Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 3 (Có đáp án)

1. ĐỀ 3 Câu 1 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 . b) Giải phương trình x4 30x2 31x 30 0 Câu 2 148 x 169 x 186 x 199 x a) Giải phương trình 10 25 23 21 19 b) Chứng minh rằng A n3 6n2 8n chia hết cho 48 với n chẵn. Câu 3 a) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Câu 4 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB , MF  AD . a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 5 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng P 1 22 32 44 1002 1 1 1 1 b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a b c 2016 và a b c 2016 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.
2. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). 2 2 2 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x y 2z 18x 4z 6y 20 0 . Ta có: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 3x 2 2.3x.3 32 y2 2.y.3 32 2 z2 2z 1 0 3x 3 2 y 3 2 2 z 1 2 0 2 2 2 Vì 3x 3 0; y 3 0;2 z 1 0 với mọi x, y, z nên: x 1 y 3 z 1 4 2 b) Giải phương trình: x 30x 31x 30 0 Hướng dẫn x4 30x2 31x 30 0 x4 30x2 30x 30 x 0 x4 x 30 x2 x 1 0 x x 1 x2 x 1 30 x2 x 1 0 x2 x 1 x2 x 30 0 Ta có: 2 2 1 3 x x 1 x 0 với mọi x nên suy ra: 2 4 x2 x 30 0 x 5 x 6 0 x 5 x 6 Câu 2. 148 x 169 x 186 x 199 x a) Giải phương trình: 10 25 23 21 19 Hướng dẫn 148 x 169 x 186 x 199 x 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 1 1 1 1 Vì 0 nên 123 – x = 0, suy ra x = 123. 25 23 21 19 3 2 b) Chứng minh rằng: A n 6n 8n chia hết cho 48 với n chẵn. Hướng dẫn 3 2 n 6n 8n chia hết cho 48 với n chẵn Ta có: A n3 6n2 8n A n n2 6n 8
3. A n n 2 n 4 Vì n là số chẵn nên đặt n 2k k ¢ , khi đó: A 2k 2k 2 2k 4 A 8k k 1 k 2 A 23 k k 1 k 2 Vì k k 1 k 2 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: - Tồn tại một số là bội của 2 nên k k 1 k 2 M2 nên AM16 - Tồn tại một số là bội của 3 nên k k 1 k 2 M3 Vậy A chia hết cho 3, 16 mà 3,16 1 nên AM3.16 48 . Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P x 1 x 2 x 3 x 6 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. Hướng dẫn P x 1 x 2 x 3 x 6 P x2 5x 6 x2 5x 6 2 P x2 5x 36 2 2 2 2 Vì x 5x 0 nên P x 5x 36 36 Do 2 2 đó Min P = -36 khi x 5x 0 . Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36. b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3. Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 3 3 2 2 a b a b a 2ab b 3ab a3 b3 a b a b 2 3ab 2 Vì a b chia hết cho 3 nên a b 3ab chia hết cho 3; 2 Do vậy a b a b 3ab chia hết cho 9. Câu 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a) Chứng minh: DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. E c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. A B Hướng dẫn a) Chứng minh: AE FM DF AED DFC đpcm. b) DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm. c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi F M SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. D C
4. 1 1 1 1 Câu 5. Chứng minh rằng: P 1 22 32 44 1002 Hướng dẫn 1 1 1 1 P 22 32 44 1002 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 99 1 1 1 2 2 3 99 100 100 100