Đề đề xuất học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Mỹ Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề đề xuất học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Mỹ Thọ (Có đáp án)

1. Nguyễn Việt Toàn PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ THỌ NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > 0 và a + b = 1. 2 2 1 1 Chứng minh rằng : a b 12,5 a b Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. 2 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E x y y x Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC. Chứng minh: PQ // IK. Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là h a , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z . x y z Tính M ha hb hc
2. Nguyễn Việt Toàn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1 Với n = 0 ta có A(0) = 19 M 19 0,5 2k k (3,5đ) Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5 + 12.6 M 19 0,75 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: 0,75 A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 M 19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6 2k = 6.A(k) + 7.5 .19 M 19 1,0 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n 0,5 Bài 2 (2,5đ) n 24 k 2 Ta có: 2 0,5 n 65 h 1 k2 24 h2 65 0,5 k h k h 89 1.89 0,5 k h 89 k 45 Vậy: 0,5 k h 1 h 44 n = 452 – 24 = 2001 0,5 Bài 3 Nhận xét rằng với mọi x,y ta có: (3,0đ) x y 2 0 x2 y2 2xy 2 x2 y2 x2 y2 2xy x y 2 x2 y2 0,5 2 1 1 Đặt a x ; b y ta được : a b 0,5 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b 1 1 a b a b a b 1 a b 2 a b 2 ab 2 ab 0,75 2 1 Vì 1 a b 4ab ab 4 0,5 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Do đó : a b 1 1 12,5 0,75 1 a b 2 ab 2 4 Bài 4 2 2 1 1 x y 0,5 Ta có E (x y ) 2 2 2 (3,0đ) x y y x 1 1 4 Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. 1,0 a b a b
3. Nguyễn Việt Toàn 1 1 4 1 1 Ta có 2 2 2 2 2 2 1 x y x y x y a b Áp dụng BĐT: 2 vôùi a > 0; b > 0. 1,0 b a x y x y 0,5 Ta có 2 2 4 y x y x Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 2 Bài 5 - Vẽ hình đúng 0,5 (4,0đ) - Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được: 1,5 IK // BC, EI // AB, EK // AC - Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra: 1,5 DI DE DK DP DA DQ - Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra: 0,5 PQ // IK Bài 6 Vẽ hình đúng 0,5 A (4,0đ) x ha B C Xét hai tam giác ABC và OBC ta có : 1 SABC = BC.h (1) 2 a 0,5 1 SOBC = BC x (2) 2 x S Từ (1)và (2) ta suy ra : OBC 1,0 ha S ABC y S COA h S 0,5 Tương tự ta có : b ABC z S AOB 0,5 hc S ABC S BOC SCOA S AOB S ABC Từ đó tính được : M =1 1,0 S ABC S ABC