Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 67 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 67 (Có đáp án)

1. Câu 1 a) Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên na trừ đi 2017 lần số nguyên đó thì chia hết cho 6. b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 y2 2x 4y 10 0 c) Không thực hiện phép chia đa thức, hãy tìm số dư của phép chia sau: 2 x 6 x 7 x 8 x 9 8 : x 15x 100 Câu 2 x 4x2 1 2x2 2x 1) Cho biểu thức P 1 2 : 1 2 1 4x 1 4x 2x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P P2 2) Phân tích thành nhân tử ab a b bc b c ac a c 2abc Câu 3. Hưởng ứng kế hoạch xây dựng trường THCS với 6 giá trị căn bản: “An toàn- Thân thiện-Tự tin-Sáng tạo-Hiệu quả-Hội nhập”, khối 8 của một trường THCS được phân công vệ sinh sân trường như sau: Lớp 8A được phân công vệ sinh 10m 2 và 1/10 phần còn lại. Lớp 8B được phân công vệ sinh 20m2 và 1/10 phần còn lại. Lớp 8C được phân công 30m2 và 1/10 phần còn lại. Cứ như vậy cho đến lớp cuối cùng của khối 8 thì phần diện tích vệ sinh sân trường vừa hết và mỗi lớp đều vệ sinh diện tích bắng nhau. Tính số lớp trong khối 8 và phần diện tích sân trường mà khối 8 được giao vệ sinh. Câu 4. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M thuộc BC. Tia AM cắt đường chéo BD tại điểm N và cắt đường thẳng DC tại điểm K. Chứng minh rằng: a) AN 2 MN.NK b) Cho M là trung điểm của BC và diện tích của hình bình hành ABCD là 60cm 2. Tính diện tích tứ giác MNDC. Câu 5. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 . 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Câu 6 x 1 x 1 4 a) Giải phương trình x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn y x 1 x2 2 Câu 7 a) Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2 m 5n2 n thì: m n và 5m 5n 1 đều là số chính phương. b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: 12a b4 12b c4 12c a4 2015 670a b c 670b c a 670c a b Tính giá trị của biểu thức P a b c Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh E·AD E·CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC ? c) Kẻ DH  BC (H BC ). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và DH. Chứng minh CQ  PD .
2. Câu 2. (4,0 điểm): x 1 x 1 4 a) Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2 Câu 3. (3,0 điểm): a) Chứng minh rằng nếu m;n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m 2 m 5n 2 n thì: (m - n) và (5m 5n 1 ) đều là số chính phương. b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: 12a b4 12b c4 12c a4 2015 . 670a b c 670b c a 670c a b Tính giá trị của biểu thức: P = a b c Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: E·AD = E·CB . · 0 2 b) Cho BMC = 120 và SAED = 36cm . Tính SEBC? c) Kẻ DH BC (H BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và DH. Chứng minh CQ PD. Câu 5. (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 6. (2,0 điểm): Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 . a8 thoã mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 2 3 a1a2a3 = a7a8 và a 4a5a6a7a8 a7a8 . Biểu Câu Nội dung điểm a) (2,0 điểm): ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± 2 0,5đ Rút gọn đúng A = 1 1,5đ Câu 1. 2 x (4,0 điểm) b) (1, 0 điểm): |x+1 | = | - 1| x = -2 hoặc x = 0 0,5đ Với x = 0 hoặc x = -2 thì không thoả mãn ĐKXĐ nên A không có giá trị 0,5đ c) (1,0 điểm):
