Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 45

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 45

1. Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a2 b c b2 c a c2 a b b) P bc b c ac c a ab a b c)Q ab a b bc b c ca c a d) x y 3 y z 3 z x 3 e) a3 b2 c2 b3 c2 a2 c3 a2 b2 Bài 2. Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng P a4 b c b4 c a c4 a b luôn khác không. Bài 3. Chứng minh a b c 2 b c a 2 c a b 2 a b c 2 4 a2 b2 c2 1 2 5 x 1 2x Bài 4. Cho biểu thức A 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A 1 1 1 1 1 1 Bài 5. Cho 2 ; 2 . Chứng minh rằng a b c abc a b c a2 b2 c2 Bài 6. Tìm nguyện nguyên dương của phương trình x2 y2 z2 xy 3y 2z 4 Bài 7. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh: BC 2 a) BD.CE 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Bài 8. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. HD HE HF a) Tính tổng AD BE CF b) Chứng minh BH.BE CH.CF BC 2 c) Chứng minh H cách đều ba cạnh tam giác DEF d) Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM CN . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 9. Cho tam giác vuông cân ABC (AB AC ). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM MA ; CN cắt AB tại E. Chứng minh: a) BNE ~ BAN NC NB b) 1 AN AB
2. a b c 2 b c a 2 c a b 2 a b c 2 4 a2 b2 c2 Bài 3. Viết vế trái của đẳng thức dưới dạng: [(b+c)+a]2 + [(b+c)-a)]2+[a+(b-c)]2+[(a-(b-c)]2 0,5đ Ta nhận xét rằng: (A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2) 0,5đ Ta có (áp dụng 2 cặp tương ứng): P=2[(b+c)2+a2] + 2[a2+(b-c)2] 0,5đ =4a2+2[(b+c)2+(b-c)2] =4a2+2.2(b2+c2) =4(a2+b2+c2) (đpcm)