Đề ôn tập thi vào Lớp 10 THPT môn Toán (Có hướng dẫn giải)

Nội dung text: Đề ôn tập thi vào Lớp 10 THPT môn Toán (Có hướng dẫn giải)

1. ĐỀ ÔN TẬP. 1 3 x x x 3 Bài 1. Cho biểu thức: M và N với x ≥ 0, x ≠ 1 x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Tính giá trị của biểu thức N khi x 25. b) Rút gọn biểu thức M. c) Tìm x để biểu thức P M  N có giá trị lớn nhất. Bài 2. Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1 - x2 = 4. Bài 3. Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối lượng hàng bằng nhau. Bài 4. Cho hai hàm số y x 2 vày x2 có đồ thị lần lượt là (d) và (P) a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ. b) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) Bài 5. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm) . a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp . b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi. c) Gọi I là giao điểm của đoạn OA với đường tròn. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. d) Cho OB = 3cm, OA = 5 cm. Tính diện tích tam giác ABC . 2 1 Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y , với 0 < x < 1 1 x x HƯỚNG DẪN GIẢI. 1 Khi x 25. 25 3 5 3 8 4 N 25 1 5 1 6 3 1 3 x x Rút gọn M x 2 x x 2 x 1 x 1 3 x x x 2 x 1 3 x x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 P M  N  x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 1 1 1 x 2 x 2 1
2. 1 1 Vì x ≥ 0 nên x 2 2 x 2 2 3 Do đó P = M.N ≤ . 2 Dấu “=” xảy ra khi x =0 (thỏa mãn) 2 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9 x1 + x2 = 6 (1) Theo hệ thứcViét ta có x1 . x2 = m (2) Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Các quá trình Khối lượng tổng quát Xe Khối lượng/xe 1 480 tấn 480 x xe tấn/xe x 2 480 tấn 480 x 3 xe tấn/xe x 3 Nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn. 480 480 8 x x 3 Gọi x (chiếc) là số xe lúc đầu (x nguyên, dương) Số xe lúc sau là: x + 3 (chiếc) 480 480 Lúc đầu mỗi xe chở: (tấn hàng), sau đó mỗi xe chở: (tấn hàng) x x + 3 480 480 Ta có phương trình: = 8 x x 3 Điều kiện: x 0, x 3 MTC: x x 3 Qui đồng và khử mẫu: 480 x 3 480x 8x x 3 480x 1440 480x 8x2 24x 8x2 24x 1440 0 x2 3x 180 0 Ta có: b2 4ac 32 41 180 9 720 729 0 729 27 b 3 27 x 12 (thỏa mãn điều kiện) 1 2a 2 b 3 27 x 15 0 (không thỏa mãn điều kiện) 2 2a 2 Vậy đoàn xe lúc đầu có 12 chiếc. 4 P : y x2 2
3. x 3 2 1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 d : y x 2 x 0 y 2 : A 0;2 x 2 y 0 : B 2;0 6 4 2 -5 5 10 Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: 2 2 x1 1 y1 1 x x 2 x x 2 0 có a b c 1 1 2 0 x2 2 y2 4 vậy tọa độ giao điểm của P và d là 1;1 , 2;4 5 Hình vẽ B A H E O I C Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) , với B,C là hai tiếp điểm nên OB  AB và OC  AC A·BO = 900 và A·CO = 900 Tứ giác ABOC có tổng hai góc đối : A·BO +A·CO = 900 900 1800 Do đó tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên BH và CH là hai đường cao của tam giác ABC BH  AC và CH  AB mà theo câu a) OB  AB và OC  AC OB // CH và OC // BH 3
4. Tứ giác BOCH là hình bình hành Lại có OB = OC ( bán kính) nên tứ giác BOCH là hình thoi. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AO là tia phân giác của B·AC và OA là tia phân giác của B·OC . Mà I là giao của OA với đường tròn tâm O nên I là điểm chính giữa của cung nhỏ BC ·ABI I·BC BI là tia phân giác của ·ABC Vì I là giao điểm của hai đường phân giác AO và BI của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OB = OC (bán kính) AO là đường trung trực của BC AO  BC tại E và BC = 2BE Xét tam giác ABO vuông tại B có BE là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : OB2 32 OB2 OE OA OE 1,8 cm OA 5 AE OA – OE 5 1,8 3,2cm BE 2 AE OE 3,21,8 BE 2,4cm BC 4,8cm 1 1 Vậy diện tích tam giác ABC là: S AE  BC 3,24,8 7,68cm2 ABC 2 2 6 2 1 2 2x 2x 1 x x Ta có:y 1 x x 1 x x 2x 1 x 2x 1 x 2 1 3 2  3 2 2 (áp dụng BĐT Côsi với 2 số 1 x x 1 x x dương) 2x 1 x Đẳng thức xảy ra: x 2 1 (loại nghiệm x 1 2 ) 1 x x Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 2 2 khi x 2 1 . 4