Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT TAM DƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MễN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Chỳ ý: Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay! Bài 1 (5,0 điểm). 2 2 1 1 0,4 0,25 2018 a) Tớnh giỏ trị biểu thức: A 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2019 9 11 6 24 b) Tỡm cỏc số x, y biết: 2019 2x 1 5 x 2y 0 8 c) Cho hàm số y f (x) ax . Tỡm cỏc giỏ trị của a , biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm 9 M (a 2;3a2 2a) . Bài 2 (3,0 điểm). 3 2 1 a) Cho cỏc số a,b,c thỏa món ( giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa). Tớnh giỏ a b b c c a a b 2019c trị biểu thức P . a b 2018c ab bc b) Cho ab , bc (c 0 ) là cỏc số cú hai chữ số thỏa món điều kiện: . a b b c Chứng minh rằng: b2 ac . Bài 3 (3,0 điểm). p m n a) Cho cỏc số nguyờn dương m,n và p là số nguyờn tố thoả món: . m 1 p Chứng minh rằng: p2 n 2 . a 4 1 b) Tỡm cỏc số nguyờn a,b thỏa món: . 3 b 5 Bài 4 (2,0 điểm). Ba lớp 7A,7B,7C cựng mua một số gúi tăm từ thiện, lỳc đầu số gúi tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7 nhưng sau đú chia theo tỉ lệ 4;5;6 nờn cú một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gúi tăm. Tớnh tổng số gúi tăm mà ba lớp đó mua. Bài 5 (2,0 điểm). Cho ABC vuụng tại A . Kẻ AH vuụng gúc với BC (H BC ). Tia phõn giỏc của cỏc gúc Hã AC và Hã AB lần lượt cắt BC ở D , E . Tớnh độ dài đoạn thẳng DE , biết AB 5cm, AC 12cm . Bài 6 (3,0 điểm). Cho ABC cõn tại B, cú ãABC 800 . Lấy điểm I nằm trong tam giỏc sao cho IãAC 100 và IãCA 300 . Tớnh số đo ãAIB . Bài 7 (2,0 điểm). Cho dóy số a1,a2 ,a3 , ,an được xỏc định như sau: 1 1 1 1 1 1 a 1; a 1 ; a 1 ; ; a 1 1 2 2 3 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 , với mọi số tự nhiờn n >1. a1 2a2 3a3 nan === HẾT === Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
2. PHềNG GD & ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2018 - 2019 MễN: TOÁN – LỚP 7 ĐÁP ÁN + HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung trỡnh bày Điểm Cõu a (2,0 điểm). 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 0,4 0,25 0,5 9 11 3 5 2018 5 9 11 3 4 5 2018 A : : 7 7 1 2019 7 7 7 7 7 7 2019 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 5 9 11 6 8 10 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 5 9 11 3 4 5 2018 5 9 11 3 4 5 2018 A : : 1,0 7 7 7 7 7 7 2019 1 1 1 7 1 1 1 2019 7( ) ( ) 5 9 11 6 8 10 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2018 A ( ) : 0 0,5 7 7 2019 Cõu b (1,5 điểm). Ta cú: Bài 1 2x 1 0,x nờn 2019 2x 1 0 với mọi x. 0,5 2 24 x 2y 0,x, y nờn 5 x 2y 0 với mọi x, y. 24 Do đú: 2019 2x 1 5 x 2y 0 thỡ 2x 1 0 và x 2y 0 0,5 1 1 Từ đú suy ra: x ; y 2 4 0,5 Cõu c (1,5 điểm) 8 0,5 Do đồ thị hàm số đi qua điểm M (a 2;3a2 2a) nờn cú: 3a2 2a a(a 2) 9 2 2 8 2 8 2 4 => 3a 2a a 2a => 2a => a 0,5 9 9 9 2 Từ đú tỡm được a 0,5 3 Cõu a (1,5 điểm). Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 3 2 1 6 3 a b b c c a 2(a b c) a b c 0,5 3 3 Từ đú ta cú: suy ra a b a b c => c 0 0,5 a b a b c a b 2019c a b Do đú: P 1 a b 2018c a b 0,5 Bài 2 Cõu b (1,5 điểm) ab bc 10a b 10b c 9a (a b) 9b (b c) Ta cú: 0,5 a b b c a b b c a b b c 9a 9b a b Từ đú suy ra: 1 1 0,5 a b b c a b b c a b Từ a(b c) b(a b) ab ac ab b2 b2 ac 0,5 a b b c
