Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Mã đề 015 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS - THPT Mỹ Việt (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Mã đề 015 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS - THPT Mỹ Việt (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ƠN THI THPTQG - NĂM HỌC 2019 – 2020 TRƯỜNG THCS & THPT MỸ VIỆT Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh Lớp . Mã đề thi 015 I. NHẬN BIẾT 3 2 Câu 1: [2D1-1] Hàm số y x 3x 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;2 B. ; 2 C. 2;0 . D. 0; . Câu 2: [2D1-1] Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình bên: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 3 . B. Hàm số đạt cực đại tại x 4 . C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Câu 3: [2D2-1] Tập xác định của hàm số y x 1 2 là: A. .DB. ;1 D ¡ .C. D 1; .D. . D ¡ \1 2 Câu 4: [2D2-1] Tập xác định D của hàm số y log2 2x x 1 là: 1 A. D ;1 . B. 1; . 2 1 1 C. D ;2 . D. D ; (1; ) . 2 2 Câu 5: [2D3-1] Nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9 là: 1 1 A. x 4 9x C . B 4 x 4 9 xC. .C D. x 4 C . 4 x 3 9 x C 2 4 6x 2 Câu 6: [2D3-1] Tìm dx . 3x 1 4 A. F x 2x ln 3x 1 C B. .F x 2x 4ln 3x 1 C 3 4 C. .D.F x ln 3x 1 C F x . 2x 4ln 3x 1 C 3 1 Câu 7: [2D4-1] Cho z 3 4i , tìm phần thực ảo của số phức . z 1 1 3 4 A. Phần thực là , phần ảo là . B. Phần thực là , phần ảo là . 3 4 25 25 1 1 3 4 C. Phần thực là , phần ảo là .D. Phần thực là , phần ảo là . 3 4 5 5 Câu 8: [2H1-1] Hình chĩp tứ giác đều cĩ bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2 . B. 6 .C. 8 .D. 4 . Trang 1/26
2. Câu 9: [2H1-1] Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D cĩ AB a , AD b , AA c . abc abc abc A. V abc .B. . C.V .D. . V V 3 2 Câu 10: [2H2-1 Khối nĩn cĩ bán kính đáy bằng 2 , chiều cao bằng 2 3 thì cĩ đường sinh bằng: A. 2 . B. 3 . C. 16 . D. 4 . Câu 11: [2H3-1] Trong khơng gian cho ba điểm A 5; 2; 0 ,B 2; 3; 0 và C 0; 2; 3 . Trọng tâm G của tam giác ABC cĩ tọa độ là A. 1;1;1 .B. .C. .D. 1;1; 2 . 1;2;1 2;0; 1 Câu 12 : [2H3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 4z 25 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu S ? A. .IB. 1 .; 2;2 , R 6 I 1;2; 2 , R 5 C. I 2;4; 4 , R 29 .D. I 1; 2;2 , R 34 . II. THƠNG HIỂU. Câu 13: [2D1-2] Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng d : y x 2x 1 x 4 2x 1 1 A. .y B. y . C. y . D. y x 3 x 1 x 2 x 3 Câu 14: [2D1-2] Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 4;4 và cĩ bảng biến thiên trên 4;4 như bên. Phát biểu nào sau đây đúng? A. max y 0 và min y 4 . B. min y 4 và max y 10 . 4;4 4;4 4;4 4;4 C. max y 10 và min y 10 D. Hàm số khơng cĩ GTLN, GTNN trên 4;4 4;4 4;4 x2 5x 4 Câu 15: [2D1-2] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y . x2 1 A. 2. B. 1.C. 0.D 3 Câu 16: [2D1-2] Hàm số nào trong bốn hàm số sau cĩ bảng biến thiên như hình vẽ sau? 3 2 3 2 3 3 2 A. y x 3x 1 . B. y x 3x 1 . C. y x 3x 2. D. y x 3x 2. 4 2 Câu 17: [2D1-2] Hàm số y x 2mx 1 đạt cực tiểu tại x 0 khi: A. 1 m 0 . B. m 0. C. m 1. D. m 0. Trang 2/26
3. 1 1 a 3 b b3 a Câu 18: [2D2-2] Cho hai số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức A . 6 a 6 b 1 1 A. A 6 ab . B. A 3 ab . C. .D. . 3 ab 6 ab x 2 3 x 2 3 3 Câu 19: [2D2-2] Phương trình 2 4 cĩ 2 nghiệm là x1 , x2 . Hãy tính giá trị của T x1 x2 . A. T 9 .B. .C. T 1 T 3.D. T 27 . 1 Câu 20: [2D3-2] Tính tích phân A dx bằng cách đặt t ln x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x 1 1 A. A dt . B. A dt . C. A tdt . D. A dt . t 2 t Câu 21: [2D3-2] Họ các nguyên hàm của f x x.lnx là. 2 1 x 1 2 A. x 2 ln x x 2 C . B. ln x x C . 2 2 4 2 1 x 1 2 C. x ln x x C . D. ln x x C . 2 2 4 8 4 4 Câu 22: [2D3-2] Biết f x dx 2 , f x dx 3 ; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 8 4 A. f x dx 1. B. . f x g x dx 10 4 1 8 4 C. f x dx 5 .D. 4 f x .2g x dx 2 4 1 2 Câu 23 : [2D4-2] Trong tập các số phức, cho phương trình z 6z m 0,m ¡ (1) . Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình 1 cĩ hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z1 z2  z2 . Hỏi trong khoảng 0;20 cĩ bao nhiêu giá trị m0 ¥ ? A. 13 . B. 11 .C. 12. D. 10. Câu 24: [2H1-2] Cắt khối trụ ABC.A B C bởi các mặt phẳng AB C và ABC ta được những khối đa diện nào? A. Hai khối tứ diện và hai khối chĩp tứ giác.B. Ba khối tứ diện. C. Một khối tứ diện và hai khối chĩp tứ giác.D. Hai khối tứ diện và một khối chĩp tứ giác. Câu 25: [2H1-2] Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A , SA vuơng gĩc với đáy và SA BC a 3 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC . 3 3 3 3 3 A. V a3 . B. .C.V a3 V a3 . D. V a3 . 6 2 4 4 Câu 26: [2H2-2] Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần Stp của khối trụ. 27 a2 13a2 a2 3 A. S . B. .SC. .D. S a2 . 3 S tp 2 tp 6 tp tp 2 Câu 27: [2H3-2] Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu cĩ tâm A 2;1;1 và tiếp xúc với mặt phẳng 2x y 2z 1 0 cĩ phương trình là A. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 16 .B. (x 2)2 . (y 1)2 (z 1)2 9 C. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 4 .D. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 3 . Trang 3/26
4. Câu 28: [2H3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm khơng thẳng hàng A 3;4;2 , B 5; 1;0 và C 2;5;1 . Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C cĩ phương trình: A. 7x 4y 3z 31 0 .B. x y . z 9 0 C. 7x 4y 3z 31 0 .D. x y . z 8 0 x 1 3t Câu 29: [2H3-2] Cho đường thẳng d : y 2t và P : 2x y 2z 6 0 . Giá trị của m để d  P z 2 mt là A. .m 2 B. m 2 . C. m 4 .D. . m 4 III. VẬN DỤNG. 3 2 2 Câu 30: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3mx 9m x nghịch biến trên khoảng 0;1 . 1 A. m .B. . m 1 3 1 1 C. m hoặc m 1.D. . 1 m 3 3 3 2 Câu 31: [2D1-2.13-3] Cho hàm số y x 3mx m (m là tham số). Cĩ bao nhiêu số nguyên m bé hơn 10 thỏa mãn đồ thị hàm số đã cho cĩ hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2 5 . A. 18. B. 9.C. 5. D. 10 . x 2 Câu 32: [2D1-3] Cho hàm số y cĩ đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau 2x 1 đây? | x| 2 x 2 x 2 | x 2 | A. y .B. .C. y .D. y . y 2| x| 1 2x 1 | 2x 1| 2 x 1 Câu 33: [2D2-3] Trong mơi trường nuơi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng lồi của vi khuẩn A tăng lên gấp đơi, cịn sau đúng 10 ngày số lượng lồi của vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu cĩ 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B . Hỏi sau bao nhiêu ngày nuơi cấy trong mơi trường đĩ thì số lượng hai lồi bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi lồi ở mọi thời điểm là như nhau? A. 10log3 2 (ngày).B. 5log8 2 (ngày).C. 10log4 2 (ngày).D. 5log 4(ngày).2 2 3 3 3 Trang 4/26
5. Câu 34: [2D3-3] Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ln x 1 , trục hồnh và đường thẳng x e 1 . Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình H quanh trục O x . A. e 2 . B. .2C.π πe .D. π e 2 . Câu 35: [2D3-3] Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội cĩ hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5m . Diện tích của cổng là: 100 200 A. 100 m2 . B. 200 m2 . C. m2 .S.ABC D. m2 . 3 3 Câu 36: [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 i 25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w 2z 2 3i là đường trịn tâm I a;b và bán kính c . Giá trị của a b c bằng A. 17 . B. 20 .C. .D. . 10 18 Câu 37: [2H1-3] Cho tứ diện S.ABC cĩ thể tích V . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện cĩ đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng A. V . B. V .C. V .D. V . 2 3 4 8 Câu 38: [2H2-3] Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy cĩ độ dài bằng a , cạnh bên SA a 3 . 3a 6 3a 3 2a 3 a 3 A. . B. .C. .D. . 8 2 2 2 8 Câu 39: [2H3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng P : z 1 0 và Q : x y z 3 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P cắt đường x 1 y 2 z 3 thẳng và vuơng gĩc với đường thẳng . Phương trình của đường thẳng d là 1 1 1 x 3 t x 3 t x 3 t x 3 t A. y t . B. y t . C. y t . D. y t . z 1 t z 1 z 1 z 1 t IV. VẬN DỤNG CAO Câu 40: [2H3-4] Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;6 và D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B,C đến là lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M 1; 2;1 . B. M 5;7;3 . C. M 3;4;3 .D. M . 7;13;5 Câu 41: [2D3-4] Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa f 1 1 , f x f ' x 3x 1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1 f 5 2 .B. 4 f 5 5.C. 2 f 5 3.D. . 3 f 5 4 1 f (x) Câu 42: [2D3-4] Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f ( x) ln x . ln x 1 ln x 1 A. . f ( x ) l n x d x B.C . f (x)ln xdx C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f (x) ln xdx C .D. . f (x) ln xdx C x 3 3x 3 x3 3x3 Trang 5/26
