Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo Lâm Thao (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo Lâm Thao (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 9 (LẦN 3) LÂM THAO Năm học 2019 – 2020 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I.TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8Đ). Hãy chọn phương án trả lời đúng Câu 1: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 2 (2 y2)(2 z2) (2 x 2)(2 z2) (2 y2)(2 z2) Giá trị của biểu thức x y z là 2 x 2 2 y2 2 z2 A.6 B.5 C.4 D.8 1 1 1 1 Câu 2: Số nguyên m lớn nhất thỏa mãn m là: 1 2 3 2019 A.85 B.86 C.87 D.88 3 3 3 3 Câu 3: Q 24 24 24 24 . Q ? A.2 B.3 C.4 D.5 Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình y (m 1)x 2m 5 thì khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) là: A.14 B.13 C.2 3 D.3 2 Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: (d ') : y (5 3m)x 2m 1 và (d) : y (2m 3)x m 3. Các giá trị của m để hai đường thẳng trên vuông góc là: 7 6 7 7 A.2; B.2; C. 2; D.2; 6 7 6 6 Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(-2;4), B(-4;-1), C(3;-2) thì diện tích tam giác ABC là: A.14 B.15 C.16 D.18,5 3x y 4m 7 Câu 7: Cho (x;y) là nghiệm của hệ phương trình thì giá trị nhỏ nhất của 5x 3y 2m 21 x 2 y2 là: 25 25 27 5 A. B. C. D. 4 2 4 2 (m 1)x 2y 5 Câu 8: Giá trị của m để hệ phương trình không có nghiệm duy nhất là 3x my 2m 1 A.m = -3 B.m ≠ 2 C. m ≠ 2; m ≠ -3 D.m = 2 hoặc m = -3 1 1 3 Câu 9: Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng y x ;y x 3 chính xác đến phút là: 2 2 4 A.63026’ B.63027’ C. 630 D. 640 1
2. Câu 10: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng 6cm vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M là cắt đường thẳng DC ở N. Giá trị của biểu thức 1 1 là AM 2 AN 2 1 1 D.6 A. 6 B. C. 3 3 tan ABC Câu 11: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Biết AM = AB, tỉ số bằng tan ACB A.2 B.4 C.3 D.5 Câu 12: Kim giờ của chiếc đồng hồ dài 5cm, kim phút dài 8ccm. Hỏi lúc 10 giờ đúng thì khoảng cách giữa hai đầu kim dài bao nhiêu? A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm Câu 13: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O; 3cm). Diện tích tam giác ABC là: 9 3 27 3 27 3 9 3 A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2 4 2 4 2 Câu 14: Cho tam giác ABC và điểm D thuộc cạnh BC. Vẽ hình bình hành AMDN (M thuộc AB, N thuộc AC). Biết diện tích các tam giác BDM và CDN lần lượt là 9 và 25 (đvdt). Diện tích tam giác ABC là: A.64 B.68 C.59 D.60 Câu 15: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cả BC, CD. Tính cosMAN 3 2 3 4 A. B. C. D. 5 2 2 5 8 Câu 16: Người ta làm một chiếc hòm bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật thể tích là m3 có cả 3 nắp. Biết chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Tìm kích thước chiều rộng để tốn ít vật liệu nhất (coi mối ghép và độ dày tấm tôn không đáng kể) A.0,5m 2 C.1,0m 3 B. m D. m 3 2 2
3. II.TỰ LUẬN (12Đ) Câu 1 (3đ) a) Chứng minh rẳng trong 3 số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số có hiệu chia hết cho 4. b) Tìm các số nguyên x để x 4 6x 3 14x 2 13x 5 là số chính phương Câu 2 (4đ) a) Giải phương trình (4x 1) x 2 1 2x 2 2x 1 2 2 2xy x y 1 b) Giải hệ phương trình x y 2 x y 5 x Câu 3 (4đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M, N là 2 điểm di động trên nửa đương tròn O sao cho M thuộc cung AN là tổng khoảng cách từ hai điểm A, B đến đường thẳng MN bằng R 3 . Gọi I là giao điểm của AM và BN. a) Chứng minh tam giác OMN đều b) Chứng minh tứ giác MINK nội tiếp (T). Tính bán tính của (T) theo R. c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABK khi M, N thay đổi Câu 4 (1đ) Cho a, b, c dương thỏa mãn a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b2 3 c2 3 a2 3 Hết 3
