Đề ôn tập thi vào Lớp 10 môn Toán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập thi vào Lớp 10 môn Toán (Có đáp án)

1. ĐỀ ÔN TẬP. x 3 x 9 x 3 x x 2 Bài 1. Cho A 1 , B x 9 x x 6 2 x x 3 a) Tính giá trị của A khi x 57 24 3 . b) Rút gọn B. c) Tìm x Z để A: B Z Bài 2. Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7. Bài 3. Một đội máy xúc đào 20000m3 đất để mở rộng hồ Dầu Tiếng. Ban đầu đội dự định mỗi ngày đào một lượng đất nhất định để hoàn thành công việc, nhưng khi đào được 5000m3 thì đội được tăng cường thêm một số máy xúc nên mỗi ngày đào thêm được 100m ,3 do đó đã hoàn thành công việc trong 35 ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày đào bao nhiêu m3 đất? Bài 4. Cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của P và d . b) Xác định m để P , d và đường thẳng d' : y 5mx 6 cùng đi qua một điểm. Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H (H nằm giữa A và O, H khác A và O). Lấy điểm G thuộc đoạn CH (G khác C và H), tia AG cắt đường tròn tại E khác A. a) Chứng minh tứ giác BEGH nội tiếp. b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD. Chứng minh KC.KD = KE.KB. c) Đoạn thẳng AK cắt đường tròn tâm O tại F khác A. Chứng minh G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HEF. d) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên đường thẳng EF. Chứng minh: HE + HF = MN. 1 Bài 6. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abc P a b a c . HƯỚNG DẪN GIẢI. BÀI NỘI DUNG 1 a) 2 Tính x 57 24 3 4 3 3 x 4 3 3 x 3 x 9 3 x 3 3 3 Thay vào A ta có: A 1 x 9 x 9 x 3 4 3 3 3 4 b) ĐK: x 0; x 4 9 x 3 x x 2 B x x 6 2 x x 3 9 x 3 x x 2 B x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 B x 3 1
2. c) 3 x 2 3 Ta có: A: B : x 3 x 3 x 2 Để A: B Z thì x 2 là ước của 3 Do đó: x 2 1; 3 Với : x 2 1 x 1 0 x 2 1 x 3 0 x 2 3 x 1 x 1 x 2 3 x 5 0 Vậy: x = 1 2 Ta có: m2 1 0,m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi-ét thì: x1 x2 2m và x1  x2 1. 2 2 2 Ta có: x1 x2 – x1x2 7 x1 x2 – 3x1  x2 7 4m2 3 7 m2 1 m 1. HƯỚNG DẪN GIẢI. Các quá trình Khối lượng tổng quát Khối lượng/ng ày Thời gian 1 3 3 5000 5000 m x m ng x 2 3 3 15000 15000 m x 100 m ng x 100 Do đó đã hoàn thành công việc trong 35 ngày 5000 15000 35 x x 100 Gọi lượng đất đội dự định đào mỗi ngày lúc đầu là x m3 , x 0 . Lượng đất đội dự định đào mỗi ngày lúc sau là x 100 m3 . 5000 Thời gian dự định đào 5000m3 đất lúc đầu là: (ngày) x Lượng đất còn lại cần đào là: 20000 5000 15000 m3 15000 Thời gian đào 15000m3 đất còn lại là : (ngày) x 100 Do tổng thời gian đào là 35 ngày 5000 15000 1000 3000 Nên ta có phương trình: 35 7 1 x x 100 x x 100 Điều kiện: x 0; x 100 Mẫu thức chung: x x 100 Khử mẫu: 1000 x 10 3000x 7x x 10 1000x 100000 3000x 7x2 700x 7x2 3300x 100000 0 2 Ta có: 2
3. b 2 ac 1650 2 7  100000 2722500 700000 3422500 0 3422500 1850 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: b 1650 1850 x 500; 1 a 7 b 1650 1850 200 x . 2 a 7 7 200 Đối chiếu với điều kiện của ẩn số, thì x 0 (loại) 2 7 Vậy ban đầu đội dự định mỗi ngày đào 500m3 đất. 4 Đồ thị của hàm số y ax 2 đi qua điểm A(1;3) 3 a.1 2 a 1 Với a 1 thì hàm số y ax 2 đồng biến. Vậy a 1 là giá trị cần tìm. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 (3 2m)x m2 x2 (2m 3)x m2 0 (*) (2m 3)2 4m2 12m 9 ; (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 3 12m 9 0 m 4 x1 x2 3 2m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x1x2 m Theo đề bài: x1 x2 1 2 x1 x2 2x1 x2 x1x2 x1 2x1 2x2 2x1 x2 0 x1x2 (x1 x2 ) 0 m2 (3 2m) 0 m2 2m 3 0 (m 1)(m 3) 0 m 1 m 3 3 Kết hợp với điều kiện m m 3 Vậy m 3 là giá trị cần tìm. 4 3
4. 5 Hình vẽ K N C E I F M G X A B H O Y P D Q Góc E + H = 1800 Các tam giác KCB, KED đồng dạng (g.g.) KH, AE, BF là các đường cao của tam giác KAB nên chúng đồng qui tại G, hay B, G, F thẳng hàng. Thêm tứ giác AFGH nội tiếp nên ta có góc FHG = FAG = EBG = EHG; FEA = FBA = GBH = GEH hay HG; EG là các phân giác của tam giác HEF, suy ra G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HEF. Kẻ OX, OY thứ tự vuông góc với EH; FH. EH, FH giao (O) tại P, Q; BM giao (O) tại I như hình vẽ. Chứng minh được + MN = AI do AMNI là hình chữ nhật. + Góc AHF = BHE = AHP = BHQ => OX = OY => EP = FQ; HX = HY; HF = HP => các tam giác AHF; AHP bằng nhau => AF = AP => các cung AF, AP bằng nhau=> góc AEP = ABF. + Góc OAI = 900 – ABI = 900 – ABK – KBN = 900 – ABK – (900 – BEN) = 900 – ABK – (900 – BAK) = BAK – ABK; Góc OEP = OEA – AEP = OAE – ABF = (900 – ABK) – (900 – BAK) = BAK – ABK. Như vậy góc OAI = OEP suy ra các tam giác cân OAI; OEP đồng dạng => AI/PE = OA/OE = 1 => AI = PE hay HE + HF = MN. 6 Từ giả thiết ta có: abc a b c 1 . Do đó, áp dụng bất đẳng thức Côsi, P a b a c a2 ab ac bc a a b c bc 2 a a b c bc 2 a a b c bc a a b c 1 Đẳng thức xảy ra: 1 . a b c bc 1 abc Hệ này có vô số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn: b c 1 a 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2. 4