Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 81 - Năm học 2019-2020 - Lê Nguyên Thạch (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 81 - Năm học 2019-2020 - Lê Nguyên Thạch (Có đáp án)

1. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ĐỀ SỐ 81 NĂM HỌC:2019-2020 Ngày 08 tháng 6 năm 2020 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Lớp 11A có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 2 2 nữ? A. 45 . B. C45 . C. . A4 5 D. . 500 Câu 2. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 2 , công sai d 3 . Số hạng thứ 5 của un bằng A. 14 .B. . 1C.0 .D. . 162 30 Câu 3. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl .B. . C.2 r.D.l . rl rl 3 Câu 4.Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;4 . B. ; 1 . C. . 1 D.;1 . 0;2 Câu 5. Cho hình hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và chiều cao 3a . Thể tích của hình hộp đã cho bằng 1 A a 3 B 3 a C.3 . D.9a. 3 a3 3 7 9 Câu 6. Phương trình 20204x 8 1 có nghiệm là A. x . B. .x 2 C. . D. x . x 2 4 4 2 2 2 Câu 7. Nếu f x dx 5 và 2 f x g x dx 13 thì g x dx bằng A. 3 . B. . 1 C. . 1D. . 3 1 1 1 Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây đúng A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 4 . B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x 0 . C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 . D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là A 0 ; 3 . Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình dưới đây? A. y x2 2x 1 .B. . y x3 2x 1 C. . y x4 2xD.2 .1 y x3 2x 1 Câu 10. Với số thực dương a tùy ý, log3 a bằng 1 1 A. 2 log a . B. . lC.og .D.a . 2log a log a 3 2 3 3 2 3 Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x sin x 6x2 là A. cos x 2x3 C .B. . cos x 2x3 C C. . cos x D.18 .x3 C cos x 18x3 C Câu 12. Gọi z là số phức liên hợp của số phức z 3 4i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . B. Số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . C. Số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . D. Số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . Câu 13. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là A. 0;2;3 . B. . 1;0;3 C. . 1;0;0 D. . 0;2;0 Câu 14. Trong không gian Oxyz , tọa độ tâm của mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6 0 là A. . B.2 ; 4. ;0 C. . 1;2;0 D. . 1;2;3 2;4;6 Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2x 3z 1 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ? A. n 2;3; 1 . B. .n 2 ; 3 ; C.0 . D. .n 2;0; 3 n 2;0; 3 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 1
2. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 x 1 2t Câu 16. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 3 t ? z 3t A. M 1;3;0 . B. N 1;3;3 . C. P 2; 1;0 . D. Q 2; 1;3 . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình thoi tâm O , ABD 3a 2 đều cạnh a 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA (minh 2 họa như hình bên).Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD bằng A. 45 . B. .3 0 C. .D. .60 90 Câu 18. Cho hàm số y f x , bảng xét dấu của f x như sau Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 0 . B. .2 C. . 1 D. . 3 Câu 19. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x4 10x2 1 trên đoạn 3;2 bằng A. 1 .B C. 2 3 . D. 24 . 8   2 Câu 20. Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn log3 a log27 a b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a b2 .B. . C.a3 .D.b . a b a2 b log2 x log x Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 9 9 x 9 18 là 1 1 A. 1;9 .B. . C. .D.;9 . 0;19; 0; 9; 9 9 Câu 22. Cho mặt cầu S . Biết rằng khi cắt mặt cầu S bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao tuyến là đường tròn T có chu vi là 12 . Diện tích của mặt cầu S bằng A. 180 .B. .C. .D. . 180 3 90 45 Câu 23. Cho hàm số bậc ba f x có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x 1 m có 3 nghiệm phân biệt là A. 4 . B. .5 C. . 2 D. . 3 x x e Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số y e 1 2 là cos x 1 1 A. ex tan x C .B. .C. .D. . ex tan x C ex C ex C cos x cos x log x2 3x Câu 25. Tìm tập xác định của hàm số y e . A. D ¡ .B. .C. .D. D 0;3 D 3; D ;0  3; Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D , có đáy là hình bình hành cạnh AB a , AD a 3 , B· AD 120 và AB 2a (minh họa như hình dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 3 3 3 3 3 A. a3 . B. . a 3 C. .D. . a3 3a3 2 4 6 Câu 27. Gọi k và l lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 x y . Khẳng định nào sau đây đúng x 1 x A. k 0 ;l 2 .B. ; . k 1 l 2 C. ;.k 1 l 1 D. k; 0 . l 1 Câu 28. Cho hàm số y ax4 bx2 c , a,b,c ¡ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 0 ,b 0 ,c 0 .B. , a 0 , b 0 . c 0 C. a 0 , ,b . 0 cD. 0 , a , 0 b . 0 c 0 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 2
3. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 Câu 29. Hãy tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. 4 3 A. . B. . C. 1.D. . 3 4 2 2 Câu 30. Cho z1 4 2i . Hãy tìm phần ảo của số phức z2 1 2i z1 . A. 6i . B. . 2i C. .D. . 2 6 Câu 31. Cho số phức z x yi x, y ¡ có phần thực khác 0. Biết số phức w iz2 2z là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây? A. M 0;1 . B. .N C.2; .D.1 . P 1;3 Q 1;1 Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 2;1;2 , b 1; 1;0 . Tích vô hướng a b .b bằng A. 3 .B. .C. .D. . 1 5 12 x 1 y z 2 Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : và mặt phẳng P : 2x y z 3 0 . 2 2 1 Gọi S là mặt cầu có tâm I thuộc và tiếp xúc với P tại điểm H 1; 1;0 . Phương trình của S là 2 2 2 2 2 2 A. . B.x . 3 y 2 z 1 36 x 3 y 2 z 1 36 2 2 2 2 2 2 C. x 3 y 2 z 1 6 . D. . x 3 y 2 z 1 6 Câu 34. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và song song với mặt phẳng P : x 2y z 3 0 có phương trình là A. x 2y z 3 0 .B. .C. x 2y 3 .D.z .0 x 2y z 0 x 2y z 8 0 x 2 y z 1 Câu 35. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : nhận vectơ nào sau đây làm vectơ chỉ phương?   1 2   1  A. u1 1;2;1 .B. .C. .D. . u2 2;4;2 u3 2; 4;2 u4 1;2;1 Câu 36. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau. 1 2 5 5 A. .B. .C. .D. . 36 3 63 1512 Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB 3a, AD DC a. Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Gọi M điểm trên AB sao cho AM 2a , tính khoảng cách giữa MD và SC . a 17 a 15 a 6 a 3 A. .B. . C. .D. . 5 10 19 15 2 a 2 Câu 38. Cho hàm số f x có f 2 và f x xsin x . Giả sử rằng cos x. f x dx (với a,b,c là 2 0 b c a các số nguyên dương, tối giản). Khi đó a b c bằng A. 23 . B. .5 C. . 2 0D. . 27 b m 1 2x 3 1 Câu 39. Cho hàm số f (x) (m 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho 2 2x 3 m 1 nghịch biến trên khoảng ; 1 có dạng S ; a  b; cd; , với a, b, c, d là các số thực. Tính 2 P a b c d . A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Câu 40. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O . Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4 . Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30 . Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 3
4. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 10 2 8 3 5 3 A. 5 .B. . C. .D. . 3 3 3 Câu 41. Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng 1; và thỏa mãn c2 1 log2 b log c.log 9log c 4log b . Giá trị của biểu thức log b log c2 bằng:A.1. B. . C. 2 . D. . a b b a a a b 3 b 2 Câu 42. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ bên.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0;20 sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số g x 2 f x m 4 f (x) 3 trên đoạn  2;2 không bé hơn 1 ? A. 18 . B. .1 9 C. 2. 0 D. . 21 2 Câu 43. Cho phương trình log3 x 4log3 x 5 m log3 x 1 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc 27; . A. 0 m 2 . B. .0 C.m .D. 2 . 0 m 1 0 m 1 Câu 44. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thoả mãn f x f x 2x 1 ex và f 0 2 . Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f x 0 có giá trị là A 2 B 2 C 1 D 1 Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả giá trị y nguyên của tham số m để phương trình f 2 f cos x m có nghiệm x ; . 2 2 A. . 1 B. . 0 C. . D. 1. 2 1 Câu 46. Cho hàm số đa thức bậc bốn y f x , biết hàm số có ba điểm cực trị 2 1 x O x 3, x 3, x 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 2 1 3 2 g x f ex 3x m có đúng 7 điểm cực trị A. 3 . B.4 . C.5 . D. 6 2 Câu 47. Có tất cả bao nhiêu cặp số a;b với a,b là các số nguyên dương thỏa mãn: 3 2 2 log3 a b a b 3 a b 3ab a b 1 1.A. 2 . B. .3 C. . 1 D. vô số. Câu 48. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn 4 3 1 2 2x 2 x x 4x 4 1 3 x f 1 x 2 f ,x 0, x 1. Khi đó f x dx có giá trị làA 0 B. . 1C. . D x x 2 2 1 Câu 49. Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác ABC có AB a; AC a 2 và C· AB 135 , tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAC và SAB bằng 30 . Tính thể tích khối a3 a3 a3 6 a3 6 chóp S.ABC .A. . B C. . D 6 3 3 6 Câu 50. Cho hàm số y f x và f x 0,x ¡ . Biết hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ và 1 137 f . 2 16 x2 4mx 5 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2020; 2020 để hàm số gđồng x biến e trên . f x . 1; 2 A. 4040 .B. . C.40 4 .1D. . 2019 2020 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 4
5. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 HƯỚNG DẦN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 81(08/06/2020) Câu 1. Chọn D.Để chọn được một đôi song ca gồm một nam và một nữ ta thực hiện liên tiếp 2 công đoạn: Công đoạn 1: Chọn 1 học sinh nam từ 20 học sinh nam có 20 cách chọn. Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ từ 25 học sinh nữa có 25 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có 20.25 500 cách chọn. Câu 2.Chọn A.Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai bằng d là un u1 n 1 d . Vậy u5 u1 4d 2 4.3 14 . Câu 3.Chọn B.Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r là Sxq 2 rl . Câu 4.Chọn C.Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . Câu 5.Chọn B.Thể tích của hình hộp đã cho là V B.h a2.3a 3a3 . Câu 6. Chọn D.Ta có 20204x 8 1 20204x 8 20200 4x 8 0 x 2 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 . 2 2 2 Câu 7. Chọn D.Ta có 2 f x g x dx 13 2. f x dx g x dx 13 1 1 1 2 2 2 2 g x dx 13 2. f x dx g x dx 13 2.5 g x dx 3 . 1 1 1 1 2 Vậy g x dx 3 . 1 Câu 8.Chọn D.Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số là A 0 ; 3 do đó chọnD. Câu 9.Chọn B +) Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy đồ thị là dạng của hàm bậc ba nên loại đáp án A, C +) Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy giới hạn của hàm số khi x là nên hệ số của x3 dương, loại đáp án D Vậy B là đáp án đúng. 1 1 Câu 10.Chọn D.Với a là số thực dương tùy ý, ta có log a log a 2 log a . 3 3 2 3 Câu 11.Chọn A.Ta có f x dx sin x 6x2 dx sin xdx 2 3x2dx cos x 2x3 C . Câu 12.Chọn C.Số phức z 3 4i có số phức liên hợp là z 3 4i . Vậy số phức z có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 . Câu 13.Chọn A.Theo lý thuyết ta có : hình chiếu vuông góc của điểm M x; y; z lên mặt phẳng Oyz là M 0; y; z suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;3 trên mặt phẳng Oyz có tọa độ là 0;2;3 . 2 2 Câu 14.Chọn B.Ta có S : x 1 y 2 z2 11 nên tọa độ tâm mặt cầu là 1;2;0 . Câu 15. Chọn C.Mặt phẳng ax by cz d 0 có các vectơ pháp tuyến dạng n ka;kb;kc ,k ¡ ,k 0 . Suy ra có một vectơ pháp tuyến là n 2;0; 3 . Câu 16.Chọn A.Từ phương trình đường thẳng d ta thấy đường thẳng đi qua điểm M 1;3;0 . Câu 17. Chọn C.Do SA  ABCD nên hình chiếu của SO lên mặt phẳng ABCD là AO . Khi đó góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD là góc S· OA . 3 3 a 6 ABD đều cạnh a 2 nên AO AB a 2. . 2 2 2 3a 2 a 6 SOA vuông tại A có SA , AO nên 2 2 SA 3a 2 a 6 tan S· OA : 3 S· OA 60 . OA 2 2 Vậy góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Câu 18. Chọn B.Căn cứ vào bảng xét dấu của f x ta thấy f x đổi dấu từ âm sang dương tại các điểm x 1 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 5
6. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 và x 1 nên hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Câu 19. Chọn C.Hàm số f x x4 10x2 1 xác định trên  3;2 . x 0  3;2 Ta có f x 4x3 20x . f x 0 x 5  3;2 . x 5  3;2 f 3 8; f 5 24; f 0 1; f 2 23. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  3;2 bằng 24 tại x 5 . 1 Câu 20. Chọn D.Ta có log a log a2 b log a log a2 b 3log a log a2 b 3 27 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 log3 a log3 a b a a b a b a b . log2 x log x Câu 21. Chọn B.9 9 x 9 18 1 log x.log x log x log9 x log x log x 9 9 9 log9 x 9 9 Điều kiện x 0 . 1 9 x 18 9 x 18 2x 18 log x 2 1 x 9 9 log x.log x log 9 log x 1 1 log x 1 x 9 (thỏa mãn). 9 9 9 9 9 9 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ;9 . 9 Câu 22. Chọn A.Gọi I là tâm mặt cầu S , J là tâm đường tròn T , A là điểm thuộc đường tròn T Có bán kính đường tròn T là r JA , IJ 3 .Có chu vi đường tròn T là P 2 r 12 r 6 . I 2 2 Gọi R là bán kính mặt cầu thì R r IJ 3 5 . J A Diện tích mặt cầu S là S 4 R2 180 . Vậy S 180 . Câu 23. Chọn D.+) Ta có f x 1 m f x m 1 * . +) Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m 1 . +) Từ đồ thị ta có, đường thẳng y m 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 m 1 3 0 m 4 . +) Vì m ¢ nên m 1 ; 2 ;3 . Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài. e x 1 Câu 24. Chọn B.Ta có ex 1 dx ex dx ex tan x C . 