Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

1. đề thi hsg môn toán 12 (thời gian :180 phút) 1 x 1 x 1 x Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau Sn = tg tg tg 2 2 22 22 2n 2n Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau 2 sin xcox dx (Với a 0;b 0) 2 2 2 2 0 a cos x b sin x x my m (2.0 đ) Cho hệ phương trình Câu 3 2 2 x y x 1/ Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m 2 2 2/ Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tìm m để S = (x2-x1) +(y2-y1) đạt giá trị lớn nhất Câu 4 (2.0 đ) Giải phương trình 3( 2x 2 1 1) x(1 3x 8 2x 2 1 Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm 2 2 2 2sin x 3cos x m3sin x 1 sin m n p x Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau L Lim m n p x 3 2 (1 sin x)(1 sin x)(1 sin x) (với m ,n ,p là ba số nguyên dương cho trước ) Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phương trình sau 1 5cos 4 3x log 2 cos 2 4 1 sin x m sin 2x Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ đường cao OH của tứ diện . Đặt A CAB; B ABC ;C BCA AOH ;  BOH ; COH sin 2 sin 2  sin 2  Chứng minh rằng sin 2A sin 2B sin 2C – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán kính R ( O nằm trên đường cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp. 1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều. 2/ Cho SC =R3 . Tính chiều cao hình chóp. – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. đáp án (đề thi hsg môn toán 12) u x 1 x Câu 1 Ap dụng : lnu / co (ln cos ) / tg u / 2n 2 2n x x x Do đó nếu đặt P cos .cos cos S (ln P ) / n 2 22 2n n n có 1 x x x x 1 1 P sin cos .cos cos . sin x n x 2n 2n 2n 1 2 x 2n sin sin 2n 2n / 1 1 1 x do đó S ln . sin x cot gx cot g n x 2n 2n 2n sin 2n Câu 2 Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trường hợp sau: 1 2 1 TH : a b I . sin xd(sin x) : 1 a 0 2 a TH 2 : a b Với t a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x dt  2a 2 cos xsin x 2b 2 sin x cos xdx 2(b 2 a 2 )sin x cos xdx b2 1 dt 1 b2 1 I t 2 2 2 2 2 /a 2 b a a2 t b a b a 1 Kl : I a b Câu 3 x m.y m 0 1 Hệ pt 1 1 (x ) 2 y 2 2 2 4 Nhận xét : (1) là pt dường thẳng Dm: x+(y-1).m =0 đi qua điểm cố định A(0;1) (2) là pt đường tròn ( C) có tâm I(1/2;0), bán kính R=1/2 do đó số nghiệm của pt chính là số giao điểm của Dmvà (C) Tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A chính là OA, (x=0) và dường thẳng AB – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. _ ___ ___ ___ 2.tg 4 Đặt OAI OB OA.tg2 OA. do tg 1 1 tg 2 3 ___ ___ Mặt khác ,OB là hoành độ giao điểm của Dm và Ox nên OB =m Biện luận ./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất. ./ o 4/3, hpt vô nghiệm . 2 2/ S =M1M2 do đó diện tích S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M1M2 đi qua I ___ __ 1 1 OB OI m 2 2 Câu 4 Đặt t 2x 2 1 1 thay vào pt được t =x/3 hoặc t= 1-3x Giải ra được x=0 KL : Pt có nghiệm x = 0 Câu 5 sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2sin x 3cos x m.3sin x 3cos x sin x m (1) 3 sin 2 x 2 cos2 x sin 2 x Xét hàm số f x 3 ,(x R) 3 Vì sin 2 x 2 sin 2 x 0 x 1 3 2 2 cos 2 x sin 2 x cos 2x 1 3cos x sin x 3 do đó f x 4 x R . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k ( k Z) Kết luận :Bpt có nghiệm với m 4 . Câu 6 Đặt y= sin x ( khi x y 1) . Ta có 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 1 y m n p (1 y) 1 y y 2 y m n p 1 L Lim Lim y 1 3 1 y m 1 y n 1 y p y 1 1 y 3 (1 y y m 1 ) 1 y y n 1 1 y y p 1 1 y y 2 y m n p 1 Lim y 1 3 (1 y y m 1 ) 1 y y n 1 1 y y p 1 m n p 3 m.n.p Câu 7 1 5 cos 4 3x  0 Điều kiện : 1 sin 2x 0 Bpt đầu của hệ tương đương với 2 1 5cos 4 3x 2 : Log Log 2 2 2 2 2 2 4 1 5cos 3x 1 4 cos 3x 0 cos3x 0 x k (k Z) 2 2 6 3 x k2 6 Do đ/k (1) chỉ cần xét 5 x k2 6 1 sin x Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt f do f có chu kỳ2 nên ta chỉ cần tính x sin 2x x 3 3 f 3 ; f ; f 5 3; f 5 3 3 2 6 6 6 Kl : ./ m 3 x  3 5 ./ 3 m x k2 3 6 3 3 5 ./ m x k2 ; x k2 3 3 6 6 3 5 ./ m 3 x k2 ; x k2 3 6 6 5 / m 3 x  k2 ; x k2 6 6 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. Câu 8 Dễ thấy H là trực tâm ABC và ABC là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại A1,do đó AA1  BC. 2 2 AH Vì OA (OBC) nên theo đ/l ba đường vuông góc ,có OA1  BC. Ta có sin 1 OA2 2 2 AH Xét tam giác vuông OAA1 đỉnh O, có OA = AH. AA1, từ (1) có sin AA1 Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,gọi I là tâm của nó ,gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó H, G, I thẳng hàng (đường thẳng Ơle) và HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM và Â= BM IM BC AH BC.AH CAB BIM sin 2A 2.sin A.cos A 2. . 2. . 2 IB IB 2.IB 2.IB R 2 ( với R là bán kính đường tròn ngọài tiếp tam giác ABC) sin 2 2R 2 R 2 Từ (1) và (2) ta có : sin 2A BC.AA1. S ABC sin 2  sin 2  R 2 C/m tương tự cũng có sin 2B sin 2C S ABC Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 9 Gọi M,N, P là các tiếp điểm của hình cầu với các cạnh AB, BC , CA.Gọi SH là đường cao hình chóp ,O là tâm hình cầu đã cho, khi đó O thuộc SH.Theo định lý ba đường vuông góc , có HM AB(vì OM  AB,do – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. hình cầu tiếp xúc AB tại M) Tương tự HN BC, HP AC. Vì OM =ON =OP =R nên HM =HN =HP do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi K, E là tiếp điểm hình càu Với SA và SC .Ta có SK SE (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm),do đó KSO= SOE KSO OSE SAH SCH SA SC Lập luận tương tự được SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều. 2/ OK R 3 AH Đặt ASH sin AS 3.AH OS R 3 3 AS Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x Xét tam giác vuông SAH, có : SA2=SH2+ AH2 nên h2= 8 x2 từ đó R2= h2 –2.h .R 3 3R 2 x 2 1 Thay h2 =8.x2 vào (1) được : 9.h2 –16 3.h.R 16.R 2 0 2 4 3.R 4 3.R 4 3.R Từ (2) h hoặc h (loại, vì h=SH >SO R. 3  ) 3 9 9 4 3.R Vậy SH= 3 Hướng dẫn chấm môn toán 12 Câu 1 (2,0đ) ./ HS biết sử dụng công thức (lnu)/=u’/u (1,0 đ) 1 1 . / Viết được P =. .sin x (0,5đ) n x n sin 2 2n 1 x . / Kl :S cot gx .cot g (0,5 đ) n 2n 2n Câu 2 ( 2,0 đ) 1 Th1 : I (0.5 đ) 2 a Th2: Đặt – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
8. t a2.cos2 x b2.sin 2 x dt 2.(b2 a2 ).sin x.cos x 1 (1.5 đ) I a b Câu 3 (2,0 đ) 1/ . / Nhận xét được số nghiệm của pt là số giao điểm của Dm và (C) (1.0 đ) . / Kl đúng (0.5 đ) 2 / m = 1 / 2 (0.5 đ) Câu 4 (2.0 đ) x t ./ Đặt t=2x2 1 3 (1.0 đ) t 1 3x . / Giải được x = 0 (1.0 đ) Câu 5 (2.0 đ) sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x . / Đưa được f x 3 m (1.0 đ) 3 sin 2 x 2 2 2 . / Nx : 1 ; 3cos x sin x 3 (0.5 đ) 3 . / Kl : m 4 (0.5 đ) Câu 6 (2.0 đ) . / Đặt y = sinx ; (x y 1) (0.5 đ) 2 1 y ym n p . / l = Lim (1.0 đ) 3 ( ) . / Kl : (0.5 đ) Câu 7 (2.0 đ) . / đ / k (0.5 đ) . / Bpt (1 ) x k. (0.5 đ) 6 3 x k.2 6 . / Từ đ / k (0.5 đ) 5 x k.2 6 . / Kl đúng (0.5 đ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
9. Câu 8 ( 4,0 đ) Câu 9 (2.0 đ) . / Nx : O SH ( 0,5 đ ) . / H là tâm đường tròn nội tiếp ( 0.5 đ) ./ H là tâm đường tròn ngoại tiếp (0,5 đ) . / Kl (0,5 đ) – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất