Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề) mx 2 + (m 2 +1)x + 4m3 + m Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = x + m 1. Với m = -1. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ). b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ). 2. Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ). Câu 2: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: Sin3x + Cos3x = 2 - Sin4x (1,0đ) 2. Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp đó: 9R CMR: k + l + m ≤ (2,0đ). 2 x 2 y 2 Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E): + = 1 a 2 b 2 Hình chữ nhật Q gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp với E nếu mỗi cạnh của Q đều tiếp xúc với E. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E. Hãy xác định: 1. Hình chữ nhật có Smin (1,0đ). 2. Hình chữ nhật có Smax (1,0đ). Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho a, b là hai số dương khác nhau. người ta lập 2 dãy số {u n} và {vn}, bằng cách đặt: u + v u = a; v = b ; u = n n v = u .v 1 1 n+1 2 n+1 n n (n = 1, 2, 3, ) C/m Limn + Un = Limn + Vn (2,0đ) a b c 2. Cho m > 0 a, b, c thoả mãn: + + = 0 m + 2 m +1 m CMR phương trình: ax2 + bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x (0,1) (2,0đ). Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là một điểm di động trong không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông. 1. Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn  cố định (1,0đ). 2. là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kéo dài DM cắt tại N. CM góc ANB vuông (1,0đ). – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. 3. Đặt DM = x. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ). 4. Tìm giá trị lớn nhất của VABND (1,0đ). -Hết- – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN Đề thi học sinh giỏi khối 12 Câu Nội dung Điểm Câu 1 6,00đ 1. Với m = 1 a. Khảo sát, vẽ đồ thị (2,0đ). Trình bày đầy đủ, đúng các các bước và có nhận xét. Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2.00đ Thiếu một bước trừ từ 1/4 đến 1/2 điểm tuỳ lỗi nặng nhẹ b. Nhận xét x1 0 0.25đ 4 4 y = - - ; y = - - 1 α 2 β 0.25đ 4 d2 = M M 2 = ( + )2 [ 1+ (1+ ) ] 0.25đ 1 2 αβ +  2αβ =  8 0.25đ d2 8[ +  + 4] αβ 0.25đ M (1 - 4 8 ; 4 8 + 24 2 ); M (1 + 4 8 ; -4 8 - 24 2 ) 1 2 0.25đ 2. Viết được hàm số có 2 điểm cự trị nên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 y Điểm CT (II). Điểm CĐ (IV) Đồ thị không cắt ox 0.25đ δ pt y = 0 vô nghiệm ( ) 0.25đ δ Ta có dấu y’ như sau hệ số bậc hai của (x) là m < 0 ( ) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 5 0.25đ Từ (*), ( ), ( ) m < 5 0.25đ Câu 2 3,00đ a. Nhận xét: Sin3x + Cos3x ≤ Sin2 + Cos2x = 1 2 - Sin4x 1 0.25đ Sin3x + Cos3x =1 0.25đ pt đã cho Sin4x =1 0.25đ π x = + 2k 2 0.25đ b. Giả sử: k, l, m là các trung tuyến kẻ từ A, B, C thì 3 k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2) 4 1,0đ a 2 (vì: 2k2 + = b2 + c2 tương tự) 2 Mặt khác: a2 + b2 + c2 = 