3. Vì x nguyên nên để A có giá trị nguyên thì 0,5đ 2 - x 1; 1 x 1;3 0,5đ a) (2,0 điểm): 2 2 2 1 3 2 1 3 Ta có: x x 1 x 0 ; x x 1 x 0 Câu 2. 2 4 2 4 (4,0 2 0,5đ 4 2 2 1 3 điểm) x x 1 x 0 nên phương trình xác định với mọi x 0 2 4 x 1 x 1 4 Phương trình x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 2 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 4 0,5đ x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 3 3 x 1 x 1 4 2 4 0,5đ x4 x2 1 x x4 x2 1 x4 x2 1 x x4 x2 1 0,25đ 0,25đ 2x 4 x 2 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. b) (2,0 điểm): Với x = 1 ta có: 0y = 3 (phương trình vô nghiệm). 0,25đ x 2 2 3 Xét x ≠ 1 ta có : y = = x + 1 + 0,25đ x 1 x 1 Vì x, y Z nên x – 1 là ước của 3. Ta có các trường hợp sau: 0,25đ x – 1 = 1 x = 2 y = 6 (thỏa mãn) 0,25đ x – 1 = -1 x = 0 y = -2 (thỏa mãn) 0,25đ x– 1 = 3 x = 4 y = 6 (thỏa mãn) 0,25đ x – 1 = -3 x = -2 y = -2 (thỏa mãn) 0,25đ Vậy (x, y) {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)} 0,25đ a) (1,5 điểm): Ta có 4m2 m 5n2 n 5 m 2 n 2 m n m 2 m n 5m 5n 1 m 2 (*) 0,25đ Câu 3. Gọi d là ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1) (m - n)  d và (5m + 5n + 1)  (3,0 0,25đ điểm) d 0,5đ (m - n)  d 5m - 5n  d (5m + 5n + 1) + (5m - 5n) d 10m + 1 d 0,5đ Mặt khác từ (*) ta có: m2 Md 2 m d. Mà 10m + 1 d nên 1 d d = 1 (Vì d là số tự nhiên)
4. Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 0,25đ b) (1,5 điểm): 4 4 12a b 2015 12a 2015 b a 0 4 4 Vì 12b c 2015 12b 2015 c b 0 4 4 c 0 12c a 2015 12c 2015 a - Giả sử a 0 ) (1) 12b 0 ) (2) Từ (1) và (2) ta có: b b. Chứng minh tương tự như trên ta được b > c > a Trái với giả sử Vậy a = b 12a – 12b = 0 b4 – c4 = 0 b = c ( vì b; c > 0) a = b = c 0,25đ 670a b c 670b c a 670c a b P = a b c 672a 672b 672c = 672 672 672 2016 a b c E D A Câu 4 M (5,0 Q điểm) B C P I H a) (2,0 điểm): - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) 0,5đ EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 0,5đ EC EA
5. - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (c-g-c) 0,5đ 0,5đ - Suy ra E·AD E·CB b) (1,5 điểm): - Từ B·MC = 120o ·AMB = 60o ·ABM = 30o 0,5đ 1 ED 1 - Xét EDB vuông tại D có Bµ = 30o ED = EB 2 EB 2 0,5đ 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm SECB EB 0,5đ c) (1,5 điểm): - Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD 0,5đ PQ // BD - Mặt khác: BD  CD (Giả thiết) 0,5đ - Suy ra: PQ  DC Q là trực tâm của tam giác DPC Hay CQ  PD 0,5đ A N Câu 5. M F B C (2,0 D điểm) E Dựng hình bình hành ABEC, gọi F là giao của DN và AE. BM BD Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC AB BC 0,5đ BD AN DN // AB BC AC AN FN NF // CE AC EC BM FN Từ đó suy ra: (1) AB EC 0,5đ Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN. Theo gt BM // FN nên
6. BMNF là hình bình hành, do đó MN = BF. Vậy MN nhỏ nhất khi BF nhỏ nhất. 0,5đ Do B là điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn nhất khi F là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE. Từ đó điểm D được xác định như sau: Từ B hạ BF  AE, dựng đường thẳng qua F song song với AB cắt BC tại D. 0,5đ 2 3 Ta có: a1a2a3 = a7a8 (1) và a 4a5a6a7a8 a7a8 (2) 0,5đ Từ (1) và (2) => 22 a7a8 31 Câu 6. 3 3 (2,0 (2) => (a7a8 ) = a4a5a6 00 + a7a8  (a7a8 ) - a7a8 = a4a5a6 00 điểm) 0,5đ  (a7a8 - 1). a7a8 .(a7a8 + 1) = 4.25. a4a5a6 Nhưng  (a7a8 - 1) ; a7a8 ; (a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó có 1 số chia hết cho 25, nhưng số đó nhỏ hơn 50 (vì tích 0,5đ 48.49.50 = 117600 > a4a5a6 00 ). Suy ra có 1 số là 25. Nên chỉ có có 3 khả năng: + a7a8 + 1 = 25 => a7a8 = 24 => a1a 2 . a8 là số 57613824 + a7a8 = 25 => a1a 2 . a8 là số 62515625 a a a a + 7 8 - 1 = 25 => 7 8 = 26 => Không thỏa mãn. 0,5đ