Đề ôn thi THPT Chuyên Toán Lớp 9

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Chuyên Toán Lớp 9

1. ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1 Câu 1. (1,5 điểm) a b c Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn điều kiện 2021. Tính giá trị b c c a a b 1 a2 b2 c2 của biểu thức S . . a b c b c c a a b Câu 2. (2,5 điểm) a) Giải phương trình x2 2x 18 5x 4 2 x 3 3x 24 . 2 2 x y 2 b) Giải hệ phương trình 2 . x 2y 2 3y 4xy 27 Câu 3. (2,5 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y thõa mãn x2 5y2 4xy 2x 4y 3 0 . b) Giả sử n là số tự nhiên thõa mãn n n 1 không chia hết cho 7 . Chứng minh rằng 4n3 5n 1 không là số chính phương. Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC , đường cao AA',CC ' cắt nhau tại H . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AA',CC ' cắt AB, BC tại P,Q . Đường thẳng qua P vuông góc với AB , đường thẳng qua Q vuôn góc với BC cắt nhau tại R . a) Chứng minh BR là phân giác góc ABC . b) Gọi M là trung điểm của AC . Chứng minh H, R, M thẳng hàng. Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn xy yz zx xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y2 z2 thức P . 9z zx2 9x xy2 9y yz2 Hết
2. Gợi ý Câu 1. a b c a b c Ta có 2021 a b c 2021 a b c b c c a a b b c c a a b a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c 2021 a b c 2020 a b c b c c a a b b c c a a b Vậy S 2020 . Câu 2. a) Liên hợp tìm được một nghiệm x 8 . Sau đó tách thành tổng 3 bình phương có nghiệm x 1. b) Thế 2 x2 y2 ở phương trình 2 từ đó tìm được nhân tử chung. Câu 3. a) Phân tích phương trình thành x 2y 1 2 y 2 y 2 0 . Dẫn đến kẹp được y . C2: Có thể thử sử dụng đenta. b) Phân tích 4n3 5n 1 n 1 4n2 4n 1 . Đặt d gcd n 1;4n2 4n 1 . Tìm được d 1 hoặc d 7 . d 7 vô lý d 1 sử dụng nguyên lý kẹp. Câu 4.
3. a) Nhận xét: BPQ cân tại B . ( C ' PH : A'QH ) Từ đó cm được BR là phân giác (tam giác bằng nhau) b) Gọi X ,Y là giao điểm của PR và AA',QR và CC '. S là giao điểm của HR và XY . XHYR là hbh. HC ' HA' (Tam giác đồng dạng) HA HC PC ' HC ' QA' HA' ; (tính chất phân giác) PA HA QC HC PC ' QA' PA QC PC ' HX QA' HY ; (Thales) PA XA QC YC HX HY XY || AC (Thales đảo XA YC Suy ra HS hay HR đi qua trung điểm M của AC. Điều phải chứng minh. Câu 5.
4. 1 1 1 Đặt a ;b ;c . Khi đó bài toán trở thành x y z a b c Cho a b c 1. Tìm GTNN của P . 9b2 1 9c2 1 9a2 1 a 9ab2 9ab2 3ab Sử dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có: a a a 9b2 1 9b2 1 6b 2 2 3 3 a b c 1 Dẫn đến P 1 ab bc ca 1 . 2 2 3 2