Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Chủ đề III: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng - Trường THPT Hải A

Nội dung text: Đề cương ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2020 - Chủ đề III: Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng - Trường THPT Hải A

1. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An CHỦ ĐỀ III: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Dạng 1. HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) nếu F '(x)= f (x) với mọi x Î K . Nhận xét. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x)+ C, (C Î ¡ ) cũng là nguyên hàm của f (x) . Ký hiệu: ò f (x)dx = F (x)+ C . 2. Tính chất / . (ò f (x)dx) = f (x) . . ò a. f (x)dx = a.ò f (x)dx (a Î ¡ , a ¹ 0) . é ù . ò ëf (x)± g(x)ûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx . 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm ò kdx = kx + C , k là hằng số a + 1 a + 1 a x a 1 (ax + b) ò x dx = + C (a ¹ - 1) (ax + b) dx = . + C a + 1 ò a a + 1 1 1 1 dx = ln x + C dx = ln ax + b + C ò x ò ax + b a x x 1 ò e dx = e + C e ax + b dx = e ax + b + C ò a a x amx + n a x dx = + C amx + ndx = + C ò ln a ò m.ln a 1 ò cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b)+ C ò a 1 ò sin xdx = - cos x + C sin(ax + b)dx = - cos(ax + b)+ C ò a 1 1 1 dx = tan x + C dx = tan(ax + b)+ C ò cos2 x ò cos2 (ax + b) a 1 1 1 dx = - cot x + C dx = - cot(ax + b)+ C ò sin2 x ò sin2 (ax + b) a Câu 1. Hàm số f (x) có nguyên hàm trên K nếu: A. f (x) xác định trên K .B. có giá trịf ( xlớn) nhất trên . K C. f (x) có giá trị nhỏ nhất trên K .D. f (x liên) tục trên K . Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b) và C là hằng số thì ò f (x)dx = F (x)+ C . B. Mọi hàm số liên tục trên (a;b) đều có nguyên hàm trên [a;b] . C. F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b)Û F / (x)= f (x), " x Î (a;b) . / D. (ò f (x)dx) = f (x) . Câu 3. Xét hai khẳng định sau: (I) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có đạo hàm trên đoạn đó. (II) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ có (I) đúng.B. Chỉ có (II) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
2. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Câu 4. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a;b] nếu: A. Với mọi x Î (a;b) , ta có F / (x)= f (x) . B. Với mọi x Î (a;b) , ta có f / (x)= F (x) . C. Với mọi x Î [a;b] , ta có F / (x)= f (x) . D. Với mọi x Î (a;b) , ta có F / (x)= f (x) , ngoài ra F / (a+ )= f (a) và F / (b- )= f (b) . Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của hàm số f xác định trên khoảng D , câu nào sai? (I)F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " x Î D : F '(x)= f (x) . (II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D . (III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. A. Không có câu nào sai.B. Câu (I) sai.C. Câu (II) sai.D. Câu (III) sai. Câu 6. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a;b) . Giả sử G (x) cũng là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng (a;b) . Khi đó: A. F (x)= G (x) trên khoảng (a;b) . B. G(x)= F (x)- C trên khoảng (a;b) , với C là hằng số. C. F (x)= G (x)+ C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số. D. Cả ba câu trên đều sai. Câu 7. Xét hai câu sau: (I) ò( f (x)+ g(x))dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx = F (x)+ G(x)+ C , trong đó F (x) và G (x) tương ứng là nguyên hàm của f (x), g (x) . (II) Mỗi nguyên hàm của a. f (x) là tích của a với một nguyên hàm của f (x) . Trong hai câu trên: A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai. Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai? / A. f (x)dx = F (x)+ C Þ f (t)dt = F (t)+ C .B. é f .(x)dxù = f (x) ò ò ëêò ûú C. ò f (x)dx = F (x)+ C Þ ò f (u)dx = F (u)+ C .D. ò kf (x)dx (= k làò hằngf (x)d xsố)k. Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. F (x)= x 2 là một nguyên hàm của f (x)= 2x . B. F (x)= x là một nguyên hàm của f (x)= 2 x . C. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x)- G (x)= C (hằng số). é + ùd = d + d D ò ëf1 (x) f 2 (x)û x ò f1 (x) x ò f 2 (x) x Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng F (x)+ C (C là hằng số). u/ (x) B. dx = log u(x) + C . ò u(x) C. F (x)= 1+ tan x là một nguyên hàm của hàm số f (x)= 1+ tan2 x . D. F (x)= 5- cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)= sin x . Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A. 0dx = C (C là hằng số).B. ( là hằng số). dx = ln x + C C ò ò x x a + 1 C. x a dx = + C (C là hằng số).D. ( là hằngd số)x =. x + C C ò a + 1 ò 1 Câu 12. Hàm số f (x)= có nguyên hàm trên: cos x æ ö é ù ç p p÷ p p A. (0;p) .B. .Cç.- ; ÷ .D. . (p;2p) ê- ; ú èç 2 2ø ëê 2 2 ûú
3. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Câu 13. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos3x sin 3x A.cos3xdx 3sin 3x C .B cos3xdx C 3 sin 3x C.cos3xdx C .D. cos3xdx sin 3x C . 3 Câu 14. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2sin x A. 2sin xdx 2cos x C . B. 2sin xdx sin2 x C C. D. 2 sin xdx sin 2x C 2sin xdx 2cos x C 3 (x - 1) Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số y = f (x)= là kết quả nào sau đây? 2x 2 4 x 2 3x 1 3(x - 1) A. F (x)= - + ln x + .B. F (x)= . 4 2 2x 4x 3 x 2 3x 1 1 C. F (x)= - - - .D. Một kết quả khác. 4 2 x 2 2x 3 Câu 16. Tính ò e x .e x + 1dx ta được kết quả nào sau đây? 1 A. e x .e x+1 + C .B. e 2x+1 .C+. C .D.2 Mộte 2x+1 +kếtC quả khác. 2 4 Câu 17. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)= (x - 3) ? 5 5 (x - 3) (x - 3) A. F (x)= + x .B. . F (x)= 5 5 5 5 (x - 3) (x - 3) C. F (x)= + 2017 .D. F (x . )= - 1 5 5 Câu 18. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) ex 2x thỏa 3 mãn F(0) . Tìm F(x) . 2 3 1 A. F(x) ex x2 B. F(x) 2ex x2 2 2 5 1 C. D.F (x) ex x2 F(x) ex x2 2 2 3 Câu 19. Hàm số F (x)= e x là một nguyên hàm của hàm số: x3 3 3 e 3 A. f (x)= e x .B. f (x)= 3x .C2 e x f ( .Dx). = . f (x)= x 3.e x - 1 3x 2 ln 2 Câu 20. Cho I = 2 x dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai? ò x A. I = 2 x + C .B. I = 2 x + 1 + .CC. I = 2(2 x .D+.1 )+ C I = 2(2 . x - 1)+ C 1 ln 2 Câu 21. Cho I = 2 2x . dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai? ò x 2 1 1 1 1 æ ö + 1 æ ö ç 2x ÷ 2x 2x ç 2x ÷ A. I = 2ç2 + 2÷+ C .B. I = .C2. + C . DI .= 2 + C . I = 2ç2 - 2÷+ C èç ø÷ èç ø÷ Câu 22. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) 3 5sin x và f (0) 10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. f (x) 3x 5cos x 5 B. f (x) 3x 5cos x 2 C. f (x) 3x 5cos x 2 D. f (x) 3x 5 cos x 15 x 3 Câu 23. Nếu f (x)dx = + e x + C thì f (x) bằng: ò 3 x 4 x 4 A. f (x)= + e x .B. f (x)= 3x 2 + e x .C. f (x)= + .De.x f (x)= .x 2 + e x 3 12 Câu 24. Nếu ò f (x)dx = sin 2x cos x thì f (x) là:
4. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An 1 1 A. f (x)= (3cos3x + cos x) .B. f (x)= (co .s3x + cos x) 2 2 1 1 C. f (x)= (3cos3x - cos x) .D. f (x)= (co .s3x - cos x) 2 2 1 Câu 25. Nếu f (x)dx = + ln x + C thì f (x) là: ò x 1 A. f (x)= x + ln x + C .B. f (x .)= - x + + C x 1 x - 1 C. f (x)= - + ln x + C .D. . f (x)= x 2 x 2 1 Câu 26. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x 5x 2 dx 1 dx 1 A. ln 5x 2 C . B. ln(5x 2) C . 5x 2 5 5x 2 2 dx dx C. 5ln 5x 2 C . D. ln 5x 2 C . 5x 2 5x 2 Câu 27. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? 1 A. f (x)= sin 2x và g(x)= cos2 x .B. f (x)= tvàan 2 x g(x)= . cos2 x 2 C. f (x)= e x và g(x)= e- x .D. fvà(x )= sin 2x .g(x)= sin2 x Câu 28. Tìm số thực m để hàm số F (x)= mx 3 + (3m + 2)x 2 - 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x)= 3x 2 + 10x - 4 . A. m = - 1 . B. .Cm. = 0 .D. . m = 1 m = 2 Câu 29. Cho hàm số f (x)= x 2 .e x . Tìm a, b, c để F (x)= (ax 2 + bx + c).e x là một nguyên hàm của hàm số f (x). A. (a;b;c)= (1;2;0) . B. . (a;b;c)= (1;- 2;0) C. (a;b;c)= (- 1;2;0) . D. . (a;b;c)= (2;1;0) Câu 30. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 7x . 7x A. B.7 x dx 7 x ln 7 C 7x dx C ln 7 7x 1 C. 7 x dx 7 x 1 C D. 7x dx C x 1 Câu 31. Để F (x)= (a cos x + b sin x)e x là một nguyên hàm của f (x)= e x cos x thì giá trị của a, b là: 1 A. a = 1, b = 0 .B. a = 0, b = .C1. .Da. = b = 1 . a = b = 2 Câu 32. Giả sử hàm số f (x)= (ax 2 + bx + c).e- x là một nguyên hàm của hàm số g (x)= x (1- x)e- . x Tính tổng A = a + b + c , ta được: A. A = - 2 .B CA. = 4 .D. . A = 1 A = 3 20x 2 - 30x + 7 3 Câu 33. Cho các hàm số f (x)= ; F (x)= (ax 2 + bx + c) 2x - 3 với x > . Để hàm số F (x) là 2x - 3 2 một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là: A. a = 4, b = 2, c = 1 .B. a .= 4, b = - 2, c = - 1 C. a = 4, b = - 2, c = 1 .D. a = . 4, b = 2, c = - 1 Câu 34. Với giá trị nào của a, b, c, d thì F (x)= (ax + b).cos x + (cx + d).sin x là một nguyên hàm của f (x)= x cos x ? A. Ba .= b = 1, c = d = 0. a = d = 0, b = c = 1. C. Da .= Kết1, b quả= 2, khác.c = - 1, d = - 2. Câu 35. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x)= sin2 x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này p p bằng khi x = ? 8 4
5. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An sin3 x x sin 2x A. BF.( x)= . F (x)= - . 3 2 4 x sin 2x 1 sin3 x 2 C. DF.( x)= - + . F (x)= - . 2 4 4 3 12 1 Câu 36. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f '(x)= và f (1)= 1 thì f (5) có giá trị bằng: 2x - 1 A. Bln. 2C D. ln 3. ln 2 + 1. ln 3+ 1. Câu 37. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin x cos x thỏa mãn F 2 . 2 A. F(x) cos x sin x 3 B. F(x) cos x sin x 3 C. D.F (x) cos x sin x 1 F(x) cos x sin x 1 4m Câu 38. Cho hàm số f (x)= + sin2 x . Tìm m để nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn F (0)= 1 và p æpö p F ç ÷= . èç4÷ø 8 4 3 3 4 A. m = - .B. .mC.= .D. m . = - m = 3 4 4 3 1 Câu 39. Cho hàm số y = f (x)= . Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) và đồ thị y = F (x) đi sin2 x æp ö qua điểm M ç ;0÷ thì F (x) là: èç6 ÷ø 3 3 A. F (x)= - cot x .B. F (x)= - + cot x. 3 3 C. DF.( x)= - 3 + cot x. F (x)= 3 - cot x. Câu 40. Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x - 1 . Đồ thị của hàm số F (x) và f (x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là: æ5 ö æ5 ö æ5 ö A. (0;- 1) .B. .C. ç ;9÷ và .D. (0;- 1 .) ç ;9÷ ç ;8÷ èç2 ø÷ èç2 ÷ø èç2 ø÷ Dạng 2. TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. Phương pháp đổi biến số é ù é ù Nếu ò f (x)dx = F (x)+ C thì ò f ëu(x)û.u '(x)dx = F ëu(x)û+ C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ò f (x)dx , trong đó ta có thể phân tích f (x)= g(u(x))u '(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u(x) , suy ra dt = u '(x)dx . é ù Khi đó ta được nguyên hàm: ò g(t)dt = G(t)+ C = G ëu(x)û+ C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x) . Câu 41. Câu nào sau đây sai? A. Nếu F '(t)= f (t) thì F / (u(x))= f (u(x)) . B. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u(x))u '(x)dx = F (u(x))+ C . C. Nếu G (t) là một nguyên hàm của hàm số g (t) thì G (u(x)) là một nguyên hàm của hàm số g (u(x)).u/ (x). D. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u)du = F (u)+ C với u = u(x) . Câu 42. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu ò f (t)dt = F (t)+ C thì ò f (u(x)).u/ (x)dx = F (u(x))+ C . é ù B. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì ò ëF (x)- G(x)ûdx có dạng h(x)= Cx + D (C, D là các hằng số và C ¹ 0 ). C. F (x)= 7 + sin2 x là một nguyên hàm của f (x)= sin 2x .
6. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An u/ (x) D. dx = u(x)+ C . ò u(x) Câu 43. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)= 2x - 1. 2 1 A. B. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C. ò 3 ò 3 1 1 C. D. f (x)dx = - 2x - 1 + C. f (x)dx = 2x - 1 + C. ò 3 ò 2 ln x Câu 44. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) . Tính x F(e) F(1) 1 1 A. I e . B. I .C. .I D. . I 1 e 2 ln x Câu 45. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = . x ln x Nếu F (e 2 )= 4 thì dx bằng: ò x ln2 x ln2 x A.F (x)= + C . B. . F (x)= + 2 2 2 ln2 x ln2 x C. F (x)= - 2 .D. . F (x)= + x + C 2 2 Câu 46. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = e sin x cos x . Nếu F (p)= 5 thì ò e sin x cos xdx bằng: A. F (x)= e sin x + 4 . B. . F (x)= e sin x + C C. F (x)= e cos x + 4 .D. . F (x)= e cosx + C Câu 47. F (x) là nguyên hàm của hàm số y = sin4 x cos x . F (x) là hàm số nào sau đây? cos5 x cos4 x A.F (x)= + C . B. . F (x)= + C 5 4 sin4 x sin5 x C. F (x)= + C .D. . F (x)= + C 4 5 Câu 48. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: (I) ò tan x dx = - ln(cos x)+ C . 1 (II) e 3cos x sin x dx = - e 3cos x + C . ò 3 cos x + sin x (III)dx = 2 sin x - cos x + C . ò sin x - cos x Số mệnh đề đúng là: A. 0 .B. .C. .D. . 1 2 3 e ln x Câu 49. Để tính dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt: ò x 1 A. Bt =. Ce.l nDx t = ln x. t = x. t = . x 2 Câu 50. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = xe x . Hàm số nào sau đây không phải là F (x) : 1 2 1 2 A.F (x)= e x + 2 . B. . F (x)= e x + 5 2 2 ( ) 1 2 1 2 C. F (x)= - e x + C . D. .F (x)= - 2- e x 2 2 ( )
7. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] . Khi đó: òudv = uv - òvdu. (*) Để tính nguyên hàm ò f (x)dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = udv (chú ý dv = v '(x)dx ). Sau đó tính v = ò dv và du = u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính òvdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân òvdu dễ tính hơn òudv . Ta thường gặp các dạng sau ésin x ù ● Dạng 1. I = P x ê údx , trong đó P x là đa thức. ò ( )ê ú ( ) ëcos xû ì ï u = P (x) ï Với dạng này, ta đặt í ésin x ù . ï dv = ê údx ï ê ú îï ëcos xû ● Dạng 2. I = ò P (x)e ax + b dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = P (x) Với dạng này, ta đặt í . ï ax + b îï dv = e dx ● Dạng 3. I = ò P (x)ln(mx + n)dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = ln(mx + n) Với dạng này, ta đặt í . ï îï dv = P (x)dx ïì ésin x ù ésin x ù ï u = ê ú x ï ê ú ● Dạng 4. I = ê úe dx . Với dạng này, ta đặt í ëcos xû . ò êcos xú ï ë û ï x îï dv = e dx Câu 51. Kết quả của I = ò xe x dx là: x 2 A. I = e x + xe x + C .B. . I = e x + C 2 x 2 C. I = xe x - e x + C .D. . I = e x + e x + C 2 Câu 52. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) (x 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . 2 x A. f (x)e2x dx (4 2x)ex C B. f (x)e2x dx ex C 2 C. f (x)e2x dx (2 x)ex C D. f (x)e2x dx (x 2)ex C Câu 53. Hàm số f (x)= (x - 1)e x có một nguyên hàm F (x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0 ? A. F (x)= (x - 1)e x .B. . F (x)= (x - 2)e x C. F (x)= (x + 1)e x + 1 .D. F ( .x)= (x - 2)e x + 3 Câu 54. Một nguyên hàm của f (x)= x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1? 1 1 1 1 A. F (x)= x 2 ln x - (x 2 + 1) .B. F (x)= x 2 ln x . + x + 1 2 4 2 4 1 1 C. F (x)= x ln x + (x 2 + 1) .D. Một kết quả khác. 2 2
8. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An 1 f (x) Câu 55. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 2x2 x nguyên hàm của hàm số f (x)ln x ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx 2 2 C B. f (x)ln xdx C x 2x x2 x2 ln x 1 ln x 1 C. f (x)ln xdx 2 2 C D. f (x)ln xdx C x x x2 2x2 ln(ln x) Câu 56. Tính nguyên hàm I = dx được kết quả nào sau đây? ò x A. BI .= ln x.ln(ln x)+ C. I = ln x.ln(ln x)+ ln x + C. C. DI .= ln x.ln(ln x)- ln x + C. I = ln(ln x)+ ln x + C. Câu 57. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2 .x Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . A. f (x)e2x dx x2 2x C B. f (x)e2x dx x2 x C C. D. f (x)e2x dx 2x2 2x C f (x)e2x dx 2x2 2x C Câu 58. Tính nguyên hàm I = ò sin x.e x dx , ta được: 1 1 A. I = (e x sin x - e x cos x)+ C . B. I = (e x sin x + e x c .o s x)+ C 2 2 C. I = e x sin x + C . D. I = e x cos x + C . 1 f (x) Câu 59. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 3x2 x nguyên hàm của hàm số f (x)ln x . ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx C B. f (x)ln xdx C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f (x)ln xdx C D. f (x)ln xdx C x3 3x3 x3 3x3 Câu 60. Để tìm nguyên hàm của f (x)= sin4 x cos4 x thì nên: A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t = sin x . B. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t = cos x . sin2 2x 1- cos 4x C. Biến đổi lượng giác sin2 x cos2 x = = rồi tính. 4 8 D. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u = sin4 x, dv = cos4 xdx .
9. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa Cho f (x) là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì hiệu số F (b)- F (a) được gọi là tích phân của f (x) từ a đến b và kí hiệu là b b f (x)dx = F (x) = F (b)- F (a). ò a a 2. Tính chất a . Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là ò f (x)dx = 0 . a b a . Đổi cận thì đổi dấu, tức là ò f (x)dx = - ò f (x)dx . a b . Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là b b ò kf (x)dx = kò f (x)dx (k là hằng số). a a . Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là b b b é ù ò ëf (x)± g(x)ûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx . a a a b c b . Tách đôi tích phân, tức làò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx . a a c b Chú ý: Tích phân ò f (x)dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến a b b số x , tức là ò f (x)dx = ò f (t)dt . a a Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: b a b A. ò f (x)dx = - ò f (x)dx .B. . ò k.dx = k(b - a), " k Î ¡ a b a b c b b a C. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx với c Î [a;b] .D. ò f (x)dx .= ò f (x)dx a a c a b Câu 2. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó: a a b b b (I) ò f (x)dx = 0 . (II) ò f (x)dx = ò f (x)dx . (II) ò k. f (x)dx = kò f (x)dx . a b a a a Trong ba công thức trên: A. Chỉ có (I) sai.B. Chỉ có (II) sai. C. Chỉ có (I) và (II) sai.D. Cả ba đều đúng. Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 b b b d = 1 . d = d . d A. ò x .B. ò f1 (x) f 2 ( .x) x ò f1 (x) x ò f 2 (x) x - 1 a a a b C. Nếu f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì ò f (x)dx ³ 0 . a a D. Nếu ò f (x)dx = 0 thì f (x) là hàm số lẻ. 0 Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b c b A. ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx với mọi a, b, c thuộc tập xác định của f (x) . a a c b B. Nếu ò f (x)dx ³ 0 thì f (x)³ 0," x Î [a;b] . a
10. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An dx C. ò = 2 1+ x 2 + C . 1+ x 2 D. Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) . x Câu 5. Đặt F (x)= ò 1+ t 2 dt . Đạo hàm F / (x) là hàm số nào dưới đây? 1 x A. F / (x)= .B. . F / (x)= 1+ x 2 1+ x 2 1 C. F / (x)= .D. F / (x)= (x 2 + 1) 1+ x 2 . 1+ x 2 x Câu 6. Cho F (x)= ò(t 2 + t)dt . Giá trị nhỏ nhất của F (x) trên đoạn [- 1;1] là: 1 1 5 5 A. B C. D. 2 . - . . 6 6 6 x t - 3 Câu 7. Cho F (x)= dt . Xét các mệnh đề: ò 2 + 0 t 1 x - 3 I. F '(x)= . x 2 + 1 II. Hàm số F (x) đạt cực tiểu tại x = 3. II. Hàm số F (x) đạt cực đại tại x = 3. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I.B. Chỉ II.C. I và II.D. I và III. Câu 8. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: 1 1 A. ò x 2dx ³ ò x 3dx . 0 0 x dt 1 B. Đạo hàm của F (x)= là F / (x)= (x > 0) . ò + + 1 1 t 1 x a a C. Hàm số f (x) liên tục trên [- a;a] thì ò f (x)dx = 2ò f (x)dx . - a 0 b c c D. Nếu f (x) liên tục trên ¡ thì ò f (x)dx + ò f (x)dx = ò f (x)dx . a b a 0 Câu 9. Cho f (x) là hàm số chẵn và ò f (x)dx = a . Chọn mệnh đề đúng: - 3 3 3 3 0 A. ò f (x)dx = - a .B. ò f (x)dx = 2a .C. ò f (x)dx = .Da. ò .f (x)dx = a 0 - 3 - 3 3 4 Câu 10. Nếu f (1)= 12, f '(x) liên tục và ò f '(x)dx = 17 . Giá trị của f (4) bằng: 1 A. 29.B. 5.C. 19.D. 9. 5 2 é ù Câu 11. Cho ò f (x)dx = 10 . Khi đó ò ë2- 4 f (x)ûdx bằng: 2 5 A. 32.B. 34.C. 36.D. 40. 2 4 4 Câu 12. Cho ò f (x)dx = 1 và ò f (t)dt = - 3 . Giá trị của ò f (u)du là: 1 1 2 A. - 2 .B. .C. 4.D. 2.- 4 d d c Câu 13. Cho hàm f liên tục trên ¡ thỏa mãn ò f (x)dx = 10, ò f (x)dx = 8, ò f (x)dx = 7 . a b a c Tính I = ò f (x)dx , ta được. b A. I = - 5 .B. C.I D=. 7. . I = 5. I = - 7
11. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An 3 4 4 Câu 14. Cho biết ò f (x)dx = - 2, ò f (x)dx = 3, ò g(x)dx = 7 . 1 1 1 Khẳng định nào sau đây là sai? 4 4 é ù A. Bò. ëf (x)+ g(x)ûdx = 10. ò f (x)dx = 1. 1 3 3 4 é ù C. Dò. f (x)dx = - 5. ò ë4 f (x)- 2g(x)ûdx = - 2. 4 1 2 2 é ù é ù Câu 15. Cho biết A = ò ë3 f (x)+ 2g(x)ûdx = 1 và B = ò ë2 f (x)- g(x)ûdx = - 3 . 1 1 2 Giá trị của ò f (x)dx bằng: 1 5 1 A. 1.B. 2.C. .D. - . 7 2 2 2 Câu 16. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho f (x)dx 5 . Tính I  f (x) 2sin xdx . 0 0 A. I 7 B. I 5 C. I 3 D. I 5 2 Câu 17. Giả sử A, B là các hằng số của hàm số f (x)= Asin(px)+ Bx 2 . 2 Biết ò f (x)dx = 4 . Giá trị của B là: 0 A. 1.B. Một đáp số khác.C. 2.D. . 3 2 2 2 Câu 18. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho f (x)dx 2 và g(x)dx . 1 Tính 1 1 2 I x 2 f (x) 3g(x)dx 1 5 7 17 11 A. I B. I C. I D. I 2 2 2 2 Câu 19. Tính các hằng số A và B để hàm số f (x)= Asin(px)+ B thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 f '(1)= 2 và ò f (x)dx = 4 . 0 2 2 A. A = - , B = 2 .B. . A = , B = 2 p p 2 2 C. A = - , B = - 2 .D. . A = , B = - 2 p p b Câu 20. Giá trị nào của b để ò(2x - 6)dx = 0 ? 1 A. b = 0 hoặc b = 3 .B. hoặc b = 0 b = 1 C. b = 5 hoặc b = 0 .D. hoặc . b = 1 b = 5 a x + 1 Câu 21. Cho ò dx = e với a > 1 . Khi đó, giá trị của a thỏa mãn là: 1 x 1 e A. . B. .e C. . D. . e2 e 2 k Câu 22. Để ò(k - 4x)dx = 6- 5k thì giá trị của k là: 1 A. k = 1 .B. .C. k = 2 .D. . k = 3 k = 4
12. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An x æ 2 1ö Câu 23. Để çsin t - ÷dt = 0 , với k Î ¢ thì x thỏa: òèç ø÷ 0 2 p A. x = k2p .B. .xC=. kp .D. x = k . x = (2k + 1)p 2 a Câu 24. Nếu ò(cos x + sin x)dx = 0(0 2 . a2 + b2 = 41 2 æ 1 2 1 ö Câu 27. Tính tích phân ç - - ÷dx , ta thu được kết quả ở dạng a + b ln 2 với a, b Î ¤ . Chọn òèç - 2 ø÷ 1 x 3 x x khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. a2 + b2 > 10 . B. a > . C0. .D. a - b > .1 b - 2a > 0 0 æ 2 ö Câu 28. Kết quả của tích phân çx + 1+ ÷dx được viết dưới dạng a + b ln 2 với a, b Î ¤ . Khi đó a + b òèç - ø÷ - 1 x 1 bằng: 3 3 5 5 A. .B. - .C. .D. . - 2 2 2 2 1 2x + 3 Câu 29. Biết rằng dx = a ln 2 + b với a, b Î ¤ . ò - 0 2 x Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. a 4 . D a2 + b2 > 50 a + b 0 . B. . C. c 0 2 (x - 2)(x 2 - x + 2) Câu 31. Cho tích phân I = dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c Î ¤ . Chọn khẳng định đúng ò + 1 x 2 trong các khẳng định sau: A. b > 0 . B. . C. c > 0 . D. .a 0 t 2 + 4 Câu 32. Một vật chuyển động với vận tốc v(t)= 1,2 + (m/s . )Quãng đường vật đó đi được trong 4 t + 3 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 18,82 m.B. m.1C1,.8 1 m.D. m.4,06 7,28 1 Câu 33. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6t 2 với t (giây) là 2 khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ? A. 24 (m/s) B. 108 (m/s) . C. 18 (m/s) D. 64 (m/s) Câu 34. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v(t)= 3t 2 + 5(m/s). Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : A. 36m.B. 252m.C. 1134m.D. 966m.
13. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 1. Phương pháp đổi biến số a) Phương pháp đổi biến số loại 2 b Giả sử cần tính I = ò f (x)dx ta thực hiện các bước sau a é ù Bước 1. Đặt x = u(t) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b] , f ëu(t)û xác định trên [a;b] và u(a)= a, u(b)= b ) và xác định a, b . b b = é ù. ' d = d = b = b - a Bước 2. Thay vào, ta có: I ò f ëu(t)ûu (t) t ò g(t) t G(t) a G( ) G( ) . a a Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1 Dấu hiệu Cách chọn é é p p ù êx = a sin t t Î ê- ; ú 2 2 ê ê ú a - x ê ë 2 2 û ê ëêx = a cos t t Î [0;p] é a é p p ù êx = t Î ê- , ú\{0} ê ê ú ê sin t ë 2 2 û x 2 - a2 ê ê a ïì pïü êx = t Î [0,p]\í ý ëê cos t îï 2þï æ p pö x 2 + a2 x = a tan t t Î ç- ; ÷ èç 2 2ø÷ 8 Câu 35. Đổi biến số x = 4 sin t của tích phân I = ò 16- x 2 dx , ta được: 0 p p 4 4 A. .I B=. .- 16ò cos2 tdt I = 8ò(1+ cos 2t)dt 0 0 p p 4 4 C. .I = 16ò sin2 tdt D. I = .8 ò(1- cos 2t)dt 0 0 1 dx Câu 36. Cho tích phân I = . Nếu đổi biến số x = 2 sin t thì: ò 2 0 4 - x p p p p 6 6 6 dt 3 A. I = ò dt .B. I = .Cò. tdt .D. I = ò . I = ò dt 0 0 0 t 0 3 1 Câu 37. Đổi biến số x = 3 tan t của tích phân I = dx , ta được: ò x 2 + 3 3 p p p p 3 3 3 dt 3 3 3 3 A. I = 3ò dt. B. I = ò . C. DI .= ò tdt. I = ò dt. p 3 p t 3 p 3 p 4 4 4 4 2 x 2 - 1 1 Câu 38. Cho tích phân I = dx . Nếu đổi biến số x = thì: ò 3 1 x sin t p p p p 4 2 2 1 2 A. BI .= Cò.Dc. os2 tdt. I = ò sin2 .tdt. I = ò cos2 tdt. I = ò(1- cos 2t)dt p p p 2 p 2 4 4 4
14. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 b) Phương pháp đổi biến số loại 1 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau: b é ù Để tính tích phân I = ò f (x)dx nếu f (x)= g ëu(x)û.u '(x) , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau a ì ï x = a Þ t = u(a) Bước 1. Đặt t = u(x)Þ dt = u '(x)dx . Đổi cận í . ï îï x = b Þ t = u(b) u(b) u(b) Bước 2. Thay vào ta có I = ò g(t)dt = G(t) . u(a) u(a) Câu 39. Cho hàm số f (x) có nguyên hàm trên ¡ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 1 1 a a A. ò f (x)dx = ò f (1- x)dx .B. ò f (x)dx = .2ò f (x)dx 0 0 - a 0 p p 1 1 2 C. ò f (sin x)dx = pò f (sin x)dx .D. ò f (x)dx = ò .f (x)dx 0 0 0 2 0 6 2 Câu 40. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho f (x)dx 12 . Tính I f (3x)dx . 0 0 A. I 6 B. I 36 C. D.I 2 I 4 4 2 Câu 41. Nếu f (x) liên tục và ò f (x)dx = 10 , thì ò f (2x)dx bằng: 0 0 A. 5.B. 29.C. 19.D. 9. Câu 42. Hàm số y = f (x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f (a)= f (b) . Lựa chọn phương án đúng: b b A. ò f '(x)e f (x)dx = 0 .B. . ò f '(x)e f (x)dx = 1 a a b b C. ò f '(x)e f (x)dx = - 1 .D. ò . f '(x)e f (x)dx = 2 a a Câu 43. Cho hàm số f (x) có nguyên hàm trên ¡ . Xét các mệnh đề: p 2 1 1 f (e x ) e f (x) I. sin 2x. f sin x dx = f x dx. II. dx = dx . ò ( ) ò ( ) ò x ò 2 0 0 0 e 1 x 2 a 1 a III. ò x 3 f (x 2 )dx = ò xf (x)dx . 0 2 0 Các mệnh đề đúng là: A. Chỉ I.B. Chỉ II.C. Chỉ III.D. Cả I, II và III. Câu 44. Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên [- a;a] . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? a a a A. ò f (x)dx = 2ò f (x)dx .B. ò . f (x)dx = 0 - a 0 - a a 0 a a C. ò f (x)dx = 2ò f (x)dx .D. ò f (x)dx = . - 2ò f (x)dx - a - a - a 0 0 2 Câu 45. Cho f (x) là hàm số lẻ và ò f (x)dx = 2 . Giá trị của ò f (x)dx là: - 2 0 A. 2.B. - .C2. 1.D. . - 1 0 1 Câu 46. Cho f (x) là hàm số chẵn và ò f (x)dx = 3 . Giá trị của ò f (x)dx là: - 1 - 1 A.3.B. 2.C. 6.D. . - 3
15. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An 2 Câu 47. Tính tích phân I = ò x 2 x 3 + 1dx . 0 16 16 52 52 A. . B. . C. - . D. . - 9 9 9 9 2 Câu 48. Cho I = ò 2x x 2 - 1dx và u = x 2 - 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1 3 3 2 2 3 A. I = udu .B. I = u .dCu. .ID=. u 2 . I = 2 3 ò ò 3 0 1 0 3 x 2 Câu 49. Biến đổi ò dx thành ò f (t)dt , với t = 1+ x . Khi đó f (t) là hàm nào trong các hàm số 0 1+ 1+ x 1 sau? A. f (t)= 2t 2 - 2t .B. f (t)= t 2 + t .C. f (t)= .Dt 2. - t f .(t)= 2t 2 + 2t 3 1+ x 2 x 2 + 1 Câu 50. Cho tích phân I = dx . Nếu đổi biến số t = thì: ò 2 1 x x 2 2 3 t 2dt 3 t 2dt 3 t 2dt 3 tdt A. I = - .B. I = .C. I = .D. . I = ò t 2 - 1 ò t 2 + 1 ò t 2 - 1 ò t 2 + 1 2 2 2 2 2 dx Câu 51. Kết quả của tích phân I = có dạng I = a ln 2 + b ln 2 - 1 + c với a, b, c Î ¤ . Khi đó giá ò 3 ( ) 1 x 1+ x trị của a bằng: 1 1 2 2 A. a = .B. .C.a = - .D. . a = - a = 3 3 3 3 1 x Câu 52. Biết rằng I = dx = ln a với a Î ¤ . Khi đó giá trị của a bằng: ò 2 + 0 x 1 1 A. Ba .= 2 .C. a .D=. . a = 2 a = 4 2 1 1 1 Câu 53. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho dx a ln 2 bln 3 với a, b là các số nguyên. 0 x 1 x 2 Mđ nào dưới đây đúng ? A. a b 2 . B. a 2b 0 . C. a b 2 .D. . a 2b 0 1 4x 3 Câu 54. Cho 2 3.m - dx = 0 . Khi đó 144m2 - 1 bằng: ò 4 2 0 (x + 2) 2 2 3 A. - .B. .C. 4 3 - .D1. Kết quả khác. 3 3 2 ln x Câu 55. Tính tích phân I = ò dx . 1 x ln2 2 ln2 2 A. I = 2. B. C. C. I = . I = ln 2. I = - . 2 2 e 1- ln x Câu 56. Đổi biến u = ln x thì tích phân I = dx thành: ò 2 1 x 0 1 A. I = ò(1- u)du .B. . I = ò(1- u)e- udu 1 0 0 0 C. I = ò(1- u)e udu .D. . I = ò(1- u)e 2udu 1 1 e 1+ 3ln x Câu 57. Cho I = ò dx và t = 1+ 3ln x . 1 x Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 2 2 2 2 2 2 14 A. BI .= C. ò tdt. .D. I = ò t 2dt. I = t 3 I = . 3 1 3 1 9 1 9
16. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2. Phương pháp tích phân từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b] . b b b Khi đó: òudv = uv - òvdu. a a a Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv b ïì é ù ï u = ln ëg(x)û Dạng 1 f (x)ln ég(x)ùdx Đặt íï ò ë û ï = a îï dv f (x)dx ïì u = f (x) ï é ù ï b sin ax ï ésin ax ù Dạng 2 ê ú Đặt íï ê ú f (x)êcos axúdx ï dv = êcos axúdx ò ê ú ï ê ú a ê ax ú ï ê ax ú ëêe ûú îï ëêe ûú ïì ésin ax ù ï u = ê ú b é ù ï ê ú Dạng 3 ax sin ax Đặt í ëcos axû e ê údx ï ò êcos axú ï ax a ë û îï dv = e dx 2 Câu 58. Tính tích phân I = ò ln tdt. Chọn khẳng định sai? 1 4 A. I = 2 ln 2- 1. B. ln C .D. ln 4 - log10 ln 4e. e a ln x 1 1 Câu 59. Biết I = dx = - ln 2 . Giá trị của a bằng: ò 2 1 x 2 2 A. 2 .B. .C. .D. ln . 2 4 8 3 Câu 60. Kết quả của tích phân I = ò ln(x 2 - x)dx được viết ở dạng I = a ln 3- b với a, b là các số nguyên. 2 Khi đó a - b nhận giá trị nào sau đây? A. - 1 . B. .C. .D. 0 . 1 2 e Câu 61. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân I = ò x ln xdx. 1 1 e 2 - 2 e 2 + 1 e 2 - 1 A. BI .= C. D. . I = . I = . I = . 2 2 4 4 e 3e a + 1 Câu 62. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả ò x 3 ln xdx = ? 1 b A. ab = 64 .B. a .Cb.= 46 .D. a - b .= 12 a - b = 4 1 Câu 63. Kết quả của tích phân I = ò x ln(2 + x 2 )dx được viết ở dạng I = a ln 3+ b ln 2 + c với a, b, c là các số 0 hữu tỉ. Hỏi tổng a + b + c bằng bao nhiêu? 3 A. 0. B. 1C D. . 2. 2 e k Câu 64. Cho I = ò ln dx . Xác định k để I e + 1 k < e - 1 1 Câu 65. Tính tích phân I = ò x2x dx . 0 2 ln 2- 1 2 ln 2- 1 2 ln 2 + 1 2 ln 2 + 1 A. I = . B. I = C. . D. I = . I = . ln2 2 ln 2 ln2 2 ln 2
17. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Tính diện tích hình phẳng Định lí. Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là : y b y = f (x) S = ò f (x)dx. a x O a b Bài toán 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ;) trục hoành Ox (y = 0 ) và hai b y đường thẳng x = a; x = b là S = ò f (x) dx . y = f (x) a Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f (x) ; y = g(x) và hai đường y = g(x) đường thẳng x = a; x = b là b x S = f (x)- g(x)dx. òa a O b Câu 01. Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: b b b b A. S = ò f (x)dx. B. CS. =D.ò f (x) dx. S = ò f 2 (x)dx. S = pò f (x) dx. a a a a Câu 02. Cho đồ thị hàm số y = f (x) . Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là: 3 y A. S = ò f (x)dx . - 2 0 3 B. S = f (x)dx + f (x)dx . y=f(x) ò ò O x - 2 0 - 2 3 -2 3 C. S = ò f (x)dx + ò f (x)dx . 0 0 0 0 D. S = ò f (x)dx + ò f (x)dx . - 2 3 Câu 03. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 3 + 2x và y = 3x 2 được tính theo công thức: 2 1 2 A. S = ò(x 3 - 3x 2 + 2x)dx .B. S = ò(x 3 - 3x 2 + 2x)dx - ò(x 3 - 3x 2 + .2x)dx 0 0 1 2 1 2 C. ò(- x 3 + 3x 2 - 2x)dx .D. S = ò(x 3 - 3x 2 + 2x)dx + ò(x 3 - 3x 2 . + 2x)dx 0 0 1 Câu 04. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 + 2 và y = 3x là: 1 1 A. S = 2 . B. . C. S = 3 .D. . S = S = 2 6 Câu 05. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 - x và đồ thị hàm số y = x - x 2 . 37 9 81 A. BS.= C. D S = . S = . S = 13. 12 4 12
18. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Câu 06. Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 3 + 3x 2 - 2 , trục hoành, trục a a tung và đường thẳng x = 2 có dạng (với là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là: b b A. Ba .- b = 2. .C. D. a - b = 3 a - b = - 2. a - b = - 3. Câu 07. Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị( C ): y = x 4 - 2x 2 + 1 và trụcO x gần nhất với giá trị nào sau đây? 1 3 A. BS.= C. D. . S = 1. S = . S = 2. 2 2 Câu 08. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 1+ x 2 , trục hoành và đường thẳng x = 1 là: 1 2 2 - 1 2 2 + 1 A. BS.= C. D. . S = . S = . S = 2( 2 - 1). 3 3 3 Câu 09. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và x - 2 y = 0 bằng với diện tích hình nào sau đây: A. Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2 . B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3 . C. Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3 . 4 D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 3 . 3 2 Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 , trục hoành, đường thẳng x = 0 và (x + 1) đường thẳng x = 4 là: 8 8 2 4 A. BS.= C-. D S = . S = . S = . 5 5 25 25 Câu 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . e 2 + 1 e 2 + 1 e 2 + 1 e 2 + 1 A S = B. S = .C. .D. S = . S = 4 6 8 2 Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x + ,x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 là: 1 1 A. BS.= Ce. D+ . . S = e - . S = e + 1. S = e - 1. 2 2 TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 2. Tính thể tích khối tròn xoay a) Tính thể tích của vật thể Định lí. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a £ x £ b )cắt C theo một thiết diện có diện tích S (x). Giả sử S (x) là hàm liên tục trên đoạn [a;b .] Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt b phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức V = òS (x)dx . a b) Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể y tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y = f (x); y = 0 ; y = f (x) x = a; x = b quanh trục Ox được tính theo công thức x b a b V = pò f 2 (x)dx . O a
19. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục tung và hai đường y = a, y = b quanh trục Oy được tính theo công thức b V = pò g 2 (y)dy . a Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) ,trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox. b b b b A. B.V =C.p ò f 2 (x)dx. D.V = ò f 2 (x)dx. V = pò f (x)dx. V = ò f (x) dx. a a a a Câu 2. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a, x = b (a < b), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b) là S (x) . b b b b A. BV. =C.p Dò. S (x)dx. V = pò S (x) dx. V = òS (x)dx. V = p2 òS (x)dx. a a a a Câu 3. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2(x - 1)e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục Ox. A. BV. =C.4 D- . 2e. V = (4 - 2e)p. V = e 2 - 5. V = (e 2 - 5)p. Câu 4. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ 3 )là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 - x 2 , bằng: A. V = 3 .B. CV. = 18. D. V = 20. V = 22. Câu 5 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x Î [0;2] là một phần tư đường tròn bán kính 2x 2 , ta được kết quả nào sau đây? 16 A. BV. =C.3 D2p. . V = 64p. V = p. V = 8p. 5 Câu 6. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 cos x , trục hoành và các đường thẳng x 0, x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể 2 tích V bằng bao nhiêu ? A. V 1 B. C.V ( 1) V ( D. 1) V 1 Câu 7. Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (P): y = 2x - x 2 và trục Ox sẽ có thể tích là: 16p 11p 12p 4p A. BV. =C. D. . V = . V = . V = . 15 15 15 15 Câu 8. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y 2 sin x , trục hoành và các đường thẳng x 0, x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? A. B.V 2( 1) C. V 2 ( 1) V D. 2 2 V 2 Câu 9. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hoành và các đường thẳng x 0, x 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? e2 (e2 1) e2 1 (e2 1) A. V B. V C. D.V V 2 2 2 2
20. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Câu 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y x2 1 , trục hoành và các đường thẳng x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ? 4p 7p 2p A. V = . B. V = 2p. C. V = . D. V = . 3 3 3 Câu 11. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C ): y = ln x , trục Ox và đường thẳng x = e là: A. BV. =C.p D(e. - 2). V = p(e - 1). V = pe. V = p(e + 1). Câu 12. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y sin , y 0, x 0, x quay xung quanh trục Ox. 2 2 2 4 A. .V B. . V C. . VD. . V 2 3 2 3 Câu 13. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex , y = 0, x = 0, x = ln 3 quay xung quanh trục hoành. A. .V = 12p B. . V = 5pC. . D.V . = 4p V = p p Câu 14. Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = . Cắt phần 3 æ ö ç p÷ vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ç0 £ x £ ÷ ta được thiết èç 3ø÷ diện là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2x và cosx . Thể tích vật thể B bằng: 3p - 3 3p + 3 3p - 3 3p + 3 A. p . B. p .C. .D. . 3 6 6 6 x Câu 15. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xe2 , y = 0 ,x = 0 ,x = 1 xung quanh trục Ox là 9p A. V = p2e B. V = .C. V = .D.e - 2 . Câu V = p (e- 2) 4 16. 2 Câu 16. Ký hiệu (H )là hình phẳng giới hạn bởi các đường y (x 1)ex 2x , y 0, x 2.Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình(H ) xung quanh Ox . (e 1) (2e 3) (2e 1) (e 3) A. V B. V C. V D. V 2e 2e 2e 2e
21. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An PHẦN VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO 1 é 1 ù a2 ln 2- bc ln 3+ c Câu 1. Cho x êln(x + 2)+ údx = , với a, b, c Î ¥ . Tính T = a + b + c . ò ê + ú 0 ë x 2û 4 A. T = 13 . B. .T = 15 C. . T = 1D.7 . T = 11 Lời giải. Chọn A. Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản. 1 1 1 é 1 ù x Ta có I = x êln(x + 2)+ údx = x ln(x + 2)dx + dx ò ê + ú ò ò + 0 ë x 2û 0 0 x 2 1 1 æ1 2 ö æ 2 ö = ln(x + 2)dç x - 2÷+ ç1- ÷dx ò èç ø÷ òèç + ø÷ 0 2 0 x 2 2 1 1 2 x - 4 x - 4 1 1 = ln(x + 2) - . dx + (x - 2 ln(x + 2)) ò + 0 2 0 0 2 x 2 1 3 æx 2 ö 7 7 42 ln 2- 2.7 ln 3+ 7 = - ln 3+ 2 ln 2- ç - x÷ + 1- 2 ln 3+ 2 ln 2 = - ln 3+ 4 ln 2 + = . 2 èç 4 ø÷ 2 4 4 0 Ta có a = 4 , b = 2 , c = 7 . Vậy T = a + b + c = 4 + 2 + 7 = 13 . 3 æ 1 ö abc ln 2- b ln 5- c Câu 2. Cho I = x çln(x + 1)- ÷dx = , với a, b, c Î ¥ . Tính T = a + b + c . ò èç 2 + ø÷ 0 x 1 4 A. .T = 13 B. T = 15 . C. T = 10 . D. .T = 11 Lời giải. Chọn C. 3 3 3 æ 1 ö x Ta có I = x çln(x + 1)- ÷dx = x ln(x + 1)dx - dx ò èç 2 + ø÷ ò ò 2 + 0 x 1 0 0 x 1 3 3 2 3 3 3 æx 2 - 1ö 1 d(x + 1) x 2 - 1 x - 1 1 = ln(x + 1)dç ÷- = ln(x + 1) - dx - ln(x 2 + 1) ò ç ÷ ò 2 + ò 0 è 2 ø 2 0 x 1 2 0 0 2 2 0 3 1 5.2.3ln 2- 2 ln 5- 3 = 4 ln 4 - - ln10 = . 4 2 4 Vậy T = a + b + c = 10 . 1 æ 1 ö ab ln 2 + bc ln 3- c Câu 3. ChoI = x çln(x + 2)- ÷dx = , với a, b, c Î ¥ . Tính T = abc . ò èç 2 + ø÷ 0 x 1 4 A. T = - 18 . B. .T = 16 C. . T = 1D.8 . T = - 16 Lời giải. Chọn A. 1 1 1 æ 1 ö x Ta có I = x çln(x + 2)- ÷dx = x ln(x + 2)dx - dx ò èç 2 + ø÷ ò ò 2 + 0 x 1 0 0 x 1 1 1 2 æx 2 - 4ö 1 d(x + 1) = ln(x + 2)dç ÷- ò ç ÷ ò 2 + 0 è 2 ø 2 0 x 1 1 1 1 x 2 - 4 x 2 - 4 1 1 = ln(x + 2) - . dx - ln(x 2 + 1) ò + 2 0 0 2 x 2 2 0 3 3 1 3.2 ln 2 + 2.(- 3)ln 3- (- 3) = - ln 3+ 2 ln 2 + - ln 2 = 2 4 2 4 Vậy T = a.b.c = 3.2.(- 3)= - 18 .
22. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An Câu 4. Cho f (x) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x Î [0;a] , ta có f (x)> 0 và a dx f (x) f (a - x)= 1. Tính I = . ò + 0 1 f (x) a a A. . B. . 2a C. a ln(a + 1). D. . 3 2 Lời giải Chọn D. a dx a f (a - x) Ta có: I = = dx . ò 1 ò f (a - x)+ 1 0 1+ 0 f (a - x) Đặt: a - x = t thì dx = - dt . 0 f (t) a f (x) Ta được: .I = - dt = dx ò + 1 ò + 1 a f (t) 0 f (x) a 1 a f (x) a a Do đó: 2I = dx + dx = dx = a . Vậy: I = . ò + ò + ò 0 f (x) 1 0 f (x) 1 0 2 Câu 5. Cho f (x) là hàm liên tục trên [0;1] . Giả sử rằng với mọi x Î [0;1] , ta có f (x)> 0 và 1 dx f (x). f (1- x)= 4 . Tính . ò + 0 2 f (x) 1 1 A. .1 B. . 2 C. . D. . 2 4 Lời giải Chọn D. 1 1 dx f (1- x) Ta có I = = dx . ò + ò 0 2 f (x) 0 2(2 + f (1- x)) Đặt t = 1- x Þ dt = - dx , đổi cận : x = 0 Þ t = 1; x = 1Þ t = 0 . 0 f (t) 1 f (x) I = - ò dt = ò dx . 1 2(2 + f (t)) 0 2(2 + f (x)) 1 1 dx f (x) 1 1 Þ 2I = + dx = Þ I = ò + ò 0 2 f (x) 0 2(2 + f (x)) 2 4 p é p p ù 4 Câu 6. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn ê- ; ú và 3 f (- x)- 2 f (x)= tan2 x . Tính f (x)dx . ê ú ò ë 4 4 û p - 4 p p p p A. .1 - B. . - 1 C. 1+ . D. 2- . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D. Theo đề bài, ta có 3 f (- x)- 2 f (x)= tan2 x (1) Thay x = - x Þ 3 f (x)- 2 f (- x)= tan2 (- x)= tan2 x (2) Từ (1) và (2) suy ra: f (x)= tan2 x p p p p 4 4 4 4 I = f x dx = tan2 x dx = 2 tan2 x dx = 2 é1+tan2 x - 1ùdx ò ( ) ò ò ò ëê( ) ûú p p - - 0 0 4 4 p p I = 2(tan x - x) 4 = 2- . 0 2
23. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An 1 Câu 7. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên [0;1] thỏa ò x 2. f ¢¢(x)dx = 12 và 0 1 2 f (1)- f ¢(1)= - 2 . Tính ò f (x)dx . 0 A. .1 0 B. . 14 C. 8 . D. 5. Lời giải:Chọn D 2 1 ïì u = x ïì du = 2x dx 1 Đặt íï Þ íï . Khi đó: I = x 2. f ¢(x) - 2x. f ¢(x)dx . ï dv = f ¢¢ x dx ï v = f ¢(x) 0 ò îï ( ) îï 0 1 1 ïì u = 2x ïì du = 2dx 1 Đặt íï Þ íï . Suy ra: 2x. f ¢(x)dx = 2x. f (x) - 2 f (x)dx . ï dv = f ¢(x)dx ï v = f (x) ò 0 ò îï îï 0 0 1 1 Do đó: 12 = f ¢(1)- 2. f (1)+ 2ò f (x)dx Û ò f (x)dx = 5 . 0 0 3 3 Câu 8. Cho hàm số f (x) thỏa mãn ò x. f ¢(x).e f (x) dx = 8 và f (3)= ln 3 . Tính ò e f (x) dx 0 0 A. 1.B. .C. .D. 11 . 8- ln 3 8 + ln 3 Lời giải:Chọn A. 3 ïì u = x ïì du = dx 3 ï ï f (x) f (x) Đặt í f (x) Þ í . Khi đó: I = x.e - e dx . ï dv = f ¢ x .e dx ï f (x) 0 ò îï ( ) îï v = e 0 3 3 Suy ra: 8 = 3.e f (3) - ò e f (x) dx Û ò e f (x) dx = 9- 8 = 1 . 0 0 Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn f (- x)+ 2018 f (x)= x sin x . Tính p 2 I = ò f (x)dx bằng p - 2 2 1 1 1 A. . B. .C. . D. . 2019 2019 1009 2018 Lời giải:Chọn A. p p p p Đặt: t = - x Þ dt = - dx , đổi cận: x = - Þ t = , x = Þ t = - . 2 2 2 2 p p - 2 2 Þ I = - ò f (- t)dt = ò f (- x)dx . p p - 2 2 p p p 2 2 2 2 Suy ra: 2019.I = ò f (- x)dx + 2018ò f (x)dx = ò x sin x dx = 2 Þ I = . p p p 2019 - - - 2 2 2 1 Câu 10. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (0;+ ¥ )\{e} thỏa mãn f ¢(x)= , x (ln x - 1) æ1 ö 2 æ1ö 3 f ç ÷= ln 6 và f (e )= 3 . Giá trị của biểu thức f ç ÷+ f (e ) bằng èçe2 ø÷ èçeø÷ A. 3(ln 2 + 1). B. .2C.l n. 2D. . 3ln 2 + 1 ln 2 + 3 Lời giải: Chọn A 1 1 Ta có: f ¢(x)= Þ f ¢(x)dx = dx Þ f (x)= ln ln x - 1 + C x (ln x - 1) ò ò x (ln x - 1)
24. Đề cương ôn thi THPT QG năm 2020 Trường THPT Hải An ïì - + > ï ln(ln x 1) C1 khi x e Þ f (x)= í . ï - + 1 . Giá trị của f (2) ò1 ë û bằng A. . f (2)= 2 B. f (2)= 3 . C. f (2)= e . D. . f (2)= e2 Lời giải:Chọn C ïì f ¢ x ì é ù ï ( ) ï u = ln ëf (x)û ï du = dx 2 2 Đăt íï Þ íï f (x) . Khi đó: I = f (x).ln éf (x)ù - f ¢(x)dx . ï ¢ ï ë û1 ò1 îï dv = f (x)dx ï îï v = f (x) é ù é ù Suy ra: f (2).ln ëf (2)û- f (2)+ f (1)= 1 Û f (2).ln ëf (2)û= f (2)Û f (2)= e .