4R2(Sin2A + Sin2B + Sin2C) 0,25đ mà: 4(Sin2A + Sin2B + Sin2C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B) + 4(1 - 0,25đ Cos2C). = 8 + 4CosCCos(A-B) - 4Cos2C = 8 - Cos2(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)] 9 k 2 + l 2 + m 2 9R 2 0,50đ đpcm 3 4 0,25đ Câu 3 3,00đ Đường thẳng Ax + By + C tiếp xúc với E A2a2 + B2b2 = C2 0,25đ 2 cạnh của Q có pt: Ax + By C = 0 (A2a2 + B2b2 = C2) 0,25đ 2 C Khoảng cánh giữa chúng là: d = 1 2 0,25đ A 2 + B 2 cạnh còn lại của Q có pt: Bx - Ay D = 0 (A2a2 + B2b2 = D2) 0,25đ 2 D Khoảng cánh giữa chúng là: d2 = 2 2 A + B 0,25đ 4 CD SQ = 2 A 2 + B 0,25đ – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. S2 Đặt: T = S T 16 min max min max (A 2 a 2 + B 2 b 2 )(a 2 B 2 + b 2 A ) T = (A 2 + B 2 ) 2 Theo Côsi (A2a2 + B2b2)(a2B2 + b2A2) A 2 a 2 + B 2 b 2 + a 2 B 2 + B 2 A ) (A 2 + B 2 )(a 2 + b 2 ) = 0,25đ 2 4 (a 2 + b 2 ) 2 T = S Q là vuông 0,50đ min 4 min Lại có: theo Bunlia Copxki cho 2 dãy (Aa,Bb); (bA,aB) (A2a2 + B2b2)(b2A2 + a2B2) (A2ab + B2ab)2 = a2b2(A2+B2)2 0,25đ a 2 b 2 (A 2 + B 2 ) 2 T = a2b2 (A 2 + B 2 ) 2 A = 0 2 2 Tmin = a b Q có các cạnh | | ox, oy B = 0 0,50đ Câu 4 4,00đ a. Coi 0<b<a bằng qui nạp C/m n: Vn< Vn+1 < Un+1 < Un 0,50đ b = V1<V2<V3< <Vn <Un<Un-1<Un-2< <U2<U1=a 0,50đ 2 U + V ( U n - Vn ) Lại có: U -V = n n - U V = n+1 n+1 2 n n 2 Un+1-Vn+1 = ( U - V ) 2 ( U - V )( U + V ) n n < n n n n 2 2 0,50đ U - V Hay 0 < U -V < n n (*) n+1 n+1 2 Lại có Un giảm bị chặn dưới Vn tăng bị chặn trên  limUn và limVn 0,50đ Từ (*) LimUn = LimVn a - b (Giả sử LimU =a, LimV =b a-b = a=b) n n 2 b. Đặt f(x) = ax2+bx+c. Xét hai trường hợp – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. a=0 f(X) = bx+c b=0 c=0 f(x)=0 x R x (0,1) 0,50đ c m b 0 c 0 x = - (0,1)= b m +1 0,50đ m +1 c a 0 f(0) = c f ( ) = - m + 2 m(m + 2) 0,50đ m +1 c 2 f (0)f ( ) = - 0 m + 2 m(m + 2) m +1 c 0  x (0, ) < (0,1) m + 2 0,25đ b m +1 c=0 thì f(x) = ax2 + bx có nghiệm x = - = (0,1) a m + 2 0,25đ Tóm lại: a, b, c thoả mã (*) pt có nghiệm x (0,1) Câu 5 4,00đ 1.a. MA  MB và MA  MD MA  (BMD) 0,25đ MA  MO và MA  BD 0,25đ Lại có: AC  BD (ABCD vuông) BD  0,25đ (MAC) M . cố định nằm trong mf  BD tại O, đường kính AO. 0,25đ 2. MA  (BMD) MA  BN 0,50đ 0,25đ AO  AB và ( )  (ABCD) AD  ( ) AD  BN 0,25đ BN  (MAD) BN  AN 0,25đ 3. Tam giác vuông AMD có AM = a 2 - x 2 Tam giác vuông DAN có: AM  ND AM 2 AM2 = MN.MD MN = MD 0,25đ – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. a 2 - x 2 MN = vì M  x 2 a 0,25đ 0 0: a - x = kx (1) 0,25đ a 2 x <a (2) 2 (1) f(x) = x2 + kx - a2 = 0 (*) có nghiệm thoả mẵn (2) pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt: vì ac < 0 (x1 < 0 < x2) a 2 a δ k f( ) = (k2 -a) = - < 0 0,25đ 2 2 2 2 1 a 2 a 2 4. V = BN S AN = a-1 BN = a2 - 0,25đ 3 DAN x 2 x 2 1 a 2 a 2 V = a 3 (2 - )( -1) 0,25đ 6 x 2 x 2 a 2 a 2 [ 2 - 2 + 2 -1 ] 3 1 3 x x a V a = 0,25đ 6 2 12 a 6 dấu “=” x = 3 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất