Đề kiểm tra Học kỳ II môn Toán Lớp 10 (Đáp án chi tiết)

Nội dung text: Đề kiểm tra Học kỳ II môn Toán Lớp 10 (Đáp án chi tiết)

1. ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II Môn : TOÁN LỚP 10 Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)    Bài 1. (3,0 điểm) Giải các bất phương trình sau: a/ 2x2 x 3 x2 3x 1 x b/ x x 2 c/ 5x 4 6 Bài 2. (0,75 điểm) Tìm m để phương trình: x2 2mx 3m2 m 1 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 3. (1,0 điểm) Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng có cùng diện tích được trình bày trong bảng sau: Sản lượng (tạ) 20 21 22 23 24 Cộng Tần số 5 8 11 10 6 40 a/ Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng. b/ Tính mốt và phương sai. Bài 4. (1,75 điểm) 3 a/ Không sử dụng máy tính. Hãy tính: cos( ) , sin150 . 4 b/ Cho tan 2, . Tính cos . 2 2cos2 1 c/ Chứng minh rằng: cos sin sin cos  Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có B 600 , cạnh a 8cm, c 5cm. Tính: a/ Cạnh b. b/ Diện tích và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 6. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình: x 2y 10 0 và đường tròn (T) có phương trình: x 1 2 y 3 2 4. a/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (T). b/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (T) và vuông góc với . c/ Xác định tọa độ điểm I/ đối xứng với I qua . Hết *Lưu ý: + Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. ĐÁP ÁN ĐÈ 1 – THANG ĐIỂM KIỂM TRA HK II – MÔN TOÁN 10 (cb) Bài Ý Nội dung Điểm 1 Giải các bất phương trình sau: 3,0 a/ 2x2 x 3 x2 3x x 2 2x 3 0 0,25 Bảng xét dấu: x -3 1 VT + 0 - 0 + 0,25 Ta có: x 2 2x 3 0 3 x 1 Vậy: bpt đã cho có nghiệm: 3 x 1 0,25 b/ b/ ĐK : x 0 và x 2 0,5 1 x 1 x x 2 x 2 0 0 x x 2 x x 2 x(x 2) Bảng xét dấu: x -2 -1 0 2 x 2 x 2 - - 0 + + 0 - x - - - 0 + + x 2 - 0 + + + + VT - + 0 - + 0 - 0,5 x 2 x 2 Ta có: 0 x 2; 1 0;2 x(x 2) 0,25 Vậy: bpt đã cho có nghiệm: x 2; 1 0;2 c/ 5x 4 6 6 5x 4 6 0,5 2 2 5x 10 x 2 5 2 Vậy: bpt đã cho có nghiệm: x 2 0,5 5 2 Tìm m để phương trình: x2 2mx 3m2 m 1 0 có hai nghiệm phân biệt. 0,75 Ta có: / m 2 3m 2 m 1 2m 2 m 1 0,25 Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì / 0 1 2m2 m 1 0 m 1 0,5 2 3 1,0 a/ Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng. x 22,1 tạ. 0,5 b/ Tính mốt và phương sai. 2 0,5 * Mốt: M o 22 ; * S x 1,54 4 1,75 a/ Không sử dụng máy tính. Hãy tính:
3. 3 3   2 * cos cos( ) cos( ) cos 0,25 4 4 4 4 2 2 3 2 1 *sin150 sin(450 300 ) sin 450.cos300 cos 450.sin 300 . . 2 2 2 2 6 2 6 2 0,5 4 4 4 b/  Cho tan 2,  . Tính cos . 2 2 1 2 1 1 1 Ta có: 1 tan cos 0,25 cos 2 1 tan 2 1 4 5 1  Suy ra: cos . Vì  nên cos 0 . 5 2 1 0,25 Vậy: cos 5 c/ 2cos2 1 Chứng minh rằng: cos sin sin cos 2cos 2 1 cos 2 sin 2 Ta có: 0,25 sin cos sin cos (cos sin )(cos sin ) 0,25 cos sin (đfcm) sin cos 5  1,5 Cho tam giác ABC có B 600 , cạnh a 8cm, c 5cm . Tính: a/ Cạnh b . Áp dụng định lí Côsin trong ABC , ta có: b 2 a 2 c 2 2ac.cos B 49 0,25 b 7cm 0,25 b/ Diện tích và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 1 0,25 * Diện tích ABC là: S ac.sin B 2 1 1 3 S .8.5.sin 600 .8.5. 10 3(cm 2 ) 0,25 2 2 2 S a b c * Bán kính của đường tròn nội tiếp ABC là: r , p 10 0,25 p 2 S 10 3 Vậy: r 3(cm) 0,25 p 10 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng có phương trình: 2,0 2 2 x 2y 10 0 và đường tròn (T) có phương trình: x 1 y 3 4. a/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (T). 0,5 Tâm I(1 ; 3) và bán kính R = 2 b/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (T) và vuông góc với .
4. + Đường thẳng có VTPT n (1; 2) . 0,25 + Đường thẳng d vuông góc với nên d nhận vectơ n (1; 2) làm VTCP. 0,25 + Vậy phương trình đường thẳng d là: 2x y 5 0 0,25 x 1 t (d có dạng tham số : ) y 3 2t c/ Xác định tọa độ điểm I/ đối xứng với I qua . * Tọa độ giao điểm H của d và là nghiệm của hệ pt: 2x y 5 0 . 0,25 x 2y 10 0 x 4 0,25 . Suy ra: H(4; -3) y 3 * Vì I/ đối xứng với I qua nên H là trung điểm của I I/. 1 x 4 2 x 7 Do đó, tọa độ điểm I/(x,y) thỏa mãn hệ : .Vậy: I/(7; -9) 0,25 3 y y 9 3 2
5. ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Môn: Toán - Khối 10. Thời gian: 90 phút. Câu 1: (3 điểm) Giải các bất phương trình: x 1 3 a) 2x 5 3 b) ( 3x 1)(x2 3x 2) 0 c) 4 x 2 2 3x Câu 2: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: sin( ) sin( ) A 3 3 sin Câu 3: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta luôn có: tanA + tanB +tanC = tanA.tanB.tanC 11 Câu 4: (1,5 điểm) Cho tanα = 6 và 5 . 2 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α . Câu 5: (2,5 điểm) Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(1;-3), B(2;5),C(1;-4). a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b) Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua A và song song với BC. c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
6. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 10 Câu Ý Điểm 1 3 x a 2x 5 3 (1) 1 điểm 4 x 2x 3 5 4 0,25 9x 8 4 0,25 32 x 9 0,25 Kết luận: Tập nghiệm của bpt (1) là S1=(-∞;32/9) 0,25 b ( 3x 1)(x2 3x 2) 0 (2) 1 điểm 1 3x 1 0 x 3 x2 3x 2 0 x 1 x 2 0,25 BXD: x -∞ 1 1 2 3 +∞ 3x 1 + 0 - │ - │ - 2 x 3x 2 + │ + 0 - 0 + 0,5 VT(2) + 0 - 0 + 0 - Tập nghiệm của bpt(2) là: S2= (-∞;1/3]  [1;2] 0,25 1 3 c (3) 1 điểm x 2 2 3x 1 3 0 x 2 2 3x 6x 4 0 (x 2)(2 3x) 0,25 BXD: x -∞ -2 -2/3 2/3 +∞ 6x 4 + │ + 0 - │ - x +2 - 0 + │ + │ + 2-3 x + │ + │ + 0 - 0,5 VT(3) - ║ + 0 - ║ + Tập nghiệm S3 = (-∞;-2)  [-2/3;2/3) 0,25 2 1,5
7. sin( ) sin( ) A 3 3 sin sin cos +cos sin sin cos cos sin 3 3 3 3 sin 0,5 2cos sin 3 0,25 sin 2cos 1 3 0,5 Vậy A=1 0,25 3 1,5 Ta có A+B+C = Suy ra A = - (B+C) (4) 0,25 (4) tanA = tan( - (B+C)) 0,25 = - tan(B+C) 0,25 tan B tan C = 1 tan B.tan C 0,25 tanA(1-tanB.tanC) = -(tanB+tanC) 0,25 tanA – tanA.tanB.tanC = -(tanB+tanC) tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC (đpcm) 0,25 4 1,5 Tính được cotα = 1/6 0,5 1 cosα = 37 0.5 6 sin 37 0,5 5 2,5  a Nói được vtcp của đường thẳng AB là AB (1;8) 0,25 Suy ra vtpt của đường thẳng AB là n ( 8;1) 0,25 Pt : 8(x 1) 1(y 3) 0 0,25 0,25 Pttq: 8x y 11 0 ĐỀ 2
8. ( Thời gian làm bài 90 phút ) I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 2,0 điểm ) 3 a) Cho tan 3 với . Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại . 2 b) Tính giá trị biểu thức sau : A cos cos( 120 ) cos( 120 ) Câu II ( 2,0 điểm ) Giải các bất phương trình sau : a) | 2x 1| x 2 . 3 b) 1 2 x Câu III ( 3,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và đường thẳng (d) : x 2y 1 0 . a) Tìm điểm B là đểm đối xứng của A qua đường thẳng (d) . b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng (d) . II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ) A.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 1,0 điểm ) : Chứng minh rằng : tan50 tan 40 2tan10 Câu V.a ( 2,0 điểm ) : 2 a) Cho hai số dương a ,b . Chứng minh rằng : ab 1 1 a b b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình : (m 1)x2 2(1 m)x 3(m 2) 0 nghiệm đúng với mọi x ¡ B.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 1,0 điểm ) : 1 3 Viết phương trình chính tắc của elip qua hai điểm M( 2; ) , N(1; ) . 2 2 Câu V.b ( 2,0 điểm ) : a) Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 mx m2 5 0 có nghiệm x = 1 . 4 9 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y với 0 < x < 1 . x 1 x . . . . . . . .HẾT . . . . . . .
9. HƯỚNG DẪN I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 2,0 điểm ) a) Ta có : 1 1 1 ▪ tan cot cot tan 3 3 Vì nên sin 0,cos 0 . Khi đó : 2 1 1 1 1 ▪ 1 tan2 cos2 cos . cos2 1 tan2 4 2 3 3 ▪ sin2 1 cos2 sin . 4 2 b) A cos cos( 120 ) cos( 120 ) cos 2cos cos120 2cos cos120 1 cos 2.cos .( ) cos cos 0 2 Câu II ( 2,0 điểm ) a) 1đ | 2x 1| x 2 (*) ▪ TH 1 : x 2 0 x 2 thì bpt (*) vô nghiệm . ▪ TH 2 : x 2 0 x 2 thì (x 2) 2x 1 x 3 bpt(*) (x 2) 2x 1 x 2 2x 1 x 2 1 3x x 3 1 1 x 3 (nhận) x 3 3 3 3 3 2 x x 1 b) 1đ Ta có : 1 1 0 0 0 (*) 2 x 2 x 2 x 2 x Xét trục số : Vậy : Bất phương trình có tập nghiệm : S ( ; 1] (2; ) . Câu III ( 3,0 điểm )
10. Qua A(2;2) Qua A(2;2) x 2 t a) 2đ Gọi đường thẳng (d’): (d') : (d') : +  (d) + VTCP : u = nd= (1;2) y= 2 + 2t x 2 t (1) Gọi H = (d) (d’) nên tọa độ của H là nghiệm của hệ : y = 2 + 2t (2) x+ 2y 1= 0 (3) Thay (1),(2) vào (3) , ta được : 2 + t + 2(2+2t) -1= 0 t 1 . Suy ra : H(1;0) . B là đối xứng của A qua (d) H là trung điểm của AB 1 1 x (x x ) 1 (2 x ) H A B B x 0 2 2 B 1 1 y 2 y (y y ) 0 (2 y ) B H 2 A B 2 B Vậy : B(0;-2) | 2 2.2 1| b) 1đ (C) tiếp xúc (d) R d(A;(d)) 5 12 22 Tâm A(2;2) 2 2 Do đó (C) : (C) : (x 2) (y 2) 5 + Bk : R 5 II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ) A.Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 1,0 điểm ) : Ta có : sin(50 40 ) sin10 tan50 tan 40 2tan10 1 cos50 .cos40 (cos90 cos10 ) 2 Câu V.a ( 2,0 điểm ) : a) 1đ Ta có : Vì a,b là hai số dương nên 2 2ab . ab ab 2 ab a b : đúng ( bđt Cô-si ) 1 1 a b a b b) 1đ Tìm m để bpt được thỏa mãn . Khi đó m là nghiệm của hệ : m 1 a m 1 0 m 1 0 2 2 1 m 5 ' (m 1) (m 1)(3m 6) 0 2m 11m 5 0 m hay m 5 2 B.Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 1,0 điểm ) : x2 y2 Phương trình chính tắc của (E): 1 (a b 0) . a2 b2
11. 2 1 1 2 2 2 a2 2b2 a 4 x y (E) qua hai điểm M,N ta có hệ : . Vậy (E): 1. 1 3 2 4 1 1 b 1 a2 4b2 Câu V.b ( 2,0 điểm ) : a) 1đ Vì x = 1 là nghiệm của phương trình 2x2 mx m2 5 0 nên ta có : 1 13 1 13 2 m m2 5 0 m2 m 3 0 m ,m 1 2 2 2 b) 1đ Ta có : 4 9 4(x 1 x) 9(x 1 x) y x 1 x x 1 x (1 x) x (1 x) x 4 9 4. 9. 13 2 4. .9. 25 x 1 x x 1 x Suy ra : y 25,x (0;1) (1 x) x 4. 9. 6 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 x x 5 x (0;1) 2 Vậy : min y y( ) 25 (0;1) 5 ĐỀ THI THỬ CUỐI NĂM HỌC 2009-2010 Môn TOÁN - LỚP 10 (Thời gian: 90 phút) ĐỀ 2. I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm) Câu I. (1,0 điểm) 1 1 Giải bất phương trình: 1 x 1 x 1 Câu II:(2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 3x 2 = 0 . 2) Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn không âm: f(x) = m.x2 – 4x + m Câu III:(2,0 điểm) 1 1) Cho 900 < x < 1800 và sinx = . Tính giá trị biểu thức: 3 2.cos x sin 2 x M 2.tan x cot 2 x 2) Cho a, b, c lần lượi là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
12. tan A a2 c2 b2 tan B b2 c2 a2 Câu IV:(1,0 điểm) Số lượng sách bán ra của một cửa hàng các tháng trong năm 2010 được thống kê trong bảng sau đây ( số lượng quyển): Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số 430 560 450 550 760 430 525 410 635 450 800 950 lượng Tính số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu trên. Câu V:(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(9; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A; B sao cho diện tích OAB nhỏ nhất. II. PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) ( Thí sinh chỉ được chọn A hoặc B, nếu chọn cả A và B sẽ không được tính điểm ở phần riêng) A. Dành cho học sinh học chương trình chuẩn. Câu VIa:(1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình (m + 2)x 2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Câu VII.a:(2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(- 2; 3) và đường thẳng (D) có phương trình 3x + y - 7 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A vuông góc với (D) và tìm tọa độ giao điểm M của với (D). 2) Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có một tiêu điểm F 3;0 và đi 3 qua điểm M 1; . 2 B. Dành cho học sinh học chương trình nâng cao. Câu VI.b:(1,0 điểm) Giải phương trình sau: 9 5x 2 4x 1 20x 2 16x 9 . Câu VIIb:(2,0 điểm) 1) Viết phương trình chính tắc của Hypebol (H) biết (H) đi qua điểm 2; 3 và một đường tiệm cận của (H) tạo với trục tung một góc 300. 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD tâm I có cạnh AB nằm trên x 3t đường thẳng và AB = 2.AD. y 1 t Lập phương trình đường thẳng AD, BC Hết .
13. ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu I. +) đk: x ≠ 1 và – 1 (1,0điểm) 2 0,5 BPT đã cho tương tương với BPT: 0 (x 1) x 1) +) Giải BPT trên và kết luận: x ( ; 1)(1; ) 0,5 CâuII: 1 2x 1 0 2x 1 0 0,5 (2,0điểm) +) Phương trình 2  2 x 2x 1 0 x 2x 1 0 1 1 x x +) 2  2 0,5 x 1 x 1 2 2 +) m = 0: loại. m ≠ 0 0,5
14. ' 0 0,5 ĐK: a 0 +) m ≥ 2 CâuIII: 1 2 2 0,5 (2,0điểm) +) cosx = 3 22 +) A 135 0,5 2 tan A sin A.cos B 0,25 +) tan B cos A.sin B a2 c2 b2 +) Áp dụng định lý hàm số sin và côsin, biến đổi VT = b2 c2 a2 0,75 CâuIV: +)Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm: (1,0điểm) 1 m 0,5 Số trung bình là x =  ni xi 554,17 N i=1 525 + 550 +) M = = 537,5 e 2 0,5 CâuV: x y +) A(a; 0) và B(0, b); (a > 0, b > 0) .PT đường thẳng (d) : 1 (1,0điểm) a b 4 1 Vì (d) đi qua điểm M 4;1 nên 1 a b 0,5 4 1 4 1 4 ab +) Từ đó:1 2. . 1 ab 16 8 hay a b a b ab 2 S = dtΔOAB 8 4 1 = > 0 a b 4 1 1 a = 8 Smin = 8 = = 4 1 a b 2 b = 2 + = 1 a b 0,5 Vậy phương trình của (d) là x + 4y – 8 = 0 CâuVIa: +) m = - 2: loại ; m ≠ - 2 thì PT dã cho có hai nghiệm phân biệt trái (1,0điểm) c 0,25 dấu a.c < 0 (hoặc 0 ) a 5m+6 6 +) (m 2)(5m 6) 0 (hoặc 0 ) m 2 m-2 5 0,5 6 +) KL: m ;2 5 0,25
15. CâuVII.a: 1 +) Vectơ pháp tuyến của (D) là n (2; 1) (2,0 điểm) Vì vuông góc với (D) nên có vectơ chỉ phương u n và (D) đi qua A(3; 4) x = 3 + 2t Suy ra phương trình tham số của là y = 4 - t 0,5 3 x = 3 + 2t x 5 +) Tọa đô điểm M là nghiệm của HPT: y = 4 - t 26 2x - y + 4 = 0 y 5 3 26 Vậy M( ; ) 5 5 0,5 2 x2 y2 +) Phương trình chính tắc của (E) có dạng 1 (a > b > 0) a2 b2 Một tiêu điểm F 3;0 nên c 3 b2 a2 3 (1) 3 1 3 Vì (E) đi qua điểm M 1; nên 1 (2) 2 2 2 a 4b +) Từ (1) và (2) suy ra a2 4, b2 1 x2 y2 Vậy: phương trình chính tắc của (E) là: 1 4 1 CâuVI.b: +) Đặt y = 5x 2 4x 1; y 0 . 0,25 (1,0 điểm) +) PT có các nghiệm 4 8 19 x =0; x = ; x 0,75 5 20 CâuVIIb: 1 x2 y2 +) Phương trình chính tắc của (H) có dạng 1. (2,0 điểm) a2 b2 9 2 (H) đi qua điểm M 3; 2 nên ta có 1 (1) a2 b2 Một đường tiệm cận của (H) có phương trình b y x bx ay 0 ; trục hoành có phương trình y = 0. a a 0,5 Ta có cos300 2 a 3. a2 b2 a2 3b2 (2) a2 b2 9 2 +) (1) và (2) : 1 9 6 3b2 b2 1, do đó a2 = 3 3b2 b2 x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của (H) là: 1 9 1 0,5
16. 2 +) AB = 2AD nên AB = 4.d(I;AB) = 4. 10 , suy ra: d(I; AD) = d(I; BC) = 2 10 0,5 +) AD, BC cùng vuông góc AB nên AD, BC có PT dạng: 3x + y + m = 0. Từ đó có PT AD, BC: 3x + y + 19 = 0 ; 3x + y – 21 = 0 0,5