3. Cõu a (1,5 điểm) p m n Theo giả thiết ta cú: (*) m 1 p +) Nếu m nMp thỡ từ (*) suy rapM(m 1) . Do p là số nguyờn tố nờn m 1 1 hoặc 0,5 m 1 p . Từ đú suy ra m 2 hoặc m p 1 . Với m 2 hoặc m p 1 thay vào (*) ta cú: p2 n 2 +) Nếu m n khụng chia hết cho p . Từ ( *) (m + n)(m – 1) = p2 0,5 Do p là số nguyờn tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) Bài 3 2 Vậy p = n + 2 0,5 Cõu b (1,0 điểm). a 4 1 a 1 4 5a 3 4 Ta cú: (5a 3)b 60 . 3 b 5 3 5 b 15 b 0,5 Suy ra: 5a 3 U (60) 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 4, 5, 3, 2, 1} mà  0,5 5a 3 chia 5 dư -3 hoặc 2 nờn cú: 5a 3 -3 2 12 a 0 1 3 0,5 b -20 15 5 Bài 4(2,0 điểm) Gọi tổng số gúi tăm ba lớp đó mua là x , x N * Gọi a,b,c là số gúi tăm dự định chia theo thứ tự cho cỏc lớp 7A, 7B, 7C (a,b,c N * ) Theo bài ra và ỏp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: a b c a b c x 5 6 7 5 6 7 18 5x x 7x Suy ra: a ;b ;c (1) 0,5 18 3 18 Gọi a ',b',c ' là số gúi tăm đó chia theo thứ tự cho cỏc lớp 7A, 7B, 7C (a ',b',c ' N * ) Theo bài ra và ỏp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: Bài 4 a ' b' c ' a ' b' c ' x 4 5 6 4 5 6 15 4x x 6x Suy ra: a(2)' ;b' ;c ' 0,5 15 3 15 So sỏnh (1) và (2) ta cú: a a ';b b';c c' 0,5 Do đú lớp 7C nhận nhiều hơn 4 gúi tăm. 6x 7x 36x 35x Khi đú: c ' c 4 4 x 360 15 18 90 Vậy số gúi tăm cả ba lớp đó mua là 360 gúi. 0,5 A 4 3 1 2 Bài 5 B E H D C ã 0 ả Trong tam giỏc vuụng AHE cú: AEC 90 A2
4. ã 0 à 0,5 Do tam giỏc ABC vuụng tại A nờn: EAC 90 A1 à ả Lại cú A1 A2 (GT) nờn suy ra: ACE cõn tại C => AC = CE. 0,5 Chứng minh tương tự: ABD cõn tại B => AB = BD. Do đú: AB + AC = CE + BD = CD + BD +DE = BC + DE. 0,5 DE = AB + AC – BC Theo định lớ Py-ta-go: BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 BC = 13 (cm). 0,5 Vậy DE = 5 + 12 – 13 = 4 (cm). D B I Bài 6 A C Do ABC cõn tại B, cú ãABC 800 nờn BãAC BãCA 500 0,5 Vỡ IãAC 100 và IãCA 300 nờn IãAB 400 và IãCB 200 Trờn nửa mặt phẳng bờ AC cú chứa điểm B vẽ tam giỏc đều ACD suy ra BãAD BãCD 100 . 0,5 Ta cú: ABD CBD(c.g.c) nờn BãDA BãDC 600 : 2 300 0,5 Khi đú: AB ABD = AAIIC nờn(g.c .g) cõn tại A. BAI 0,5 Do đú: ãAIB 1800 400 : 2 700 . 1,0 1 1 Với mọi k 2 ta cú: 2 ( vỡ ak ak 1 ). 0,5 k.ak k.ak 1.ak 1 1 a a 1 Ta cú: k k 1 ak 1 ak ak 1.ak k.ak 1.ak 1 1 1 Suy ra 2 0,5 k.ak ak 1 ak Cho k = 2; 3; ; n ta cú: Bài 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ; 2 ; ; 2 2a2 a1 a2 3a3 a2 a3 nan an 1 an Cộng theo vế ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 2 2 1 2a2 nan a1 a2 a2 a3 an 1 an a1 an a1 1 1 1 0,5 2 2 2 1 1 2 (đpcm) a1 2a2 nan