2 2 cos x cos x Câu 25.Chọn B.+ Điều kiện xác định: x2 3x 0 0 x 3 . Vậy tập xác định của hàm số là D 0;3 . 3 Câu 26. Chọn A.Diện tích hình bình hànhABCD là S AB.AD.sin B· AD a2 . ABCD 2 Tam giác ABB vuông tại B có BB AB 2 AB2 a 3 . 3 3 3 Vậy V BB .S a 3. a2 a3 . ABCD.A B C D ABCD 2 2 Câu 27. Chọn A.Tập xác định D 0;2 \1 . + Do tập xác định của hàm số là D 0;2 \1 nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi x , do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 6
7. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 2 x 2 x + lim f x lim ; lim f x lim , suy ra x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x hàm số. 2 x +lim f x lim , suy ra x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 0 x 0 x 1 x Do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang và có hai đường tiệm cận đứng. Vậy k 0 ;l 2 . Câu 28. Chọn B + Dựa vào hình dáng đồ thị ta có a 0 . + Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị suy ra a, b trái dấu, mà a 0 suy ra b 0 . + Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra c 0 . Vậy a 0 ,b 0 ,c 0 . Câu 29. Chọn A.Cách 1: Ta có x2 1 0,x  1;1 . Do đó diện tích phần tô đậm là 1 3 1 1 2 2 x 4 S x 1dx 1 x dx x . 1 1 3 3 1 2 Cách 2: Công thức nhanh tính diện tích S Bh 3 2 2 4 Áp dụng công thức với B 2 , h 1 ta có: S Bh .2.1 . 3 3 3 2 Câu 30.Chọn C.Ta có z2 1 2i z1 3 4i 4 2i 1 2i .Vậy phần ảo của số phức z2 là 2 . Câu 31.Chọn D.Ta có z x yi x, y ¡ ; x 0 2 Mặt khác w iz2 2z i x yi 2 x yi 2 x xy x2 y2 2y i . x 0 kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn Vì w là số thuần ảo nên x xy 0 . y 1 0 (tháa m·n ®iÒu kiÖn) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình y 1 0 (trừ điểm M 0;1 ), do đó đường thẳng này đi qua điểm Q 1;1 . Câu 32.Chọn C.Ta có a b 3;2;2 a b .b 5 . Câu 33.Chọn C x 1 2t x 1 y z 2 Phương trình đường thẳng : được viết lại là : y 2t , t ¡ . 2 2 1 z 2 t Theo giả thiết I I 1 2t ;2t ;2 t .  Ta có HI 2t;2t 1;t 2 . Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là .n 2; 1;1  Vì mặt cầu S tiếp xúc với P tại điểm H nên HI và n cùng phương. 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 7
8. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020  2t 2t 1 t 2 t 2t 1 Ta có HI và n cùng phương khi và chỉ khi t 1 I 3; 2;1 . 2 1 1 2t 1 t 2 2 2 2 Bán kính mặt cầu S là : R IH 1 3 1 2 0 1 6 . 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu S là : x 3 y 2 z 1 6 . Câu 34.Chọn C.Gọi Q là mặt phẳng đi qua điểm M 1;2;3 và song song với mặt phẳng P .  Vì Q // P nên Q nhận vectơ pháp tuyến n P 1; 2;1 của mặt phẳng P làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng Q là:1. x 1 2. y 2 1. z 3 0 x 2y z 0 . Vậy phương trình mặt phẳng Q : x 2y z 0 . Câu 35. Chọn C  +) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u 1;2; 1 .    d Mà u 2u suy ra u 2; 4;2 cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d . 3 d 3 Câu 36.Chọn D.Xét phép thử: “ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S ”. Số phần tử của không gian mẫu là: n  9.A3 4536 . 9 Gọi A là biến cố: “ Số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau”. Gọi số được chọn là abcd . +) Vì chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần nên: 1 a b c d 9 . +) Trong số được chọn không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau nên: 1 a b 1 c 2 d 3 6 . Đặt: a1 a ; b1 b 1 ; c1 c 2 ; d1 d 3 . Khi đó: 1 a1 b1 c1 d1 6 . 