Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 30 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 30 (Có đáp án)

1. ĐỀ ÔN TẬP 30. x 1 1 Bài 1. Cho biểu thức: P ( với x 0 và x 4 ) x 4 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 16 . Bài 2. Giải phương trình: 4x 4 7x 2 2 0 . Bài 3. Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ? Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 6 và parabol (P): y = x2 . a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) . b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB. Bài 5. Cho đường tròn (O; R) với đường kính AB cố định, EF là đường kính di động. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Nối AE, AF cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N. Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với EF tại điểm D cắt MN tại I. a) Chứng minh bốn điểm O, D, I, B cùng nằm trên một đường tròn; b) Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhật; c) Chứng minh AE.AM = AF. AN; d) Chứng minh I là trung điểm của MN; e) Gọi H là trực tâm tam giác MFN. Chứng minh rằng khi đường thẳng EF di động, H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài 6. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 5 P 5xy x 2y 5 HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG 1 a) ĐKXĐ: x 0 và x 4 1
2. x 1 1 x x 2 x 2 P x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 16 4 Với x 16 P 2 16 2 4 2 2 Đặt t x 2 , t 0 phương trình trở thành 4t 2 7t 2 0 . Biệt thức 7 2 4.4.( 2) 81 1 Phương trình có nghiệm t , t 2 (loại). 1 4 2 1 1 1 1 Với t ta có x 2 x . Vậy phương trình có nghiệm x . 4 4 2 2 3 Gọi thời gian đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng xong việc lần lượt là x (ngày) và y (ngày). ĐK: x, y > 6. 1 Mỗi ngày đội thứ nhất làm được công việc, x 1 Mỗi ngày đội thứ hai làm được công việc, y 1 Mỗi ngày hai đội làm chung được công việc. 15 1 1 1 Ta có phương trình: (1) x y 15 3 Đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày được công việc. x 5 Đội thứ hai làm riêng trong 5 ngày được công việc. y 2
3. 1 Vì khi đó cả hai đội hoàn thành được 25% công việc nên ta có phương 4 3 5 1 trình: (2) x y 4 1 1 1 x y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 3 5 1 x y 4 1 1 u v u 1 1 15 24 Đặt u; v , hệ trở thành: x y 1 1 3u 5v v 4 40 x 24 (TMĐK) y 40 Vậy nếu làm riêng thì đội thứ nhất mất 24 ngày, đội thứ hai mất 40 ngày để hoàn thành công việc. 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 + x - 6 = 0 D = 25> 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2, x = - 3 Với x = 2 thì y = 4 , suy ra A(2;4) . Với x = - 3 thì y = 9 , suy ra B(- 3;9) . Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(2;4) và B(- 3;9) . Gọi A¢, B¢ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. Ta có: SDOAB = SAA¢B¢B - SDOAA¢- SDOBB¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A B = xB¢- xA¢ = xA¢- xB¢ = 5, AA = yA = 4, BB = yB = 9 3
4. AA¢+ BB¢ 9+ 4 65 Ta có: S = .A¢B¢= .5 = (đvdt) AA¢B¢B 2 2 2 1 1 S = AA¢.OA¢= .4.2 = 4 (đvdt) DOAA¢ 2 2 1 1 27 S = BB¢.OB¢= .9.3 = (đvdt) DOBB¢ 2 2 2 65 27 Vậy diện tích tam giác OAB là: S = S - S - S = - 4- = 15 DOAB AA¢B¢B DOAA¢ DOBB¢ 2 2 (đvdt). 5 Hình vẽ M E O' A O B D I K H F N 4
5. Xét tứ giác ODIB ta có : O· BI 900 O· DI 900 Suy ra: O· BI O· DI 1800 , mà hai góc này ở vị trí đối diện Nên tứ giác ODIB nội tiếp hay 4 điểm Xét tứ giác AEBF có: ·AEB 900 F·AE F·BE 900 Suy ra CM: AE.AM AB2 AF.AN AB2 Suy ra đpcm Chứng minh được hai tam giác: AEF và ANM đồng dạng suy ra ·AMN A· FE Mà ·AMN Nµ 900 , A· FE F·AD 900 suy ra: F·AD Nµ IA IN F·AD D· AE 900 D· AE ·AMB IA IM Do đó Lấy O’ đối xứng vơi O qua A, suy ra OO’ =2R, O’ cố định Kẻ FK vuông góc với MN, FK cắt ME tại H, thì H là trực tâm tam giác FMN CM được: AHFB là hình bình hành, suy ra FH=AB=OO’, suy ra OO’HF là hình bình hành, suy ra O’H = OF = R Vậy 5
6. 6 Theo giả thiết ta có 5 5 x y 3 x 2y 3 y x 2y 5 y 8 x 2y 5 y 8 (Do hai vế dương) (1) Vẫn theo giả thiết x y 3 x 3 y 5xy 5y 3 y (Do x, y dương và x + y 1 1 ≤ 3 nên 3 – y > 0) , do đó (2) 5xy 5y(3 y) 1 5 1 1 5 Từ (1) và (2) ta có P 5y(3 y) y 8 15y 15(3 y) y 8 Theo Bất đẳng thức AM – GM ta có : 1 y 1 15y 60 15 1 3 y 2 15(3 y) 15 15 5 8 y 1 8 y 20 3 6 3 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được P P . 5 5 5 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , đạt được khi x = 1; y =2. 5 6