6. Câu 43: [2D4-4] Gọi z là số phức thỏa mãn P z 1 i z 1 4i z 2 i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z . 2 A. 2 . B. .1C. . D.2 . 2 Câu 44: [2H3-4] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;4;5 , B 3;4;0 , C 2; 1;0 và mặt phẳng P :3x 3y 2z 12 0 . Gọi M a;b;c thuộc P sao cho MA2 MB2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c . A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . Câu 45: [2H3-4] Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho các điểm A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường thẳng x 1 y 1 z : . Gọi M a;b;c sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 2 1 2 T a b c . A. T 2 . B. T 3. C. T 4 . D. T 5 . x 1 Câu 46: [2D1-4] Cho hàm số y . Số các giá trị tham số m để đường thẳng y x m luơn cắt đồ x 2 thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường trịn 2 2 x y 3y 4 là A. 1 . B. 0 .C. 3.D. 2. Câu 47: Một cơng ty bất động sản cĩ 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều cĩ người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng mỗi tháng thì cĩ thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn cĩ thu nhập cao nhất, cơng ty đĩ phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2 250 000 . B. 2 350 000 .C. 2 .D.45 0 000 . 2 550 000 Câu 48: [2D2-4] Tìm m để bất phương trình m.9x 2m 1 6x m.4x 0 nghiệm đúng với mọi x 0;1 . A. .mB. 6 6 m 4.C. m 6.D. . m 4 Câu 49: [2D4-4] Tìm giá trị lớn nhất của P z2 z z2 z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1 . 13 A. 3 . B. 3 . C. . D. 5 . 4 Câu 50: [2H1-4] Cho hình lăng trụ ABC.A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A . cạnh BC 2a và ·ABC 60. Biết tứ giác BCC B là hình thoi cĩ B· BC nhọn. Biết BCC B vuơng gĩc với ABC và ABB A tạo với ABC gĩc 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng a3 3a3 6a3 a3 A. . B. .C. .D. . 7 7 7 3 7 HẾT Trang 6/26
7. BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2 1C 2C 3B 4D 5A 6D 7C 8D 9B 10A 11D 12A 13C 14B 15A 16C 17D 18C 19A 20A 21D 22D 23A 24D 25D 26B 27D 28D 29C 30D 31B 32D 33D 34B 35D 36A 37A 38A 39D 40C 41A 42C 43C 44B 45B 46C 47C 48A 49A 50B HƯỚNG DẪN GIẢI 3 2 Câu 1. [2D1-1] Hàm số y x 3x 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;2 B. ; 2 C. 2;0 . D. 0; . Lời giải Chọn C 2 Ta cĩ: y 3x 6x . 2 x 0 y 1 Cho y 0 3x 6x 0 x 2 y 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . Câu 2. [2D1-1] Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên như hình bên: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 3 .B. Hàm số đạt cực đại tại x .4 C. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Lời giải Chọn C Giá trị cực đại của hàm số là y 3 tại x 2 . Câu 3. [2D1-2] Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng d : y x Trang 7/26
8. 2x 1 x 4 2x 1 1 A. .y B. y . C. y . D. y x 3 x 1 x 2 x 3 Lời giải Chọn B Vì lim y và lim y suy ra đồ thị hàm số cĩ tiệm cận đứng là x 1 . x 1 x 1 Và lim y lim y 1 suy ra đồ thị hàm số cĩ tiệm cận ngang là y 1 . x x Suy ra giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I 1;1 d : y x . Câu 4. [2D1-2] Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 4;4 và cĩ bảng biến thiên trên 4;4 như bên. Phát biểu nào sau đây đúng? A. max y 0 và min y 4 . 4;4 4;4 B. min y 4 và max y 10 . 4;4 4;4 C. max y 10 và min y 10 4;4 4;4 D. Hàm số khơng cĩ GTLN, GTNN trên 4;4 Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên. Ta thấy khơng tồn tại GTLN, GTNN trên 4;4 . x2 5x 4 Câu 5. [2D1-2] Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y . x2 1 A. 2.B. 1.C. 0.D 3 Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ \ { 1} . Ta cĩ: x2 5x 4 x 4 y nên đồ thị cĩ đường tiệm cận đứng x 1 và đường tiệm cận ngang y 1 . x2 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số chỉ cĩ hai tiệm cận. Câu 6. [2D1-2] Hàm số nào trong bốn hàm số sau cĩ bảng biến thiên như hình vẽ sau? Trang 8/26
