Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 1 (Có đáp án)

1. ĐỀ 1 Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a 5 a 7 15 b) Cho a b 2 b c 2 c a 2 4 a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a4 2a3 3a2 4a 5 . Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2016 cho đa thức x2 10x 21 . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD AE . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì thì các số x 9a 4b 8c ; y 4a b 4c ; z 8a 4b 7c cũng là số đo ba cạnh của một tam giác vuông khác. Câu 6 a) Tìm các số x, y nguyên dương biết 6x 5y 18 2xy b) Tìm các số nguyên x, y biết 5x 3y 2xy 11
2. ĐÁP ÁN Câu 1 a) A a 1 a 3 a 5 a 7 15 A a 1 a 7 a 3 a 5 15 A a2 8a 7 a2 8a 15 15 Đặt a2 8a 7 t , ta có: A t t 8 15 A t 2 8t 15 A t 3 t 5 Do đó A a2 8a 7 3 a2 8a 7 5 A a2 8a 10 a2 8a 12 A a2 8a 10 a 2 a 6 . b) Ta có: a b 2 b c 2 c a 2 4 a2 b2 c2 ab ac bc a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 Vì (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 ;(a c) 2 0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 2 0 ;(b c) 2 0 và (a c) 2 0 Vậy a b c . Câu 2 Ta có: A a4 2a3 3a2 4a 5 A a4 2a2 2a3 4a a2 2 3 A a2 a2 2 2a a2 2 a2 2 3 A a2 2 a2 2a 1 3 A a2 2 a 1 2 3 Vì a2 2 a 1 2 0 với mọi a nên A 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A 3 a 1 0 a 1 . Câu 3 (2 điểm). Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2016 cho đa thức x2 10x 21 . Hướng dẫn P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2016 x2 10x 16 x2 10x 24 2016 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại:
3. P(x) t 5 t 3 2016 t 2 2t 2001 Do đó t 2 2t 2001 cho ta số dư là 2001 . Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn B D A E C a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x (0 x a ) Ta có: AD2 AE 2 DE 2 a x 2 x2 DE 2 DE 2 a2 2ax x2 x2 DE 2 a2 2ax 2x2 2 2 2 2 a a a DE 2 x 2.x. 2 4 2 2 2 2 a a DE 2 x 2 2 a2 DE 2 2 a2 a Vậy DE nhỏ nhất bằng x 2 2 Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1 b) Diện tích của tam giác ABC là: a2 2 1 Diện tích tam giác ADE là: a x .x 2 Khi đó diện tích của tứ giác BDEC là: 1 1 a2 a x x 2 2 1 1 1 a2 ax x2 2 2 2
4. 2 2 1 2 a a 3a x 2.x. 2 2 4 4 2 1 a 3a2 3a2 x 2 2 8 8 3a2 a Vậy diện tích của tứ giác BDEC nhỏ nhất bằng x 8 2 Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Hướng dẫn a) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z. Theo đề bài ta có: xy 2 x y z (1) và x2 y2 z2 Từ x2 y2 z2 z2 x y 2 2xy thay vào (1) ta có: z2 x y 2 4 x y z z2 4z x y 2 4 x y z2 4z 4 x y 2 4 x y 4 z 2 2 x y 2 2 z 2 x y 2 z x y 4 thay vào (1) ta được: xy 2 x y x y 4 xy 4x 4y 8 xy 4x 4y 8 x y 4 4 y 4 16 8 x 4 y 4 8 x 4 y 4 1.8 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) b) Theo đề bài ta có a2 b2 c2 Ta có: x 9a 4b 8c x2 81a2 16b2 64c2 72ab 144ac 64bc mà a2 b2 c2 x2 81 b2 c2 16b2 64c2 72ab 144ac 64bc x2 97b2 145c2 72ab 144ac 64bc (1) y 4a b 4c y2 16a2 b2 16c2 8ab 32ac 8bc mà a2 b2 c2 y2 16 b2 c2 b2 16c2 8ab 32ac 8bc y2 17b2 32c2 8ab 32ac 8bc (2) z 8a 4b 7c z2 64a2 16b2 49c2 64ab 112ac 56bc mà a2 b2 c2 z2 64 b2 c2 16b2 49c2 64ab 112ac 56bc
5. z2 80b2 113c2 64ab 112ac 56bc (3) Từ (2) và (3) ta có y2 z2 97b2 145c2 72ab 144ac 64bc (4) Từ (1) và (4) suy ra x2 y2 z2 Vậy x, y, z cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông