Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Bài 1. Kết quả rút gọn của biểu thức: P = 4 7 4 7 2 Bài 2. Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện: 2a 2 7ab 3b2 0 , b 2a ; b 2a 8a 3b 2a 5b Tính giá trị của biểu thức: M 2a - b 2a b 2 1 Bài 3. Cho x là một nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + 1 = 0. Với a, b là 2 1 các số hữu tỉ. Tìm a và b. 3 3 1 10 6 3 2022 Bài 4: Cho a . Tính giá trị biểu thức A a2 4a 2 21 4 5 3 Bài 5. Phương trình x+3y =200 có bao nhiêu nghiệm tự nhiên? 2sin2 3sin .cos cos2 Bài 6. Cho góc nhọn có tan 2 . Tính P cos2 sin .cos 1 Bài 7. Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người Bài 8. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 6cm, AC = 6 2 cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Bài 9. Tam giác ABC có góc A bằng 60, AB = 4cm, AC = 5cm. Tính BC và diện tích tam giác ABC. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HK, HE lần lượt là các đường cao của các tam giác vuông HAB, HAC, biết BK = 8cm; CE = 27cm. Tính BC? II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Bài 11. a. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 y xy2 2x 14 2y 2 2 x xy 2y 2y 2x b. Giải hệ phương trình: y x y 1 x 2. Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. KC AC 2 CB2 BA2 a. Chứng minh: KB CB2 BA2 AC 2 1 b. Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 2 · 0 c. Giả sử SABC = 120 cm và BAC 60 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức: a. P 3 4x 3 8 3 x ; b. Q x 8 x (5 x) x 3 Hết./.
2. ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM Phần I. Trắc nghiệm Bài Nội dung Điểm Bài 1 P =0 1đ Bài 2 M=2 1đ Bài 3 a 1 1đ b 6 Bài 4 A=1 1đ Bài 5 67 nghiệm tự nhiên 1đ Bài 6 15 1đ P 8 Bài 7 529 hs. 1đ Bài 8 Chu vi tam giác ABC : 12 2 12 (cm) ; diện tích tam giác ABC là : 1đ 36cm2 ; Bài 9 1 1đ BC 21cm ; Diện tịch tam giác ABC = AB.AC.sin A=5 3cm2 2 Bài 10 Ta chứng minh : 3 BK 2 3 CE 2 3 BC 2 BC 13 13cm 1đ Phần II. Tự luận Bài Nội dung Điểm a) x2 y xy2 2x 14 2y (x y)(xy 2) 14 Do x, y nguyên đương nên xy 2 3 do đó ta có 2 trường hợp 3đ x y 1 x 4 TH1: xy 2 14 y 3 x y 2 x y 2 TH2: không có nghiệm nguyên dương xy 2 7 xy 5 b) Giải: ĐK: x y 1 0. Bài 11 Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung 1đ (1) x2 y2 xy y2 2y 2x 0 x y (3) (x y)(x 2y 2) 0 x 2 2y (4) Từ (3) và (2) ta có x=y=1.
3. y 0; x 2 x 2 2y Từ (4) và (2) ta có 1 8 y 3 3y 2y y ; x . 3 3 8 x x 1 x 2 3 Kết luận : Hệ có 3 nghiệm. ; ; y 1 y 0 1 y 3 A D E H B K C Sử dụng định lý pytago: Bài 12 AC 2 CB2 BA2 AK 2 KC 2 (BK CK)2 AB2 2 2 2 2 2 2 CB BA AC (BK CK) BA (AK KC) 1đ 2CK 2 2BK.CK 2CK(CK BK) CK = 2BK 2 2BK.CK 2BK(BK CK) BK AK AK b/ Ta có: tanB = ; tanC = BK CK AK 2 Nên: tanBtanC = (1) BK.CK KC Mặt khác ta có: Bµ H· KC mà: tanHKC = KH KC KB KB.KC 1đ Nên tanB = tương tự tanC = tan B.tan C (2) KH KH KH 2 2 2 AK Từ (1)(2) tan B.tan C KH 1 Theo gt: HK = AK tan B.tan C 3 3 c. Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy: 2 SABC AB (3) 1đ SADE AD Mà BÂC = 600 nên ·ABD 300 AB = 2AD (4)
4. SABC 2 Từ (3) (4) ta có: 4 SADE 30(cm ) SADE a) P 3 4x 3 8 3 x 3 Bài 13 Ta có điều kiện xác định của P: x 3 4 * Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có: 2 2 P2 3 4x 3 8 3 x 3 4x 3 4 12 4x 9 16 4x 3 12 4x 2 152 P 15 4x 3 12 4x 4x 3 12 4x 39 Dấu ‘=’ xảy ra: x 3 4 9 16 25 Thỏa mãn điều kiện Vậy giá trị lớn nhất của P = 15. 2đ * Ta có 2 P2 3 4x 3 8 3 x 9 4x 3 64 3 x 48 4x 3 3 x P2 165 28x 48 4x 3 3 x 165 28x (vì 48 4x 3 3 x 0 ) 3 Do x 3 21 28x 84 84 28x 21 4 Suy ra: 165 28x 165 84 81 P 9 (dấu “=” xảy ra khi x = 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 9. b. 1,0