Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 47 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 47 (Có đáp án)

1. 2 4 x 1 1 4 1 x Bài 1. Cho biểu thức M 4 2 2 x 2 x x 1 x 1 1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M Bài 2 a) Chứng minh rằng với n ¢ thì n2 3n 1 n 2 n3 2 chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3xy 4x 9y 7 Bài 3 x 2 4x 1 x 2 5x 1 a) Giải phương trình 2 x 1 2x 1 b) Tìm số nguyên dương n để n5 1 chia hết cho n3 1 Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD sao cho CE AF . Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a) Chứng minh rằng CM.DN a2 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng M· KN 900 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 bc b2 ca c2 ab
2. K A B F E N D C M a) Ta có CM CE CE AF AF AB ; ; suy ra CM.DN AB2 a2 AB BE BE AD AD ND CM AB CM AD b) Ta có AB CN CB CN Do đó ADN ~ MCB (c.g.c) suy ra C·MB D· AN ; ·AND D· AN 900 ·AND C·MB 900 N·KM 900 c) MN nhỏ nhất CM ND nhỏ nhất Ta có CM DN 2 CM DN 2 4CM.DN CM DN 2 4a2 4a2 CM DN 2 nhỏ nhất bằng 4a2 khi CM DN a E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 bc b2 ca c2 ab Ta có a 1 1 a 2 a bc 4 a bc Do đó a b c 1 1 a 1 b 1 c 1 a2 b2 c2 ab bc ac P 2 2 2 a bc b ca c ab 4 a bc b ca c ab 4 abc 2 2 2 a b c 1 a b c 1 2 2 2 P 2 2 2 (vì ab bc ca a b c ) a bc b ca c ab 2 abc 2 1 Vậy maxP a b c 3 2
3. K A B F E N D C M a) Ta có CM CE CE AF AF AB ; ; suy ra CM.DN AB2 a2 AB BE BE AD AD ND CM AB CM AD b) Ta có AB CN CB CN Do đó ADN ~ MCB (c.g.c) suy ra C·MB D· AN ; ·AND D· AN 900 ·AND C·MB 900 N·KM 900 c) MN nhỏ nhất CM ND nhỏ nhất Ta có CM DN 2 CM DN 2 4CM.DN CM DN 2 4a2 4a2 CM DN 2 nhỏ nhất bằng 4a2 khi CM DN a E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Bài 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 bc b2 ca c2 ab Ta có a 1 1 a 2 a bc 4 a bc Do đó a b c 1 1 a 1 b 1 c 1 a2 b2 c2 ab bc ac P 2 2 2 a bc b ca c ab 4 a bc b ca c ab 4 abc 2 2 2 a b c 1 a b c 1 2 2 2 P 2 2 2 (vì ab bc ca a b c ) a bc b ca c ab 2 abc 2 1 Vậy maxP a b c 3 2