Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 15 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 15 (Có đáp án)

1. ÔTHI THPT QUỐC GIA 2020 – ĐỀ 15 ( ĐÁP ÁN) Câu 1. Hàm số y f (x) với đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 1 . C. 2 . D. 4 . Câu 2. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng? A. Hs đb trên ( 1;1). B. Hs nb trên ( ;1) C. Hs đb trên ( 2 ; 2) .D. Hs nb 1; . x ∞ 1 1 + ∞ y' 0 + 0 + ∞ 2 Câu 3. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào? y 3 3 2 4 2 A. y x 3x .B C.y x 3x y x x 1.D. y x x 1. 2 ∞ Câu 4. Biến đổi biểu thức A a.3 a2 (với a > 0, khác 1) về dạng lũy 7 7 thừa với số mũ hữu tỷ ta được A. A a 6 . B. A a2 . C. A a . D. A a 2 . Câu 5 : Cho mc S : x 1 2 y 3 2 z 2 2 9. Tọa độ tâm và bk của (S) là A. I 1;3;2 ,R 9 B. C.I 1 ; 3; 2 ,R 9 I 1;3;2 ,R 3 D. I 1;3;2 ,R 3 Câu 6. Đths y f (x) với bbt, số đường TClà ?A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 . Câu 7: Cho a > 0, a 10, mệnh đề saiA. log 10.a 1 log a 10 a 10 B. log log a 1 C. log 10 D. a log a a a Câu 8. Cho hs y f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là gtln và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 . Giá trị của M m bằng A. B.1 4 C. D.5 0 Câu 9 Cho điểm M(1;0;1) và P : 2x y 2z 5 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt 9 2 phẳng (P) là A. B. C.3 2 D. 3 3 2 1 Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) 4x3 là x2 1 1 1 A. F(x) x4 C . B. F(x) 12x2 C . C. F(x) x4 C . D. F(x) x4 ln x2 C . x x x 5 3 5 Câu 11. Cho hs y f (x) lt trên ¡ . Nếu 2 f (x)dx 2 và f (x)dx 7 tính f (x)dx bằng 1 1 3 A. 6 . B. 9 . C. 9 . D. 5 . 2 Câu 12. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của pt z 2z 3 0 . Điểm biểu diễn hình học của số phức liên hợp là A. . B. . C. . D. . z1 M 1 ; 2 M ( 1; 2) M ( 1; 2) M 1 ; 2i Câu 13 Cho điểm A 3; 2;1 và P : x y 2z 5 0. Đt nào sau đây đi qua A và ss với mặt phẳng (P)? x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 A. B. C. D. 1 1 2 4 2 1 1 1 2 4 2 1 Câu 14. Phương trình 6.4x 13.6x 6.9x 0 có tổng các nghiệm bằng A.0. B. 13/6 C. 1. D. 2. 1 1 1 1 1 1 1 Câu 15. Tổng S   có giá trị là A. . B. . C. . D. . 3 32 3n 2 3 4 9 Câu 16. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA  ABCD và SA 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là A. V a3 . B. V 6a3 . C. V 3a3 . D. V 2a3 . Câu 17. Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l 13 (cm) và bán kính đáy r 5 (cm). Khi đó thể tích khối 325 nón bằng A. V 100 (cm3 ) . B. V 300 (cm3 ) . C. .VD. . (cm3 ) V 20 (cm3 ) 3
