Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 7

Nội dung text: Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 7

1. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n(n 1) 2 d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) n(n 3) 2 h) (n 1)(n 2) 2 i) n(n 1)(n 2) 3 Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+ +(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: 1
2. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 2 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 2
3. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) 3
4. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: 4
5. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). b d Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: a c Tính chất 1: Nếu thì ad bc b d Tính chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a c a c -Tính chất: Từ suy ra: b d b d b d b d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a b c a b c suy ra: b d f b d f b d f b d f (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). a b c * Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 5
6. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. x y Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và x y 20 2 3 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy ra: x 2k , y 3k 2 3 Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4 Do đó: x 2.4 8 y 3.4 12 KL: x 8 , y 12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x y 20 4 2 3 2 3 5 x Do đó: 4 x 8 2 y 4 y 12 3 KL: x 8 , y 12 Cách 3: (phương pháp thế) x y 2y Từ giả thiết x 2 3 3 2y mà x y 20 y 20 5y 60 y 12 3 2.12 Do đó: x 8 3 6
7. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 KL: x 8 , y 12 x y y z Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 2x 3y z 6 3 4 3 5 Giải: x y x y Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z (2) 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: (*) 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta có: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 x Do đó: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 x y z Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k ( sau đó giải như cách 1 của 9 12 20 VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z y 3 5 5 3z 3. x y 3y 9z x 5 3 4 4 4 20 9z 3z z mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra: y 36 , x 27 5 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 7
8. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và x.y 40 2 5 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy ra x 2k , y 5k 2 5 Theo giả thiết: x.y 40 2k.5k 40 10k 2 40 k 2 4 k 2 + Với k 2 ta có: x 2.2 4 y 5.2 10 + Với k 2 ta có: x 2.( 2) 4 y 5.( 2) 10 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0 x y x 2 xy 40 Nhân cả hai vế của với x ta được: 8 2 5 2 5 5 2 x 16 x 4 4 y 4.5 + Với x 4 ta có y 10 2 5 2 4 y 4.5 + Với x 4 ta có y 10 2 5 2 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 8
9. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x y x y z e) và x 2 y 2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) và x 2 y 2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x 2 y 2 28 x y z x y z Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1 2y 1 4y 1 6y 18 24 6x a b c d Bài 7: Cho a b c d 0 và b c d a c d a b d a b c a b b c c d d a Tìm giá trị của: A c d a d a b b c 9
10. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a b c d a b c d 1 Giải: ( Vì a b c d 0 ) b c d a c d a b d a b c 3(a b c d) 3 =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: x 7 x y a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; y 3 19 21 x3 y3 z3 2x 1 3y 2 2x 3y 1 b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 8 64 216 5 7 6x Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. a b c Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: , , . Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ b c c a a b số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: ab ab 2cd c 2 d 2 .ab ab 2 2(ab 1) 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 2 2 Giải: ab ab 2cd c d . ab ab 2 2(ab 1) 0 => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm 10
11. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: B D Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C có cùng giá trị. B D Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: a na +) (n 0) b nb n n a c a c +) b d b d Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a c a b c d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: b d a b c d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a b)(c d) ac ad bc bd (1) (a b)(c d) ac ad bc bd (2) a c Từ giả thiết: ad bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b)(c d) (a b)(c d) a b c d (đpcm) a b c d Cách 2: (PP2) a c Đặt k , suy ra a bk , c dk b d a b kb b b(k 1) k 1 Ta có: (1) a b kb b b(k 1) k 1 11
12. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c d kd d d(k 1) k 1 (2) c d kd d d(k 1) k 1 a b c d Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) a b c d Cách 3: (PP3) a c a b Từ giả thiết: b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b c d c d c d a b c d (đpcm) a b c d Hỏi: Đảo lại có đúng không ? a c ab a 2 b 2 Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d cd c 2 d 2 Giải: a c Cách 1: Từ giả thiết: ad bc (1) b d Ta có: ab c 2 d 2 abc 2 abd 2 acbc adbd (2) cd a 2 b 2 a 2cd b 2cd acad bc.bd (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c 2 d 2 cd a 2 b 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 a c Cách 2: Đặt k , suy ra a bk , c dk b d 12
13. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 ab bk.b kb 2 b 2 Ta có: (1) cd dk.d kd 2 d 2 a 2 b 2 (bk) 2 b 2 b 2 k 2 b 2 b 2 k 2 1 b 2 (2) c 2 d 2 (dk) 2 d 2 d 2 k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2 ab a 2 b 2 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) cd c 2 d 2 a c a b ab a 2 b 2 a 2 b 2 Cách 3: Từ giả thiết: b d c d cb c 2 d 2 c 2 d 2 ab a 2 b 2 (đpcm) cd c 2 d 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG: a c Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d các tỉ số đều có nghĩa). 2 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 1) 2) 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d ab a b 2 3) 4) a b c d cd c d 2 2a 5b 2c 5d 2005a 2006b 2005c 2006d 5) 6) 3a 4b 3c 4d 2006c 2007d 2006a 2007b a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7) 8) a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd a c Bài 2: Cho tỉ lệ thức: . b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 13
14. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 3a 5b 3c 5d a b a 2 b 2 a b c d a) b) c) 3a 5b 3c 5d c d c 2 d 2 a b c d ab a b 2 2a 5b 2c 5d d) e) f) cd c d 2 3a 4b 3c 4d 2008a 2009b 2008c 2009d 2009c 2010d 2009a 2010b 2 2 a c 7a 2 5ac 7b 2 5bd 7a 3ab 7c 3cd g) h) i) a b c d 7a 2 5ac 7b 2 5bd 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 3 a b c a b c a Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d 3 a b c a b c a Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d a b c Bài 5: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 a a a a Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008 a 2 a 3 a 4 a 2009 2008 a a a a a CMR: Ta có đẳng thức: 1 1 2 3 2008 a 2009 a 2 a 3 a 4 a 2009 a1 a2 a8 a9 Bài 7: Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c Bài 8: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a) 2 14
15. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a b a 2 b 2 a Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d a1 a2 a8 a9 Bài 10: Cho và a1 a2 a9 0 a2 a3 a9 a1 Chứng minh rằng: a1 a2 a9 a b c a Bài 11: CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a a b a 2 b 2 a Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì b d b 2 d 2 d a b c d a c Bài 13: Cho . CMR: a b c d b d a 2 b 2 a b a c Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . c 2 d 2 c d b d a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 a b 2 ab a b a b a.b Giải. Ta có : = ; c 2 d 2 cd 2cd c 2 2cd d 2 c d 2 cd c d c d c.d c a b b c d ca cb bc bd ca bd a c 1 ca cb ac ad cb ad a c d d a b ac ad da db ca bd b d u 2 v 3 u v Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 a b c a Bài 16: CMR: Nếu a 2 bc thì . Đảo lại có đúng không? a b c a Bài 17: CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) y z z x x y trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b c) b(c a) c(a b) a b c d a c Bài 18: Cho . CMR: a b c d b d 15
16. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a c Bài 19: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: za tb zc td u 2 v 3 u v Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì u 2 v 3 2 3 Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d Bài 22: CMR nếu a(y z) b(z x) c(x y) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì y z z x x y : a(b c) b(c a) c(a b) ax 2 bx c a b c Bài 23: Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 không phụ thuộc vào x. a b' b c' Bài 24: Cho biết : 1; 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a' b b' c a c Bài 25: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: za tb zc td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac ; c 2 bd và b3 c 3 d 3 0 a 3 b3 c 3 a Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d 16
17. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 ax 2 bx c a b c Bài 27: Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P a1 x b1 x c1 a1 b1 c1 không phụ thuộc vào x. 2a 13b 2c 13d a c Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . 3a 7 b 3c 7 d b d b z cy cx az ay b x x y z Bài 29: Cho dãy tỉ số : ; CMR: . a b c a b c Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A> MỤC TIÊU Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. B> THỜI LƯỢNG Tổng số :(6 tiết) 1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 1. Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu a 0 a a Nếu a 0 a a Nếu x-a 0=> |x - a| = x-a 17
18. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Nếu x-a 0=> |x - a| = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: a 0 với mọi a R Cụ thể: | a | =0 a=0 | a | ≠ 0 a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a b TQ: a b a b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: a a a và a a a 0;a a a 0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a b 0 a b * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu 0 a b a b * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: a.b a.b * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. a a TQ: b b * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. TQ: a 2 a 2 * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: a b a b và a b a b a.b 0 2. Các dạng toán : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k 0 thì ta có: A(x) k A(x) k 18
19. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 1.1: Tìm x, biết: 1 5 1 1 1 1 3 7 a) 2x 5 4 b) 2x c) x d) 2x 1 3 4 4 2 5 3 4 8 Giải a 1 ) | x | = 4 x= 4 a 2 ) 2x 5 4 2x-5 = 4 * 2x-5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 1 5 1 b) 2x 3 4 4 | - 2x| = - Bài 1.2: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 2x 3 b) 7,5 35 2x 4,5 c) x 3,75 2,15 2 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: x 2 1 1 1 a) 23x 1 1 5 b) 1 3 c) x 3,5 d) x 2 2 5 2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: 1 3 3 1 5 3 4 3 7 3 1 5 5 a) x 5% b) 2 x c) x d) 4,5 x 4 4 2 4 4 2 5 4 4 4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 1 11 3 1 7 15 3 1 a) 6,5 : x 2 b) : 4x c) 2,5 : x 3 d) 4 3 4 2 5 2 4 4 2 21 x 2 3 : 6 5 4 3 2. Dạng 2: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: a b A(x) B(x) Vận dụng tính chất: a b ta có: A(x) B(x) a b A(x) B(x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) 5x 4 x 2 b) 2x 3 3x 2 0 c) 2 3x 4x 3 d) 7x 1 5x 6 0 19
20. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a) 5x 4 x 2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 x= Vậy x= 1,5; x= Bài 2.2: Tìm x, biết: 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 a) x 4x 1 b) x x 0 c) x x d) x x 5 0 2 2 4 2 8 5 5 3 3 4 8 6 2 3. Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A(x) B(x) (1) Điều kiện: B(x) 0 (*) A(x) B(x) (1) Trở thành A(x) B(x) ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều A(x) B(x) kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a 0 a a Nếu a 0 a a Ta giải như sau: A(x) B(x) (1) • Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) • Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện ) VD1: Giải : a0) Tìm x Q biết |x + | =2x * Xét x+ 0 ta có x+ =2x *Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x Bài 3.1: Tìm x, biết: 1 a) x 3 2x b) x 1 3x 2 c) 5x x 12 d) 7 x 5x 1 2 20
21. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3.2: Tìm x, biết: a) 9 x 2x b) 5x 3x 2 c) x 6 9 2x d) 2x 3 x 21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a) 4 2x 4x b) 3x 1 2 x c) x 15 1 3x d) 2x 5 x 2 Bài 3.4: Tìm x, biết: a) 2x 5 x 1 b) 3x 2 1 x c) 3x 7 2x 1 d) 2x 1 1 x Bài 3.5: Tìm x, biết: a) x 5 5 x b) x 7 x 7 c) 3x 4 4 3x d) 7 2x 7 2x 4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A(x) B(x) C(x) m Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x 1 x 3 2x 1 (1)  Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x Giải Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: x 1 3 x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 + Xét khoảng x 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 - 4 = -1 ( Vô lí) 3 Kết luận: Vậy x = . 2 VD2 : Tìm x |x + 1| + |x - 1| =0 21
22. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu x -1 1 x+1 - 0 + + x-1 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x 1 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 43x 1 x 2 x 5 7 x 3 12 b) 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5 1 1 1 1 1 1 c) 2 x x 8 1,2 d) 2 x 3 x 3 2 x 5 5 5 2 2 5 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 c) x 5 x 3 9 d) x 2 x 3 x 4 2 e) x 1 x 2 x 3 6 f) 2 x 2 4 x 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x 2 x 3 2x 8 9 b) 3x x 1 2x x 2 12 c) x 1 3 x 3 2 x 2 4 d) x 5 1 2x x e) x 2x 3 x 1 f) x 1 x x x 3 Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x 2 x 5 3 b) x 3 x 5 8 c) 2x 1 2x 5 4 d) x 3 3x 4 2x 1 5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) B(x) C(x) D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A(x) 0; B(x) 0;C(x) 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x 1 x 2 x 3 4x b) x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1 3 1 c) x 2 x x 4x d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 5 2 Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 a) x x x x 101x 101 101 101 101 22
23. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 1 1 1 b) x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 c) x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 d) x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: 1 4 2 1 2 3 a) 2x 1 b) x 2 x x 2 c) x 2 x x 2 2 5 2 4 Bài 6.2: Tìm x, biết: 1 1 1 3 2 2 3 a) 2x 1 b) x 1 c) x x x 2 5 2 4 5 4 Bài 6.3: Tìm x, biết: 2 3 1 3 3 1 3 3 a) x x x b) x 2x 2x c) x 2x 2x 4 2 4 4 2 4 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 2x 3 x 1 4x 1 b) x 1 1 2 c) 3x 1 5 2 7. Dạng 7: A B 0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: A B 0 A 0  B1: đánh giá:  A B 0 B 0 A 0 B2: Khẳng định: A B 0 B 0 Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 9 a) 3x 4 3y 5 0 b) x y y 0 c) 3 2x 4y 5 0 25 Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 2 1 3 11 23 a) 5 x y 3 0 b) x 1,5 y 0 c) 4 7 3 2 4 17 13 x 2007 y 2008 0 * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi 23
24. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 * Cách giải: A B 0 (1) A 0   A B 0 (2) B 0 A 0 Từ (1) và (2) A B 0 B 0 Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 5x 1 6y 8 0 b) x 2y 4y 3 0 c) x y 2 2y 1 0 Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12x 8 11y 5 0 b) 3x 2y 4y 1 0 c) x y 7 xy 10 0 * Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 a) x y 2 y 3 0 b) x 3y y 4 0 c) x y 2006 2007 y 1 0 d) x y 5 2007 y 3 2008 0 Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : a) x 1 2 y 3 2 0 b) 2 x 5 4 5 2y 7 5 0 2000 2004 1 1 c) 3 x 2y 4 y 0 d) x 3y 1 2y 0 2 2 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: 7 5 2 a) x 2007 y 2008 0 b) 3 x y 10 y 0 3 2006 1 3 1 2007 4 6 2008 2007 c) x y 0 d) 2007 2x y 2008 y 4 0 2 4 2 2008 5 25 8. Dạng 8: A B A B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x 5 3 x 8 b) x 2 x 5 3 c) 3x 5 3x 1 6 d) 2 x 3 2x 5 11 e) x 1 2x 3 3x 2 f) x 3 5 x 2 x 4 2 Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x 4 x 6 2 b) x 1 x 5 4 c) 3x 7 32 x 13 d) 5x 1 3 2x 4 3x e) x 2 3x 1 x 1 3 f) x 2 x 7 4 24
25. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) 2x 6 x 3 8 Ta lập bảng xét dấu x -3 3 x+3 - 0 + + 2x-6 - - 0 + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x 3 2x-6 + x + 3 = 8 3 x = 11 x = ( thỏa mãn x >3) 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2x 1 2 5 * |2x - 1| + = |2x - 1| = - |2x - 1| = 2x-1= 2x = + 1 x= [ [ [ 2x-1= - 2x = - + 1 x= * |2x - 1| + =- |2x - 1| =- - (không thỏa mãn) 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 25
26. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a) x y 2 y 3 0 x-y-2 =0 x=-1 { { y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : a) x 1 2 y 3 2 0 Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x 2007 y 2008 0 Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x 5 3 x 8 II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: A B m với m 0 * Cách giải: A 0 * Nếu m = 0 thì ta có A B 0 B 0 * Nếu m > 0 ta giải như sau: A B m (1) Do A 0 nên từ (1) ta có: 0 B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng . Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 2007 x 2008 0 b) x y 2 y 3 0 c) x y 2 2 y 1 0 Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x 3y 5 y 4 0 b) x y 5 y 3 4 0 c) x 3y 1 3 y 2 0 Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x 4 y 2 3 b) 2x 1 y 1 4 c) 3x y 5 5 d) 5x 2y 3 7 Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 x 5 y 4 5 b) x 6 4 2y 1 12 c) 23x y 3 10 d) 34x y 3 21 Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) y 2 3 2x 3 b) y 2 5 x 1 c) 2y 2 3 x 4 d) 3y 2 12 x 2 2. Dạng 2: A B m với m > 0. * Cách giải: Đánh giá A B m (1) 26
27. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A 0   A B 0 (2) B 0 Từ (1) và (2) 0 A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k m Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x y 3 b) x 5 y 2 4 c) 2x 1 y 4 3 d) 3x y 5 4 Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5 x 1 y 2 7 b) 4 2x 5 y 3 5 c) 3 x 5 2 y 1 3 d) 32x 1 4 2y 1 7 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị của ẩn số. Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 1 4 x 3 b) x 2 x 3 5 c) x 1 x 6 7 d) 2x 5 2x 3 8 Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và x 2 y 6 b) x +y = 4 và 2x 1 y x 5 c) x –y = 3 và x y 3 d) x – 2y = 5 và x 2y 1 6 Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và x 1 y 2 4 b) x – y = 3 và x 6 y 1 4 c) x – y = 2 và 2x 1 2y 1 4 d) 2x + y = 3 và 2x 3 y 2 8 4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : A(x).B(x) A(y) Đánh giá: A(y) 0 A(x).B(x) 0 n x m tìm được giá trị của x. Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 2 x 3 0 b) 2x 1 2x 5 0 c) 3 2x x 2 0 d) 3x 1 5 2x 0 Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 2 x x 1 y 1 b) x 3 1 x y c) x 2 5 x 2y 1 2 Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x 1 3 x 2 y 1 b) x 2 5 x y 1 1 c) x 3 x 5 y 2 0 5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2) A m Từ (1) và (2) ta có: A B B m Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x 2 x 1 3 y 2 2 b) x 5 1 x y 1 3 27
28. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 10 6 c) y 3 5 d) x 1 3 x 2x 6 2 2 y 3 3 Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 8 16 a) 2x 3 2x 1 b) x 3 x 1 2 y 5 2 2 y 2 y 2 12 10 c) 3x 1 3x 5 d) x 2y 1 5 y 3 2 2 y 4 2 Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 20 a) x y 2 2 7 b) x 2 2 4 y 1 y 3 3 y 2 5 6 30 c) 2 x 2007 3 d) x y 2 5 y 2008 2 3 y 5 6 III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: • Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1 a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x 0 5 5 5 5 5 2 2 ===&=&=&=== IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a 2 a) M = a + 2ab – b với a 1,5;b 0,75 b) N = với a 1,5;b 0,75 2 b Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 28
29. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 1 a) A 2x 2xy y với x 2,5; y b) B 3a 3ab b với a ; b 0,25 4 3 5a 3 1 1 c) C với a ; b 0,25 d) D 3x 2 2x 1 với x 3 b 3 2 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức: 2 1 a) A 6x 3 3x 2 2 x 4 với x b) B 2 x 3 y với x ; y 3 3 2 5x 2 7x 1 1 c) C 2 x 2 31 x với x = 4 d) D với x 3x 1 2 V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 3 x 2 2 x 3 a) A 0,5 x 3,5 b) B 1,4 x 2 c) C d) D 4 x 5 3 x 1 e) E 5,5 2x 1,5 f) F 10,2 3x 14 g) G 4 5x 2 3y 12 5,8 h) H i) I 2,5 x 5,8 k) K 10 4 x 2 2,5 x 5,8 1 12 l) L 5 2x 1 m) M n) N 2 x 2 3 3 x 5 4 Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 1,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 c) C 3,7 4,3 x d) D 3x 8,4 14,2 e) E 4x 3 5y 7,5 17,5 f) F 2,5 x 5,8 2 3 g) G 4,9 x 2,8 h) H x i) I 1,5 1,9 x 5 7 k) K 23x 1 4 l) L 23x 2 1 m) M 51 4x 1 Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 1 21 4 20 a) A 5 b) B c) C 43x 7 3 3 815x 21 7 5 3x 5 4y 5 8 24 2 21 d) D 6 e) E 2 x 2y 32x 1 6 3 x 3y 2 5 x 5 14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 7x 5 11 2y 7 13 15 x 1 32 a) A b) B c) C 7x 5 4 2 2y 7 6 6 x 1 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8 6 14 15 28 a) A 5 b) B c) C 45x 7 24 5 56y 8 35 12 3 x 3y 2x 1 35 29
30. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 214x 6 33 6 y 5 14 15 x 7 68 a) A b) B c) C 34x 6 5 2 y 5 14 3 x 7 12 2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 2 x b) B 2x 1 2x 6 c) C 3x 5 8 3x d) D 4x 3 4x 5 e) E 5x 6 3 5x f) F 2x 7 5 2x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A 2 x 3 2x 5 b) B 3 x 1 4 3x c) C 4 x 5 4x 1 Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A x 5 x 4 b) B 2x 3 2x 4 c) C 3x 1 7 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A 2 x 5 2x 6 b) B 3 x 4 8 3x c) C 55 x 5x 7 Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 1 x 5 b) B x 2 x 6 5 c) C 2x 4 2x 1 3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b a b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 2 x 3 b) B 2x 4 2x 5 c) C 3 x 2 3x 1 Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 5 x 1 4 b) B 3x 7 3x 2 8 c) C 4 x 3 4x 5 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A x 3 2x 5 x 7 b) B x 1 3x 4 x 1 5 c) C x 2 4 2x 5 x 3 d) D x 3 56x 1 x 1 3 Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 y 2 Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: B x 6 y 1 Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 2x 1 2y 1 30
31. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2x 3 y 2 2 DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp) Bài 1 : Tính tổng: 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 - 2008 Hướng dẫn: Bài 2: Cho A 1 2 3 4 99 100. a) Tính A. b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? Hướng dẫn: Bài 3: Cho A 1 7 13 19 25 31 a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? Hướng dẫn: Bài 4: Cho A 1 7 13 19 25 31 a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x 2) (x 7) (x 12) (x 42) (x 47) 655 31
32. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Hướng dẫn: Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010 Hướng dẫn: Bài 7: Tính tổng: S 9.11 99.101 999.1001 9999.10001 99999.100001 Hướng dẫn: Bài 8: Cho A 3 32 33 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Hướng dẫn: Bài 9: Cho A 3 32 33 32004 a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng A130 . c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? Hướng dẫn: Bài 10: a) Cho A 1 3 32 33 32003 32004 Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3. b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A 4 23 24 25 22003 22004 Hướng dẫn: Bài 11: a) Cho A 2 22 23 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15. b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12: Cho A = 2 + 22 + 23 + +299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31 Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 a, Chứng minh: S  126 b, Tìm chữ số tận cùng của S Hướng dẫn: Bài 14: Cho A 1.2.3 29.30 32
33. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 B 31.32.33 59.60 a) Chứng minh: B chia hết cho 230 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61. Hướng dẫn: Bài 15: Cho A 3 22 23 24 22001 22002 và B 22003 So sánh A và B. Hướng dẫn: Bài 16: Cho M = 3 32 33 399 3100 . a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 + + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Hướng dẫn: 1 1 1 2 2003 Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 3 6 10 n(n 1) 2004 Hướng dẫn: Bài 19: 2 2 2 2 a) Tính: 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 3 3 b) Cho S  n N * 1.4 4.7 7.10 n(n 3) Chứng minh: S 1 Hướng dẫn: 2 2 2 2 Bài 20: So sánh: A 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 và B 40.44 44.48 76.80 2003 Hướng dẫn: Bài 21: 1 1 1 1 1 1 a) Tính A 10 40 88 154 238 340 1 1 1 1 2 b) Tính: M 3 6 10 15 2004.2005 1 1 1 c) Tính tổng: S 1.2.3 2.3.4 98.99.100 33
34. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Hướng dẫn: 1 1 1 1 Bài 22: So sánh: A 1 và B = 2. 2 22 23 2100 Hướng dẫn: Bài 23: So sánh: 2 2 2 2 5 5 5 5 A và B 60.63 63.66 117.120 2006 40.44 44.48 76.80 2006 Hướng dẫn: Bài 24. Tính 2 2 2 2 2 a. A = . 15 35 63 99 143 3 3 3 3 b. B = 3+ . 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 100 Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: 1 1 1 1 1 a) A = 3 5 97 99 1 1 1 1 1 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 b) B = 2 3 4 100 99 98 97 1 1 2 3 99 Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 3 99 100 - 1 2 3 100 2 3 4 100 Hướng dẫn: Bài 27: Tính A biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 A = và B = 2 3 4 200 199 198 197 2 1 Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: 34
35. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; 6 66 176 336 Hướng dẫn: Bài 30: Tính A biết: B 1 1 1 1 1 A = 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 1 1 1 1 1 B = 11 12 13 19 20 Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết: 1 1 1 1 1 1 x 1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110 Hướng dẫn: Bài 32: Tính : a) S 1 a a2 a3 an , với ( a 2, n N ) 2 4 6 2n b) S1 1 a a a a , với ( a 2, n N ) 3 5 2n 1 * c) S2 a a a a , với ( a 2, n N ) Hướng dẫn: B Bài 33: Cho A 1 4 42 43 499 , B 4100 . Chứng minh rằng: A . 3 Hướng dẫn: Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a) A 9 99 999 999. 9 50 ch÷ sè b) B 9 99 999 999. 9 200 ch÷ sè Hướng dẫn: 35
36. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. 1-Kiến thức cơ bản: x x 0 x x x 0 x 0; x x; x x x y x y x y x y 2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết 1 3 3 1 1) x 1 2) x 2 : 3) x 25 0 5 5 13 2 1 1 1 1 1 1 1 x 4) 5) 1.3 3.5 47.49 x 1.4 4.7 97.100 2 4 4 4 2x 5 1 1 1 1 1 6) 7) 1 1 1 1 x 2 1.5 5.9 97.101 101 2 3 4 100 5 1 1 8) 1.2 2.3 3.4 99.100 2 x 1 9) (12 22 492 )(2 x) 1 5 5 * Dạng 2: Tìm x biết 3 25 5 1) x 3 2) x 0 3) 5 x 0 4) 5 8 23 1 1 2x . 1 5 3 36
37. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 3 2 5) 1,75 2,5 x 1,25 6) 2x 5 13 7) 3 2x 3 7 3 1 11 1 8) 2 3x 7 9) (2x 5)2 9 10) x2 4 11) (3 7x)2 5 10 4 * Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) x y z 0 2) 3x 5 2y 7 0 1 5 1 1 1 3) x 1 2y 3 z 0 4) (x 1)2 (y )2 (z )2 0 2 2 3 2 3 5) 1 2x 2 3y 3 4y 0 6) x 1 (x 1)(x 1) 0 *Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau. 1 1) A x2 2x 5 với x 3 2) B xy 2 5(x 3) x2 2xy y2 với x=y=2 1 1 3) C x2 x 2 2x 1 với x 4 2 4) D 3x2 6x 3 với x 1 5) E 2x 5y 7xy với x y 2 0 6) G 2x2 3y2 6xy với x 1 y 2 0 * Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) M x 5 2x 9 3x 13 với x 6,5 2) N= x 1 x 2 x 3 với 2 x 1 3) P= 2x 5 3x 7 5x 15 với x 3 *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: C 4,5 2x 0,5 0,25 2, Tìmgiá trị lớn nhất của : D 3x 4,5 0,75 3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : E x 2005 x 2004 3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12| CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. 37
38. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12,(1) 2,3(6): 4,(21) 1 c) 0,(3) 3 0,4(2) 3 116 Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số dưới dạng số 99 thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (11,81 8,19).2,25 (4,6 5 : 6,25).4 a) A b) B 6,75 4.0,125 2,31 Bài toán 6: Rút gọn biểu thức 0,5 0,(3) 0,1(6) M 2,5 1,(6) 0,8(3) Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết 3 0,(3) 0,(384615) x 0,1(6) 0,(3) 50 a) .x 0,(2) b) 13 0,(3) 1,1(6) 0,0(3) 85 c) 0,(37) 0,(62)x 10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9: m3 3m2 2m 5 Cho phân số A ;(m N) m(m 1)(m 2) 6 a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao? CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau 4 1 9 a) 0,5 100 và 1 : 5 b) 25 9 và 25 9 25 9 16 38
39. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c) CMR: với a, b dương thì a b a b Bài toán 11: Tìm x biết 2 a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; 2 3 b) 2x 3 2 3 2x c) x 1 2 2x 1 2 0 Bài toán 12: Tìm x biết 9 a) x 2 x 0 b) x x c) x 1 2 16 x 1 16 25 Bài toán 13: Cho A . CMR với x và x thì A có giá trị là một số x 1 9 9 nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên 7 3 2 a) A b) B c) C= x x 1 x 3 x 1 Bài toán 15: Cho A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x 3 Bài toán 16: thực hiện phép tính 2 2  2 2  1 5 2 2 2 2 2 : 2,4 5,25 : 7  : 2 : : 2 :   7 7 81  Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý. 1 1 1 1 2 49 49 7 7 A 2 64 4 2 4 2 7 7 343 Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý. 2 5 5 25 5 M 1 2 196 2 21 204 374 Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức 2 2 x 2 y 2 x y z 0 Bài toán 20: thực hiện phép tính 2 1 2 49 1 6 7 1704 M 18 : 225 8 . : 12 8 : 3 3 4 3 7 2 445 3 2 CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. Bài toán 1: Tính 39
40. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 11 12 1 1 1 1 1 5 5 4 5 a) .31 0,75.8 b) 2 3 : 4 3 7 c) 4 : 5 : 4 23 23 3 2 6 7 2 9 7 9 7 1 5 5 1 3 13 2 10 .230 46 4 27 6 25 4 25 9 125 27 2 1 3 d) e) 4 25 : : g) 4 3 10 1 2 16 16 64 8 3 2 4 1 : 12 14 7 3 3 7 Bài toán 2: Tính 1 1 1 1 1 1 a) A b) B 1 1 1 với n N 1.2 2.3 99.100 2 3 n 1 1 1 1 7 33 3333 333333 33333333 c) C 66. 124.( 37) 63.( 124) d) D 2 3 11 4 12 2020 303030 42424242 Bài toán 3: Tính 1 1 1 A 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 16) 2 3 16 Bài toán 4: Tìm x biết 3 2 5 3 21 1 2 a) (2x 3) x 1 0 b) x c) x 4 3 7 10 13 3 3 3 3 2 1 3 1 3 d) x 2 1 e) (5x 1) 2x 0 g) : x 7 8 5 3 7 7 14 1 1 1 1 Bài toán 5: Cho A 1 1 1 . So sánh A với 2 3 10 9 1 1 1 11 Bài toán 6: Cho B 1 1 1 . So sánh B với 4 9 100 21 2 3 193 33 7 11 1931 9 Bài toán 7: Tính . : . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 1,11 0,19 13.2 1 1 7 1 23 Bài toán 8: Cho A : 2 B 5 2 0,5 : 2 2,06 0,54 2 4 8 4 26 a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 0,125 0,2 5 a) A 3 7 13 . 4 16 64 256 b) 5 7 2 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 1 8 0,375 0,5 3 7 13 4 16 64 5 7 4 10 20 4141 636363 Bài toán 10: Tìm x biết x 128 4 5 : 1 : 1 21 4242 646464 Chuyên đề: I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ 40
41. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán : 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / / x / / y / Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a x = a x a / x / > a x a / x/ -a x = 0,5 hoặc x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 / Giải : với x - 5 0 x 0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 x x = 1 b/ 3x - 1 = 2 => x = - 1 3 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : 41
42. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra ) b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán . c/ a 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/ HD:Ta có x 0 / x 3/ 0 GTNN 0 Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 0 GTLN 0khix 2 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 1 GTLNlla0khix 3/ 2 42
43. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 8: Tìm GTNN của C = 6 với x là số nguyên / x / 3 - Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x C = x – (- x ) = 2x x 0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x 3 3x 2 2 / x / 4 với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x GTNN của A = -1 x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4 c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x 0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2 f/ F = 1 => GTLN của F =1/3 x =2 / x 2 / 3 g/ G = x 2 với x là số nguyên / x / HD : Xét 3 TH : * x 2 C 1 * x = 1 C = 1 43
44. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 x 2 2 * x 1 G 1 x x Ta thấy G lớn nhất khi 2 nhỏ nhất . Mà 2 lớn nhất x nhỏ nhất x x tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / -a -4 -4+2 -2 A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1 • 1/2 x 3/ 2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2 • X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1 Vậy với x 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . 44
45. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ x 1 x 3 6 (1) GIẢI: Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3 x-1 x x 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x - 1 - 0 + / + x - 3 - / - 0 + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6 -2x=2 0x = 4 2x = 10 x=-1 (không có giá trị x = 5 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/ x 2 x 5 7 x -2 5 x+2 - 0 + / + x-5 - / - 0 + * Xét khoảng x x= -2 (loại) • Xét khoảng-2 x 5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét . Vậy -2 x 5 • Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại) Kết luận: -2 x 5 c/ x 3 2x x 4 x -3 4 x+3 - 0 + / + x- 4 - / - 0 + *Xét khoảng x x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 x 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55 45
46. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x 1 x 3 x 1 (2) Tương tự: • Xét khoảng x (1-x)+*3-x) -3x x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét) • Xét khoảng 1 x 3 thì (2)=>(x-1)+(3-x) 2 x>1 => Ta có các giá trị 1 3 => ta có (x-1)+(x-3) x f(x)= a Dạng 2 f (x) = g(x) 1/g(x) 0 & 2/f(x)= g(x) Dạng 3 f (x) g(x) hay f (x) - g(x) = 0 f(x)= g(x) Dạng 4 f (x) + g(x) = 0 f(x)=0 và g(x) = 0 Dạng 5 f (x) -a a ( a là hừng số dương) a x=-1 và x = 10. 46
47. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c/ 3 - 4 5 6x 7 HD: 5 6x 1 Không có giá trị nào của x thoả mãn d/ x 5 4 3 Hướng dẫn: - Ta có: x 5 4 3. x 5 4 3 x 5 7 2; 12 - Xét x 5 4 3 x 5 1 x 4; 6 Dạng 2 f (x) = g(x) Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện: 1/ g(x) 0 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x) Bài 19: Tìm x . a/ Biết: x 1 2x 5 - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 0 x 2,5 x 1 2x 5 x 4(t / mdk(1) - Xét điều kiện thứ hai x 1 2x 5 x 2(khongtmdk(1) Vậy x = 4 b/ Biết: 9 7x 5x 3. 3 - Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 0 x 5 9 7x 5x 3 x 1(tmdk(1) - Xét điều kiện thứ hai 9 7x 3 5x x 3(tmdk(1) Vậy x = 1 ; 3 c/ Biết: 8x 4x 1 x 2 4x 17x 2 x 1 Dạng 3 f (x) g(x) hay f (x) - g(x) = 0 Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) hoặc f(x) =-g(x) BÀI 20 : Tìm x . a/ Biết: 17x 5 17x 5 0 HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 47
48. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghiệm x = 0 Vậy x = 0 b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 / HD: 3x 4 2 2x 9 x =22 và 2 Dạng 4. f (x) g(x) 0 Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x .Biết : 13 3 a/ x x 0 14 7 13 3 HD: a/ x x 0 cả hai số hạng đồng thời bằng 0. 14 7 x + 13/14 = 0 x = -13/14 và x- 3/7 = 0 x=3/7. 13 3 Vậy x = & 14 7 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : x 1,38 2y 4,2 0 / x 1,38/ 0 x 1,38 0 x 1,38 HD: b/ /12y 4,2 / 0 2y 4,2 0 y 2,1 c/ x 2 3x (x 1)(x 3) 0 x(x 3) 0 x 0hoac3 HD: c/ x 3 (x 1)(x 3) 0 x 1hoac3 d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0 24 1 HD: / 2x- / 3y .0,1(5) / 0 99 10 24 1 5 / 2x / / 3y .1 / 0 99 10 9 48
49. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 8 7 / 2x - / / 3y / 0 33 45 8 7 Vì: /2x- / 0 & 3y 0 33 45 8 2x 0 8 7 33 4 Nên: /2x- /+/3y+ / 0 x 33 45 7 33 3y 0 45 7 y 45 Dạng 5. f (x) a a f (x) a ( a là hằng số dưong) BÀI 22: Tìm x. a/ Biết 3x 1 5 HD : a/ 3x 1 5 -5 -37 -4,4 -19 3-8x 19 2 x 4 Dạng 6. f (x) a f(x) > a f(x) < -a BÀI 23: Tìm x . a/ Biết; 15x 1 31 49
50. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 15x 1 31 32 HD: x 15x 1 31 15 x 2 b/ Tìm x . Biết 2x 5 4 25 2x 5 21 x 13 2x 5 21 x 8 Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ x y 4 HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là : Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho. b/ x y 4 HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25: a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 HD: a/ Cách 1 x 2 / 3 0 x 2 / 3 1/ 4 x 0 x 1/ 4 (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0 x 2 / 3 0 x 2 / 3 (khongthedongthoixayra) 1/ 4 x 0 x 1/ 4 -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: Giá trị x -2/3 1/4 dấu x+3/2 - 0 + / + 50
51. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 dấu 1/4-x + / + 0 - dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 - Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4 2x 1 b/ Tìm x thoả mãn: 0 3 x HD:b/ 2x 1 2x 1 0 x 1/ 2 0 (khongthexayra) 3 x 3 x 0 x 1/ 4 2x 1 2x 1 0 x 1/ 2 0 3 x 1/ 2 3 x 3 x 0 x 3 Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2  51