Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 63 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 63 (Có đáp án)

1. 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Bài 1. Cho biểu thức P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 Bài 2 a) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 . Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a b) Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3 . Bài 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 x 1 x 1 2x 4 b) Giải phương trình 3 0 x 2 x 4 x 4 Bài 4 a) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc . Chứng minh tam giác đều. 1 1 1 b) Cho x, y, z dương và x y z 1 . Chứng minh rằng 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 5. Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB2 4AC.BD b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Bài 6. Cho x, y thoả mãn x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S x y 1
2. 2016 x y 2015 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 x y y 2015 4031 x 2016 Họ và tên học sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016 Bài Nội dung 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Cho biểu thức: P 4x2 1 8x3 1 a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 a) P 4x2 1 8x3 1 x4 (2x 1) (2x 1) 2(4x2 2x 1) = (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x2 2x 1) 1 (x4 1)(2x 1) 2 x4 1 2 x4 1 = (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4 Vậy P = x 1 2x 1 1 b) ĐK: x 2 x4 1 P = 6 6 x4 1 12x 6 2x 1 x4 4x2 4 4x2 12x 9
3. (x2 2)2 (2x 3)2 x2 2 2x 3 (1) hoặc x2 2 2x 3 (2) Ta có (1) x2 2x 1 2 (x 1)2 2 x 1 2 x 1 2 (tmđk) x 1 2 x 1 2 (2) x2 2x 1 4 (x 1)2 4 vô nghiệm x 1 2 Vậy x 1 2 a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả 2a +b 2b+c 2c+d 2d +a mãn: + + 6 . a b b+c c d d +a Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. 2a +b 2b+c 2c+d 2d+a a) + + 6 a b b+c c d d +a a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 a b b+c c d d +a a b c d + + 2 a b b+c c d d +a a b c d 1 1 0 a b b+c c d d +a b b d d 0 a b b+c c d d +a b(c-a) d(a -c) 2 0 (a b)(b+c) (c d)(d +a) b(c d)(d a) d(a b)(b c) 0 abc acd bd2 b2d 0 (b d)(ac bd) 0 ac bd 0 ac bd (vì b ≠ d) Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3 (4a 1)M(a2 3) (4a 1)(4a 1)M(a2 3) (vì a Z nên 4a 1 Z ) (16a2 1)M(a2 3) 2 2 16(a 3) 49 M(a 3) 49M(a2 3) +) Tìm a, thử lại và kết luận a  2;2 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017
4. 2 2 x+1 x+1 2x-4 b. Giải phương trình: + -3 0 x-2 x-4 x-4 a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 2016 x 0 2 Dấu "=" xảy ra 2x 3x 0 x(2x 3) 0 3 x 2 x 0 Vậy A min = 2016 3 x 2 2 2 x+1 x+1 2x-4 b) + -3 0 . Điều kiện x2;4 x-2 x-4 x-4 2 2 x+1 x+1 x-2 + -12 0 (*) x-2 x-4 x-4 x +1 x - 2 x +1 Đặt = a và = b suy ra ab = x - 2 x - 4 x - 4 Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0 a 3b (a – 3b)(a + 4b) = 0 a 4b x +1 x - 2 + Nếu a = 3b thì = 3. x - 2 x - 4 (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm x +1 x - 2 + Nếu a = -4b thì = 4. x - 2 x - 4 (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 x 3 Giải phương trình trên ta được 4 (tmđk) x 5 4 + Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; } 5 a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. 4 b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. 1 1 1 Chứng minh rằng : 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy
5. a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 ) +) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a b 0 b ac =0 b = c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1 1 1 1 +) C/m: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9 (đpcm) a b c a b c x2 2yz y2 2xz z2 2xy Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Vẽ hình và ghi GT, KL y x D 5 I M C K A H O B a) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB . AC.BD AB2 4AC.BD (đpcm) 2 2
6. OC AC b) Theo câu a ta có: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA +) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDOC (c-g-c) A·CO O·CM +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC MC (đpcm) c) Ta có ΔOAC=ΔOMC OA OM; CA CM OC là trung trực của AM OC  AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông tại M OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH +) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC đi qua trung điểm MH (đpcm) d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông 1 S (AC BD).AB ABDC 2 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có AB2 1 AC BD 2 AC.BD 2. AB S AB2 4 ABDC 2 AB Dấu “=” xảy ra AC BD OA 2 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d F b c c d d a a b a c b d a(d a) c(b c) b(a b) d(c d) b c d a c d a b (b c)(d a) (c d)(a b) a2 c2 ad bc b2 d2 ab cd 4(a2 b2 c2 d2 ab ad bc cd) 1 2 1 2 2 6 b c d a c d a b (a b c d) 4 4 1 (theo bất đẳng thức xy (x y)2 ) 4 2 2 2 2 2 +) Mặc khác: 2(a b c d ab ad bc cd) (a b c d) a2 b2 c2 d2 2ac 2bd (a c)2 (b d)2 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy ra y = 2016; x = 2015
7. Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.