9. 3 2 3 2 3 3 2 A. y x 3x 1 . B. y x 3x 1 . C. y x 3x 2. D. y x 3x 2. Lời giải Chọn D 3 2 Xét y x 3x 2 2 x 0 Ta cĩ y 3x 6x; y 0 . Khi x 0 y 2; x 2 y 2 x 2 Hàm số này thỏa mãn các tính chất trên bảng biến thiên. 3 2 2 Câu 7. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3mx 9m x nghịch biến trên khoảng 0;1 . 1 A. m .B. . m 1 3 1 1 C. m hoặc m 1 .D. . 1 m 3 3 Lời giải Chọn C Tập xác định D ¡ . 2 2 2 2 2 2 x m y 3x 6mx 9m ; y 0 3x 6mx 9m 0 x 2mx 3m 0 x 3m Nếu m 3m m 0 thì y 0; x ¡ nên hàm số khơng cĩ khoảng nghịch biến. Nếu m 3m m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng m;3m . m 0 1 Do đĩ hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 m . 3m 1 3 1 Kết hợp với điều kiện ta được m . 3 Nếu m 3m m 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng 3m; m . 3m 0 Do đĩ hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 m 1 . m 1 Kết hợp với điều kiện ta được m 1 . 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 khi m 1 hoặc m . 3 Trang 9/26
10. 4 2 Câu 8. [2D1-2] Hàm số y x 2mx 1 đạt cực tiểu tại x 0 khi: A. 1 m 0 . B. m 0. C. m 1 . D. m 0. Lời giải Chọn D y 0 0 Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì . y 0 0 3 2 Ta cĩ y 4x 4mx và y 12x 4m . Vậy ta cĩ 4m 0 m 0 . 3 2 Câu 9. [2D1-2.13-3] Cho hàm số y x 3mx m (m là tham số). Cĩ bao nhiêu số nguyên m bé hơn 10 thỏa mãn đồ thị hàm số đã cho cĩ hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2 5 . A. 18.B. 9.C. 5. D. 10 . Lời giải Chọn B 2 Ta cĩ: y 3x 3m . Để hàm số cĩ hai điểm cực trị thì m 0 x m y m2 2m m Khi đĩ, y 0 x2 m 1 1 2 x2 m y2 m 2m m Ta được: A m ; m 2 2m m , B m ; m 2 2m m . 2 3 AB 2 5 AB 20 4m 16m 20 4m3 m 5 0 (m 1) 4m2 4m 5 0 m 1 Do m nguyên và bé hơn 10 nên m {1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9} . x 2 Câu 10. [2D1-3] Cho hàm số y cĩ đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau 2x 1 đây? | x| 2 x 2 x 2 | x 2 | A. y .B. .C. y .D. y . y 2| x| 1 2x 1 | 2x 1| 2 x 1 Lời giải Chọn A Sử dụng cách suy đồ thị của hàm số y f x từ đồ thị f x . Trang 10/26
11. x 1 Câu 11. [2D1-4] Cho hàm số y . Số các giá trị tham số m để đường thẳng y x m luơn cắt đồ x 2 thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường trịn 2 2 x y 3y 4 là A. 1 .B. .C.0 3.D. 2. Lời giải Chọn D x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x m x 2 (m 3)x 2m 1 0 (*) x 2 Theo yêu cầu bài tốn: * phải cĩ hai nghiệm phân biệt khác 2 . 0 2 m 2m 13 0,m 4 (m 3)2 2m 1 0 Gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 suy ra G là trọng tâm của tam giác OAB : x1 x2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2m 3 m 3 m 2m 3 m 3 m G ; G ; G ; G ; Theo yêu cầu bài 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 m 3 3 m 3 m 3 m 2 tốn: 3 4 2m 9m 45 0 15 . 3 3 3 m 2 Câu 12. Một cơng ty bất động sản cĩ 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều cĩ người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng mỗi tháng thì cĩ thể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn cĩ thu nhập cao nhất, cơng ty đĩ phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A. 2 250 000 . B. 2 350 000 .C. 2 .D.45 0 000 . 2 550 000 Lời giải Chọn A Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x đồng; x 2 000 000 đồng). Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê: 1 1 50 (x 200000) x 90, (1) 50000 50.000 Gọi F x là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F x đồng). 1 1 2 Ta cĩ F(x) x 90 x x 90x 50.000 50.000 1 Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của F (x) x 2 90x với điều kiện x 2 000 000 50.000 1 1 F x x 90 F x 0 x 90 0 x 2.250.000 25.000 , 25.000 1 F (x) 0 x 90 0 x 2.250.000 25.000 Trang 11/26