2. Câu 18. Từ một cỗ bài tú lơ khơ 52 quân bài , rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quân bài. Tính xác suất để cả 4 1 1 4 1 quân đều là quân át ? A. B. 4 C.4 D. 4 52 C52 C52 A52 Câu 19. (điP )qua các điểm A( 1; 0 ,; 0) B(0 ; 2 ,; 0) C(0 ; 0 ; có2 )phương trình là A. 2x y z 2 0 .B. 2x y z 2 0 . C. 2x y z 2 0 . D. 2x y z 2 0 . x x 2 1 Câu 20.NghiệmS của bpt5 là A. S (2 ; ) .B SC. .D.(1 ; ) S .( ;1) S ( ; 2) 25 cos x Câu 21. Hs f (x) có một nguyên hàm F(x) bằng sin5 x 1 1 4 4 A. 2019 . B. 2019 . C. 2018 . D. 2018 . 4sin 4 x 4sin 4 x sin 4 x sin 4 x Câu 22 Cho tam giác ABC với A( 4 ; 9 ; 9), B(2 ;12 ; 2) và C( m 2 ;1 m ; m 5) . Tìm giá trị của m để tam giác ABC vuông tại B. A. m 4 . B. m 4 . C. m 3 . D. m 3 . Câu 23. Cho điểm A 2;1;1 và mp (P) : 2x y 2z 1 0 . Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình A. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 4 . B. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 9 . C. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 3 . D. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 5 . Câu 24. Đt đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B( 3 ; 2 ;1) có pttsố x 1 4t x 4 3t x 1 4t x 4 t A. y 1 3t (t ¡ ) . B. y 3 2t (t ¡ ) . C. y 1 3t (t ¡ ) . D. y 3 t (t ¡ ) . z 2 t z 1 t z 2 t z 1 2t x y z + 1 Câu 25. Cho đt d : = = và (a): x - 2y - 2z + 5 = 0 . Tìm điểm A trên d sao cho d(A ,(a) ) = 3 . 2 - 1 1 A. A(0;0;- 1) B. A(- 2;1;- 2) C. A(2;- 1;0) D. A(4;- 2;1) x 2 Câu 26. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y sao cho khoảng cách từ điểm M đến x 2 tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 . a 2 Hướng dẫn giải Gọi M a; C với a 2 . a 2 a 2 4 10 2 5 Ta có: 5 a 2 1 5 a 2 5 a2 4a 4 4 . 5a2 20a 16 0 a . a 2 a 2 5 Vậy có hai điểm cần tìm. 2 2 Câu 27. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để pt (log2 x) log2 x 3 m 0 có nghiệm x 1; 8. A.5. B.4. C.3. D.2. Hướng dẫn : Đặt t log2 x . Vì x 1; 8 nên t 0; 3 . t 1 2 2 0 3 Phương trình log x log x 3 m 0 trở thành m 2 2 0 2 2 t 2t 3 m 0 m t 2t 3, t 0 ; 3 . Ta có bảng 3 6   m biến thiên của hàm số m t 2 2t 3 : Vậy: m 2;6 . 2 Câu 28. Tính dt S của miền hình phẳng gh bởi đồ thị của hàm số f (x) ax3 bx2 c, các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền 51 52 50 53 gạch chéo cho trong hình vẽ). A. S . B. S . C. S . D. S . 8 8 8 8 Hd: Hpgh bởi đồ thị của hs f (x) ax3 bx2 c , các đt x 1 , x 2 và trục hoành được chia thành hai phần: Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 S1 3 .
