Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 37 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 37 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Cho a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính S a2 b2 2017 b) Cho a1,a2 , a2016 là các số tự nhiên có tổng bằng 2016 . 3 3 3 Chứng minh rằng: a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Câu 2 a b c a) Cho a b c 0 ; x y z 0 ; 0 . Chứng minh ax2 by2 cz2 0 x y z b) Giải phương trình 12x 7 2 3x 2 2x 1 3 Câu 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 4x2 8x 38 6y2 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh ABC ~ EFC . b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC ND và HI HK . AH BH CH c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh 6 HE HF HG Câu 5. Cho a,b,c,d,e 0 thỏa mãn điều kiện a b c d e 4 . a b c d a b c a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abcde
2. Hướng dẫn Câu 1 a) Ta có 2 a3 3ab2 5 a3 3ab2 25 a6 6a4b2 9a2b4 25 2 b3 3a2b 10 b3 3a2b 100 b6 6a2b4 9a4b2 100 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 3 a2 b2 125 a2 b2 5 2017 b) Ta có: 2016M3 2016 M3 a1 a2 a2016 M3 Xét hiệu 3 3 3 3 3 3 A a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 a1 a1 a2 a2 a2016 a2016 Vì a3 a a(a 1)(a 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. 3 3 3 Suy ra AM3 , mà a1 a2 a2016 M3 nên a1 a2 a2016 M3 Câu 2 a) Ta có x2 y z 2 ; y2 x z 2 ; z2 x y 2 (vì x y z 0 ) Suy ra ax2 by2 cz2 a y z 2 b x z 2 c x y 2 ax2 by2 cz2 a y2 2yz z2 b x2 2xz z2 c x2 2xy y2 ax2 by2 cz2 ay2 2ayz az2 bx2 2bxz bz2 cx2 2cxy cy2 ax2 by2 cz2 y2 a c z2 a b x2 b c 2 cxy bxz ayz a b c ax2 by2 cz2 y2 b z2 c x2 a 2.0 (vì 0 ayz bxz cxy 0 ) x y z ax2 by2 cz2 0 b) Đặt 12x 7 t , sau đó tìm t, rồi tìm x Câu 3 4x2 8x 38 6y2 2x2 4x 19 3y2 2 x 1 2 21 3y2 3 7 y2 (*) Ta có 2 x 1 2 M2 7 y2 M2 nên y lẻ, mà y2 7 y2 1 Từ đó tìm được các số x, y Câu 4
3. A F K G H I B E M C N D CE CA a) Ta có AEC : BFC (g-g) nên suy ra CF CB CE CA Xét ABC và EFC có và góc C chung nên suy ra ABC : EFC (c-g-c) CF CB b) Vì CN //IK nên HM  CN M là trực tâm HNC MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC nên NC = ND IH = IK ( theo Ta let) AH S S S S S S c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC BH S S CH S S Tương tự ta có BHC BHA và BHC AHC BF SAHC CG SBHA AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC SAHC SBHA S S S S S S = AHC ABH BHC BHA +BHC AHC 6 . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng. Câu 5 Ta có x y 2 0 x2 2xy y2 0 x y 2 4xy . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức x y 2 4xy , ta có 42 a b c d e 2 4 a b c d e a b c d 2 4 a b c d a b c 2 4 a b c a b 2 4ab 16. a b c d 2 . a b c 2 . a b 2 256 a b c d .e a b c .d. a b .c.ab
4. a b c d . a b c . a b 256 P 16 abcd 16 1 a b c d e 4 a b 4 a b c d e 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d c 2 a b c d 1 a b e 2