12. Ta lập bảng biến thiên: Suy ra F x đạt giá trị lớn nhất khi x 2 250 000 . Vậy cơng ty phải cho thuê với giá 2 250 000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. Câu 13. [2D2-1] Tập xác định của hàm số y x 1 2 là: A. .DB. ;1 D ¡ .C. D 1; .D. . D ¡ \1 Lời giải Chọn C Hàm số y x 1 2 cĩ số mũ khơng nguyên nên để hàm số cĩ nghĩa thì x 1 0 x 1 . 1 1 a 3 b b3 a Câu 14. [2D2-2] Cho hai số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức A . 6 a 6 b 1 1 A. A 6 ab . B. A 3 ab. C. .D. . 3 ab 6 ab Lời giải Chọn B 1 1 1 1 1 1 a 3b3 b 6 a 6 a 3 b b3 a 1 1 A a 3 3 6 a 6 b 1 1 b 6 a 6 2 Câu 15. [2D2-1] Tập xác định D của hàm số y log2 2x x 1 là: 1 A. D ;1 . B. 1; . 2 1 1 C. D ;2 . D. D ; (1; ) . 2 2 Lời giải Chọn A 2 1  1 Ta cĩ D x ¡ | 2x x 1 0 x ¡ | x 1 ;1 . 2  2 Câu 16. [2D2-3] Trong mơi trường nuơi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng lồi của vi khuẩn A tăng lên gấp đơi, cịn sau đúng 10 ngày số lượng lồi của vi khuẩn B tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu cĩ 100 con vi khuẩn A và 200 con vi khuẩn B . Hỏi sau bao nhiêu ngày nuơi cấy trong mơi trường đĩ thì số lượng hai lồi bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi lồi ở mọi thời điểm là như nhau? A. 10log3 2 (ngày).B. 5log8 2 (ngày).C. 10log4 2 (ngày).D. 5log 4(ngày).2 2 3 3 3 Lời giải Chọn C Giả sử sau x ngày nuơi cấy thì số lượng vi khuẩn hai lồi bằng nhau. Điều kiện.x 0 x Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của lồi A là: 100.2 5 con vi khuẩn. Trang 12/26
13. x Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của lồi B là: 200.310 con vi khuẩn. x x x x 25 4 10 5 10 Khi đĩ ta cĩ phương trình: 100.2 200.3 x 2 2 x 10log 4 2 . 3 310 3 x 2 3 x 2 3 3 Câu 17. [2D2-2] Phương trình 2 4 cĩ 2 nghiệm là x1 , x2 . Hãy tính giá trị của T x1 x2 . A. T 9 .B. .C. T 1 T 3.D. T 27 . Lời giải Chọn D x2 3x 2 2 x 0 Ta cĩ 2 4 x 3x 2 2 . x 3 3 3 Vậy T x1 x2 27 . Câu 18. [2D2-4] Tìm m để bất phương trình m.9x 2m 1 6x m.4x 0 nghiệm đúng với mọi x 0;1 . A. .mB. 6 6 m 4.C. m 6.D. . m 4 Lời giải Chọn C 2x x x x x 3 3 m.9 2m 1 .6 m.4 0,x 0;1 m 2m 1 m 0x 0;1 * 2 2 x 3 3 Đặt t ; x [0;1] t 1; . 2 2 3 (*) mt 2 2m 1 t m 0,t 1; 2 2 3 2 3 m t 1 t,t 1; m t 1 t,t 1; . 2 2 t 3 t 1 (đúng) m ,t 1; 2 t 1 2 t 3 t 2 1 3 Khảo sát f t t 1; , f t 0, t 1; . 2 2 t 1 2 t 1 2 3 m f 6 . 2 Câu 19. [2D3-1] Nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9 là: 1 1 A. x 4 9x C . B 4 x 4 9 xC. .C D. x 4 C . 4 x 3 9 x C 2 4 Lời giải Chọn A Trang 13/26
14. x4 x4 2x3 9 dx 2 9x C 9x C . 4 2 6x 2 Câu 20. [2D3-1] Tìm dx . 3x 1 4 A. F x 2x ln 3x 1 C B. .F x 2x 4ln 3x 1 C 3 4 C. .D.F x ln 3x 1 C F x . 2x 4ln 3x 1 C 3 Lời giải Chọn A 6x 2 4 4 dx 2 dx 2x ln 3x 1 C . 3x 1 3x 1 3 1 Câu 21. [2D3-2] Tính tích phân A dx bằng cách đặt t ln x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x ln x 1 1 A. A dt . B. A dt . C. A tdt . D. A dt . t 2 t Lời giải Chọn D 1 1 1 Đặt t ln x dt dx . Khi đĩ A dx dt . x x ln x t Câu 22. [2D3-2] Họ các nguyên hàm của f x x.lnx là. 2 1 x 1 2 A. x 2 ln x x 2 C . B. ln x x C . 2 2 4 2 1 x 1 2 C. x ln x x C . D. ln x x C . 2 2 4 Lời giải Chọn D Tính x ln xdx 1 v x2 xdx dv 2 Đặt ln x u 1 du dx x 1 1 x2 1 Suy ra xln xdx x2 ln x xdx ln x x2 C . 2 2 2 4 8 4 4 Câu 23. [2D3-2] Biết f x dx 2 , f x dx 3 ; g x dx 7 . Mệnh đề nào sau đây sai? 1 1 1 8 4 A. f x dx 1. B. . f x g x dx 10 4 1 8 4 C. f x dx 5 .D. 4 f x .2g x dx 2 4 1 Lời giải Chọn A Trang 14/26
15. 8 8 4 Ta cĩ f x dx f x dx f x dx 2 3 5 . 4 1 1 Câu 24. [2D3-3] Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ln x 1 , trục hồnh và đường thẳng x e 1 . Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay hình H quanh trục O x . A. e 2 . B. .2C.π πe . D. π e 2 . Hướng dẫn giải Chọn D e 1 e Thể tích khối trịn xoay H là: V π ln2 x 1 dx π ln2 xdx . 0 0 2ln x u ln2 x du dx Đặt x . dv dx v x 1 e e 2 u ln x du dx Ta cĩ V π x ln x 2 ln x.dx . Đặt x . 1 1 dv dx v x e e e e e e 2 2 Suy ra V π x ln x 2x ln x 2 dx π x ln x 2x ln x 2x π e 2 1 1 1 1 1 1 Câu 25. [2D3-3] Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội cĩ hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12,5m . Diện tích của cổng là: 100 200 A. 100 m2 . B. 200 m2 . C. m2 .S.ABC D. m2 . 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1: Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hồnh trùng với đường tiếp đất của cổng. Khi đĩ Parabol cĩ phương trình dạng y ax2 c . Vì P đi qua đỉnh I 0;12,5 nên ta cĩ c 12,5 . c 25 P cắt trục hồnh tại hai điểm A 4;0 và B 4;0 nên ta cĩ 0 16a c a 16 32 Trang 15/26