3. f x ax3 bx2 c Miền gồm: y 1 . x 1; x 2 C đi qua 3 điểm A 1;1 , B 0;3 , C 2;1 nên đồ thị C có pt 1 3 2 1 3 27 51 f x x3 x2 3 S x3 x2 3 1 dx . ậy diện tích hình phẳng cần tìm là S S S . 2 1 2 2 2 1 2 2 8 8 Câu 29 Cho mp (Q): 2x - y + 5z - 15 = 0 và điểm E (1;2;- 3) . Vậy (P ) qua E và ss với (Q ) có phương trình là: A. (P ): x + 2y - 3z + 15 = 0 B. (P ): x + 2y - 3z - 15 = 0 C. D.(P ): 2x - y + 5z + 15 = 0 (P ): 2x - y + 5z - 15 = 0 x a Câu 30 Biết pt log 3x 1 . 1 log 3x 1 6 có hai nghiệm là x x và tỉ số 1 log trong đó a,b * và 3 3 1 2 ¥ x2 b a, b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a b A. a b 38 B. a b C. 3 7 a bD. 56 a b 55 x Đặt t log3 3 1 t 1 t 6 t 2;t 3 28 log3 28 x1 27 28 Từ dó, ta tính được x1 log3 ;x2 log3 10 log 27 x2 log3 10 27 Câu 31 Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là 1 2 1 2 A. SB. f x dx f x dx S f x dx f x dx 1 1 1 1 2 2 C. S f x dx D. S f x dx 1 1 Câu 32 Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hs y x ,hai đt x 1, x 2và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục hoành. 3 3 2 A. B. C. D. 3 2 2 3 9 3 1 Câu 33 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của 2x 2 với x 0 A. 4608 B. 128 C. 164 D. 36 x Câu 34: Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 1 có ba điểm cực trị A(0;1) , B , C thỏa mãn BC = 4 ? A. m = ± 4 . B. m = . 2C. . D. m = 4 . m = ± 2 2 3 Câu 35: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z .i 1 i 0 A. 1B. 3C. 2D. 0 4 Câu 36. Cho hs y f (x) xđ trên ¡ và hs y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x2 3 . A. 3. B. 1 . C. 5 . D. 2 . Hướng dẫn giải : Quan sát đồ thị ta có y f (x) đổi dấu từ âm sang dương qua x 2 nên hàm số y f x có một điểm cực trị là x 2 . x 0 x 0 / Ta có 2 2 2 . y ' f x 3 2x. f ' x 3 0 x 3 2 x 1 2 x 3 1 x 2 Mà x 2 là nghiệm kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số y f x2 3 có ba cực trị. Câu 37. Cho hc S.ABCD có đáy ABCD là hcn có AB 2a, AD 4a, SA  (ABCD) và SC tạo với đáy góc 60o. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho DN a. Khoảng cách giữa MN và SB là 2a 285 a 285 2a 95 8a A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19
4. Hd Lấy K trên AD sao cho AK a thì MN // SBK . AC 2a 5 . d MN, SB d MN, SBK d N, SBK 2d A, SBK . Vẽ AE  BK tại E , AH  SE tại H . Ta có SAE  SBK , SAE  SBK SE , AH  SE AH  SBK d A, SBK AH . SA AC. 3 2a 15 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AE SA AK AB 2a 15 a 4a 2a 15 a 4a a 285 2a 285 AH d MN, SB . 19 19 Câu 38. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tg vuông tại B với AB 3a, BC 4a, SA  (ABC) , SC tạo với 500 a3 5 a3 50 a3 a3 đáy góc 600. Tính tt khối cầu ngoại tiếp SABC . A. V .B. V .C. V .D. V . 3 3 3 3 BC  AB Hướng dẫn giải Ta có: SAC vuông tại S (*). BC  (SAB) BC  SB SBC vuông tại B ( ) BC  SA Từ (*) và ( ) Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là trung điểm đoạn SC. AC 1 SC Ta có: AC AB2 BC 2 5a. Mà cos600 SC 2AC 10a R 5a SC 2 2 4 500 a3 Vậy V R3 . 