương y = ax4 + bx + c, a ¹ 0 éx = 0 y¢= 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y¢= 0 Û ê ê 2 ëê2ax + b = 0 (1) + Hàm số có ba cực trị Û Phương trình y / = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab 0 + Hàm số có một cực trị Û (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0 Û ê ëêb = 0 ax+b - Hàm phân thức hữu tỉ y (ad bc 0) không có cực trị cx d 5. Sử dụng máy tính bỏ túi * Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng (a;b). và có đạo hàm trên (a;b). Tìm điểm cực trị của hàm số. Thao tác bấm máy: d + Dùng tổ hợp chức năng f (x) và CALC để dò nghiệm x của f '(x) 0. dx 0 x x0 + Dùng chức năng CALC để kiểm tra x0 là điểm cực đại hay cực tiểu. Chú ý: + Nếu f '(x0 ) 0 và f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. + Nếu f '(x0 ) 0 và f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. * Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) (với m là tham số) xác định, liên tục trên khoảng K , và có đạo hàm trên K. Tìm m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x x0 , (x0 K) .
3. Cơ sở lý thuyết: - Bước 1: Tính f '(x,m) và giải phương trình f '(x0 ,m) 0 để tìm m. - Bước 2: Thử lại với giá trị của m vừa tìm được để kiểm tra xem x0 là điểm cực đại hay là điểm cực tiểu. - Bước 3: Kết luận Thao tác bấm máy d - Dùng tổ hợp chức năng f (x) và chức năng CALC để dò nghiệm m của phương trình dx x x0 f '(x0 ,m) 0. - Dùng chức năng CALC để kiểm tra x0 là điểm cực đại hay cực tiểu. Chú ý: - Nếu f '(x0 ) 0 và f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số. - Nếu f '(x0 ) 0 và f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. II. Củng cố kiến thức cơ bản: Câu 1. Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b) , điểm x0 (a; b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt Câu 2. Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}, với h > 0. f ' x 0 0,  x x 0 h; x 0 + Nếu thì x0 là f ' x 0 0,  x x 0 ; x 0 h f ' x 0 0,  x x 0 h; x 0 + Nếu thì x0 là f ' x 0 0,  x x 0 ; x 0 h Câu 3. Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K = (x0 – h; x0 + h), với h > 0. Khi đó: + Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là + Nếu f’(x) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là
4. III. Bài tập: Câu 1. [12.G.I.2-1] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 1 0 1 0 y 0 0 3 y 0 0 Mệnh đề nào dưới đây là SAI? A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. D. Hàm số có hai điểm cực tiểu. Câu 2. [12.G.I.2-1] Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a, b, c, d ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 . B. 0. C.3. D.1. Câu 3. [12.G.I.2-1] Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a,b,c,d ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 4. [12.G.I.2-1] Cho hàm số y ax4 bx2 c a,b,c ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
5. Câu 5. [12.G.I.2-1] Cho hàm số y ax4 bx2 c a, b, c ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A.0. B.1. C. 2. D. 3. Câu 6: [12.G.I.2-1] Điểm cực đại của hàm số y x3 3x2 10 là A. x 2. B.C.x 2. D.x 5. x 0. 