16. 25 Do đĩ (P) : y x2 12,5 . 32 4 25 2 200 2 Diện tích của cổng là: S x 12,5 dx m . 4 32 3 Cách 2: Ta cĩ parabol đã cho cĩ chiều cao là h 12,5m và bán kính đáy OD OE 4m . 4 200 Do đĩ diện tích parabol đã cho là: S rh m2 . 3 3 1 Câu 26. [2D4-1] Cho z 3 4i , tìm phần thực ảo của số phức . z 1 1 3 4 A. Phần thực là , phần ảo là . B. Phần thực là , phần ảo là . 3 4 25 25 1 1 3 4 C. Phần thực là , phần ảo là .D. Phần thực là , phần ảo là . 3 4 5 5 Lời giải Chọn B 1 1 3 4 1 3 4 Số phức i . Vậy phần thực ảo của số phức là : Phần thực , phần ảo là . z 3 4i 25 25 z 25 25 2 Câu 27. [2D4-2] Trong tập các số phức, cho phương trình z 6z m 0,m ¡ (1) . Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình 1 cĩ hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z1 z2  z2 . Hỏi trong khoảng 0;20 cĩ bao nhiêu giá trị m0 ¥ ? A. 13 .B. .1C.1 12.D. 10. Lời giải Chọn D Điều kiện để phương trình 1 cĩ hai nghiệm phân biệt là: 9 m 0 m 9 . Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1.z1 z2.z2 thì 1 phải cĩ nghiệm phức. Suy ra 0 m 9 . Vậy trong khoảng 0;20 cĩ 10 số m0 . Câu 28. [2D4-3] Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 2 i 25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w 2z 2 3i là đường trịn tâm I a;b và bán kính c . Giá trị của a b c bằng A. .1B.7 .C.2 0 .D. 10 18. Trang 16/26
17. Lời giải Chọn D Giả sử z a bi, a,b ¡ và w x yi, x; y ¡ z 2 i z 2 i 25 a 2 b 1 i a 2 b 1 i 25 a 2 2 b 1 2 25 (1) Theo giả thiết: w 2z 2 3i x yi 2 a bi 2 3i x yi 2a 2 3 2b i . x 2 a x 2a 2 2 2 . y 3 2b 3 y b 2 2 2 x 2 3 y 2 2 Thay 2 vào 1 ta được: 2 1 25 x 2 y 5 100 . 2 2 Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường trịn tâm I 2;5 và bán kính R 10 . Vậy a b c 17 . Câu 29. [2D4-4] Tìm giá trị lớn nhất của P z2 z z2 z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1 . 13 A. 3 . B. 3 . C. . D. 5 . 4 Lời giải Chọn C Đặt z a bi(a,b ¡ ) . Do z 1 nên a2 b2 1 . Sử dụng cơng thức: | u . v | = | u | | v | ta cĩ: z2 z | z || z 1| | z 1| (a 1)2 b2 2 2a 2 z2 z 1 (a bi)2 a bi 1 a2 b2 a 1 (2ab b)i a2 b2 a 1 (2ab b)2 a2 (2a 1)2 b2 (2a 1)2 | 2a 1| Vậy P | 2a 1| 2 2a . 1 TH1: a . 2 Suy ra P 2a 1 2 2a (2 2a) 2 2a 3 4 2 3 3 vì 0 2 2a 2 1 TH2: a . 2 2 1 1 13 Suy ra P 2a 1 2 2a (2 2a) 2 2a 3 2 2a 3 . 2 4 4 7 Xảy ra khi a . 16 Câu 30. [2H1-1] Hình chĩp tứ giác đều cĩ bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2 . B. 6 . C. 8 .D. 4 . Trang 17/26
18. Lời giải Chọn D Đĩ là các mặt phẳng SAC , SBD , SHJ , SGI với G, H, I, J là các trung điểm của các cạnh AB , CB , CD , AD (hình vẽ bên dưới). Câu 31. [2H1-2] Cắt khối trụ ABC.A B C bởi các mặt phẳng AB C và ABC ta được những khối đa diện nào? A. Hai khối tứ diện và hai khối chĩp tứ giác.B. Ba khối tứ diện. C. Một khối tứ diện và hai khối chĩp tứ giác.D. Hai khối tứ diện và một khối chĩp tứ giác. Lời giải Chọn B Ta cĩ ba khối tứ diện là A.A B C ; B .ABC ;C ABC . Câu 32. [2H1-2] Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A , SA vuơng gĩc với đáy và SA BC a 3 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC . 3 3 3 3 3 A. V a3 . B. .C.V a3 .D.V a3 V a3 . 6 2 4 4 Lời giải Chọn D Trang 18/26
19. S a 3 A C a 3 B 3 3a2 Ta cĩ AB2 AC 2 BC 2 2AB2 3a2 AB a S 2 ABC 4 1 1 3a2 3 Suy ra V SA.S a 3. a3 . S.ABC 3 ABC 3 4 4 Câu 33. [2H1-3] Cho tứ diện S.ABC cĩ thể tích V . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện cĩ đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng A. V .B. .VC. .D. V V . 2 3 4 8 Lời giải Chọn D Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP . V SM SN SP 1 S.MNP . . V Ta cĩ: nên VS.MNP . VS.ABC SA SB SC 8 8 Câu 34. [2H1-4] Cho hình lăng trụ ABC.A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A . cạnh BC 2a và ·ABC 60. Biết tứ giác BCC B là hình thoi cĩ B· BC nhọn. Biết BCC B vuơng gĩc với ABC và ABB A tạo với ABC gĩc 45 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng a3 3a3 6a3 a3 A. .B. .C. .D. . 7 7 7 3 7 Lời giải Chọn B Trang 19/26
20. A' C' B' A 2a C 2a K 60 H B Do ABC là tam giác vuơng tại A, cạnh BC 2a và ·ABC 60 nên AB a ,AC a 3 . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của B lên BC H thuộc đoạn BC (do B· BC nhọn) B H  ABC (do BCC B vuơng gĩc với ABC ). Kẻ HK song song AC K AB HK  AB (doABC là tam giác vuơng tại A ). ·ABB A , ABC B· KH 45 B H KH (1) Ta cĩ BB H vuơng tại H BH 4a2 B H 2 (2) BH HK HK.2a Mặt khác HK song song AC BH (3) BC AC a 3 2 2 B H.2a 12 Từ (1), (2) và (3) suy ra 4a B H B H a . a 3 7 1 3a3 Vậy V S .B H AB.AC.B H . ABC.A'B'C ABC 2 7 Câu 35. [2H1-1] Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D cĩ AB a , AD b , AA c . abc abc abc A. V abc .B. . C.V .D. . V V 3 2 Lời giải Chọn A Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng và cĩ đáy là hình chữ nhật. Vậy V h.S AA .AB.AD abc . Câu 36. [2H2-1 Khối nĩn cĩ bán kính đáy bằng 2 , chiều cao bằng 2 3 thì cĩ đường sinh bằng: A. 2 . B. 3 . C. 16 . D. 4 . Lời giải Chọn D 2 Ta cĩ l r 2 h2 22 2 3 4 . Câu 37. [2H2-2] Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần Stp của khối trụ. 27 a2 13a2 a2 3 A. S . B. .SC. .D. S a2 . 3 S tp 2 tp 6 tp tp 2 Lời giải Chọn A Trang 20/26
21. B A O C O' D 3a Theo đề bài ta cĩ ABCD là hình vuơng cạnh 3a nên ta cĩ r và h 3a . 2 2 2 2 3a 3a 27 a Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp 2 r 2 rh 2 2 3a 2 2 2 Câu 38. [2H2-3] Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy cĩ độ dài bằng a , cạnh bên SA a 3 . 3a 6 3a 3 2a 3 a 3 A. . B. .C. .D. . 8 2 2 2 8 Lời giải Chọn A S H C I A M O B Gọi H là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng SAO kẻ đường thẳng qua H và vuơng gĩc với SA cắt SO tại I . Khi đĩ IS IA IB IC . a 3 a 3 2 6a Ta cĩ: AM ; AO ;SO SA2 OA2 2 3 3 SI SH SH  SA 3 6a Do SHI đồng dạng SOA ta cĩ: SI SA SO SO 8 Câu 39. [2H3-1] Trong khơng gian cho ba điểm A 5; 2; 0 ,B 2; 3; 0 và C 0; 2; 3 . Trọng tâm G của tam giác ABC cĩ tọa độ là A. 1;1;1 .B. . C. 1;1; 2 . D. 1;2;1 . 2;0; 1 Lời giải Chọn A A 5; 2;0 Ta cĩ: B 2;3;0 G 1;1;1 . C 0;2;3 Trang 21/26
22. Câu 40. [2H3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 4z 25 0 . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu S ? A. .IB. 1 .; 2;2 , R 6 I 1;2; 2 , R 5 C. I 2;4; 4 , R 29 .D. I 1; 2;2 , R 34 . Lời giải Chọn D 2 2 2 Mặt cầu (S) : x 1 y 2 z 2 34 S : x 1 2 y 2 2 z 2 2 34 . Khi đĩ S cĩ tâm I 1; 2;2 , bán kính R 34 . Câu 41. [2H3-2] Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu cĩ tâm A 2;1;1 và tiếp xúc với mặt phẳng 2x y 2z 1 0 cĩ phương trình là A. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 16 .B. (x 2)2 . (y 1)2 (z 1)2 9 C. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 4 .D. (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 3 . Lời giải Chọn C Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0 nên bán kính R d(A,(P)) 2 (S) : (x 2)2 (y 1)2 (z 1)2 4 . Câu 42. [2H3-2] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm khơng thẳng hàng A 3;4;2 , B 5; 1;0 và C 2;5;1 . Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C cĩ phương trình: A. 7x 4y 3z 31 0 .B. x y . z 9 0 C. 7x 4y 3z 31 0 .D. x y . z 8 0 Lời giải Chọn A   Ta cĩ: AB (2; 5; 2) , AC ( 1;1; 1) .   Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C nhận vectơ n AB, AC 7;4; 3 làm vectơ pháp tuyến nên cĩ phương trình: 7x 4y 3z 31 0 . Câu 43. [2H3-3] Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng P : z 1 0 và Q : x y z 3 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng P cắt đường x 1 y 2 z 3 thẳng và vuơng gĩc với đường thẳng . Phương trình của đường thẳng d là 1 1 1 x 3 t x 3 t x 3 t x 3 t A. y t . B. y t . C. y t . D. y t . z 1 t z 1 z 1 z 1 t Lời giải Trang 22/26
23. Chọn C d' Q I d P   Đặt nP 0;0;1 và nQ 1;1;1 lần lượt là véctơ pháp tuyến của P và Q . Do (P)  (Q) nên cĩ một véctơ chỉ phương u nP ,nQ ( 1;1;0) .  Đường thẳng d nằm trong P và d  nên d cĩ một véctơ chỉ phương là u n ,u ( 1; 1;0) d p x 1 y 2 z 3 Gọi d : và A d  d A d  (P) 1 1 1 z 1 0 z 1 Xét hệ phương trình x 1 y 2 z 3 y 0 A(3;0;1) . 1 1 1 x 3 x 3 t Do đĩ phương trình đường thẳng d : y t . z 1 x 1 3t Câu 44. [2H3-2] Cho đường thẳng d : y 2t và P : 2x y 2z 6 0 . Giá trị của m để d  P z 2 mt là A. .m 2 B. m . 2 C. m 4 .D. . m 4 Lời giải Chọn C d đi qua điểm M 1;0; 2 và cĩ VTCP u 3;2;m P cĩ VTPT n 2; 1; 2 . u n 0 2m 8 0 Ta cĩ d  (P) m 4 . M (P) 2 4 6 0 Câu 45. [2H3-4] Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;6 và D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B,C đến là lớn nhất. Hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M 1; 2;1 . B. M 5;7;3 . C. M 3;4;3 .D. M . 7;13;5 Lời giải Chọn B Trang 23/26
24. x y z Phương trình mặt phẳng ABC là 1 2x 3y z 6 0 . 3 2 6 Dễ thấy D ABC . Gọi H, K, I lần lượt là hình chiếu của A, B,C trên . Do là đường thẳng đi qua D nên AH AD, BK BD,CI CD . Vậy để khoảng cách từ các điểm A, B,C đến là lớn nhất thì là đường thẳng đi qua D và vuơng gĩc với x 1 2t ABC . Vậy phương trình đường thẳng là y 1 3t(t ¡ ) . Kiểm tra ta thấy điểm M 5;7;3 . z 1 t Câu 46. [2D3-4] Cho hàm số y f x cĩ đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng 0; và thỏa f 1 1 , f x f ' x 3x 1 . Mệnh đề nào đúng? A. 1 f 5 2 .B. 4 f 5 5.C. 2 f 5 3.D. . 3 f 5 4 Lời giải Chọn C 1 f ' x Từ gt: f x f ' x 3x 1 3x 1 f x 2 3x 1 C f ' x 1 2 3 dx dx ln f x 3x 1 C f x e f x 3x 1 3 2 2 4 4 .2 C 4 3x 1 Vì f 1 1 e3 1 e0 C f x e 3 3 f 5 e 3 3,79 3 1 f (x) Câu 47. [2D3-4] Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f ( x) ln x . ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx C .B. . f (x)ln xdx C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f (x) ln xdx C .D. . f (x) ln xdx C x 3 3x 3 x3 3x3 Lời giải Chọn C f x 1 f x 1 f x 1 1 Từ giả thiết F x 3 4 f x 3 f x 3. 4 x 3x x x x x x 3ln x ln x Đặt A f x .ln x.dx dx 3 dx x 4 x 4 1 u ln x 3du dx x 1 1 1 ln x 1 Đặt A 3 3 ln x 4 dx 3 3 C . 1 1 3x 3 x x 3x dv dx chọn v x4 3x3 Câu 48. [2D4-4] Gọi z là số phức thỏa mãn P z 1 i z 1 4i z 2 i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z . 2 A. 2 .B. .C.1 .D. . 2 2 Lời giải Chọn A Trang 24/26
25. Đặt z a bi , xét các điểm M a;b , A 1;1 , B 1;4 , C 2; 1 . AB2 AC 2 BC 2 2 1 Ta cĩ cosB· AC B· AC 1200 . 2.AB.AC 5 2   AB AC Do đĩ 1 và AB AC MB.AB MC.AC P MA MB MC MA AB AC        2  2 MB.AB MC.AC  AB AC AB AC MA MA MA AB AC AB AC AB AC      AB AC  AB AC MA MA AB AC MA MA AB AC AB AC AB AC AB AC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M  A z 1 i z 2 . Câu 49. [2H3-4] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;4;5 , B 3;4;0 , C 2; 1;0 và mặt phẳng P :3x 3y 2z 12 0 . Gọi M a;b;c thuộc P sao cho MA2 MB2 3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a b c . A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A    Gọi I x; y; z là điểm thỏa mãn IA IB 3IC 0 (*).    Ta cĩ: IA (1 x;4 y;5 z) , IB (3 x;4 y; z) và 3IC (6 3x; 3 3y; 3z) 1 x 3 x 6 3x 0 x 2 Từ (*) ta cĩ hệ phương trình: 4 y 4 y 3 3y 0 y 1 I(2;1;1) . 5 z z 3z 0 z 1  2     Khi đĩ: MA2 MA (MI IA)2 MI 2 2MI.IA IA2  2     MB2 MB (MI IB)2 M 2 2MI.IB IB2  2     3MC 2 3MC 3(MI IC)2 3 MI 2 2MI.IC IC 2 Do đĩ: S MA2 MB2 3MC 2 5MI 2 IA2 IB2 3IC 2 . Do IA2 IB2 3IC 2 khơng đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng P :3x 3y 2z 12 0 . Vectơ chỉ phương của IM là n (3; 3; 2) x 2 3t Phương trình tham số của IM là: y 1 3t,(t ¡ ) . z 1 2t Gọi M (2 3t;1 3t;1 2t) (P) là hình chiếu của I lên mặt phẳng P . 1 Khi đĩ: 3 2 3t 3 1 3t 2 1 2t 12 0 22t 11 0 t 2 7 1 7 1 Suy ra: M ; ;0 . Vậy a b c 0 3 . 2 2 2 2 Trang 25/26
26. Câu 50. [2H3-4] Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho các điểm A 1;5;0 , B 3;3;6 và đường thẳng x 1 y 1 z : . Gọi M a;b;c sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 2 1 2 T a b c . A. T 2 . B. T 3. C. T 4 . D. T 5 . Lời giải Chọn B Ta cĩ M M ( 1 2t;1 t;2t) .   MA 2 2t;4 t; 2t , MB 4 2t;2 t;6 2t Khi đĩ chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MA MB nhỏ nhất. Xét hàm số f t MA MB 9t 2 20 9t 2 36t 56 2 2 2 3t 2 2 5 6 3t 2 2 5 62 4 5 2 29 Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi bộ số 3t;6 3t và bộ số 2 5;2 5 tỉ lệ. Suy ra 3t 6 3t t 1 . Suy ra M 1;0;2 . Chú ý ở đây cĩ dùng bất đẳng thức Mincopski ( Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy) 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2  an bn a1 a2  an b1 b2  bn đúng với mọi ai ,bi . Dấu bằng xảy ra khi hai bộ số a1,a2 ,,an và b1,b2 ,,bn tỉ lệ. HẾT Trang 26/26