3 3 Câu 39. Cho (tiếpP) : 2 xúcx yvới z mc5 0 (S) : (x 3)2 (tạiy 1điểm)2 (z 2)2 24 M (a ; b ; c). Tính giá trị biểu thức T a b c. A. T 2. B. T 2 . C. T 10 . D. T 4 . Hướng dẫn giải Gọi là đường thẳng qua tâm I(3;1; 2) của mặt cầu và vuông góc mp(P) . x 3 2t Ta được : y 1 t . M là giao điểm của và mp(P) . Xét: 2(3 2t) (1 t) ( 2 t) 5 0 t 2 z 2 t Câu 40: Cho điểm A 1;0;6 . Biết rằng có hai điểm M, N phân biệt thuộc trục Ox sao cho các đt AM, AN cùng tạo o với đt chứa trục Ox một góc 45 . Tổng các hoành độ hai điểm M, N tìm được là A. 4B. 2C. 1D. 5 Đặt M t;0;0 AM t 1;0; 6 ,uOx 1;0;0 t 1 1 2 t 7 Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có: cos45 t 1 36 t 1 2 36 2 t 5 Hai điểm M 7;0;0 , N 5;0;0 . Tổng hoành độ là: 7 5 2 Câu 41: Cho hàm số y f x xđ và lt trên ¡ \0 thỏa mãn: x2f 2 x 2x 1 f x x.f ' x 1 với x ¡ \0 2 ln 2 1 3 ln 2 3 đồng thời f 1 2. Tính f x dx A. B. 1 ln 2 C. D. ln 2 1 2 2 2 2 2 2 Từ giả thiết ta có: xf x 1 f x xf ' x . u ' u ' 1 Đặt u x.f x 1 u2 u ' 1 dx x C x C u2 u2 u 1 1 1 2 1 Vậy x.f x 1, mà f 1 2 C 0 Vậy f x f x dx ln 2 2 x C x x 1 2
5. Câu 42. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn 0;2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 0 B. 6 C. 1 D. 2 Lời giải Xét hàm số f x x3 3x m , ta có f x 3x2 3 . Ta có bảng biến thiên của f x : TH 1 : 2 m 0 m 2 . Khi đó max f x 2 m 2 m 0;2 2 m 3 m 1 (loại). 2 m 0 TH 2 : 2 m 0 . Khi đó : m 2 2 m 2 2 m max f x 2 m 2 m m 0 0;2 2 m 3 m 1 (thỏa mãn). m 0 TH 3 : 0 m 2 . Khi đó : m 2 2 m 2 2 m max f x 2 m 2 m 3 m 1(thỏa mãn). 2 m 0 0;2 TH 4: 2 m 0 m 2 . Khi đó max f x 2 m 2 m 3 m 1 (loại). 0;2 3 2 Câu 43: Gọi S là tập các giá trị dương của m sao cho hs y x 3m.x 9x m đạt cực trị tại x1, x thỏa2 mãn x1 x2 2. Biết S a;b. Tính T b a A. T 2B. C.3 T 1 3 T 2 3 D. T 3 3 2 x1 x2 2m HD: Điều kiện hàm số có cực trị: m 3 0 Lúc này theo Viet: . Theo giả thiết: x1x2 3 2 2 2 2 x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 4x1x2 4 m 4. Mà m dương nên 3 m 4 3 m 2 Vậy a 3,b 2 b a 2 3 Câu 44. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 2i 5 ; z2 6 2i 2 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z2 z1 . Tính P (M m) . M 7 5; m 5 A. P 8 5. B. P 6 5. C. P 9 5. D. P 5 5. Hướng dẫn giải: Gọi E x; y là điểm biểu diễn số phức z1 x yi . 2 2 2 2 z1 2 2i 5 x 2 y 2 5 E T1 : x 2 y 2 5 T1 có tâm I1 2;2 , bán kính R1 5 Gọi F x; y là điểm biểu diễn số phức z2 x yi . 2 2 2 2 z2 6 2i 2 5 x 6 y 2 20 F T2 : x 6 y 2 20 T2 có tâm I2 6; 2 , bán kính R2 2 5 Phương trình đường thẳng I1I2 : x 2y 2 0 . đường thẳng I1I2 cắt T1 tại hai điểm A(0;1), B(-4;3) và cắt T2 tại hai điểm C(2;0), D(10;-4). z2 z1 EF nhỏ nhất bằng m 5 khi và chỉ khi z1 i; z2 2 z2 z1 EF lớn nhất bằng M 7 5 khi và chỉ khi z1 4 3i; z2 10 4i