2x 3 Câu 7. [12.G.I.2-1] Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị ? x 1 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 1 Câu 8. [12.G.I.2-1] Số điểm cực trị của hàm số y x3 x 7 là 3 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 9. [12.G.I.2-1] Số điểm cực đại của hàm số y x4 100 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 10. [12.G.I.2-1] Số điểm cực trị hàm số y x4 2x2 3 là A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 11. [12.G.I.2-2] Hoành độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 3x 2 là A. 1. B. 0. C. 1. D. 2. Câu 12. [12.G.I.2-2] Hàm số nào sau đây có hai cực đại, một cực tiểu A. y x4 2x2 3 B. y x4 2x2 3 C. y x4 2x2 3 D. y x4 2x2 3 . Câu 13. [12.G.I.2-2] Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây không có điểm cực trị ? A. y x3 2x 1. B. .y 2x3 x2 1 C. y = x4+5x2-2. D. .y x4 2x2 1 3 Câu 14. [12.G.I.2-2] Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x 12x 20 . A. yCT 0 . B. yCT 4 . C. .y CT 20 D. . yCT 36 Câu 15. [12.G.I.2-2] Đồ thị hàm số y x3 3x 1 có điểm cực tiểu là A. 1; 1 . B. 1;3 . C. 1;1 . D. 1;3 . Câu 16. [12.G.I.2-2] Hàm số y x4 x2 có điểm cực trị bằng A. 0 . B. .1 C. . 2 D. . 3
6. 1 1 Câu 17. [12.G.I.2-2] Trong các khẳng định sau về hàm số y x4 x2 3 , khẳng định nào đúng? 4 2 A. Hàm số có điểm cực tiểu là x 0 . B . Hàm số có cực tiểu là x 1 và x 1 . C. Hàm số có điểm cực đại là x 0 . D. Hàm số có cực tiểu là x 0 và x 1. Câu 18. [12.G.I.2-2] Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 5x2 7x 3 có tọa độ là 7 32 7 32 A. 1;0 . B. . 0;1 C. . ; D. . ; 3 27 3 27 Câu 19. [12.G.I.2-2] Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x4 4x2 2 A. Đạt cực tiểu tại x 0 . B. Có cực đại và cực tiểu. C. Có cực đại, không có cực tiểu. D. Đạt cực đại tại x 0 . Câu 20. [12.G.I.2-2] Cho hàm số y x3 3x2 1 . Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng A. 6 .B. 3 . C. .0 D. . 3 Câu 21. [12.G.I.2-3] Giá trị của m để hàm số y x3 x2 mx 5 có cực trị là 1 1 1 1 A. m . B. .m C. . m D. . m 3 3 3 3 Câu 22. [12.G.I.2-3] Hàm số y x3 3x2 mx đạt cực tiểu tại x 2 khi A. m 0 . B. .m 0 C. . m 0 D. . m 0 Câu 23: [12.G.I.2-3] Với giá trị nào của m thì hàm số y x4 (2m 1)x2 3m 1 có 3 cực trị 1 1 1 1 A. m B. m .C. m D. .m 2 2 2 2 1 y x3 x2 (1 2m)x 5m3 3 Câu 24. [12.G.I.2-3] Với giá trị nào của m thì hàm số 2 có hai cực trị ? 11 13 13 11 m m m m A. 24 B. 24 C. 24 D. 24 Câu 25. [12.G.I.2-3] Đồ thị của hàm số y x4 2mx2 2m m4 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông thì giá trị của m bằng A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.
7. IV. Bài tập về nhà: Câu 1. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số có bốn điểm cực trị B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . C. Hàm số không có cực đại. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 . 1 1 Câu 2. Hàm số y x3 x2 2x 2 đạt cực đại tại 3 2 19 4 A. x 1. B. .x 2 C. . x D. . x 6 3 Câu 3. Hàm số y x3 x2 x 3 có số cực trị là A. 1.B. 2 . C. .0 D. . 3 Câu 4. Hàm số y x3 x2 x 3 có giá trị cực tiểu là 86 A. .0 B. 1.C. 2 . D. . 27 x3 Câu 5. Hàm số y x2 x 1 có số cực trị là 3 A. 0 .B. 1. C. .2 D. . 3 Câu 6. Số cực trị của hàm số y x4 2x2 3 là A. .0 B. . 1 C. 2 .D. 3 . Câu 7. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x3 x2 2 là 2 50 50 3 A. . 2;0 B. ; .C. 0;2 . D. . ; 3 27 27 2 Câu 8. Hàm số f (x) x3 3x2 9x 11 A. Nhận điểm x 1 làm điểm cực tiểu.B. Nhận điểm x 3 làm điểm cực đại. C. Nhận điểm x 1 làm điểm cực đại. D. Nhận điểm x 3 làm điểm cực tiểu. Câu 9. Hàm số y x4 4x2 5 A. Nhận điểm x 2 làm điểm cực tiểu. B. Nhận điểm x 5 làm điểm cực đại. C. Nhận điểm x 2 làm điểm cực đại. D. Nhận điểm x 0 làm điểm cực tiểu. x4 Câu 10. Cho hàm số f (x) 2x2 6 . Hàm số đạt cực đại tại 4 A. 2 B. 2 . C. 0 . D. .6 x4 Câu 11. Cho hàm số f (x) 2x2 6 . Giá trị cực đại của hàm số là 4 A. fCÐ 6 . B. . fCÐ 2 C. . fCÐ D.20 . fCÐ 6
8. Câu 12. Hàm số y x3 2x2 mx có hai cực trị khi 4 4 4 4 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3