Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tiền Hải (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tiền Hải (Có đáp án)

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018 TIỀN HẢI MễN: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 120 phỳt) Bài 1 (4,0 điểm). Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a) A = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 a bc b ca c ab b ca c ab a bc b) B c ab a bc b ca (Với a, b, c là cỏc số thực dương và a + b + c = 1) Bài 2 (3,0 điểm) a) Tỡm cỏc số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2. b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2z2 là một số chớnh phương với x, y, z là cỏc số nguyờn. Bài 3 (4,0 điểm) 2m 1 a) Tỡm m để phương trỡnh: m 3 vụ nghiệm. x 2 b) Giải phương trỡnh: 4 x 1 x2 5x 14 . xy yz zx c) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 3 . z x y Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB < AC). Kẻ AH vuụng gúc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn AB, AC. a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tớnh BC, AC. b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuụng gúc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuụng gúc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng. d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui. Bài 5 (2,0 điểm) 4 3 2 Cho đa thức f(x) = x + ax + bx + cx + d (Với a, b, c, d là cỏc số thực) Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tớnh giỏ trị biểu thức A = f (8) + f (-4) . –––––––––––––––Hết–––––––––––––––– Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Phũng số:
2. PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM mÔN: TOÁN 9 (Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI í NỘI DUNG ĐIỂM A = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 > 0 0.5 2 Û A = 4 + 10 + 2 5 + 4- 10 + 2 5 + 2 16-(10 + 2 5) 2 Û A = 8 + 2 6- 2 5 0.25 2 a 2 Û A = 8 + 2 5 -1 0.25 2.0 ( ) 2 Û A = 8 + 2 5 - 2 0.25 2 Û A = 6 + 2 5 0.25 2 A2 5 1 0.25 1 Û =( + ) Û A = 5 +1 (doA > 0) 0.25 Vỡ a, b, c dương và a+b+c=1 nờn biểu thức B cú nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta cú: 0.25 1 b c bc 1 a c ca 1 a b ab 1 a c ca 1 a b ab 1 b c bc B 0.25 1 a b ab 1 b c bc 1 a c ca 1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 a 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c B 0.5 b 1 a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c 2.0 B 1 c 2 1 a 2 1 b 2 0.25 B |1 c | |1 a | |1 b | 0.25 B 1 c 1 a 1 b (vỡ 0 < a,b,c < 1) 0.25 Tớnh đỳng: B = 2 0.25 2 Ta cú: x – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x)(x -1)(x - 2) 0.25 f(x) chia hết cho x – 1 ị f(1) = 0 0.25 ị a + b = 0 ị b = –a (1) 0.25 f(x) chia hết cho x – 2 ị f(2) = 0 0.25 ị 8a + 2b = –15 (2) 0.25 a 5 5 2.0 Từ (1) và (2) 8a + 2(–a) = –15 a = – b = 0.25 ị ị 2 ị 2 2 5 5 1 1 Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 0.25 2 2 2 2 5 5 Vậy a = – , b = 0.25 2 2 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 0.25 1.0 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25 B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 0.25
3. Vỡ x, y, z là số nguyờn nờn 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyờn ị B là số chớnh phương ĐKXĐ: x 2 0.25 2m-1 = m-3 2m-1=(x -2)(m-3) 0.25 x -2 ị 2m-1= mx -2m-3x +6 (m-3)x = 4m-7 (*) 0.25 a + Xột m = 3, phương trỡnh (*) trở thành 0.x = 5 (vụ lớ) 0.25 ị m = 3 phương trỡnh đó cho vụ nghiệm 4m 7 1.5 + Xột m 3 , phương trỡnh (*) cú nghiệm x m 3 0.25 4m-7 1 Để phương trỡnh đó cho vụ nghiệm thỡ = 2 ị m = m-3 2 Vậy với m = 3, m = ẵ thỡ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm. 0.25 ĐKXĐ: x 1 0.25 2 2 4 x +1 = x -5x +14 Û x -5x -4 x +1+14 = 0 0.25 3 2 x -6x +9+ x +1-4 x +1+ 4 = 0 0.25 2 2 B (x -3) +( x +1-2) = 0 0.25 1.5 ùỡx -3 = 0 ớù 0.25 ù x 1 2 0 ợù + - = ỡx = 3 ù x 3 tm 0.25 ớx 3 = ( ) ợù = Áp dụng BĐT Cosi cho cỏc số dương ta cú: xy yz zx xy yz zx 0.25 3 ³ 3 3 . . 3 3 xyz ị xyz Ê1 C z x y z x y 1.0 Vỡ x, y, z là cỏc số nguyờn dương nờn từ (1) ị x = y = z = 1 0.25 Thử lại : Đỳng. 0.25 Vậy nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là (x;y;z) = (1;1;1) 0.25 N A 4 E M D I B H C a Đặt BH = x (0 < x < 6) ị BC = x + 6,4 0.25 2 2 2.5 AB = BH.BC ị 6 = x(x + 6,4) 0.5
4. ị x = 3,6 0.75 ị BC = 10cm 0.25 ị AC = 8cm 0.75 Chứng minh tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật ị DE = AH 0.5 Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA 0.5 2 4 2 2 b AH = HB.HC ị AH = HB .HC = BD.BA.CE.CA 0.5 4 2.0 ị AH = BD.CE.BC.AH 0.25 AH3 = BD.CE.BC ị 0.25 Vậy DE3 = BD.CE.BC Chứng minh éCNH = éBHM , HD = AE 0.5 Gọi giao điểm của NA với HD là M’. Ta cú: 0.25 2 NE NC NE AE cos CNH = . = = c NC NH NH M'H 1.5 HD HB HD AE cos2BHM . 0.25 = HB HM = HM = HM AE AE M'H MH 0.25 ị M'H = MH ị = ị M’ trựng M ị M, A, N thẳng hàng 0.25 Cú BM//CN, BD // NE, MD // CE 0.5 ị D BDM ~ D NEC ị BD/NE = DM/EC (1) d Gọi I là giao của MC với DE DI/EI = DM/EC (2) ị 0.25 1.0 Gọi I’ là giao của BN với DE ị DI’/EI’ = BD/NE (3) Từ (1), (2), (3) DI/EI = DI’/EI’ I và I’ trựng nhau ị ị 0.25 Vậy BN, CM, DE đồng qui. Xột đa thức g(x) = f(x) – 10x ị bậc của đa thức g(x) bằng 4 0.25 Từ giả thiết ị g(1) = g(2) = g(3) = 0. 0.25 Mà g(x) cú bậc 4 nờn g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số 0.25 thực nào đú). 5 2.0 ị f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x 0.25 ỡf (8) = 7.6.5.(8-a) +80 ù 0.5 ịớf ( 4) ( 5)( 6)( 7)( 4 a) 40 ợù - = - - - - - - ị f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40 0.25 Vậy f(8) + f(–4) = 2560. 0.25 *) Mọi cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giỏm khảo bỏm sỏt biểu điểm thảo luận đỏp ỏn và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng cỏc điểm thành phần khụng làm trũn.