Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 64 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 64 (Có đáp án)

1. Câu 1. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có x5 y xy5 chia hết cho 30; b) Giải phương trình x2 y2 z2 y x z Câu 2 a) Cho a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a a2 2b b b2 a a b c b) Cho tam giác có nửa chu vi p với a, b, c là độ dài ba cạnh. 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 . p a p b p c a b c Câu 3 Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy? Câu 4 Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: AIM và ABI đồng dạng. 2 AM AI BN BI Câu 5. (1,5 điểm) 1 Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho BE BC , F là 3 trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2. Hết Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. Câu 1. (2,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30; Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – 1 – y4 + 1) = xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1) 0,5 đ Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, 3 và 5 => xy(x4 – 1) M 30 tương tự xy(y4 – 1) M 30 0,5 đ => x5y – xy5 M 30 0,25 đ b) x2 + y2 + z2 = xy + yz 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0 0,5 đ (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0 0,5 đ x – y = y – z = x = z = 0 x = y = z = 0 0,25 đ Câu 2. (2 điểm) Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 2 2 A = a(a + 2b) + b(b – b) a b c Cho tam giác có nửa chu vi p với a, b, c là độ dài ba cạnh. 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 . p a p b p c a b c 1 1 a) a + b = 1 => a = + x, b = + y với x + y = 0 2 2 ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2 0,5 đ 2 2 1 1 1 2 2 1 = x y x y 2 2 2 2 0,5 đ 1 1 => GTNN(A) = x = y = 0 a = b = 2 2 0,25 đ
3. 1 1 4 Ta có: p c p b a 0,5 đ 1 1 4 1 1 4 Tương tự ; p c p a b p b p a c 0,25 đ Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều 1 1 1 4 4 4 2 p c p b p a a b c 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 0,5 đ Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy? Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0 => Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h) Thời gian xe máy đi là x + 1 (h) 0,25 đ => Quãng đường ô tô đi là 50x (km) Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km) 0,25 đ Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình: 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x 5 0,5 đ x = (h) = 50 phút (TMĐK) 6 Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy 0,5 đ
4. Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: AIM và ABI đồng dạng. 2 AM AI BN BI A M I B N C a) M· AI I·AB (AI là phân giác góc A) 0,25 đ Cµ A· IM I·AM I·MC 900 (t/c góc ngoài ) 2 0,25 đ 1800 Cµ Cµ I·AB I·BA 900 (t/c góc ngoài ) 2 2 0,25 đ => A· IM I·AB => AIM và ABI đồng dạng. 0,25 đ b) Chứng minh tương tự có IBN và ABI đồng dạng. => AIM và IBN đồng dạng. 0,25 đ AM IM AI => IN BN BI 0,25 đ Có IM = IN do tam giác MCN cân tại C 0,25 đ 2 AM AM IM AI => . BN IN BN BI 0,25 đ
5. Câu 5. (1,5 điểm) 1 Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho BE BC , F là 3 trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích AIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2. A B I E K D F C Ta có SAEF SABCD – SABE SCEF SADF 1 1 1 5 2 SABCD – SABCD SABCD SABCD SABCD 20(cm ) 6 6 4 12 0,5 đ S S AK AI AB AD Nối FI => AIK . AFI . . SAIF SAFE AF AE AB DF AD BE 0,5 đ 2 3 1 S 1 1 . AIK S S 10(cm2 ) 3 4 2 S 2 AIK 2 AFE AFE 0,5 đ Chú ý: Học sinh làm theo các cách khác đúng cho điểm tối đa. Trên cơ sở tổng điểm giám khảo chia điểm từng phần sao cho phù hợp, đảm bảo chính xác, công bằng.