6. 1 Câu 45. Tổng các giá trị nguyên âm của m để hàm số y x3 mx đồng biến trên khoảng (0; ) ? 5x5 A.- 6.B. - 10.C.- 3 .D.- 7. 1 y x3 mx Ta có: 5x5 1 1 1 y' 3x2 m . 5x 6 3x2 m 0 x 0; m 3x2 f x x 0; 5 x6 x6 m min f x 0; 1 1 f x 3x2 x2 x2 x2 44 1 4 min f x 4 m 4 m 4 x6 x6 0; Mà m là số nguyên âm m  3; 2; 1. Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để pt 16x 2.12x (m 2)9x 0 có nghiệm dương? A. 1. B. 2 . C. 4 . D. .3 2x x x x x 4 4 Lời giải Xét phương trình 16 2.12 m 2 .9 0 2. m 2 0 3 3 x 4 2 2 Đặt t 0 ta được t 2t m 2 0 m 2 2t t * . 3 x 4 Để phương trình đã cho có nghiệm dương x 0 thì phương trình * có nghiệm t 1 . 3 Xét hàm f t 2 2t t 2 ,t 1; có: f t 2 2t 0,t 1 nên hàm số nghịch biến trên 1; . Suy ra f t f 1 3 m 3 . Mà m nguyên dương nên m 1;2 . 6 1 Câu 47. Cho hàm số y f (x) liên tục trên 0 ;1 và thỏa mãn f (x) 6x2 f x3 . Tính f (x)dx. 3x 1 0 A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 6 . 6 1 1 1 6 Hướng dẫn giải f x 6x2 f x3 f x dx 6x2 f x3 dx dx 3x 1 0 0 0 3x 1 Đặt t x3 dt 3x2dx , đổi cận x 0 t 0 , x 1 t 1 . 1 1 1 1 6 1 1 1 Ta có: 6x2 f x3 dx 2 f t dt 2 f x dx , dx 4 . Vậy f x dx 2 f x dx 4 f x dx 4 0 0 0 0 3x 1 0 0 0 Câu 48. Một htrụ có tt 16 cm3 . Khi đó bk đáy R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất? 16 A. R 2 cm . B. R 1,6 cm . C. R cm . D. R cm . 16 Hướng dẫn giải Ta có V R2h 16 h . Để ít tốn nguyên liệu nhất thì dt toàn phần của lọ phải nhỏ nhất. R2 32 16 16 16 16 Ta có: S 2 R2 2 Rh 2 R2 2 R2 33 2 R2. . 24 . tp R2 R R R R 16 Dấu “ ” xảy ra 2 R2 R 2 cm . R
7. Câu 49. Chho 2 điểm A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 1) và mp (P) : 3x 8y 7z 1 0. Tìm M (a ; b ; c) (P) thỏa 2 2 35 131 85 311 mãn MA 2MB nhỏ nhất, tính T a b c. A. T . B. T . C. T . D. T . 183 61 61 183   4 5 Hướng dẫn giải Gọi I sao cho IA 2IB 0 I ;0; 3 3  2   2   MA2 MA MI IA MI 2 IA2 2MI.IA  2   2   MB2 MB MI IB MI 2 IB2 2MI.IB    MA2 2MB2 3MI 2 IA2 2IB2 2MI IA IB 3MI 2 IA2 2IB2 Suy ra MA2 2MB2 khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên P . min 283 104 214 35 Tìm được tọa độ M ; ; T . 183 183 183 183 Câu 50. Cho A(1; 0 ; 0), B(2 ; 1; 2), C( 1;1; 3). Viết ptmc có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt (ABC) 2 2 2 1 2 5 2 1 2 5 theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. A. x y z . B. x y z . 2 4 2 4 2 2 2 1 2 9 2 1 2 9 C. x y z . D. x y z . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: Mp ABC có pt: x y z 1 0 . Gọi S là mc có tâm I Oy và cắt ABC theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất. Vì I Oy nên I 0;t;0 , gọi H là hình chiếu của I lên ABC khi đó là có bán kính đường tròn giao của ABC và S là r AH IA2 IH 2 . t 1 t 2 2t 1 2t 2 2t 2 Ta có: IA2 t 2 1, IH d I, ABC r t 2 1 . 3 3 3 1 1 2 5 Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi t . Khi đó I 0; ;0 , IA . 2 2 4 2 2 1 2 5 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x y z . 2 4