Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 18 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 18 (Có đáp án)

1. ĐỀ ễN TẬP 18. x 2 1 x 1 Bài 1. Cho biểu thức P . với x > 0 và x 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh rằng P . x b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để 2P 2 x 5 Bài 2. Cho phương trỡnh x 2 3 m x 2 m 5 0 với m là tham số. a) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m phương trỡnh luụn cú nghiệm x 2 . b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh trờn cú nghiệm x 5 2 2 . Bài 3. Nếu hai vũi nước cựng chảy vào một bể cạn thỡ sau 1h30 phỳt bể sẽ đầy. Nếu vũi thứ nhất chảy trong 20 phỳt rồi khúa lại và mở tiếp vũi thứ hai trong 15 phỳt thỡ sẽ đầy một phần năm bể. Hỏi nếu chảy riờng thỡ sau bao lõu sẽ đầy bể. Bài 4. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 . b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số trờn với trục tung và trục hoành. Tớnh diện tớch tam giỏc OAB. Bài 5. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC), cỏc đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giỏc BEDC nội tiếp trong một đường trũn. b) Chứng minh AE.AB = AD.AC. c) Chứng minh FH là phõn giỏc của EãFD . d) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh DãOC FãED . Bài 6. Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 b c a HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI NỘI DUNG 1 x 2 x x 1 ( x 1).( x 2) x 1 x 1 2) a) P . . x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x b)Từ cõu 2a ta cú 2 x 2 2P 2 x 5 2 x 5 x 1
2. 2 x 2 2x 5 x và x > 0 1 2x 3 x 2 0 và x >0 và (x x>0 2)( x ) 0 2 1 1 x x 2 4 2 Thay x 2 vào vế trỏi của phương trỡnh ta được: 22 3 m .2 2(m 5) 4 6 2m 2m 10 0 đỳng với mọi m Nờn: phương trỡnh cú nghiệm x 2 với mọi m. Vỡ phương trỡnh luụn cú nghiệm x 2 nờn để nú cú nghiệm x 5 2 2 thỡ theo định lý Vi-et ta cú: 2 5 2 2 2 m 5 5 2 2 m 5 m 10 2 2 . 3 3 Gọi thời gian vũi thứ nhất chảy một mỡnh đầy bể là:x h x , Trong một 2 1 giờ vũi thứ nhất chảy được: (bể). x 2 1 Trong một giờ vũi thứ hai chảy được: (bể). 3 x 20 1 1 1 Sau 20 ph h h vũi thứ nhất chảy được  (bể) 60 3 3 x 15 1 1 2 1 Vũi thứ hai chảy trong 15 ph h h đầy  (bể). 60 4 4 3 x 1 1 1 2 1 1 Theo đề bài ta cú phương trỡnh:   3 x 4 3 x 5 1 1 1 1 3x 6 4x 5 1 1 1 3x 4x 30 1 1 5 x 12x 30 2 2
3. 5 Đối chiếu với điều kiện của ẩn số, thỡ x (thoả món điều kiện). 2 5 Vậy thời gian vũi thứ nhất chảy một mỡnh đầy bể:. h 2 2 2 10 6 4 Trong một giờ vũi thứ hai chảy được: (bể). 3 5 15 15 15 Thời gian vũi thứ nhất chảy một mỡnh đầy bể:. h 4 4 Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 ổ- 2 ử Đồ thị đi qua A(0;2) và Bỗ ;0ữ ốỗ 3 ứữ 1 1 - 2 2 Ta cú S = OAìOB = 2ì = OAB 2 2 3 3 2 Vậy S = . OAB 3 3
4. 5 Hỡnh vẽ A D E H B F O C Vỡ tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nờn cỏc đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giỏc đú. Chứng minh tứ giỏc BEDC nội tiếp trong một đường trũn. ã 0 BEC 90 gt Tứ giỏc BEDC cú: nờn nội tiếp được trong đường trũn đường ã 0 BDC 90 gt kớnh BC (tứ giỏc cú hai đỉnh cựng nhỡn một cạnh dưới một gúc vuụng). Chứng minh AE.AB = AD.AC. Vỡ tứ giỏc BEDC nội tiếp nờn suy ra: Ã ED ÃCB (gúc trong bằng gúc ngoài tại đỉnh đối diện) Hai tam giỏc AED và ACB cú: gúc A chung, Ã ED ÃCB (cmt) AE AD Nờn ∆AED ∽ ∆ACB ⇒ ⇒ AE.AB = AD.AC. AC AB Chứng minh FH là phõn giỏc của EãFD . + Tứ giỏc EBFH cú BãEH BãFH 900 gt nờn là tứ giỏc nội tiếp ⇒ EãBH EãFH (cựng chắn cung EH). (1) + Tứ giỏc DCFH cú CãFH CãDH 900 gt nờn là tứ giỏc nội tiếp ⇒ 4
5. Dã FH DãCH (cựng chắn cung EH). (2) + Tứ giỏc BEDC nội tiếp đường trũn (cmt) nờn cú EãBH DãCH (cựng chắn cung ED) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra EãFH Dã FH , hay FH là phõn giỏc của EãFD . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh DãOC FãED . + Tứ giỏc AEFC cú Ã FC Ã EC 900 gt nờn là tứ giỏc nội tiếp ⇒ CãAF Cã EF (cựng chắn cung FC) (4) + Tứ giỏc AEHD cú ÃEH ÃDH 900 gt nờn là tứ giỏc nội tiếp ⇒ DãAH DãEH (cựng chắn cung DH) (5) Từ (4) và (5) suy ra DãEH FãEH hay EH là phõn giỏc của Dã EF (6) + Ta cú: DãOC 2.ãOBD (gúc nội tiếp và gúc ở tõm cựng chắn cung DC) 1 Mà OãBD FãBH FãEH FãED (cựng chắn cung FH) (7)Từ (6) và (7) suy ra 2 DãOC FãED (đpcm) 6 Dựng BĐT AM – GM cho hai số dương ta cú: a3 a3 b3 c3 b 2 b 2a ; c 2b ; a 2c b b c a a3 a3 b3 c3 ab 2 ab 2a 2 ; bc 2b2 ; ca 2c2 b b c a a 2 b2 2 a 2b2 2ab ; b2 c2 2bc ; c2 a 2 2ca Cộng cỏc bất đẳng thức này lại và thu gọn cỏc hạng tử giống nhau ở hai vế ta được: a3 b3 c3 2 a b c ab bc ca mà a + b+ c + ab + bc + ca = 6 b c a a3 b3 c3 a3 b3 c3 2 6 hay 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b c a b c a = 1. 5