4. ĐÁP ÁN: I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án C D A B A D B D A B C B C A D C II.TỰ LUẬN Câu 1: a) CMR trong 3 số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4 Lời giải: Do trong 3 số chính phương luôn tồn tại hai số cùng tính chẵn lẻ, mà một số chính phương khi chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1 nên chúng sẽ có cùng số dư khi chia cho 4, nên hiệu của chúng chia hết cho 4 b) Tìm các số nguyên x để x 4 6x 3 14x 2 13x 5 là số chính phương Lời giải: Đặt x 4 6x 3 14x 2 13x 5 a2(a ¥ ) Ta có: x 4 6x 3 14x 2 13x 5 (x 2 3x 2)2 x 2 x 1 2 2 2 1 3 2 2 (x 3x 2) x (x 3x 2) (1) 2 4 Lại có: (x 2 3x 4)2 (x 2 3x 2)2 4(x 2 3x 2) 4 (x 2 3x 2)2 x 2 x 1 3x 2 11x 11 2 11 3 11 (x 2 3x 2)2 x 2 x 1 x 3 6 12 (x 2 3x 2)2 x 2 x 1(2) Từ (1) và (2) suy ra (x 2 3x 2)2 x 4 6x 3 14x 2 13x 5 a2 (x 2 3x 4)2 Do a là số chính phương nên a2 (x 2 3x 3)2 (x 2 3x 2)2 x 2 x 1 (x 2 3x 2)2 2(x 2 3x 2) 1 x 2 5x 4 0 (x 1)(x 4) 0 x 1;4(t / m) Vậy x 1;4 Câu 2: a) Giải phương trình (4x 1) x 2 1 2x 2 2x 1 (1) Lời giải: ĐKXĐ: x ¡ (1) (4x 1) x 2 1 2(x 2 1) 2x 1 2(x 2 1) (4x 1) x 2 1 2x 1 0 Đặt x 2 1 y(y 1) Ta có phương trình 4
5. 2y2 (4x 1)y 2x 1 0 2 2 2 y (4x 1) 4.2.(2x 1) 16x 24x 9 (4x 3) 4x 1 | 4x 3 | y 1 y (loai) 4 2 4x 1 | 4x 3 | y y 2x 1 4 2 1 Với y 2x 1 ta có x 1 2x 1 x 2 x 2 1 4x 2 4x 1 3x 2 4x 0 1 x(3x 4) 0 3x 4 0(Vi : x 0) 2 4 x 3 4 Vậy S  3 2 2 2xy x y 1(1) b) Giải hệ phương trình x y x y 5 x 2(2) Lời giải: ĐKXĐ: x y 2xy (1) x 2 y2 (x y) 1 (x y) x y x 2 y2 x 2 y2 1 (x y) x y 2 2 1 (x y ) 1 1 (x y) x y 2 2 (x y )(x y 1) (x y) 1 (x y) (x y 1)(x 2 y2 x y) 0 x y 1 x 2 y2 (x y) Nếu x y 1 : thay vào (2) ta có (2) x 2 4 x 2; 2 )x 2 y 1(t / m) )x 2 y 3(t / m) Nếu x 2 y2 (x y) : thay vào (2) ta có (2) x 2 y2 x 2 5 y2 5(vo.li) Vậy S (2; 1);( 2;3) Câu 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. M, N di chuyển trên cung AB sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đường thằng MN bằng R 3 . Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN a) Chứng minh tam giác OMN đều 5
6. b) Chứng minh MINK nội tiếp (T). Tính bán kính (T) c) Tìm max diện tích tam giác ABC khi M, N thay đổi a) Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của A, B, O trên MN Gọi E là trung điểm IK, đường thẳng IK cắt AB tại J AP BQ R 3 Do đó OH là đường trung bình hình thang APQB, suy ra OH 2 2 Do OH  MN;M ,N (O) HM HN Áp dụng định lí Pytago ta có: 3R2 R2 R OM MH 2 OM 2 OH 2 R2 MH 4 4 2 2 OMH 60O Suy ra tam giác OMN đều b) Tứ giác MINK có KMI KNI 90O MINK .nt Do E là trung điểm IK nên EI = EK = EM = EN E  T Do M, N thuộc (O) đường kính AB nên AMB ANB 90o Suy ra KJ  AB OMA OAM o OMA EMK OAM EKM 90 Ta thấy EMK EKM OM  ME Do tam giác OMN đều nêu MOE NOE 30o OM R 3 Tam giác MOE vuông tại M có MOE 30o ME 3 3 2R 3 c) Tam giác OME vuông tại M có MOE 30o OE 2ME 3 6
7. AB.KJ 2R 3 R 3 Ta có S R.KJ R.KO R(OE KE) R R2 3 KAB 2 3 3 Dấu bằng xảy ra khi J trùng O và K, E, O thẳng hàng, hay MN // AB Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABK là R2 3 khi MN // AB Câu 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 Tìm min P b2 3 c2 3 a2 3 Lời giải: Ta có: a4 b4 c4 P a b2 3 b c2 3 c a2 3 a4 b4 c4 2 2 2 2 2a b 3 2b c 3 2c a 3 4a4 4b4 4c4 2 2 2 2 2 2 2 4a b 3 4b c 3 4c a 3 (a2 b2 c2)2 3 8. 4a2 b2 3 4b2 c2 3 4c2 a2 3 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. 7