Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 1 (Có đáp án)

1. ĐỀ ÔN TẬP SỐ 1. 1 x 3 2 x 2 Bài 1. Cho biểu thức: P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 . Bài 2. Cho phương trình: (1 3)x2 2x 1 3 0 (1) 1) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 1 và . x1 x2 Bài 3. Một tàu hoả đi từ A đến B với quãng đường 40 km. Khi đi đến B, tàu dừng lại 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ A đến B là 5 km/h. Tính vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hoả xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ. 1 Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y x 2và hai điểm A, B 2 thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA 1; xB 2 . a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B. b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B. c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d). Bài 5. Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO. a) Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK. b) Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. c) JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r. d) Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 6. Cho a,b,c là số thực dương cho ; abc a b c 2 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất P a2 b2 b2 c2 c2 a2 HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG
2. 1 x 0 x 1 0 Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 Đkxđ : x 1;x 2;x 3 . 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , x ta 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 có: P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Doac (1 3)(1 3) 1 3 2 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có: 2 1 3 x x , x x . 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 x x 2 2(1 3) Do đó: S 1 2 (1 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 1 1 1 1 3 (1 3)2 4 2 3 và P =. (2 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 2 Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: X2 (1 3)X (2 3) 0 .
3. Các quá trình Quãng đường Vận tốc Thời gian 1 40 km x km / h 40 h x 2 1 x 5 km / h 30 x 5 km h 2 x 5 Thời gian tổng cộng bằng thời gian đi cộng thời gian nghỉ cộng thời gian về: 40 30 1 2 x x 5 3 BÀI NỘI DUNG 3 Gọi vận tốc tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là x (km/h; x>0) 40 Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường AB là: h x 30 Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường BC là: h x 5 40 30 1 Nên: 2 1 x x 5 3 Điều kiện: x 0, x 5 MTC: 3x x 5 Qui đồng và khử mẫu: 340 x 5 330x 5 x x 5 120x 600 90x 5x2 25x 5x2 185x 600 0 x2 37x 120 0 Ta có: b2 4ac 372 41 120 1369 480 1849 0 1849 43 b 37 43 x 40 (thỏa mãn điều kiện) 1 2a 2 b 37 43 x 3 0 (không thỏa mãn điều kiện) 2 2a 2 Vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là 30 km / h 4 Vì A, B thuộc (P) nên: 1 1 x 1 y ( 1)2 A A 2 2 1 x 2 y  22 2 B B 2 1 Vậy A 1; , B(2;2) . 2 Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b. Ta có hệ phương trình: 1 3 1 a b 3a a 2 2 2 2a b 2 2a b 2 b 1 1 Vậy (d): y x 1 . 2 (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)
4. OC = 1 và OD = 2 Gọi h là khoảng cách từ O tới (d). Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào vuông OCD, ta có: 1 1 1 1 1 5 2 5 h h2 OC2 OD2 12 22 4 5 2 5 Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là . 5 5 M J O K H N Ta có: OM  JM (JM là tiếp tuyến của (O)) NK  JM (K là trực tâm của JMN) OM // NK Chứng minh tương tự được ON // MK OMKN là hình bình hành Hình bình hành OMKN có hai đường chéo OK và MN cắt nhau tại H H là trung điểm của OK. Hình bình hành OMKN có OM = ON = a nên là hình thoi OM = MK OMK cân tại M OM a 1 OMJ vuông tại M, có: cosM· OJ M· OJ 600 OJ 2a 2 OMK là tam giác đều OK = OM = a K (O; a). OMKN là hình thoi MH  OK tại H JO là tiếp tuyến của (M; MH) r = MH OMH vuông tại H a 3 a 3 MH OM.sin M· OH a.sin 600 hay r 2 2 Giả sử IA, IB là các tiếp tuyến của (O) với A, B là các tiếp điểm * Phần thuận: Tứ giác IAOB có A· IB I·AO I·BO 900 nên là hình chữ nhật Lại có OA = OB = a IAOB là hình vuông OI OA. 2 a 2 I O;a 2 * Phần đảo: Lấy điểm I O;a 2 thì IO a 2
5. 2 OAI vuông tại A IA OI2 OA2 a 2 a 2 a 2 a Tương tự tính được IB = a IA = IB = OA = OB = a Tứ giác IAOB là hình thoi A· IB 900 * Kết luận: Tập hợp điểm I cần tìm là đường tròn O;a 2 . 6 Từ giả thiết ta có a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 x y z Đặt x a 1 ;(vi : x y z 1, x, y,z 0) 1 a x x x 1 x z 1 x y Tương tự y b ; z c 1 b y 1 c z Mặt khác Áp dụng BĐT Bunhia dãy 1: a , b dãy 2 : 1 , 1 và BĐT Côsi ta có 2 a b 2 ab 2 a2 b2 a b a2 b2 2. ab 2 2 Tương tự b2 c2 2. bc ; a2 c2 2. ac 1 1 1 1 1 1 1 Nên P Q a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 ab cb ac y z x z x y Thay a ;b ;c ta có x y z 1 xy yz xz Q 2 x z x z x y x z x y y z A B Áp dụng BĐT AB ta có 2 1 x y y z x z Q 2 2 x z y z x y x z x y y z 1 x z y z x y 2 2 x z y z x y 3 3 2 2 2 4 x y z 1 x y x z y z 3 2 3 2 1 P Q ;Max P y z x y z Vậy 4 4 3 x y x z z x y z x y a b c 2