4 4 Số cách chọn bộ bốn số a1;b1;c1;d1 là: C6 (cách) có C6 cách chọn a ; b ; c ; d . Mỗi cách chọn a;b;c;d chỉ có một cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán nên tạo ra một số. Suy ra: n A 5 n A C 4 15 .Xác suất cần tìm là: P A 6 n  1512 Câu 37. S A 2a M a B I H D C K E SBI  (ABCD) Chọn B+) Theo giả thiết ta có SCI  (ABCD) SI  (ABCD) SI SBI  SCI +) Vẽ IK  BC BC  SIK S· KI là góc giữa mặt phẳng SBC với mặt đáy nên S· KI 60 . 1 a2 3a2 +) Vì S DI.DC , S . Suy ra S S - S S a2 . IDC 2 4 IAB 4 BIC ABCD ICD IAB 2 1 2a 5 +) Mặt khác BC AB CD AD2 a 5 và S IK.BC. Suy ra IK IBC 2 5 2a 15 +) Trong tam giác vuông SIK ta có SI IK.tan 60 . 5 +) Vì AM 2a nên BM a MD // BC , do đó d MD, SC d MD, SBC d D, SBC . ED DC 1 1 +) Gọi E là giao điểm của AD với BC , ta có ED AD ID . EA AB 3 2 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 8
9. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 1 Do đó d D, SBC d I , SBC . 2 +) Gọi H là hình chiếu của I lên SK ta có d I , SBC IH . 1 1 1 5 5 5 a 15 Trong tam giác vuông SIK , ta có: IH . IH 2 SI 2 IK 2 12a2 4a2 3a2 5 a 15 Vậy d MD, SC . 10 Nhận xét: Để tính và , ta có thể làm như sau: AI.AM a.2a 2a 1) Tính : Ta có IK d(I , BC) d(A; DM ) . DM a 5 5 2a a 15a 2) Tính : Ta có IH IK.sin S· KI .sin 60 . 5 15 15 Câu 38. Chọn D.Do f x xsin x nên f x f x dx xsin xdx xd cos x x cos x cos xdx x cos x sin x C . Theo giả thiết f 2 1 C 2 C 1 .Suy ra f x sin x x cos x 1 . 2 2 2 2 cos x. f x dx cos x sin x x cos x 1 dx sin x cos x x cos2 x cos x dx 0 0 0 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 2xdx x 1 cos 2x dx cos xdx cos 2x 2 sin x 2 xdx xdsin 2x 2 2 4 2 4 0 0 0 0 0 0 0 1 x2 1 1 2 3 2 1 7 2 1 2 xsin 2x 2 sin 2xdx cos 2x 2 . 2 4 4 4 2 16 8 4 16 0 0 0 0 Vậy a 7,b 4,c 16 . Suy ra a b c 27 . 3 x 2 Câu 39. Chọn A.Điều kiện xác định: . 2 2x 3 0 m 1 1 Đặt u 2x 3 u 0,x ; 1 , suy ra hàm số u 2x 3 nghịch biến trên khoảng 2x 3 2 1 1 ; 1 .Với x ; 1 u 1; 2 . 2 2 m 1 u 1 Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số g u đồng biến trên khoảng 1; 2 . 2 u m 2 m 1 1 m 2 Ta có g u 2 , u . 2 m u m g u 0, u 1; 2 Hàm số g u đồng biến trên khoảng 1; 2 khi và chỉ khi 2  1; 2 m 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 9
10. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 2 m 2 m 1 1 0 0 m 0 m m m 0 m 2 m 2 2 m 2 m 2 1 0 m 2 0 m 1 . m m m 2 m 0 m 2 2 m 1 m 1 2 0 0 m 1 m m Vậy .S ; 2  0; 12; a 2; b 0; c 1; d 2 Do đó .P 2 0 1 2 3 Câu 40. Chọn D Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB . Gọi SA l là đường sinh, OA R là bán kính và SO h là đường cao của hình nón đã cho. Gọi I là trung điểm của AB và K là hình chiếu của O lên SI . Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện là ·SO; SAB ·OSK 30 . 1 1 SAB vuông cân tại S nên S .SA2 l 2 4 l 2 2 . VSAB 2 2 1 1 AB l. 2 4 Đường trung tuyến SI .AB .4 2 . 2 2 SO 3 SOI vuông tại O : cosO· SI SO SI.cos30 2. 3 h 3 . SI 2 2 2 Ta có: R l 2 h2 2 2 3 5 . 1 1 5 3 Vậy thể tích của khối nón là V R2h .5. 3 . 3 3 3 Câu 41.Chọn A c2 Ta có: log2 b log c.log 9log c 4log b 4log2 b log c. 2log c log b 9log c 4log b a b b a a a b b b a a b 2 2 loga b x 4loga b 2logb c logb c 9loga c 4loga b * .Đặt (x, y 0 vì a,b,c 1 ). logb c y Ta có loga c loga b.logb c xy Thay vào * ta được: 4x2 2y2 y 9xy 4x 4x2 xy 8xy 2y2 4x y 0 4x y 0 lo¹i 4x y x 2y 1 0 . x 2y 1 2 Vậy loga b logb c loga b 2logb c x 2y 1 . Câu 42. Chọn B.Dựa vào hình vẽ ta có: 2 f (x) 2,x  2;2 * . 2 f x 4 0,x  2;2 . Vì m 0;20 nên 2 f x m 4 0 suy ra 2 f x m 4 2 f x m 4,x  2;2 . Ta có:g x 2 f x m 4 f (x) 3 2 f x m 4 f x 3 f x m 1 ,x  2;2 . +) Với m 0 g x f x 1 , x  2;2 . 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 10
11. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 * 1 f x 1 3,x  2;2 0 f x 1 3,x  2;2 0 g x 3,x  2;2 min g x 0 m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.  2;2 +) Với m 1;20 f x m 1 0 g x f x m 1 . Từ * ta có: f x m 1 m 1 min g x m 1 .  2;2 Yêu cầu bài toán: min g x 1 m 1 1 m 2 m 2;20 .  2;2 Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 43. Chọn D.Đặt t log3 x , với x 27 t 3 . 2 t 1 Phương trình trở thành t 4t 5 m t 1 . * Điều kiện xác định: . t 5 t 2 4t 5 0 +) Với m 0 thì phương trình vô nghiệm, do ,t 5. t 1 0 2 t 1 (loaïi) +) Với m 0 , ta có t 4t 5 0 . t 5 (thoûa maõn) 2 +) Với m 0 thì * t 2 4t 5 m2 t 1 1 m2 t 2 2m2 4 t 5 m2 0 . ( ) Nếu m 1 t 1 không thỏa mãn. t 1 (loaïi) 2 2 Nếu m 1 , ta có ( ) t 1 1 m t m 5 0 m2 5 . t 1 m2 m2 5 6m2 Do đó, phương trình đã cho có nghiệm 5 0 1 m 1 , kết hợp m 0 suy ra 1 m2 1 m2 0 m 1. Vậy với 0 m 1 thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc [27; ) . x x Câu 44. Chọn D.Ta có f x f x 2x 1 e f x f x .e 2x 1 f x .e x f x . e x 2x 1 f x .e x 2x 1 f x .e x 2x 1 dx f x .e x x2 x C (1). Do f 0 2 nên từ (1) ta có 2.e0 02 0 C C 2 . 2 x 2 x 2 x 1 Khi đó f x x x 2 .e .f x 0 x x 2 .e 0 x x 2 0 . x 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f x 0 là 1 2 1 . Câu 45. Chọn D+) Đặt t cos x , do x ; nên suy ra t 1;0. 2 Trên khoảng 1;0 hàm số nghịch biến nên suy ra Với t 1;0 thì f 0 f t f 1 hay 0 f t 2. +) Đặt u 2 f cos x thì u 2 f t ,u 0;2 . Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để phương trình f u m có nghiệm u 0;2 . Quan sát đồ thị ta thấy rằng với u 0;2 thì f u  2;2 2 m 2. Vì m ¢ m  2; 1;0;1. Vậy có 4 giá trị của m. Tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 . 3 2 3 2 Câu 46. Chọn D.Ta có g x 3x2 6x ex 3x . f ex 3x m 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 11
12. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 x 0 x 0 x 2 x 2 2 x3 3x2 x3 3x2 x3 3x2 x3 3x2 g x 0 3x 6x e . f e m 0 e m 3 e m 3, 1 . 3 2 3 2 ex 3x m 3 x 3x e m 3, 2 3 2 3 2 ex 3x m 5 x 3x e m 5, 3 Hàm số g x có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và 2 của các phương trình 1 , 2 , 3 là 5 . x3 3x2 2 x3 3x2 x 0 Xét hàm số h x e có h x 3x 6x e .Ta có h x 0 . x 2 Bảng biến thiên: Khi đó có 3 trường hợp sau: Trường hợp 1: m 3 e4 m e4 3 51,6 Khi đó: Do m nguyên nên m 52;53;54;55;56;57 . 4 4   1 m 3 e 4 m e 3 57,6 Trường hợp 2: m 5 e4 m e4 5 49,6 4 4 Khi đó: 1 m 3 e 2 m e 3 m  . 0 m 3 1 3 m 4 Trường hợp 3: 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 12
13. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 1 m 5 e4 4 m e4 5 49,6 Khi đó: m 3 1 m 2 m  . m 3 0 m 3 Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 47. Chọn A Cách 1:Với a,b là các số nguyên dương, ta có: 3 2 2 log3 a b a b 3 a b 3ab a b 1 1 3 3 a b 3 3 2 2 log3 2 2 a b 3ab a b 3 a b ab 3ab a b 1 a b ab log a3 b3 a3 b3 log 3 a2 b2 ab 3 a2 b2 ab 1 3 3 Xét hàm số: f t log3 t t trên 0; . 1 f ' t 1 0,t 0 nên hàm số f t đồng biến trên 0; . t ln 3 3 3 2 2 3 3 2 2 Khi đó, phương trình 1 trở thành : f a b f 3 a b ab a b 3 a b ab 2 2 2 2 a b ab 0 * a b ab a b 3 0 a b 3 0 Do a,b ¥ * nên phương trình * vô nghiệm. Suy ra: a b 3 . 0 a 3 a 2 0 b 3 b 1 Mà a,b là các số nguyên dương nên a b 3 a 1 * a,b ¥ b 2 Vậy có hai cặp số a;b thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2.Với a,b là các số nguyên dương, ta có: 3 2 2 log3 a b a b 3 a b 3ab a b 1 1 a b 3 3 2 2 a b 2 2 log3 a b 3ab a b 3 a b ab 3ab a b log3 a b ab 3 a b 1 3 3 2 Trường hợp 1: a b 2 . Khi đó: 1 log 4 3ab loại do a,b ¥ * . 3 3 a b 2 2 Trường hợp 2: a b 3 log3 0 và a b ab 3 a b 0,a,b ¥ * 3 nên 1 không xảy ra. Trường hợp 3: a b 3 , khi đó 1 thỏa mãn. a 2 b 1 Mà a,b là các số nguyên dương nên . a 1 b 2 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 13
14. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 Vậy có hai cặp số a;b thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 2x 2 x4 x3 4x 4 Câu 48. Chọn A.Từ giả thiết suy ra f 1 x 2 f 3 x x x 2 2 2x 2 2 2 x4 x3 4x 4 Ta có: f 1 x dx f . dx dx 2 3 1 1 x x 1 x 2 2 2x 2 2x 2 2 4 4 f 1 x d 1 x f d x 1 dx 2 3 1 1 x x 1 x x 1 1 x2 4 2 2 0 1 1 f t dt f t dt x f t dt f t dt 0 f t dt 0 . 2 0 0 2 x x 1 1 0 1 1 Vậy f x dx 0 . 1 4 3 2 2x 2 x x 4x 4 Cách trắc nghiệm.Ta có: x f 1 x 2 f ,x 0, x 1 x x 4 3 2 2x 2 x x 4x 4 x f 1 x 2 f ,x 0, x 1 x x x 2 2x 2 2 2x 2 x f 1 x 2 f x 1 x 2 ,x 0, x 1 x x 1 1 Chọn f x x f x .dx x.dx 0 . 1 1 Câu 49. Chọn A Gọi D là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC . AB  SB AC  SA AB  SBD AB  BD AC  SAD AC  AD . AB  SD AC  SD Tam giác ABC có C· AB 135 B· AD 45 . Tam giác ABD vuông tại B có B· AD 45 suy ra tam giác ABD vuông cân và AD a 2 . Từ đó có tam giác ACD vuông cân tại A tứ giác ABDC là hình thang vuông tại B và D . Trong mặt phẳng SBD , hạ DH  SB H SB . Dễ chứng minh DH  SAB . Trong mặt phẳng SAD , hạ DK  SA K SA . Dễ chứng minh DK  SAC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC ta có: ·DH, DK H· DK 30 do tam giác DHK vuông tại H . HD 3 ax 2a2 x2 Đặt SD x , x 0 .Tam giác DHK vuông tại H có cos H· DK . DK 2 a2 x2 2.ax 6 a2 x2 2 2a2 x2 6a2 6x2 8a2 4x2 x a . 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 14
15. THẦY GIÁO: LÊ NGUYÊN THẠCH TÀI LIỆU ÔN THPT QUỐC GIA 2020 1 a3 a3 V .SD.AB.AC.sin B· AC .Vậy thể tích khối S.ABC bằng . S.ABC 6 6 6 Câu 50. Chọn D x2 4mx 5 x2 4mx 5 x2 4mx 5 Ta có g x 2x 4m .e . f x e . f x g x 2x 4m . f x f x .e . 1 1 Yêu cầu bài toán g x 0,x 1; và g x 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc 1; . 2 2 1 x2 4mx 5 2x 4m . f x f x 0,x 1; (vì e 0 ) 2 f x 1 f x 1 2x 4m ,x 1; , (vì f x 0,x ¡ ) 4m 2x ,x 1; * . f x 2 f x 2 2 f x 1 f x . f x f x Xét h x 2x ,x 1; . Ta có h x 2 2 . f x 2 f x 2 f x 0 1 f x . f x f x 1 Mà ,x 1; 2 0,x 1; . f x 0 2 f x 2 1 1 Từ đó suy ra h x 0,x 1; . Vậy hàm số h x đồng biến trên 1; . 2 2 Bảng biến thiên 1 f 1 1 2 225 225 Vậy điều kiện * 4m h 4m 2. 4m m . 2 2 1 137 548 f 2 m ¢ Lại có m 1;2;3; ;2020 . m  2020;2020 Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.D 8.D 9.B 10.D 11.A 12.C 13.A 14.B 15.C 16.A 17.C 18.B 19.C 20.D 21.B 22.A 23.D 24.B 25.B 26.A 27.A 28.B 29.A 30.C 31.D 32.C 33.C 34.C 35.C 36.D 37.B 38.D 39.A 40.D 41.A 42.B 43.D 44.D 45.D 46.D 47.A 48.A 49.A 50.D .HẾT 184 LÒ CHUM THÀNH PHỐ THANH HÓA 15